高二數(shù)學(xué)講義（人教A版2019）331拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（五大題型）

3．3．1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 2【知識(shí)點(diǎn)梳理】 2【典型例題】 4題型一：拋物線的定義 4題型二：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 6題型三：軌跡方程—拋物線 7題型四：拋物線距離和與差的最值問(wèn)題 10題型五：拋物線的實(shí)際應(yīng)用 14

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、拋物線的定義定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）上述定義可歸納為“一動(dòng)三定”，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，一定直線；一個(gè)定值（2）定義中的隱含條件：焦點(diǎn)不在準(zhǔn)線上，若在上，拋物線變?yōu)檫^(guò)且垂直與的一條直線．（3）拋物線定義建立了拋物線上的點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線三者之間的距離關(guān)系，在解題時(shí)常與拋物線的定義聯(lián)系起來(lái)，將拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離互化，通過(guò)這種轉(zhuǎn)化使問(wèn)題簡(jiǎn)單化．知識(shí)點(diǎn)二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)如圖，以過(guò)F且垂直于的直線為x軸，垂足為K．以F，K的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．設(shè)（），那么焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線l的方程為．設(shè)點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到l的距離為d．由拋物線的定義，拋物線就是集合，將上式兩邊平方并化簡(jiǎn)，得．①方程①叫拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，坐標(biāo)是它的準(zhǔn)線方程是．拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式：根據(jù)拋物線焦點(diǎn)所在半軸的不同可得拋物線方程的的四種形式，，，．知識(shí)點(diǎn)詮釋：①只有當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸時(shí)，才能得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；②拋物線的焦點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上，且開(kāi)口方向與一次項(xiàng)的系數(shù)的正負(fù)一致，比如拋物線的一次項(xiàng)為，故其焦點(diǎn)在軸上，且開(kāi)口向負(fù)方向（向下）③拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)的系數(shù)是焦點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的4倍，比如拋物線的一次項(xiàng)的系數(shù)為，故其焦點(diǎn)坐標(biāo)是．一般情況歸納：方程圖象的開(kāi)口方向焦點(diǎn)準(zhǔn)線時(shí)開(kāi)口向右時(shí)開(kāi)口向左時(shí)開(kāi)口向上時(shí)開(kāi)口向下④從方程形式看，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程僅需確定一次項(xiàng)系數(shù)．用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，首先根據(jù)已知條件確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型（一般需結(jié)合圖形依據(jù)焦點(diǎn)的位置或開(kāi)口方向定型），然后求一次項(xiàng)的系數(shù)，否則，應(yīng)展開(kāi)相應(yīng)的討論．⑤在求拋物線方程時(shí)，由于標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，易混淆，可先根據(jù)題目的條件作出草圖，確定方程的形式，再求參數(shù)，若不能確定是哪一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)寫出四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程來(lái)，不要遺漏某一種情況．【典型例題】題型一：拋物線的定義【典例11】（2024·高二·青海·期末）已知F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，且，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為（

）A．6 B．5 C．4 D．【答案】C【解析】由題意及拋物線定義，點(diǎn)M到C的準(zhǔn)線的距離為6，所以點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為.故選：C．【典例12】（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）動(dòng)點(diǎn)滿足方程，則點(diǎn)的軌跡是（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【解析】由得，等式左邊表示點(diǎn)和點(diǎn)的距離，等式的右邊表示點(diǎn)到直線的距離，整個(gè)等式表示的意義是點(diǎn)到點(diǎn)的距離和到直線的距離相等，且點(diǎn)不在直線上，所以其軌跡為拋物線.故選：D.【變式11】（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）方程所表示的曲線為（

）A．拋物線 B．橢圓 C．雙曲線 D．直線【答案】A【解析】化簡(jiǎn)得，即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，且點(diǎn)不在直線上，故方程表示的曲線為拋物線．故選：A.【變式12】（2024·高二·上?！卧獪y(cè)試）設(shè)是直線l的法向量，A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，，，P為一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P滿足：，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（

）．A．直線 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線【答案】B【解析】表示點(diǎn)P到直線l的距離，表示點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離，由，得動(dòng)點(diǎn)P到直線l的距離等于到點(diǎn)B的距離，且點(diǎn)B不在直線l上，故點(diǎn)P的軌跡為拋物線，故選：B【變式13】（2024·高三·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）已知點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，若到拋物線焦點(diǎn)的距離為5，且到軸的距離為4，則（

）A．1或2 B．2或4 C．2或8 D．4或8【答案】C【解析】由題意得，，其中，故，解得或8，故選：C【變式14】（2024·高二·陜西寶雞·期末）拋物線上與焦點(diǎn)的距離等于7的點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（

）A．6 B． C． D．3【答案】C【解析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)到的距離等于7，則，解得.故選：C.題型二：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【典例21】（2024·高二·山東青島·期末）已知拋物線的準(zhǔn)線與圓相切，請(qǐng)寫出一個(gè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】（任意一個(gè)均可以）【解析】與圓相切且與坐標(biāo)軸平行或垂直的直線有，對(duì)應(yīng)的拋物線方程有：故答案為：（任意一個(gè)均可以）【典例22】（2024·高二·上?！て谥校╉旤c(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸，且經(jīng)過(guò)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【解析】由題意，可設(shè)拋物線方程為，又拋物線經(jīng)過(guò)，所以，解得，所以所求拋物線方程為，故答案為：【變式21】（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為為拋物線上一點(diǎn)，若到軸的距離為5，且，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【解析】由拋物線，可得準(zhǔn)線方程為，因?yàn)?，根?jù)拋物線定義可知點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，又因?yàn)榈捷S的距離為5，可得，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：．【變式22】（2024·高三·江西南昌·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于其準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【解析】根據(jù)題意可知拋物線的焦點(diǎn)在軸的正半軸上，不妨設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可知焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，由焦點(diǎn)關(guān)于其準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為可知，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：【變式23】（2024·高三·北京·期中）已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，從以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)條件，使得拋物線開(kāi)口向右，并根據(jù)所選條件寫出一個(gè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.①焦點(diǎn)；②經(jīng)過(guò)點(diǎn).你所選的條件是，得到的一個(gè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是.【答案】②【解析】頂點(diǎn)在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，開(kāi)口向右的拋物線焦點(diǎn)在軸的正半軸上，因此條件①不可選，選擇條件②，設(shè)拋物線方程為，由拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得，解得，所以所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是.故答案為：②；【變式24】（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【解析】由橢圓的方程可得，所以橢圓的右焦點(diǎn)為2,0，所以，即，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：.題型三：軌跡方程—拋物線【典例31】（2024·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，以線段為直徑的圓與軸相切．動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.【答案】【解析】設(shè)，可得以線段為直徑的圓的圓心為，半徑為，由以線段為直徑的圓與軸相切，可得，整理得．故答案為：．【典例32】（2024·高三·福建寧德·期末）已知圓：與定直線：，動(dòng)圓與圓外切且與直線相切，記動(dòng)圓的圓心的軌跡為曲線，則曲線的方程為.【答案】【解析】設(shè)，動(dòng)圓與圓外切且與直線相切，則有，化簡(jiǎn)得.故曲線的方程為.故答案為：【變式31】（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知點(diǎn)，在軸上，且，則外心的軌跡的方程；【答案】【解析】設(shè)外心為，且，，，由點(diǎn)在的垂直平分線上知由，得故即點(diǎn)G的軌跡S為：，故答案為：.【變式32】（2024·高二·遼寧沈陽(yáng)·期中）已知點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到軸的距離大，則，點(diǎn)的軌跡點(diǎn)的方程為．【答案】或【解析】依題意，得，即①，則，兩邊平方得，則②，兩邊平方得，整理得，即，可得或．當(dāng)時(shí)，②轉(zhuǎn)化為，所以，此時(shí)①轉(zhuǎn)化為，所以，所以點(diǎn)的軌跡的方程為或．故答案為:或．【變式33】（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）寫出一個(gè)與直線相切，且與圓外切的圓的方程.【答案】（答案不唯一，只需滿足即可）【解析】如下圖所示：設(shè)所求圓的圓心為，圓的圓心為，半徑為，設(shè)圓的半徑為，則，且圓心到直線的距離為，所以，點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，所以，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)點(diǎn)的軌跡方程為，則，可得，所以，圓心的軌跡方程為，則，所以，圓心的坐標(biāo)可表示為，則圓的半徑為，所以，圓的方程為，故滿足條件的一個(gè)圓的方程為.故答案為：（只需滿足即可）.題型四：拋物線距離和與差的最值問(wèn)題【典例41】（2024·高三·甘肅白銀·階段練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)在拋物線上，，則該動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到軸的距離之和的最小值為.【答案】/【解析】由拋物線的方程為知，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由拋物線定義知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與到軸的距離之和可化為，當(dāng)三點(diǎn)共線，且在線段上時(shí)，有最小值，最小值為.故答案為：【典例42】（2024·高三·湖南·開(kāi)學(xué)考試）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)恰為的中點(diǎn)，則.【答案】14【解析】由題意可得，設(shè)Ax1,過(guò)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，根據(jù)拋物線的定義，得，故，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以，可得，所以.故答案為：.【變式41】（2024·高二·上?！ふn后作業(yè)）已知拋物線，的焦點(diǎn)為F，P點(diǎn)在拋物線上，Q點(diǎn)在圓C：上，則的最小值為.【答案】8【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，則，當(dāng)垂直于拋物線的準(zhǔn)線時(shí)，最小，此時(shí)線段與圓的交點(diǎn)為，因?yàn)闇?zhǔn)線方程為，，半徑為，所以的最小值為.故答案為：8.【變式42】（2024·重慶九龍坡·三模）古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，若點(diǎn)是滿足的阿氏圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在直線上的射影為，則的最小值為.【答案】【解析】設(shè)Px,y則，化簡(jiǎn)整理得，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心為半徑的圓，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，則，當(dāng)且僅當(dāng)（兩點(diǎn)在兩點(diǎn)中間）四點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：.【變式43】（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測(cè)）拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值是．【答案】4【解析】根據(jù)拋物線方程，可得，準(zhǔn)線方程為，作準(zhǔn)線l，M為垂足，又知，由拋物線的定義可得，故當(dāng)P，A，M三點(diǎn)共線時(shí)，取最大值，最大值為．故答案為：4.【變式44】（2024·陜西渭南·二模）若點(diǎn)A在焦點(diǎn)為F的拋物線上，且，點(diǎn)P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【解析】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，設(shè)，則，解得，顯然，不妨設(shè)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則因此，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：【變式45】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線方程為，點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，則的最小值為.【答案】3【解析】由題知點(diǎn)為焦點(diǎn)，由拋物線定義知就是點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，如圖，設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線的射影為D，則，此時(shí)三點(diǎn)共線，即當(dāng)點(diǎn)縱坐標(biāo)為時(shí)，的值最小，最小值為.故答案為：3【變式46】（2024·廣東梅州·一模）已知點(diǎn)P，Q分別是拋物線和圓上的動(dòng)點(diǎn)，若拋物線的焦點(diǎn)為，則的最小值為【答案】【解析】由拋物線，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1,0，又由圓，可化為，可得圓心坐標(biāo)為，半徑，設(shè)定點(diǎn)，滿足成立，且，即恒成立，其中，代入兩邊平方可得：，解得：，，所以定點(diǎn)滿足恒成立，可得，如圖所示，當(dāng)且僅當(dāng)在一條直線上時(shí)，此時(shí)取得最小值，即，設(shè)Px,y，滿足，所以，，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值為.故答案為：題型五：拋物線的實(shí)際應(yīng)用【典例51】（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖①，上海黃浦江上的盧浦大橋，整體呈優(yōu)美的弧形對(duì)稱結(jié)構(gòu).如圖②，將盧浦大橋的主拱看作拋物線，江面和橋面看作水平的直線，主拱的頂端P到江面的距離為100m，且，則頂端到橋面的距離為（

