高中數(shù)學(xué)同步講義（人教B版2019必修四）第19講 11.1.3多面體與棱柱

④平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱．（3）特殊情況①直平行六面體：側(cè)棱與底面垂直的平行六面體.②長方體：底面是矩形的直平行六面體.③正方體：棱長都相等的長方體題型1多面體的概念及辨析【方法總結(jié)】1多面體由平面多邊形圍成，這里的多邊形包括它內(nèi)部的平面部分;2多面體至少有4個面;3各個面是相同的正多邊形的多面體叫做正多面體，正多面體有如下五種——【例題1】正多面體按其面數(shù)分有___________種【答案】5【分析】由正多面體的概念判斷．【詳解】正多面體有正四面體，正方體（正六面體），正八面體，正十二面體，正二十面體共5種，故答案為：5.【變式1-1】1．（2022·高二課時練習(xí)）一個多面體至少有______個面．【答案】4【分析】根據(jù)多面體的定義及三維結(jié)構(gòu)，即知最少的面數(shù).【詳解】多面體定義：若干平面圍成的幾何體，且最少為四面體，所以一個多面體至少有4個面.故答案為：4【變式1-1】2．（2022秋·上海浦東新·）下列幾何體中，多面體是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】判斷各選項中幾何體的形狀，從而可得出多面體的選項.【詳解】A選項中的幾何體是球，是旋轉(zhuǎn)體；B選項中的幾何體是三棱柱，是多面體；C選項中的幾何體是圓柱，旋轉(zhuǎn)體；D選項中的幾何體是圓錐，是旋轉(zhuǎn)體.故選B.【點睛】本題考查多面體的判斷，要熟悉多面體與旋轉(zhuǎn)體的基本概念，考查對簡單幾何體概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.【變式1-1】3．（2021·高二課時練習(xí)）用符號表示出圖中所示多面體的所有頂點、棱、面.【答案】詳見解析【解析】點用大寫字母表示，棱用線段的兩個端點，面用三角形的三個頂點表示.【詳解】頂點為A，B，C，D；棱為AB，AD，AC，BC，CD，DB；面為面ACD，面ADB，面ABC，面BCD.【點睛】本題考查立體幾何初步中，圖形語言和符號語言的互譯，屬于基礎(chǔ)題.題型2多面體的性質(zhì)探究【方法總結(jié)】（1）如圖所示的多面體中，多面體的面有∶面ABC，面ACD，面BCD，面ABD，一共4個（故此多面體又叫四面體）;（2）多面體的棱有∶棱AB，棱AC，棱AD，棱BC，棱BD，棱CD，一共6條棱;（3）多面體的頂點有∶A，B，C，D，共4個.【例題2】（2019春·重慶永川·高二期末）下列命題①多面體的面數(shù)最少為4；②正多面體只有5種；③凸多面體是簡單多面體；④一個幾何體的表面，經(jīng)過連續(xù)變形為球面的多面體就叫簡單多面體．其中正確的個數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)多面體的定義判斷．【詳解】正多面體只有正四、六、八、十二、二十，所以①②正確．表面經(jīng)過連續(xù)變形為球面的多面體就叫簡單多面體．棱柱、棱錐、正多面體等一切凸多面體都是簡單多面體．所以③④正確．故：①②③④都正確【點睛】根據(jù)多面體的定義判斷．【變式2-1】1．（2022·高二課時練習(xí)）如圖，多面體的頂點數(shù)是______、棱數(shù)是______、面數(shù)是______．【答案】

7

12

7【分析】根據(jù)多面體中頂點、棱、面的定義即可得解.【詳解】解:頂點共有7個，棱共有12條，一共有7個面.故答案為：7,12,7【變式2-1】2．（2021·高二課時練習(xí)）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1【答案】

