2024-2025學(xué)年上海市嘉定區(qū)高三上冊(cè)9月月考數(shù)學(xué)階段性檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年上海市嘉定區(qū)高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)階段性檢測(cè)試卷一?填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1—6題每個(gè)空格填對(duì)得4分，7—12題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得0分.1.已知集合，則__________.2.已知為虛數(shù)單位，，則__________.3.已知，且為第二象限角，則__________.4.已知向量，則在上的投影向量為__________.5.已知某學(xué)校參加學(xué)科節(jié)數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽8人的成績(jī)（單位：分）為：，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是______.6.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為______.7.中國古代數(shù)學(xué)著作主要有《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《四元玉鑒》《張邱建算經(jīng)》，若從上述5部書籍中任意抽取2部，則抽到《九章算術(shù)》的概率為__________.8.已知．若，則________．9.黎曼函數(shù)是一個(gè)特殊的函數(shù)，由德國數(shù)學(xué)家波恩哈德?黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.黎曼函數(shù)定義在上，其解析式為，若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意的，都有，當(dāng)時(shí)，，則__________.10.在某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，學(xué)號(hào)為四位同學(xué)的考試成績(jī)?yōu)?，且滿足，則這四位同學(xué)的考試成績(jī)的所有可能情況的種數(shù)為__________.11.地震定位對(duì)地震救援具有重要意義，根據(jù)雙臺(tái)子臺(tái)陣方法，在一次地震發(fā)生后，通過兩個(gè)地震臺(tái)站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在雙曲線的一支上，這兩個(gè)地震臺(tái)站的位置就是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn).已知地震臺(tái)站在公路上（為直線），且，相距28，地震局以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸，1為單位長(zhǎng)度建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.在一次地震發(fā)生后，根據(jù)兩站收到的信息，并通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)震中在雙曲線x2a2?y2132=1a>0的右支上，且，則到公路的距離為______.12.已知圓上任意一點(diǎn)的取值與無關(guān)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13?14題每題4分，第15?16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.13.已知，則“”是“”的（）條件.A.充分非必要 B.必要非充分C.充分必要 D.既非充分又非必要14.已知是空間兩個(gè)不同的平面，是空間兩條不同的直線，則下列命題為真命題的是（）A.若，則B.若，則C若，則D.若，則15.已知，存在常數(shù)，使為偶函數(shù)，則的值可能為（）A. B. C. D.16.在數(shù)列an中，滿足（為正整數(shù)），則①一定存在常數(shù)，使得an>a1+n?1dn∈N*都成立；②一定存在常數(shù)A.①成立，②成立 B.①成立，②不成立C.①不成立，②成立 D.①不成立，②不成立三?解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.如圖，在三棱錐中，，.（1）證明：平面；（2）若是棱上一點(diǎn)且，求二面角的大小.18.已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前2024項(xiàng)和．19.2024年4月25日，第18屆北京國際汽車展覽會(huì)在中國國際展覽中心開幕，本屆展會(huì)以“新時(shí)代新汽車”為主題，在展覽會(huì)上國內(nèi)新能源車引得了國內(nèi)外車友的關(guān)注.為了解人們的買車意向，在車展現(xiàn)場(chǎng)隨機(jī)調(diào)查了50名男觀眾和50名女觀眾，已知男觀眾中有40人偏向燃油車，女觀眾中有20人偏向燃油車，剩余被調(diào)查的觀眾則偏向新能源車.（1）根據(jù)已知條件，填寫下列列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷男觀眾和女觀眾買車意向的偏向情況是否有差異；偏向燃油車偏向新能源車男觀眾女觀眾（2）現(xiàn)按比例用分層隨機(jī)抽樣的方法從被調(diào)查的偏向燃油車的觀眾中抽取9人，再從這9人中隨機(jī)抽取4人，記表示這4人中女觀眾的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附.010.050.010.0012.7063.8416.6351082820.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是.直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，且相交于橢圓的上頂點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的值；（3）設(shè)直線分別與橢圓另交于兩點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn).21.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的奇偶性；（2）若函數(shù)在處有極值，且關(guān)于的方程有3個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）記.若對(duì)任意且時(shí)，均有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2024-2025學(xué)年上海市嘉定區(qū)高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)階段性檢測(cè)試卷一?填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1—6題每個(gè)空格填對(duì)得4分，7—12題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得0分.1.已知集合，則__________.【正確答案】【分析】利用交集的運(yùn)算規(guī)律，計(jì)算即可【詳解】.故2.已知為虛數(shù)單位，，則__________.【正確答案】2【分析】首先化解復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的定義，即可求解.【詳解】.故23.已知，且為第二象限角，則__________.【正確答案】【分析】由同角關(guān)系式求解即可.【詳解】因?yàn)椋覟榈诙笙藿?，所以，，又因?yàn)?，即，解?故4.已知向量，則在上的投影向量為__________.【正確答案】【分析】代入投影向量公式，即可求解.【詳解】在上的投影向量為.故5.已知某學(xué)校參加學(xué)科節(jié)數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽的8人的成績(jī)（單位：分）為：，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是______.【正確答案】##【分析】根據(jù)題意，利用百分位數(shù)的定義和計(jì)算方法，即可求解.【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排序得，因?yàn)?，所以?5百分位數(shù)是.故答案為.6.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為______.【正確答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程.【詳解】依題意，，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.故7.中國古代數(shù)學(xué)著作主要有《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《四元玉鑒》《張邱建算經(jīng)》，若從上述5部書籍中任意抽取2部，則抽到《九章算術(shù)》的概率為__________.【正確答案】##【分析】利用編號(hào)，列舉樣本空間的方法，結(jié)合古典概型概率公式，即可求解.【詳解】將這5部書籍依次記為，其中《九章算術(shù)》為編號(hào)，則從這5部書籍中任意抽取2部的樣本空間，共有10個(gè)樣本點(diǎn)，其中抽到《九章算術(shù)》的樣本點(diǎn)為，共有4個(gè)樣本點(diǎn)，所以所求概率.故8.已知．若，則________．【正確答案】分析】借助賦值法可得，結(jié)合二項(xiàng)式定理計(jì)算即可得解.【詳解】令，則有，即，即有，則.故答案為.9.黎曼函數(shù)是一個(gè)特殊的函數(shù)，由德國數(shù)學(xué)家波恩哈德?黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.黎曼函數(shù)定義在上，其解析式為，若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意的，都有，當(dāng)時(shí)，，則__________.【正確答案】##【分析】由，推得f4+x=fx，得到的周期為4，奇函數(shù)性質(zhì)得，且，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，所以f4+x=fx，所以所以，且，所以.故答案為.10.在某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，學(xué)號(hào)為的四位同學(xué)的考試成績(jī)?yōu)?，且滿足，則這四位同學(xué)的考試成績(jī)的所有可能情況的種數(shù)為__________.【正確答案】15【分析】先分為與兩種情況，然后分別計(jì)算不同情況的種數(shù)，然后兩種情況種數(shù)相加即可.【詳解】從所給的5個(gè)成績(jī)中，任意選出4個(gè)的一個(gè)組合，即可得到四位同學(xué)的考試成績(jī)按排列的一個(gè)可能情況，故方法有種.從所給的5個(gè)成績(jī)中，任意選出3個(gè)的一個(gè)組合，即可得到四位同學(xué)的考試成績(jī)按排列的一個(gè)可能，故方法有種.綜上可得，滿足的這四位同學(xué)的考試成績(jī)的所有可能情況共有種.故1511.地震定位對(duì)地震救援具有重要意義，根據(jù)雙臺(tái)子臺(tái)陣方法，在一次地震發(fā)生后，通過兩個(gè)地震臺(tái)站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在雙曲線的一支上，這兩個(gè)地震臺(tái)站的位置就是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn).已知地震臺(tái)站在公路上（為直線），且，相距28，地震局以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸，1為單位長(zhǎng)度建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.在一次地震發(fā)生后，根據(jù)兩站收到的信息，并通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)震中在雙曲線的右支上，且，則到公路的距離為______.【正確答案】【分析】先利用雙曲線的性質(zhì)計(jì)算焦距與，然后計(jì)算該焦點(diǎn)三角形的面積，利用等面積法計(jì)算到公路的距離即可.【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，由題意得，，則，解得，由雙曲線的定義得，又，即，三角形的面積，設(shè)到公路的距離為，則，得，即到公路的距離為.故12.已知圓上任意一點(diǎn)的取值與無關(guān)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【正確答案】【分析】首先構(gòu)造點(diǎn)到直線的距離的幾何意義，轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】設(shè)，故可以看作點(diǎn)Px,y到直線與直線距離之和的5倍，的取值與無關(guān)，這個(gè)距離之和與點(diǎn)在圓上的位置無關(guān)，如圖所示：可知直線平移時(shí)，點(diǎn)與直線的距離之和均為的距離，即此時(shí)圓在兩直線內(nèi)部，當(dāng)直線與圓相切時(shí)化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），所以.故二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13?14題每題4分，第15?16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.13.已知，則“”是“”的（）條件.A.充分非必要 B.必要非充分C.充分必要 D.既非充分又非必要【正確答案】B【分析】首先根據(jù)條件求的取值范圍，再根據(jù)集合的包含關(guān)系，判斷命題的充分，必要條件.【詳解】，與同號(hào)，則，所以恒成立，則“”是“”的必要非充分條件.故選：B14.已知是空間兩個(gè)不同的平面，是空間兩條不同的直線，則下列命題為真命題的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【正確答案】C【分析】根據(jù)線線，線面，面面的位置關(guān)系，即可判斷.【詳解】對(duì)于A，可相交，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，兩直線可異面，平行，也可以相交，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，故正確；對(duì)于D，兩平面可相交，故錯(cuò)誤；故選：C.15.