2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第十一章立體幾何初步11.3.1平行直線與異面直線教師用書教案新人教B版必修第四冊

PAGE1-11．3空間中的平行關(guān)系11．3.1平行直線與異面直線[課程目標(biāo)]1.駕馭空間平行直線、異面直線的概念；2.理解空間中兩個(gè)角相等的條件，能利用等角定理解決相關(guān)問題；3.駕馭空間四邊形的概念和特點(diǎn)．學(xué)問點(diǎn)一平行直線與異面直線[填一填]1．平行直線：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線稱為平行直線．2．等角定理假如一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等．3．異面直線(1)概念：空間中既不平行也不相交的直線．(2)推斷方法：與一平面相交于一點(diǎn)的直線與這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過交點(diǎn)的直線是異面直線．[答一答]1．如何理解異面直線？提示：若直線a，b是異面直線，則在空間中找不到一個(gè)平面，使其同時(shí)經(jīng)過a、b兩條直線．例如，如圖所示的長方體ABCD-A1B1C1D1中，棱AB和B1C2．已知兩條直線相交，過其中隨意一條直線上的一點(diǎn)作另一條直線的平行線，這些平行線是否都共面？為什么？提示：都共面，如圖所示，a∩b＝A，過b上隨意一點(diǎn)B作c∥a，則a、c可確定一個(gè)平面α，因?yàn)锳∈a，所以A∈α.又因?yàn)锽∈c，所以B∈α，所以AB?α，即b?α.所以a、b、c共面．同理在a上任取一點(diǎn)作b的平行線，都與a、b共面，所以這些平行線都共面．學(xué)問點(diǎn)二空間四邊形[填一填]順次連接不共面的4點(diǎn)所構(gòu)成的圖形稱為空間四邊形．其中4個(gè)點(diǎn)都是空間四邊形的頂點(diǎn)；連接相鄰頂點(diǎn)間的線段叫做空間四邊形的邊；連接不相鄰頂點(diǎn)間線段叫做空間四邊形的對角線．空間四邊形用表示頂點(diǎn)的四個(gè)字母表示．類型一證明線線平行問題[例1]如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)，G，H分別為PA，PB，PC，PD的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是平行四邊形．[證明]在△PAB中，∵E、F分別是PA、PB的中點(diǎn)，∴EF綉eq\f(1,2)AB，同理GH綉eq\f(1,2)DC.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB綉CD，∴EF綉GH，∴四邊形EFGH是平行四邊形．空間中證明兩直線平行的方法有：1借助平面幾何學(xué)問證明，如三角形中位線性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，用成比例線段證平行等.2利用平行的傳遞性，即證明兩直線都與第三條直線平行.[變式訓(xùn)練1]如圖所示，已知E，F(xiàn)分別是空間四邊形ABCD的邊AB與BC的中點(diǎn)，G，H分別是邊CD與AD上靠近D的三等分點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是梯形．證明：在△ABC中，∵E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的中點(diǎn)，∴EF綉eq\f(1,2)AC.又在△ACD中，G，H分別是CD，AD邊上的三等分點(diǎn)，eq\f(DH,DA)＝eq\f(DG,DC)＝eq\f(1,3)，∴GH綉eq\f(1,3)AC.∴EF∥GH且EF≠GH，即四邊形EFGH是梯形．類型二等角定理[例2]已知E，E′分別是正方體ABCD-A′B′C′D′的棱AD，A′D′的中點(diǎn)．求證：∠BEC＝∠B′E′C′.[證明]如圖所示，連接EE′.因?yàn)镋，E′分別是AD，A′D′的中點(diǎn)，所以AE∥A′E′，且AE＝A′E′.所以四邊形AEE′A′是平行四邊形．所以AA′∥EE′，且AA′＝EE′.又因?yàn)锳A′∥BB′，且AA′＝BB′，所以EE′∥BB′，且EE′＝BB′，所以四邊形BEE′B′是平行四邊形，所以BE∥B′E′，同理可證CE∥C′E′，又∠BEC與∠B′E′C′的兩邊方向相同，所以∠BEC＝∠B′E′C′.1.空間兩直線平行的證明方法證明空間兩條直線平行的方法有兩個(gè)：一是利用平面幾何學(xué)問三角形、梯形的中位線，平行四邊形性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等證明；二是利用平行的傳遞性，就是須要找到第三條直線c，使a∥c，b∥c，由平行的傳遞性得到a∥b.2.空間角相等的證明方法1等角定理是較常用的方法.2轉(zhuǎn)化為平面圖形中的三角形全等或相像來證明.