2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第4章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.3對數(shù)4.3.2對數(shù)的運(yùn)算學(xué)案含解析新人教A版必修第一冊

PAGE1-4.學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．(重點(diǎn))2．能用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)．(難點(diǎn))3．會運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行一些簡潔的化簡與證明．(易混點(diǎn))1.借助對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡、求值，培育數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．2．通過學(xué)習(xí)換底公式，培育邏輯推理素養(yǎng).問題：(1)計算log24，log28及l(fā)og232的值，你能分析一下三者存在怎樣的運(yùn)算關(guān)系嗎？(2)計算lg10，lg100，lg1000及l(fā)g104的值，你能發(fā)覺什么規(guī)律？提示：(1)∵log24＝2，log28＝3，log232＝5，∴l(xiāng)og24＋log28＝log2(4×8)＝log232；log232－log28＝log2eq\f(32,8)＝log24；log232－log24＝log2eq\f(32,4)＝log28.(2)lg10＝1，lg100＝lg102＝2，lg1000＝lg103＝3，lg104＝4，可見lg10n＝nlg10＝n.1．對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)假如a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．思索：當(dāng)M>0，N>0時，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？提示：不肯定．2．對數(shù)的換底公式若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，則有l(wèi)ogab＝eq\f(logcb,logca).1．思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)log2x2＝2log2x. ()(2)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)． ()(3)logaM·logaN＝loga(M＋N)． ()(4)logx2＝eq\f(1,log2x). ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．計算log84＋log82等于()A．log86 B．8C．6 D．1D[log84＋log82＝log88＝1.]3．計算log510－log52等于()A．log58 B．lg5C．1 D．2C[log510－log52＝log55＝1.]4．logab·logbc·logca＝________.1[logab·logbc·logca＝eq\f(lgb,lga)·eq\f(lgc,lgb)·eq\f(lga,lgc)＝1.]對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用【例1】計算下列各式的值：(1)eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245)；(2)lg52＋eq\f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)eq\f(lg\r(2)＋lg3－lg\r(10),lg1.8).[解](1)原式＝eq\f(1,2)(5lg2－2lg7)－eq\f(4,3)·eq\f(3,2)lg2＋eq\f(1,2)(2lg7＋lg5)＝eq\f(5,2)lg2－lg7－2lg2＋lg7＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)lg2＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)(lg2＋lg5)＝eq\f(1,2)lg10＝eq\f(1,2).(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.(3)原式＝eq\f(\f(1,2)lg2＋lg9－lg10,lg1.8)＝eq\f(lg\f(18,10),2lg1.8)＝eq\f(lg1.8,2lg1.8)＝eq\f(1,2).1．利用對數(shù)性質(zhì)求值的解題關(guān)鍵是化異為同，先使各項(xiàng)底數(shù)相同，再找真數(shù)間的聯(lián)系．2．對于困難的運(yùn)算式，可先化簡再計算．化簡問題的常用方法：(1)“拆”：將積(商)的對數(shù)拆成兩對數(shù)之和(差)；(2)“收”：將同底對數(shù)的和(差)收成積(商)的對數(shù)．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．求下列各式的值：(1)lg25＋lg2·lg50；(2)eq\f(2,3)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25.[解](1)原式＝lg25＋(1－lg5)(1＋lg5)＝lg25＋1－lg25＝1.(2)eq\f(2,3)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25＝2lg2＋lg25＋lg2(1＋lg5)＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＋lg25＋lg2＋lg2·lg5＝2＋lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝2＋lg5＋lg2＝3.對數(shù)的換底公式【例2】(1)計算：(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)．(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645(用a，b表示)．[解](1)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)＝(log253＋log2252＋log235)·(log5323＋log5222＋log52)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))log25·(1＋1＋1)log52＝eq\f(13,3)·3＝13.(2)∵18b＝5，∴b＝log185.又log189＝a，∴l(xiāng)og3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log185＋log189,1＋log182)＝eq\f(a＋b,2－log189)＝eq\f(a＋b,2－a).(變結(jié)論)在本例(2)的條件下，求log915(用a，b表示)[解]∵log189＝a，∴l(xiāng)og183＝eq\f(a,2).又log185＝b，∴l(xiāng)og915＝eq\f(log1815,log189)＝eq\f(log183＋log185,log189)＝eq\f(\f(a,2)＋b,a)＝eq\f(a＋2b,2a).1．在化簡帶有對數(shù)的表達(dá)式時，若對數(shù)的底不同，需利用換底公式．2．常用的公式有：logab·logba＝1，loganbm＝eq\f(m,n)logab，logab＝eq\f(1,logba)等．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．求值：(1)log23·log35·log516；(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．[解](1)原式＝eq\f(lg3,lg2)·eq\f(lg5,lg3)·eq\f(lg16,lg5)＝eq\f(lg16,lg2)＝eq\f(4lg2,lg2)＝4.(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,lg9)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,lg4)＋\f(lg3,lg8)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,2lg3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,2lg2)＋\f(lg3,3lg2)))＝eq\f(3lg2,2lg3)·eq\f(5lg3,6lg2)＝eq\f(5,4).對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的綜合應(yīng)用[探究問題]1．若2a＝3b，則eq\f(a,b)等于多少？提示：設(shè)2a＝3b＝t，則a＝log2t，b＝log3t，∴eq\f(a,b)＝log23.2．對數(shù)式logab與logba存在怎樣的等量關(guān)系？提示：logab·logba＝1，即logab＝eq\f(1,logba).【例3】已知3a＝5b＝c，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，求c的值．[思路點(diǎn)撥]eq\x(求c的值)[解]∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log∴eq\f(1,a)＝logc3，eq\f(1,b)＝logc5，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝logc15.由logc15＝2得c2＝15，即c＝eq\r(15).1．把本例條件變?yōu)椤?a＝5b＝15”，求eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值．[解]∵3a＝5b＝15，∴a＝log315，b＝log5∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝log153＋log155＝log1515＝1.2．若本例條件改為“若a，b是正數(shù)，且3a＝5b＝c”，比較3a與5[解]∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log∴3a－5b＝3log3c＝eq\f(3lgc,lg3)－eq\f(5lgc,lg5)＝eq\f(lgc3lg5－5lg3,lg3lg5)＝eq\f(lgclg125－lg243,lg3lg5)<0，∴3a<5b應(yīng)用換底公式應(yīng)留意的兩個方面1化成同底的對數(shù)時，要留意換底公式的正用、逆用以及變形應(yīng)用.2題目中有指數(shù)式和對數(shù)式時，要留意將指數(shù)式與對數(shù)式統(tǒng)一成一種形式.1．記牢2個學(xué)問點(diǎn)(1)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；(2)換底公式．2．駕馭2種方法(1)利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可以把乘、除、乘方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加、減、乘的運(yùn)算，加快計算速度．(2)利用結(jié)論logab·logba＝1，loganbm＝eq\f(m,n)logab化簡求值更便利．1．若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，則下列各式：(1)(logax)n＝nlogax；(2)(logax)n＝logaxn；(3)logax＝－logaeq\f(1,x)；(4)eq\r(n,logax)＝eq\f(1,n)logax；(5)eq\f(logax,n)＝logaeq\r(n,x).其中正確的有()A．2個 B．3個C．4個 D．5個A[依據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)知(3)與(5)正確．]2．計算log92·log43＝()A．4 B．2C.eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)D[log92·log43＝eq\f(lg2,lg9)·eq\f(lg3,lg4)＝eq\f(lg2,2lg3)·eq\f(lg3,2lg2)＝eq\f(1,4).]3．設(shè)10a＝2，lg3＝b，則log2A.eq\f(b,a) B.eq\f(a＋b,a)C．a(chǎn)b D．a(chǎn)＋bB[∵10a＝2，∴l(xiāng)g2＝a∴l(xiāng)og26＝eq\f(lg6,lg2)＝eq\f(lg2＋lg3,lg2)＝eq\f(a＋b,a).]5．計算：(1)log535－2log5eq\f(7,3)＋log57－log51.8；(2)log2eq\r(\f(7,48))＋log212－eq\f(1,2)log242－1.[解](1)原式＝l