2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語1.2充分條件與必要條件習(xí)題課學(xué)案含解析新人教A版選修1-1

PAGE7-1.2充分條件與必要條件習(xí)題課自主預(yù)習(xí)·探新知情景引入某居民的臥房里安有一盞燈，在臥房門口和床頭各有一個(gè)開關(guān)，隨意一個(gè)開關(guān)都能夠獨(dú)立限制這盞燈，這就是電器上常用的“雙刀”開關(guān)．A開關(guān)閉合時(shí)B燈肯定亮嗎？B燈亮?xí)rA開關(guān)肯定閉合嗎？新知導(dǎo)學(xué)1．x<13是x<5的__必要不充分__條件．2．x>2是x2－3x＋2>0的__充分不必要__條件．3．設(shè)與命題p對應(yīng)的集合為A＝{x|p(x)}，與命題q對應(yīng)的集合為B＝{x|q(x)}，若A?B，則p是q的__充分__條件，q是p的__必要__條件．若A＝B，則p是q的__充要__條件．若AB，則p是q的__充分不必要__條件．q是p的__必要不充分__條件．若AB，則p不是q的__充分__條件，q不是p的__必要__條件．4．p是q的充要條件是說，有了p成立，就__肯定有__q成立．p不成立時(shí)，__肯定有__q不成立．預(yù)習(xí)自測1．(2024·湖南湘潭市高二期末)“x>2”是“x>1”的(A)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]結(jié)合題意可知x>2可以推出x>1，但x>1并不能保證x>2，故為充分不必要條件，故選A．2．“x＜0”是“l(fā)n(x＋1)＜0”的(B)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[解析]ln(x＋1)＜0?0＜x＋1＜1?－1＜x＜0，而(－1,0)是(－∞，0)的真子集，所以“x＜0”是“l(fā)n(x＋1)＜0”的必要不充分條件．3．設(shè)p：x<3，q：－1<x<3，則p是q成立的(C)A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件[解析]若－1<x<3成立，則x<3成立；反之，若x<3成立，則－1<x<3未必成立，如x＝－2，所以p是q的必要不充分條件．4．“l(fā)gx>lgy”是“eq\r(x)>eq\r(y)”的__充分不必要__條件．[解析]由lgx>lgy?x>y>0?eq\r(x)>eq\r(y)，充分條件成立．又由eq\r(x)>eq\r(y)成立，當(dāng)y＝0時(shí)，lgx>lgy不成立，必要條件不成立．5．(2024·山東昌平高二檢測)已知條件p：A＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}，條件q：B＝{x|x2－3x＋2≤0}，當(dāng)a為何值時(shí)，(1)p是q的充分不必要條件；(2)p是q的必要不充分條件；(3)p是q的充要條件．[解析]A＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，B＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，(1)因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以AB，而當(dāng)a＝1時(shí)，A＝{1}，明顯成立，當(dāng)a>1，A＝[1，a]，需1<a<2，綜上可知1≤a<2時(shí)，p是q的充分不必要條件．(2)因?yàn)閜是q的必要不充分條件，所以BA，故A＝[1，a]，且a>2，所以a>2時(shí)，p是q的必要不充分條件．(3)因?yàn)閜是q的充要條件，所以A＝B，故a＝2.互動(dòng)探究·攻重難互動(dòng)探究解疑命題方向?利用圖示法進(jìn)行充分、必要條件推斷典例1已知p、q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件．那么：(1)s是q的__充要__條件？(2)r是q的__充要__條件？(3)p是q的__必要__條件？[解析]依據(jù)題意得關(guān)系圖，如圖所示．(1)由圖知：∵q?s，s?r?q，∴s是q的充要條件．(2)∵r?q，q?s?r，∴r是q的充要條件．(3)∵q?s?r?p，∴p是q的必要條件．『規(guī)律方法』對于多個(gè)有聯(lián)系的命題(或兩個(gè)命題的關(guān)系是間接的)，經(jīng)常作出它們的有關(guān)關(guān)系圖表，依據(jù)定義，用“?”“?”“?”建立它們之間的“關(guān)系鏈”，直觀求解，稱作圖示法．┃┃跟蹤練習(xí)1__■已知p是r的充分條件而不是必要條件，q是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，現(xiàn)有下列命題：①s是q的充要條件；②p是q的充分條件而不是必要條件；③r是q的必要條件而不是充分條件；④r是s的充分條件而不是必要條件．則正確命題的序號是(B)A．①④ B．①②C．②③④ D．②④[解析]由題意知，故①②正確；③④錯(cuò)誤．命題方向?利用集合法進(jìn)行充分、必要條件的推斷典例2設(shè)p、q是兩個(gè)命題，p：eqlog\s\do8(\f(1,2))(|x|－3)>0，q：x2－eq\f(5,6)x＋eq\f(1,6)>0，則p是q的(A)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[思路分析]p、q都是不等式的解集，解不等式可得其解集，利用集合之間的子集關(guān)系即可推斷出p是q的什么條件．[解析]由eqlog\s\do8(\f(1,2))(|x|－3)>0得，0<|x|－3<1，∴3<|x|<4，∴3<x<4或－4<x<－3，由x2－eq\f(5,6)x＋eq\f(1,6)>0得x<eq\f(1,3)或x>eq\f(1,2)，明顯(3,4)∪(－4，－3)(－∞，eq\f(1,3))∪(eq\f(1,2)，＋∞)，∴p是q的充分不必要條件．故選A．『規(guī)律方法』假如條件p與結(jié)論q是否成立都與數(shù)集有關(guān)(例如方程、不等式的解集、參數(shù)的取值范圍等)，常利用集合法來分析條件的充分性與必要性，將充要條件的探討轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系探討，可借助數(shù)軸等工具進(jìn)行．┃┃跟蹤練習(xí)2__■設(shè)命題甲為0<x<5，命題乙為|x－2|<3，那么甲是乙的(A)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[解析]由|x－2|<3得－1<x<5，令A(yù)＝{x|0<x<5}，B＝{x|－1<x<5}，∴AB，∴甲是乙的充分不必要條件．命題方向?利用充要性求參數(shù)范圍典例3已知p：實(shí)數(shù)x滿意x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：實(shí)數(shù)x滿意x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0，且p是q的充分條件，求a的取值范圍．[思路分析]先分別求出命題p、q中x的取值范圍，再探求符合條件的a的取值范圍．[解析]p：由x2－4ax＋3a2<0，其中a<0得，3a<x<a；q：由x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0，得x<－4或x≥－2.∵p是q的充分條件，∴a≤－4或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a≥－2,a<0))，∴a≤－4或－eq\f(2,3)≤a<0.綜上可知a的取值范圍是a≤－4或－eq\f(2,3)≤a<0.『規(guī)律方法』利用條件的充要性求解參數(shù)問題，關(guān)鍵是將條件屬性轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)慕忸}思路，如數(shù)集類問題，一般是將條件屬性轉(zhuǎn)化為集合包含關(guān)系，借助數(shù)軸列出不等式(組)，從而求解．┃┃跟蹤練習(xí)3__■已知p：－1≤eq\f(x－1,3)≤3，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解析]由p：－1≤eq\f(x－1,3)≤3得－2≤x≤10，由q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)得－m≤x－1≤m，∴1－m≤x≤1＋m.∵p是q的必要不充分條件，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋m≤10,1－m≥－2))，∴m≤3，又∵m>0，∴0<m≤3.學(xué)科核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)中的等價(jià)轉(zhuǎn)化1．證明充要條件一般應(yīng)分兩個(gè)步驟，即分別證明“充分性”和“必要性”這兩個(gè)方面．解題時(shí)要避開將充分性當(dāng)作必要性來證明的錯(cuò)誤，這就須要分清條件與結(jié)論，若“條件”?“結(jié)論”，即是證明充分性，若“結(jié)論”?“條件”，即是證明必要性．2．等價(jià)法：就是從條件起先，逐步推出結(jié)論，或者是從結(jié)論起先，逐步推出條件，但是每一步都是可逆的，即反過來也能推出，僅作說明即可，必要性(或者充分性)可以不再重復(fù)證明．典例4已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝aqn＋b(a≠0，q是不等于0和1的常數(shù))，求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件是a＋b＝0.[解析](1)先證充分性：∵a＋b＝0，∴Sn＝aqn＋b＝aqn－a，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝aq－a；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(aqn－a)－(aqn－1－a)＝a(q－1)·qn－1(n≥2)．∴a1＝aq－a，a2＝aq2－aq，∴eq\f(a2,a1)＝eq\f(aq2－aq,aq－a)＝q，且eq\f(an＋1,an)＝eq\f(aq－1·qn,aq－1·qn－1)＝q，n≥2.故數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列．(2)再證必要性：∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列，∴Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1,1－q)－eq\f(a1,1－q)qn.∵Sn＝aqn＋b，∴a＝－eq\f(a1,1－q)，b＝eq\f(a1,1－q)，∴a＋b＝0.故數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件是a＋b＝0.『規(guī)律方法』有關(guān)充要條件的證明問題，要分清哪個(gè)是條件，哪個(gè)是結(jié)論，由“條件”?“結(jié)論”是證命題的充分性，由“結(jié)論”?“條件”是證命題的必要性．證明分為兩個(gè)環(huán)節(jié)：一是充分性；二是必要性，證明時(shí)，不要認(rèn)為它是推理過程的“雙向書寫”，而應(yīng)當(dāng)進(jìn)行由條件到結(jié)論，由結(jié)論到條件的兩次證明．┃┃跟蹤練習(xí)4__■已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若命題“A∩B＝?”是假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解析]因?yàn)椤癆∩B＝?”是假命題，所以A∩B≠?.設(shè)全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}，則U＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m|m≤－1或m≥\f(3,2))).假設(shè)方程x2－4mx＋2m＋6＝0的兩根x1，x2均非負(fù)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m∈U，,x1＋x2≥0，,x1x2≥0))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m∈U，,4m≥0，,2m＋6≥0))解得m≥eq\f(3,2).又集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m|m≥\f(3,2)))關(guān)于全集U的補(bǔ)集是{m|m≤－1}．所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，－1]．易混易錯(cuò)警示轉(zhuǎn)化要保持等價(jià)性典例5已知方程x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0有兩個(gè)大于2的根，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[錯(cuò)解]由于方程x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0有兩個(gè)大于2的根，設(shè)這兩個(gè)根為x1、x2，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4m＋22－4m2－1≥0,x1＋x2＝2m＋2>4,x1x2＝m2－1>4))，解得m>eq\r(5).所以當(dāng)m∈(eq\r(5)，＋∞)時(shí)，方程x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0有兩個(gè)大于2的根．[錯(cuò)解分析]若x1>2，x2>2，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2>4,x1x2>4))，成立；但若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2>4,x1x2>4))，則不肯定有x1>2，x2>2成立，即eq\b\lc\{\rc\(\a\v