[變式訓(xùn)練2]如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BB1，BC的中點(diǎn)．求證：△EFG∽△C1DA1證明：如圖，連接B1C因?yàn)镚，F(xiàn)分別為BC，BB1的中點(diǎn)，所以GF∥B1C且GF＝eq\f(1,2)B1C.又ABCD-A1B1C1D1所以CD∥AB且CD＝AB，A1B1∥AB且A1B1＝AB，所以CD∥A1B1且CD＝A1B1，所以四邊形A1B1CD為平行四邊形，所以A1D∥B1C且A1D＝B1又B1C∥FG，所以A1D∥FG同理可證：A1C1∥EG，DC1∥EF又∠DA1C1與∠EGF，∠A1DC1與∠EFG，∠DC1A1與∠所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠所以△EFG∽△C1DA1.類型三異面直線[例3]如圖，M，N，E，F(xiàn)，G，H，P，Q是正方體ABCD-A1B1C1D1所在棱的中點(diǎn)，則PQ，EF，GH中與直線MN[分析]要判定兩條直線的位置關(guān)系可以依據(jù)定義及相關(guān)學(xué)問進(jìn)行推斷．[解析]首先，我們不難看出PQ∥MN；其次，依據(jù)平面的基本領(lǐng)實(shí)的推論2，可得MN，EF交于一點(diǎn)，即MN與EF共面；最終，我們可直觀地得到GH與MN異面．[答案]GH推斷兩條直線是不是異面直線，除了依據(jù)定義及平面的基本領(lǐng)實(shí)的推論外，直觀上的感知也是非常重要的一方面.[變式訓(xùn)練3]如圖，已知P為△ABC所在平面外的一點(diǎn)，求證：EF與PC是異面直線．證明：若EF與PC不是異面直線，則存在平面α使得E，F(xiàn)，P，C∈α，從而直線PE與CF都在平面α內(nèi)，∴A，B∈α，故點(diǎn)A，B，C，P都在α內(nèi)，與P在平面ABC外沖突，故EF與PC是異面直線．類型四空間四邊形的相關(guān)問題[例4]已知空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；(2)若∠HEF＝60°，AC＝6，BD＝8，求四邊形EFGH的面積；(3)若AC＝BD，則四邊形EFGH是什么圖形．[解](1)證明：如圖，在△ABD中，E、H分別為AB，AD的中點(diǎn)，∴EH綉eq\f(1,2)BD，同理FG綉eq\f(1,2)BD，∴EH綉FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．(2)∵BD＝8，∴EH＝4，同理由AC＝6得EF＝3，∴S?EFGH＝EF·EH·sin∠HEF＝3×4×sin60°＝6eq\r(3).∴四邊形EFGH的面積為6eq\r(3).(3)∵AC＝BD，∴EF＝EH，∴四邊形EFGH為菱形．空間四邊形中的計(jì)算與證明，經(jīng)常轉(zhuǎn)化為各個(gè)面上的平行、相交等關(guān)系，利用三角形、四邊形的有關(guān)性質(zhì)加以解決.[變式訓(xùn)練4]如圖，四邊形ABCD為空間四邊形，M，N分別是邊AB，CD的中點(diǎn)，求證：MN<eq\f(1,2)(AC＋BD)．證明：取BC的中點(diǎn)E，連接ME，NE，如圖所示，∵M(jìn)，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，∴ME為△ABC的中位線，∴ME＝eq\f(1,2)AC.同理EN＝eq\f(1,2)BD，在△MNE中，依據(jù)兩邊之和大于第三邊，可得MN<ME＋EN，從而MN<eq\f(1,2)(AC＋BD)．1．若直線a和b異面，直線b和c異面，則直線a和c(C)A．異面或相交 B．異面或平行C．異面或平行或相交 D．相交或平行解析：直線a和b異面，直線b和c異面，則直線a和c可能異面，可能平行，可能相交，故選C.2．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，則∠PQR等于(B)A．30° B．30°或150°C．150° D．以上答案都不對解析：∠ABC的兩邊與∠PQR的兩邊分別平行，但方向不能確定是否相同．∴∠PQR＝30°或150°，故選B.3．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為空間四邊形ABCD中AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)，若AC＝BD，且AC與BD成90°角，則四邊形EFGH是(C)A．菱形B．梯形C．正方形D．空間四邊形解析：由已知得GH綉EF.EH綉FG.又∵AC＝BD，AC、BD成90°角，故GH＝EH＝EF＝FG.且EH⊥HG.故四邊形EFGH是正方形．4．如圖，空間四邊形ABCD中，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是CB、CD上的點(diǎn)，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq