四川省攀枝花市第七高級中學2023-2024學年高三下學期第一次適應性考試（理科數(shù)學）試題

高三下第一次適應性考試（理科數(shù)學）一、單選題（每小題5分）1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求集合，再結(jié)合交集運算求解.【詳解】由題意可知：，，所以.故選：C.2.已知i為虛數(shù)單位，若復數(shù)對應的點在復平面的虛軸上，則實數(shù)（）A. B. C.6 D.【答案】D【解析】【分析】利用復數(shù)的除法運算整理一般式，可得答案.【詳解】由，結(jié)合題意，則，解得.故選：D.3.運行如圖所示的程序框圖，若輸出S的值為80，則判斷框中應填入（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)程序框圖分析求解即可.【詳解】因為，可得；；，；結(jié)束循環(huán)，故填.故選：A．4.的展開式中，常數(shù)項為（）A. B. C.70 D.72【答案】C【解析】【分析】方法一：由，利用通項公式求解；方法二：由，利用通項公式求解.【詳解】解：方法一：展開式中，第項，所以常數(shù)項為，方法二：展開式中，第項，當時，展開式中常數(shù)項為；當時，展開式中常數(shù)項為；當時，，所以的展開式中，常數(shù)項為70，故選：C．5.已知滿足約束條件，則的最小值為（）A.2 B.18 C.20 D.22【答案】B【解析】【分析】先作出不等式組表示的平面區(qū)域，再根據(jù)表示可行域內(nèi)的點與原點距離的平方，數(shù)形結(jié)合即可.【詳解】約束條件表示的可行域為如圖所示的陰影部分（包括邊界），表示可行域內(nèi)的點與原點距離的平方．由圖知，的最小值為原點到直線的距離．由點到直線的距離公式得原點到直線的距離，故的最小值為18．故選：B．6.下列說法不正確的是（）①命題“，”的否定是“,”；②“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的充分不必要條件；③命題，，命題,，則為真命題；④“函數(shù)在上是減函數(shù)”，為真命題.A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④【答案】C【解析】【分析】對于①：根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題分析判斷；對于②：根據(jù)奇函數(shù)的定義結(jié)合充要條件分析判斷；對于③：根據(jù)特稱命題結(jié)合邏輯聯(lián)結(jié)詞分析判斷；對于④：根據(jù)單調(diào)性的定義舉例分析判斷.【詳解】對于①：命題“，”的否定是“,”，故①不正確；對于②：若，則的定義域為，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，即充分性成立；若函數(shù)為奇函數(shù)，且的定義域為，可得，整理得恒成立，解得，即必要性不成立；所以“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的充分不必要條件，故②正確；對于③：因為恒成立，即命題,為假命題，所以為假命題，故③不正確；對于④：當時，當時，但，可得，所以函數(shù)在上不是減函數(shù)，故④不正確；故選：C.7.已知為直線上的動點，點滿足，記的軌跡為，則（）A.是一個半徑為的圓 B.是一條與相交的直線C.上的點到的距離均為 D.是兩條平行直線【答案】C【解析】【分析】設，由可得點坐標，由在直線上，故可將點代入坐標，即可得軌跡，結(jié)合選項即可得出正確答案.【詳解】設，由，則，由在直線上，故，化簡得，即的軌跡為為直線且與直線平行，上的點到的距離，故A、B、D錯誤，C正確.故選：C.8.等比數(shù)列的前項和為，若且，則（）A.6 B.6或14 C.6或14 D.2或6或14【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件及等比數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則當時，則，所以；當時，若，則，所以，，即，又因為所以，解得，所以所以或14，綜上：或6或14，故選：D.9.已知橢圓()，，分別為橢圓的左右焦點，直線與橢圓交于A、B兩點，若、A、、B四點共圓，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)四點共圓及的傾斜角得到為等邊三角形，故，進而求出，利用橢圓定義得到方程，求出離心率.【詳解】因為、A、、B四點共圓，為圓心，所以，故，又的傾斜角為，故為等邊三角形，故，由勾股定理得，由橢圓定義可得，即，解得.故選：C10.若點是函數(shù)圖象上任意一點，直線為點處的切線，則直線傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率的范圍即可得解.