高中數(shù)學(xué)同步講義（人教B版2019必修四）第20講 11.1.4棱錐與棱臺

⑶特征：側(cè)面都全等，而且都是等腰三角形，斜高也相等.注意：底面為正多邊形的棱錐叫做正棱錐，如正三棱錐，正四棱錐……….知識點二.棱臺1.定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺.2.圖形及表示：可記作：棱臺A’B’C’D’-ABCD3.相關(guān)概念（1）底面：原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面;（2）側(cè)面：其他各面叫做棱臺的側(cè)面;（3）側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱臺的側(cè)棱;（4）頂點：側(cè)面與底面的公共頂點叫做棱臺的頂點.（5）棱臺的高:過棱臺一個底面上的任意一個頂點，作另一個底面的垂線所得到的線段（或它的長度）.（6）棱臺的側(cè)面積:棱臺所有側(cè)面的面積之和．4.棱臺的分類：由三棱錐、四棱錐、五棱錐…截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺、五棱臺……5.正棱臺（1）定義：由正棱錐截得的棱臺.（2）高：上下兩底面中心的連線.（3）斜高：側(cè)面等腰梯形的高.（4）特征：側(cè)面都全等，而且都是等腰梯形，斜高也相等.題型1棱錐概念辨析【方法總結(jié)】棱錐的圖形1.底面：如圖中的多邊形ABCD2.側(cè)面：如圖中的三角形SAB，SBC，SCD，SAD等3.側(cè)棱：如圖中的線段SA，SB，SC，SD等4.頂點：如圖中的點S.【例題1】（2023·全國·高一專題練習）有兩個面平行的多面體不可能是A．棱柱 B．棱錐C．棱臺 D．以上都錯【答案】B【分析】由棱柱、棱臺、棱錐的定義判斷即可.【詳解】棱柱、棱臺的上、下底面是平行的，而棱錐的任意兩面均不平行．故選B．【點睛】本題考查棱柱、棱臺、棱錐的定義，屬基礎(chǔ)題.【變式1-1】（2022春·江蘇蘇州·高一江蘇省沙溪高級中學(xué)?？计谥校┫铝姓f法中，正確的個數(shù)為（

）（1）有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱（2）有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺；（3）底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；（4）棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是正六棱錐.A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】A【分析】根據(jù)棱柱的概念可判斷（1）；根據(jù)棱臺的概念可判斷（2）；根據(jù)正三棱錐的概念可判斷（3）；根據(jù)正六棱錐的側(cè)棱長一定大于底面邊長可判斷（4）.【詳解】(1)中,有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形,且每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行的幾何體一定是棱柱.故（1）不正確；（2）中，有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體不一定是棱臺，只有當四個等腰梯形的腰延長后交于一點時，這個六面體才是棱臺.故（2）不正確；（3）中，底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐不一定是正三棱錐，只有當三棱錐的頂點在底面的射影是底面中心時，才是正三棱錐.故（3）不正確；（4）中，因為正六棱錐的底面是正六邊形，側(cè)棱在底面內(nèi)的射影與底面邊長相等，所以正六棱錐的側(cè)棱長一定大于底面邊長，故（4）不正確.故選：A題型2棱錐的結(jié)構(gòu)特征【方法總結(jié)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征：1.僅有一個底面且是多邊形（三角形、四邊形……）2.側(cè)面都是三角形3.各側(cè)面有且只有一個公共頂點?！纠}2】（2023·全國·高一專題練習）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，E,F【答案】幾何體A1EF?ABC是三棱臺.面ABC是下底面，面A1EF是上底面，面【解析】根據(jù)題意以及三棱臺的結(jié)構(gòu)特征，可以猜想幾何體A1【詳解】∵E,F分別是A1B1,∴A∴△A1EF又面A1B1∴幾何體A1其中面ABC是下底面，面A1EF是上底面，面ABEA1，面【點睛】本題主要考查三棱臺的結(jié)構(gòu)特征，以及利用三棱臺定義判斷幾何體的形狀，屬于基礎(chǔ)題．【變式2-1】1．（多選）（2022·全國·高一假期作業(yè)）在正棱錐中，側(cè)面可為正三角形的是（