7

11【分析】由題意正方體被兩平面截去兩三棱錐得到的幾何體，由圖可得.【詳解】正方體ABCD?A1B1C1D1故答案為：7；11.【變式2-1】3．（2021·全國·模擬預(yù)測）任意一個多面體，例如正六面體，假定它的面是用橡膠薄膜做成的，如果充以氣體那么它就會連續(xù)(不破裂)變形，最后可變?yōu)橐粋€球面.像這樣，表面連續(xù)變形，可變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w稱為簡單多面體.多面體歐拉定理是指對于簡單多面體，其各維對象數(shù)總滿足一定的數(shù)量關(guān)系，在三維空間中，多面體歐拉定理可表示為：頂點數(shù)+面數(shù)?棱數(shù)=2.正多面體的每個面都是正n邊形，頂點數(shù)是V，棱數(shù)為E，面數(shù)是F，每個頂點連的棱數(shù)是m，則下面對于正多面體的描述正確的是___________.①在正十二面體中，滿足等式：V+②在正多面體中，滿足等式：mF=2③在三維空間中，正多面體有且僅有4種；④以正六面體各面中心為頂點作一個正八面體，正六面體與正八面體的體積之比為6:3⑤以正六面體各面中心為頂點作一個正八面體，正六面體與正八面體的表面積之比為6:3【答案】①⑤【分析】①由歐拉定理判斷；②舉反例判斷；③利用列舉法判斷；④⑤在正方體中求解判斷；【詳解】①由歐拉定理：頂點數(shù)+面數(shù)-棱數(shù)=2得V+不妨舉反例，在正六面體(正方體)中，V=8，F(xiàn)=6，E=12，n=4，m=3，則mF在三維空間中，正多面體有且僅有5種分別為正四面體?正六面體?正八面體?正十二面體?正二十面體，如圖所示，所以③錯誤.④⑤如圖所示：不妨設(shè)正六面體(正方體)的棱長為2，正八面體可以看成為兩個全等正四棱錐的組合體，則正四棱錐的高為1，棱長為2，所以正六面體的體積為2×2×2=8，正八面體的體積為2×1所以正六面體與正八面體的體積之比為6:1.正方體的表面積為6×2×2=24，正八面體的表面積為8×3所以正六面體與正八面體的表面積之比為6:3故答案為：①⑤.【變式2-1】4．（多選）（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，我們常見的足球是由若干個正五邊形和正六邊形皮革縫合而成.如果我們把足球抽象成一個多面體，它有60個頂點，每個頂點發(fā)出的棱有3條，設(shè)其頂點數(shù)V，面數(shù)F與棱數(shù)E，滿足V+A．共有20個六邊形B．共有10個五邊形C．共有90條棱D．共有32個面【答案】ACD【分析】分別設(shè)出正五邊形和正六邊形的個數(shù)，利用關(guān)系式即可解出正五邊形和正六邊形的數(shù)量，以及棱數(shù)和面數(shù).【詳解】解：由題意，設(shè)共有m個正五邊形，n個正六邊形，5解得：m=12.B錯誤.∵頂點數(shù)：V=5面數(shù)：F=m+C正確.故選：ACD.題型3棱柱的判斷【方法總結(jié)】有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的多面體不一定是棱柱，如圖.棱柱還需要滿足各側(cè)棱互相平行且相等.【例題3-1】（2022·高一課時練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．底面是矩形的四棱柱是長方體B．有兩個面平行，其余四個面都是平行四邊形的幾何體叫平行六面體C．棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形D．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱【答案】C【分析】對于A:考慮斜棱柱的情況即可否定；對于B:考慮任意四棱柱的例子可以否定；根據(jù)棱柱的性質(zhì)可知C正確；構(gòu)造反例，可以排除D.【詳解】底面是矩形的四棱柱有可能是斜棱柱，不一定是長方體，故A錯誤；一般的四棱柱上下兩個底面平行，其余各面都是平行四邊形，但上下底面不一定是平行四邊形，故四棱柱不一定是平行六面體，故B錯誤；根據(jù)棱柱的性質(zhì)可知C正確；如圖所示的幾何體，有兩個面平行，其余各面都是四邊形，但不是棱柱，故D錯誤.故選：C.【變式3-1】1．（2023·高一課前預(yù)習(xí)）滿足下列條件的棱柱中，一定是直棱柱的是（

）A．底面是矩形 B．有一個側(cè)面與底面垂直C．有一個側(cè)面是矩形 D．相鄰兩個側(cè)面是矩形【答案】D【分析】側(cè)棱與底面垂直棱柱才是直棱柱，A、B、C都不能確定是直棱柱.【詳解】如圖所示是一個斜四棱柱：因為底面ABCD是矩形，故A錯誤；因為側(cè)面ABB1A側(cè)面ADD當(dāng)相鄰兩個側(cè)面是矩形時，則這兩個側(cè)面的交線與底面垂直，即得到側(cè)棱與底面垂直，則該棱柱一定是直棱柱，故D正確.故選：A.【變式3-1】2．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）下列命題：①有兩個面平行，其他各面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱；②有兩側(cè)面與底面垂直的棱柱是直棱柱；③過斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形不可能是矩形；④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．其中正確命題的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】①②③④均可舉出反例.【詳解】①如圖1，滿足有兩個面平行，其他各面都是平行四邊形，顯然不是棱柱，故①錯誤；②如圖2，滿足兩側(cè)面ABB③如圖3，四邊形ACC即過斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形可能是矩形，③錯誤；④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因為兩底面不一定是正方形，④錯誤．故選：A【變式3-1】3．（2022秋·山東濰坊·高二昌邑市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）下列命題不正確的是（

）A．正方體一定是正四棱柱B．底面是正多邊形的棱柱是正棱柱C．有相鄰兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱D．平行六面體的六個面均為平行四邊形【答案】B【分析】根據(jù)正四棱柱、正棱柱、直棱柱、平行六面體的概念和結(jié)構(gòu)特征對選項逐一判斷，即可得答案.【詳解】對于A，上、下底面都是正方形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱，所以正方體是正四棱柱，故A正確；對于B，底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱，底面是正多邊形但側(cè)棱與底面不垂直的棱柱不是正棱柱，故B錯誤；對于C，有兩個相鄰的側(cè)面是矩形，說明公共側(cè)棱與底面兩條相交直線垂直，則側(cè)棱與底面垂直，而側(cè)棱與底面垂直的棱柱為直棱柱，所以有相鄰兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱，故C正確；對于D，底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體，而棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，故D正確．故選：B【變式3-1】4．(多選)（2022春·新疆喀什·高一新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)?？计谥校┫铝嘘P(guān)于棱柱的說法正確的是(

)A．所有的棱柱兩個底面都平行B．所有的棱柱一定有兩個面互相平行，其余各面每相鄰兩個面的公共邊互相平行C．棱柱至少有五個面D．有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體一定是棱柱【答案】ABC【分析】根據(jù)棱柱的定義即可逐項判斷求解．【詳解】根據(jù)棱柱的定義可知棱柱的兩個底面平行且全等，故A正確；根據(jù)棱柱的定義可知棱柱的兩個底面平行且全等，側(cè)棱均平行，故B正確；棱柱底面至少為三角形，故棱柱至少有2個底面+3個側(cè)面=5個面，故C正確；如圖所示，該幾何體滿足有兩個面互相平行且其余各面都是四邊形，但該幾何體不是棱柱，故D錯誤．故選：ABC．【變式3-1】5．（多選）（2022秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高二呼市二中校考期中）一個棱柱是正四棱柱的條件是（）A．底面是正方形，有兩個側(cè)面是矩形B．底面是正方形，有兩個側(cè)面垂直于底面C．底面是菱形的直四棱柱，且對角線長度相等D．底面是正方形，每個側(cè)面是全等矩形的四棱柱【答案】CD【分析】根據(jù)正四棱柱的概念以及結(jié)構(gòu)特征一一判斷各選項，即可判斷出答案.【詳解】對于A，底面是正方形，有兩個側(cè)面是矩形的棱柱，當(dāng)這兩個側(cè)面是相對的側(cè)面，并且和底面不垂直時，棱柱是斜棱柱，不能保證是正四棱柱；對于B，底面是正方形，有兩個側(cè)面垂直于底面的棱柱，當(dāng)這兩個側(cè)面是相對的側(cè)面，另外兩個相對的側(cè)面可能和底面不垂直，此時棱柱是斜棱柱，不能保證是正四棱柱；對于C,底面是菱形，且對角線長度相等,則底面是正方形，又因為是直棱柱，故能保證棱柱是正四棱柱；對于D,每個側(cè)面是全等矩形的四棱柱，則相鄰兩個側(cè)面的交線即側(cè)棱垂直于底面，即棱柱為直棱柱，又底面為正方形，故能保證是正四棱柱，故選：CD【例題3-2】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）以下各幾何體中，是棱柱的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定的條件，利用棱柱的定義直接判斷作答.【詳解】對于A，幾何體是三棱錐，不是棱柱，A不是；對于B，幾何體有兩個平面平行，其余各面都是梯形，不是棱柱，B不是；對于C，幾何體有兩個平面平行，其余各面都是梯形，不是棱柱，C不是；對于D，幾何體有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，是棱柱，D是.故選：D【變式3-2】1．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）觀察下面的幾何體，哪些是棱柱？（