【詳解】函數(shù)中，，即，設點，求導得，由，得，即，因此函數(shù)的圖象在點處的切線斜率，顯然直線的傾斜角為鈍角，所以直線的傾斜角的取值范圍是.故選：C11.已知，直線：與：的交點在圓：上，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩條直線的位置關(guān)系和所過的定點，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系進行求解即可.【詳解】，所以直線恒過點，，所以直線恒過點，由兩條直線的方程可以判斷直線與直線互相垂直，因此點在以為直徑的圓上，線段中點為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，由已知條件可知點在圓：上，所以圓與圓相交或相切，，因此有，解得：，所以則的最大值是，故選：A【點睛】關(guān)鍵點睛：通過直線方程判斷交點的位置，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系進行求解是解題的關(guān)鍵.12.已知正方體的內(nèi)切球半徑為1，、平面，若，，現(xiàn)在有以下四個命題：：點的軌跡是一個圓：點的軌跡是一個圓：三棱錐的體積為定值：則下述結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如圖建立以為原點的空間直角坐標系，設.由，，可確定E，F(xiàn)坐標，即可判斷p，q命題正誤；對于，注意到F到平面距離為定值，即可判斷命題正誤；對于，由圓外一直線到圓上點最短距離相關(guān)知識可判斷命題s否正確.后可判斷出正確結(jié)論.【詳解】如圖建立以為原點的空間直角坐標系，因正方體的內(nèi)切球半徑為1，則正方體棱長為2.則，設.對于p，，則點的軌跡是一個以為圓心，半徑為1的圓，故正確；對于q，由，則，又，，則，即F在直線上，故點的軌跡是一條直線，故q錯誤；對于r，注意到，面，面，則面，又F在直線上，則點到平面距離為定值，則為定值，故r正確；對于s，由以上分析可知，即為圓外一直線到圓上點距離，當圓心，圓上一點，直線上點三點共線,且圓上一點，直線上點在圓心同側(cè)時距離最小.由題可得，直線到圓心距離為，又圓半徑為1，故最短距離為，即，故s正確.則正確，錯誤，又錯誤，則，錯誤.故選：C二、填空題（每小題5分）13.已知兩條直線若直線與直線平行，則實數(shù)_____．【答案】【解析】【詳解】試題分析：由直線方程分析可知斜率必存在,由直線與直線平行可得.則有,解得.考點：兩直線平行.14.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式求解即得.【詳解】在中，由及正弦定理，得，則，整理得，而，因此，又，所以.故答案為：15.拋物線的焦點為，點在拋物線上，且的延長線交軸于．若為線段的中點，則____________．【答案】【解析】【分析】設，先根據(jù)定義得出，再應用中點結(jié)合圖形特征計算即可.【詳解】如圖，過點作軸于點，交拋物線的準線于點，由題意得，設，由拋物線定義可知，，因為為線段的中點，所以，所以，將其代入可得：，解得.故答案為：.16.如圖，函數(shù)的圖象為折線，函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，滿足，且當x∈0,2時，，給出下列四個結(jié)論：①；②函數(shù)在內(nèi)有且僅有3個零點；③；④不等式的解集.其中正確結(jié)論的序號是_____________.【答案】①③④【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可判斷①，根據(jù)題意推出函數(shù)為周期函數(shù)，根據(jù)周期結(jié)合在上的圖象可得函數(shù)的零點判斷②，根據(jù)周期及奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合在上的圖象判斷③，利用數(shù)形結(jié)合求出不等式的解集判斷④.【詳解】因為函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，所以，故，即，故①正確；又，所以，所以，即，所以函數(shù)周期為，由圖象可知，所以，由周期知，故函數(shù)在內(nèi)有共5個零點，故②錯誤；因為，，，由圖象可知，，，又，所以，故③正確；由圖象，利用待定系數(shù)法可知，在同一坐標系下，作出，的圖象如下，由圖易知，，所以結(jié)合圖象知不等式的解集，故④正確.故答案為：①③④三、解答題17.設函數(shù).（1）若函數(shù)的圖象在點處的切線為直線，且直線與圓相切，求的值；（2）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）；（2）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【解析】【分析】（1）先利用導數(shù)求出直線的方程，由直線與圓相切轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離等于圓的半徑，從而列方程解的值；（2）求函數(shù)的定義域，并求導，求出極值點，結(jié)合導數(shù)的正負得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【詳解】（1）依題意有，，則，，因此，直線的方程為，即，又已知圓的圓心坐標為，半徑為，依題意可得，解得；（2）由題意可知，函數(shù)的定義域為，且.