）

A．50m B． C．55m D．【答案】A【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖平面直角坐標(biāo)系，依題意可知，設(shè)拋物線方程為，其中為點(diǎn)到橋面的距離，則,解得．故選：A【典例52】（2024·高一·江蘇·期中）如圖①，“東方之門”通過(guò)簡(jiǎn)單的幾何曲線處理，將傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代建筑融為一體，最大程度地傳承了蘇州的歷史文化．如圖②，“門”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線形，已知其底部寬度為80米，高度為200米．則離地面150米處的水平寬度（即CD的長(zhǎng)）為（

）

A．40米 B．30米 C．25米 D．20米【答案】A【解析】以底部所在的直線為x軸，以線段CD的垂直平分線所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系：

∴A(-40,0)，B(40,0)，E設(shè)拋物線的解析式為，將E0,200代入，得：200=a(0+40)(0-40)，解得：，∴拋物線的解析式為，將代入得：，解得：，∴C（20，150），D(20,150)，∴CD=40m故選：A【變式51】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某社會(huì)實(shí)踐小組在調(diào)研時(shí)發(fā)現(xiàn)一座石造單孔橋（如圖），該橋拋物線拱形部分的橋面跨度為21.6m，拱頂距水面10.9m，路面厚度約1m．若小組計(jì)劃用繩子從橋面石欄放下攝像機(jī)取景，使其落在拋物線的焦點(diǎn)處，則繩子最合適的長(zhǎng)度是（

）

A．3m B．4m C．5m D．6m【答案】B【解析】以拱形部分的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平線為x軸，垂直于軸，且方向向上，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)拋物線的方程為．易知拋物線過(guò)點(diǎn)，則，得，所以，所以．故選：B．【變式52】（2024·山西晉城·一模）吉林霧淞大橋，位于