2024-2025學年安徽省六安市裕安區(qū)高二上冊9月月考數(shù)學檢測試卷（A班）附解析

2024-2025學年安徽省六安市裕安區(qū)高二上學期9月月考數(shù)學檢測試卷（A班）一?單選題（每題5分共40分）1.i是虛數(shù)單位，復數(shù)（）A. B.1 C. D.【正確答案】C【分析】借助復數(shù)的運算法則計算即可得.【詳解】.故選：C.2.已知，，則（）A.6 B. C.18 D.【正確答案】C【分析】利用向量線性運算與數(shù)量積運算的坐標表示即可得解.【詳解】因為，，則，所以.故選：C.3.如圖，四邊形的斜二測直觀圖為平行四邊形，已知，則該圖形的面積為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用斜二測畫法得到原圖矩形中，，從而求出面積.【詳解】平行四邊形，由斜二測畫法得，在原圖矩形中，，為正方形，故該圖形的面積為．故選：A.4.馬劍饅頭在我市很有名，吃起來松軟有韌勁，特別受歡迎.某馬劍鎮(zhèn)饅頭商家為了將馬劍饅頭銷往全國，學習了“小罐茶”的銷售經(jīng)驗，決定走少而精的售賣方式，爭取讓馬劍饅頭走上高端路線，定制了如圖所示由底面圓半徑為的圓柱體和球冠（球的一部分，球心與圓柱底面圓心重合）組成的單獨包裝盒（包裝盒總高度為5cm），請你幫忙計算包裝盒的表面積（）（單位：平方厘米，球冠的表面積公式為，其中R為球冠對應球體的半徑，h為球冠的高）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】求出球冠的高，可得圓柱的高，根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式以及底面圓面積以及球冠的面積公式即可求得答案.【詳解】如圖，由題意知包裝盒總高度為，即球冠所在球的半徑為，圓柱底面圓的半徑為，設球冠的高為，則，即或（舍去），故圓柱高，故包裝盒的表面積為，故選：D5.設是兩條不同直線，是三個不同的平面.下列命題中正確的命題是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，由空間中直線與平面的位置關系，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】若，則與相交或平行，故A錯誤；若，則或，故B錯誤；若，則或，故C錯誤；若，則，故D錯誤；故選：D6.空間四邊形中，，，分別是，的中點，，則異面直線，所成的角為（）A.30° B.60° C.90° D.120°【正確答案】B【分析】取AC中點G，連接EG、FG，可知∠EGF或其補角即為異面直線AD，BC所成的角，在△EFG中，由余弦定理可得cos∠EGF，結(jié)合角的范圍可得答案．【詳解】取AC中點G，連接EG、FG，由三角形中位線的知識可知：EGBC，F(xiàn)GAD，∴∠EGF或其補角即為異面直線AD，BC所成的角，在△EFG中，cos∠EGF，∴∠EGF＝120°，由異面直線所成角的范圍可知應取其補角60°，故選：B．本題考查異面直線所成的角，涉及解三角形的應用，屬中檔題．7.如圖，AB為圓的直徑，點C在圓上，PA⊥平面ABC，則圖中直角三角形的個數(shù)是（）A.4 B.3 C.2 D.1【正確答案】A【分析】根據(jù)是圓的直徑，得出是直角三角形；平面，得出、是直角三角形；平面，得出是直角三角形，即可得結(jié)論.【詳解】是圓的直徑，，是直角三角形；又平面，平面，，；、是直角三角形；又平面，平面，面，，是直角三角形；四面體的四個面中，直角三角形有4個．故選：A．8.如圖，圓錐底面半徑為3，母線，，一只螞蟻從A點出發(fā)，沿圓錐側(cè)面繞行一周，到達B點，最短路線長度為（）A. B.16 C. D.12【正確答案】C【分析】把圓錐側(cè)面沿母線剪開，展在同一平面內(nèi)，再利用兩點間距離最短求出結(jié)果.【詳解】把圓錐側(cè)面沿母線剪開，展在同一平面內(nèi)得扇形，連接，如圖，令扇形圓心角大小為，則，解得，在中，，則，所以一只螞蟻從A點出發(fā)，沿圓錐側(cè)面繞行一周，到達B點，最短路線長度為.故選：C二?多選題（每題6分，選錯多選不得分，選對部分答部分分，共18分）9.下列結(jié)論正確的是（）A.一個平面內(nèi)有且只有一對不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底B.互為相反向量的兩個向量的模相等C.方向相同的兩個向量，向量的模越大，則向量越大D.向量與共線存在不全為零的實數(shù)，使【正確答案】BD【分析】根據(jù)基底的定義即可判斷A；根據(jù)相反向量的定義即可判斷B；根據(jù)向量的定義即可判斷C；根據(jù)共線向量的定義即可判斷D.【詳解】對于A，由平面基底的概念可知，只要不共線的任何兩個向量都可以作為平面的一組基底向量，故A錯誤；對于B，方向相反模模相等的兩個向量為相反向量，故B正確；對于C，向量不能比較大小，故C錯誤；對于D，向量與共線存在不全為零的實數(shù)，使，故D正確.故選：BD.10.已知、表示不同的平面，、表示不同的直線，則下列命題中正確的有（）A.若，，則B.若，，則C.若，，，則D.若，且，則【正確答案】AB【分析】利用面面垂直的判定可判斷A選項；利用線面垂直的性質(zhì)可判斷B選項；根據(jù)已知條件判斷線面、線線位置關系，可判斷CD選項.【詳解】對于A選項，若，，則，A對；對于B選項，若，，則，B對；對于C選項，若，，則，因為，則或，C錯；對于D選項，若，且，則、平行、相交或異面，D錯.故選：AB.11.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面為等邊三角形，，平面平面，點M在線段PC上運動（不含端點），則下列說法正確的是（）A.