且，解不等式，得；解不等式，得.因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.18.已知數(shù)列滿足，（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列;（2）求數(shù)列的通項公式與最大值.【答案】（1）證明見解析（2），最大值是【解析】【分析】（1）計算，根據(jù)等差數(shù)列的概念即得結(jié)論；（2）由（1）可得，再研究其單調(diào)性，計算可得結(jié)論．【小問1詳解】因為，所以數(shù)列是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列.【小問2詳解】由（1）可得，即當時，由反比例函數(shù)的性質(zhì)知單調(diào)遞減，所以，又，，，所以數(shù)列的最大值是19.如圖，在四棱錐中，底面四邊形為直角梯形，，，，為中點，，.（1）證明:平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，可通過證明，，得平面；（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，求出平面的法向量和平面的法向量，通過向量的夾角公式可得答案.【小問1詳解】證明：連接，，則，在中，因為，則，因為，，所以，，所以，則，又，、平面，所以平面【小問2詳解】解：因為，為的中點，則，又平面，以為原點，以、、方向為、、軸正方向建立空間直角坐標系，則O0,0,0、、、、P0,0,1，所以，，，，，，，，設平面法向量為m=x1,y1,z設平面法向量為n=x2,y2,z設平面與平面所成銳二面角的平面角為，所以．20.某學校為了學習、貫徹黨的二十大精神，組織了“二十大精神”知識比賽，甲、乙兩位教師進行答題比賽，每局只有1道題目，比賽時甲、乙同時回答這一個問題，若一人答對且另一人答錯，則答對者獲得10分，答錯者得分；若兩人都答對或都答錯，則兩人均得0分．根據(jù)以往答題經(jīng)驗，每道題甲、乙答對的概率分別為，且甲、乙答對與否互不影響，每次答題的結(jié)果也互不影響．（1）求在一局比賽中，甲的得分的分布列與數(shù)學期望；（2）設這次比賽共有3局，若比賽結(jié)束時，累計得分為正者最終獲勝，求乙最終獲勝概率．【答案】（1）分布列見解析，（2）【解析】【分析】（1）由題意知，取值可能為，分別求出對應的概率，寫出分布列，再由數(shù)學期望公式即可.（2）由獨立事件乘法公式及互斥事件的概率即可求出結(jié)果.【小問1詳解】取值可能為，；；，所以的分布列為010．【小問2詳解】由（1）可知在一局比賽中，乙獲得10分的概率為，乙獲得0分的概率為，乙獲得分的概率為．在3局比賽中，乙獲得30分的概率為；在3局比賽中，乙獲得20分的概率為；在3局比賽中，乙獲得10分的概率為，所以乙最終獲勝的概率為．21.已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，右焦點到漸近線的距離為1．（1）求雙曲線的方程；（2）設動直線與相切于點A，且與直線相交于點，點為平面內(nèi)一點，直線的傾斜角分別為．證明：存在定點，使得．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由漸近線傾斜角結(jié)合右焦點到漸近線的距離可得，即可得方程；（2）將與雙曲線方程，聯(lián)立，可得A，B坐標，后由對稱性可得點必在軸上，設，后由可證明結(jié)論【小問1詳解】雙曲線的漸近線方程為，右焦點Fc,0到漸近線的距離為，故，又且，解得：故雙曲線的方程是．【小問2詳解】由，得．動直線與雙曲線有且只有一個公共點Ax0,y所以，化簡得．（*）此時，由，得．假設平面內(nèi)存在定點滿足條件，由圖形對稱性知，點必在軸上．設，要使，則，則對滿足（*）式的恒成立．，由，得，整理得．（**）由于（**）式對滿足（*）式的恒成立，.故存在定點，使得.【點睛】關(guān)鍵點睛：對于圓錐曲線中的定點問題，有時可通過對稱性確定定點位置，從而簡化計算流程.此外，向量與韋達定理也是經(jīng)常使用的工具.22.在平面直角坐標系中，曲線，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．（1）求曲線的極坐標方程；（2）在極坐標系中，射線與曲線分別交于兩點（異于極點），求．【答案】（1）曲線的極坐標方程，曲線的極坐標方程為（2）【解析】【分析】（1）利用普通方程和極坐標方程之間的轉(zhuǎn)化公式即可；（2）利用極坐標方程的幾何意義即可.【小問1詳解】因為曲線，，所以曲線的極坐標方程，因為曲線