已知，存在常數(shù)，使為偶函數(shù)，則的值可能為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】首先根據(jù)為偶函數(shù)，求，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求的值.【詳解】由于函數(shù)，存在常數(shù)，為偶函數(shù)，則：，由于函數(shù)為偶函數(shù)，故，所以，，當(dāng)時(shí).故選：B.16.在數(shù)列an中，滿足（為正整數(shù)），則①一定存在常數(shù)，使得都成立；②一定存在常數(shù)，使得（為正整數(shù)）都成立上面判斷正確的是（）A.①成立，②成立 B.①成立，②不成立C.①不成立，②成立 D.①不成立，②不成立【正確答案】B【分析】取特殊值有，①成立，取，滿足，②不成立即可得出選項(xiàng).【詳解】數(shù)列an滿足：a①不妨設(shè)，則，若存在常數(shù)，使得an>a1+n?1應(yīng)有，顯然成立，故①正確②取，顯然滿足，但對(duì)q∈R故選:B.三?解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.如圖，在三棱錐中，，.（1）證明：平面；（2）若是棱上一點(diǎn)且，求二面角的大小.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）根據(jù)題意，證得和，利用線面垂直的判定定理，即可證得平面.（2）由（1），得到，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和的一個(gè)法向量為和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.小問1詳解】證明：連接，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，則，所以，因?yàn)?，且平面，所以平?【小問2詳解】解：由題設(shè)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，由（1），可得，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，因?yàn)?，由題意易得，所以為正三角形，可得，因?yàn)?，所以，所以，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，令，則，所以，又由平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的平面角為，且為銳角，所以，可得即二面角的大小為.18.已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前2024項(xiàng)和．【正確答案】（1）（2）1012【分析】（1）由等差數(shù)列、等比數(shù)列基本量的計(jì)算求得即可；（2）得到表達(dá)式后，發(fā)現(xiàn)（），故由分組求和法即可求解.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，，即，解得，所以；【小問2詳解】由（1）可知，，對(duì)于任意，有，所以，故數(shù)列的前2024項(xiàng)和為．19.2024年4月25日，第18屆北京國際汽車展覽會(huì)在中國國際展覽中心開幕，本屆展會(huì)以“新時(shí)代新汽車”為主題，在展覽會(huì)上國內(nèi)新能源車引得了國內(nèi)外車友的關(guān)注.為了解人們的買車意向，在車展現(xiàn)場(chǎng)隨機(jī)調(diào)查了50名男觀眾和50名女觀眾，已知男觀眾中有40人偏向燃油車，女觀眾中有20人偏向燃油車，剩余被調(diào)查的觀眾則偏向新能源車.（1）根據(jù)已知條件，填寫下列列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷男觀眾和女觀眾買車意向的偏向情況是否有差異；偏向燃油車偏向新能源車男觀眾女觀眾（2）現(xiàn)按比例用分層隨機(jī)抽樣的方法從被調(diào)查的偏向燃油車的觀眾中抽取9人，再從這9人中隨機(jī)抽取4人，記表示這4人中女觀眾的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附.0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.828【正確答案】（1）列聯(lián)表見解析，有差異（2）分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)題意即可填寫列聯(lián)表，然后計(jì)算，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想判斷即可；（2）根據(jù)分層隨機(jī)抽樣可知有6名男觀眾，3名女觀眾，由此可知的可能取值，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式求解概率即可得到分布列，最后求數(shù)學(xué)期望即可.【小問1詳解】由題意可得列聯(lián)表：偏向燃油車偏向新能源車總計(jì)男觀眾401050女觀眾203050總計(jì)6040100零假設(shè)：男觀眾和女觀眾買車意向的偏向情況沒有差異，則根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，零假設(shè)不成立，所以可以認(rèn)為男觀眾和女觀眾買車意向的偏向情況有差異.【小問2詳解】因?yàn)槌槿〉?人中有名男觀眾，名女觀眾，所以的可能取值為，則，，所以的分布列為：0123則.20.已知橢圓一個(gè)焦點(diǎn)是.直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，且相交于橢圓的上頂點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的值；（3）設(shè)直線分別與橢圓另交于兩點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn).【正確答案】（1）（2）（3）證明見解析【分析】（1）由焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算即可求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)對(duì)稱點(diǎn)，利用對(duì)稱關(guān)系列方程組求的值；（3）通過聯(lián)立方程組求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，求直線的方程，根據(jù)方程確定所過定點(diǎn).【小問1詳解】因?yàn)橄嘟磺谊P(guān)于直線對(duì)稱，故的交點(diǎn)在直線上，又直線與軸相交于點(diǎn)，則橢圓的上頂點(diǎn)為0,1，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，又半焦距，得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】由（1）可得.設(shè)點(diǎn)Bx,y是上任意異于的一點(diǎn)，點(diǎn)是關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，所以由得，由得，聯(lián)立①、②，解得，代入直線得．又由點(diǎn)，在直線上可得，故，所以，由得，故的值為1；【小問3詳解】設(shè)Px1,聯(lián)立直線與橢圓：，得，所以，同理，，又由（2）：，所以也可表示為，所以直線的方程為，化簡(jiǎn)得，所以對(duì)任意的，總會(huì)過點(diǎn)