與是異面直線 B.平面平面C.存在點M使得 D.存在點M使得‖平面【正確答案】AB【分析】對于A，根據(jù)異面直線的定義分析判斷，對于B，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得線面垂直，再利用面面垂直的判定分析判斷，對于C，利用反證法分析判斷，對于D，根據(jù)線面平行的判定定理分析判斷.【詳解】對于A，因為平面，與平交于點，而點不在直線上，所以與是異面直線，所以A正確，對于B，因為底面是正方形，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，所以B正確，對于C，取的中點，連接，因為側(cè)面為等邊三角形，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，假設，因為，，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，，平面，所以平面，因為平面，所以，這與四邊形是正方形相矛盾，所以不成立，所以C錯誤，對于D，因為四邊形正方形，所以‖，因為平面，平面，所以‖平面，所以當點與點重合時，才有‖平面，因為點M在線段PC上運動（不含端點），所以不存在點M使得‖平面，所以D錯誤.故選：AB三?填空題（每空5分共15分）12.若復數(shù)滿足，則對應的點位于第_______象限.【正確答案】四【分析】根據(jù)給定條件，利用復數(shù)的除法求出即可得解.【詳解】依題意，，所以復數(shù)對應點位于第四象限.故四13.長方體的表面積是24，它過同一個頂點的三條棱長之和為6，則它的體對角線長是______.【正確答案】【分析】設出長寬高，表示出表面積和棱長之和，得到關系式即可求解.【詳解】設長方體的長、寬、高分別為，，，則，可得，所以長方體的體對角線為.故14.如圖為一正方體的平面展開圖，在這個正方體中，有下列四個命題：①；②與成60°角；③與成異面直線且；④若與平面所成角為，則．其中正確的序號是__________．【正確答案】②④【分析】首先還原幾何體，再根據(jù)線線的位置關系，判斷選項.【詳解】將正方體紙盒展開圖還原成正方體，如圖知與是異面直線，直線不平行，故①錯誤；連接、,將平移到，則與所成角,為等邊三角形，即可,故②正確；連接,將平移到，則與所成角,為等邊三角形，同理成角，故③錯誤；平面，與平面所成角為，故④正確.故答案為:②④四?解答題（滿分77分）15.（1）化簡；（2）把滿足，的向量、用、表示出來.【正確答案】（1）；（2），.【分析】（1）去括號，合并同類項即可得出結(jié)果；（2）建立方程組，解出和即可.【詳解】（1）原式；（2）由已知得，①②得，①②得，因此，，.本題考查向量加減法的運算律，同時也考查了方程思想的應用，考查計算能力，屬于基礎題.16.已知復數(shù)．（1）求復數(shù)；（2）若，求實數(shù)，的值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)復數(shù)乘方和除法法則計算；（2）根據(jù)復數(shù)相等列方程，解方程即可.【小問1詳解】．【小問2詳解】把代入，得，整理得，所以，解得.17.某廣場內(nèi)設置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個一樣的四面體得到的，如圖所示，若被截正方體的棱長是60cm．（1）求石凳的體積；（2）為了美觀工人準備將石凳的表面進行粉刷，已知每平方米造價50元，請問粉刷一個石凳需要多少錢？【正確答案】（1）（2）元【分析】（1）計算出正方體的體積減去8個小正三棱錐的體積，得到答案；（2）計算出石凳的表面積，從而求出粉刷一個石凳的錢數(shù).【小問1詳解】正方體的體積為，石凳的體積為正方體的體積減去8個正三棱錐的體積，其中一個小正三棱錐的三條側(cè)棱邊長為，故一個小正三棱錐的體積為，故石凳的體積為.【小問2詳解】石凳的表面由6個正方形和8個正三角形組成，其中正方形和正三角形的邊長均為，則石凳的表面積為，則粉刷一個石凳需要元.18.如圖，在正方體中，為的中點.（1）求證：平面；（2）若為的中點，求證：平面平面.【正確答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【分析】（1）構(gòu)造三角形的中位線，可得線線平行，再利用線面平行的判定定理可得線面平行.（2）尋找線面平行，根據(jù)面面平行的判定定理證明面面平行.【小問1詳解】如圖：連接BD，設，連接OM，∵在正方體中，四邊形是正方形，是中點，是中點，，平面，平面，平面.【小問2詳解】如圖：連接，NB，為的中點，為的中點，，又，∴四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面由（1）知平面，，平面，平面，∴平面平面.19.如圖，在三棱柱中，底面中角為直角，，側(cè)面底面.（1）求證：；（2）當，直線與平面所成角為時，（i）求證：平面平面；（ii）求二面角的正弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）（i）證明見解析；（ii）【分析】（1）先求證平面，進而得，接著由是菱形得，從而得平面，進而得證.（2）（i）求證平面即可由面面垂直的判定定理得證平面平面；（ii）分別作交于，作交于，連接，進而得平面，從而得是二面角的平面角，接著由等面積法求出和即可由得解.【小問1詳解】因為，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，由三棱柱性質(zhì)得四邊形是平行四邊形，又因為，所以是菱形，所以，因為，、平面，所以平面，因為平面，所以.【小問2詳解】（i）當時，因為，所以，所以，由（1）平面，平面，所以，