）A．①③⑤ B．①②③⑤ C．①③⑥ D．③④⑥【答案】A【分析】直接利用棱柱的定義判斷即可．【詳解】由棱柱的定義可知：①③⑤滿足棱柱的定義．故選:A.【變式3-2】2．（2022·高二課時練習(xí)）如圖，將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后傾斜一個小角度，則傾斜后水槽中的水形成的幾何體是___________.【答案】棱柱【分析】運用圖形判斷，結(jié)合棱柱的概念．【詳解】如圖，將裝有水的長方體水槽固定底面CD一邊后傾斜一個小角度由長方體的前后兩個面平行，所以有水的部分始終有兩個面平行，其余各面為平行四邊形.據(jù)圖可判斷為：傾斜后水槽中的水形成的幾何體為棱柱故答案為：棱柱．【變式3-2】3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，長方體ABCD－A1B1C1D1，M，N分別為棱A1B1，C1D1的中點.(1)這個長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？(2)用平面BCNM把這個長方體分成兩部分，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號表示；如果不是，請說明理由.【答案】(1)答案見解析(2)是；三棱柱BB1M－CC1N；四棱柱ABMA1－DCND1【分析】根據(jù)棱柱的定義及結(jié)構(gòu)特征可解答.【詳解】（1）該長方體是棱柱，并且是四棱柱，因為以長方體相對的兩個面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四條側(cè)棱互相平行，符合棱柱的定義．（2）各部分形成的幾何體還是棱柱，截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1.題型4棱柱的結(jié)構(gòu)特征和分類【方法總結(jié)】棱柱特征：兩底面互相平行且全等;各側(cè)面都是平行四邊形;各側(cè)棱互相平行且相等.【例題4-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）“棱柱有相鄰兩個側(cè)面是矩形”是“該棱柱為直棱柱”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要 D．既非充分又非必要條件【答案】C【分析】利用棱柱的結(jié)構(gòu)特征和充分，必要條件的定義進行求解【詳解】若棱柱有相鄰兩個側(cè)面是矩形，則兩側(cè)面的交線必定垂直于底面，所以該棱柱為直棱柱，滿足充分性；若棱柱為直棱柱，則棱柱有相鄰兩個側(cè)面是矩形，滿足必要性；故“棱柱有相鄰兩個側(cè)面是矩形”是“該棱柱為直棱柱”的充要條件，故選:C.【變式4-1】1.下列命題正確的是（）A．棱柱的每個面都是平行四邊形 B．一個棱柱至少有五個面C．棱柱有且只有兩個面互相平行 D．棱柱的側(cè)面都是矩形【答案】B【解析】對于A，棱柱的上下底面可以是三角形或者是梯形，故A不正確；對于B，面最少的就是三棱柱，共有五個面，B正確；對于C，長方體是棱柱，但是上下、左右、前后都是互相平行的，C不正確；對于D，斜棱柱的側(cè)面可以不是矩形，D錯誤.【變式4-1】2.下列關(guān)于四棱柱的說法：①四條側(cè)棱互相平行且相等；②兩對相對的側(cè)面互相平行；③側(cè)棱必與底面垂直；④側(cè)面垂直于底面.其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】由題意，根據(jù)棱柱的定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱叫做直四棱柱，由四棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都平行且相等，①正確；②兩對相對的側(cè)面互相平行，不正確，如下圖：左右側(cè)面不平行.本題題目說的是“四棱柱”不一定是“直四棱柱”，所以，③④不正確，故選A.【變式4-1】3．（2023·高一單元測試）如圖所示的是一個五棱柱，則下列判斷錯誤的是（

）A．該幾何體的側(cè)面是平行四邊形B．該幾何體有七個面C．該幾何體恰有十二條棱D．該幾何體恰有十個頂點【答案】C【分析】根據(jù)棱柱的定義及性質(zhì)判斷即可.【詳解】解：根據(jù)棱柱的定義可知，該幾何體的側(cè)面是平行四邊形，故A正確；該五棱柱有七個面，十五條棱，十個頂點，故B、D正確，C錯誤；故選：C【例題4-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)M={正四棱柱}，P={直四棱柱}，N=【答案】Q【分析】根據(jù)題意，由正四棱柱，直四棱柱，長方體以及正方體的定義即可得到結(jié)果.【詳解】直四棱柱是底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱；長方體是底面為矩形的直四棱柱；正四棱柱是底面為正方形的直四棱柱；正方體是側(cè)棱長與底面長相等的正四棱柱；綜上，可得Q故答案為:Q【變式4-2】（2021·高二課時練習(xí)）記A為所有多面體組成的集合，B為所有棱柱組成的集合，C為所有直棱柱組成的集合，D為所有正棱柱組成的集合，寫出集合A，B，C，D之間的關(guān)系.【答案】DCBA【分析】根據(jù)多面體、棱柱、直棱柱、正棱柱的定義，分析即得解【詳解】由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體；上下兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫棱柱；側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱；由多面體、棱柱、直棱柱、正棱柱的定義可知：DCBA題型5正棱柱及其計算【例題5】（2023·高一課時練習(xí)）長方體ABCD?A1B1A．2 B．5 C．3 D．2【答案】B【分析】根據(jù)題意，作圖，根據(jù)勾股定理和銳角三角函數(shù)，分別計算出長方形的長寬高，進而利用長方體的對角線的計算公式，直接計算可得答案【詳解】由已知得，BB1=1，∠AA1B=∠A1D1B1=60°，根據(jù)勾股定理和銳角三角函數(shù)，在直角三角形A故選：B【變式5-1】1．如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M,N【答案】34【分析】延長DM交D1A1的延長線于點G，連接GN交B【詳解】延長DM交D1A1的延長線于點G，連接GN交