）A．正四棱錐 B．正五棱錐 C．正六棱錐 D．正八棱錐【答案】AB【分析】根據(jù)正棱錐底面多邊形的特點，假設(shè)側(cè)面都是正三角形，分別求出底面外接圓的半徑，再求出相應(yīng)的棱錐的高，即可判斷是否成立.【詳解】對于A正四棱錐，側(cè)面為正三角形，所以側(cè)棱長與底邊長相等，設(shè)底邊長為a,則底面外接圓半徑為22a，高為滿足要求，所以A正確；對于B正五棱錐，側(cè)面為正三角形，所以側(cè)棱長與底邊長相等，設(shè)底邊長為a，底面正五邊形每個內(nèi)角為108o則底面外接圓半徑為r=高為?2對于C正六棱錐，側(cè)面為正三角形，所以側(cè)棱長與底邊長相等，設(shè)底邊長為a，底面正六邊形每個內(nèi)角為120o高為?=對于D正八棱錐，側(cè)面為正三角形，所以側(cè)棱長與底邊長相等，設(shè)底邊長為a，底面正八邊形每個內(nèi)角為135o，則底面外接圓半徑為r高為?不滿足條件，所以D不正確故選：AB【變式2-1】2．（2021春·高一課時練習）下列說法正確的有()個.①有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；②正棱錐的側(cè)面是等邊三角形；③底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐.【答案】0【解析】根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征逐一判斷：①根據(jù)棱錐的定義，“其余各面都是三角形”并不等價于“其余各面都是有一個公共頂點的三角形”，故此說法是錯誤的；②正棱錐的側(cè)面都是等腰三角形，不一定是等邊三角形，故錯誤；③由已知條件知，此三棱錐的三個側(cè)面未必全等，所以不一定是正三棱錐，故錯誤.【詳解】①錯誤，根據(jù)棱錐的定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形而“其余各面都是三角形”并不等價于“其余各面都是有一個公共頂點的三角形”，故此說法是錯誤的；②錯誤，正棱錐的側(cè)面都是等腰三角形，不一定是等邊三角形，故錯誤；③錯誤，由已知條件知，此三棱錐的三個側(cè)面未必全等，所以不一定是正三棱錐.如圖所示的三棱錐中有AB=滿足底面△BCD三個側(cè)面△ABD，ΔABC，ΔACD但AC長度不一定，三個側(cè)面不一定全等，故錯誤.故答案為：0.【點睛】本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查對棱錐的特征的熟練掌握與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.【變式2-1】3．（2020·高一課時練習）如圖，在長方體ABCD-A′B′C′D′中，P是對角線AC與BD的交點，若P為四棱錐的頂點，四棱錐的底面為長方體的一個面，則這樣的四棱錐有()A．3個 B．4個C．5個 D．6個【答案】C【分析】表示出四棱錐，推出結(jié)果即可．【詳解】由題意可知四棱錐分別為：P-ABB′A′；P-BB′C′C；P-ABCD；P-CC′D′D；P-DD′A′A；共5個；故選C．【點睛】本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，排列組合的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．【變式2-1】4．（2021春·河北·高一校聯(lián)考期中）《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.若陽馬以如圖所示的正六棱柱的頂點為頂點，以正六棱柱的側(cè)棱為垂直于四棱錐底面的側(cè)棱，則陽馬的個數(shù)為（

）A．16 B．24 C．12 D．4【答案】B【分析】根據(jù)陽馬的定義，分別找出以上底面的頂點為四棱錐底面的個數(shù)和以下底面的頂點為四棱錐底面的個數(shù)，即可求得.【詳解】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，以正六棱柱下底面的頂點為頂點的內(nèi)接矩形共3個，而每個矩形可以形成4個不同的陽馬，所以陽馬的個數(shù)是12.同理，以上底面中的矩形為底面的情況下也有12個陽馬，因此共有24個不同的陽馬.故選：B【變式2-1】5．（2023春·全國·高一專題練習）將一個正方體切一刀，可能得到的以下幾何體中的種類數(shù)為（

）①四面體；②四棱錐；③四棱柱；④五棱錐；⑤五棱柱；⑥六棱錐；⑦七面體A．3種 B．4種 C．5種 D．以上均不正確【答案】B【分析】可能出現(xiàn)①③⑤⑦這四種情況．【詳解】如圖，平面A1EF截正方體，可得到四面體如圖，平面EFGH截正方體，可得到四棱柱ADHE?如圖，平面EFGH截正方體，可得到五棱柱ABB故選：B.個，故選A.【變式2-1】6．（2023·全國·高一專題練習）下列說法正確的是（

）A．底面是正多邊形的棱錐的頂點在底面的射影一定是底面正多邊形的中心B．如果一個棱錐的各個側(cè)面都是等邊三角形，那么這個棱錐不可能為六棱錐C．有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺D．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的幾何體是棱錐【答案】B【分析】對于A：舉反例：有一條側(cè)棱和底面垂直的棱錐，否定結(jié)論；對于B：直接證明即可；對于C：舉反例：把兩個相同的棱臺底面重合在一起,就不是棱臺，否定結(jié)論；對于D：由棱錐的定義，直接判斷.【詳解】對于A：底面是正多邊形的棱錐的頂點在底面的射影不一定是底面正多邊形的中心,比如：有一條側(cè)棱和底面垂直的棱錐.故A錯誤；對于B：當棱錐的各個側(cè)面的頂角之和是360度時,各側(cè)面構(gòu)成平面圖形,構(gòu)不成棱錐,由此推導(dǎo)出如果一個棱錐的各個側(cè)面都是等邊三角形,那么這個棱錐不可能為六棱錐,故B正確；對于C：把兩個相同的棱臺底面重合在一起,就不是棱臺,故C錯誤；對于D：由棱錐的定義，如果一個多面體的一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形,才是棱錐.故D錯誤.故選：B【變式2-1】7．（2022春·浙江寧波·高一效實中學(xué)校考期中）以下說法錯誤的是（

）A．平行六面體是四棱柱； B．底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；C．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐； D．正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形.【答案】C【分析】根據(jù)平行六面體的定義，即可判斷A,B;根據(jù)正棱錐的定義以及結(jié)構(gòu)特征可判斷C,D.【詳解】對于A，因為底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體，故平行六面體是四棱柱，A正確；對于B,底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體,符合平行六面體的定義，故B正確；對于C，底面是正多邊形的棱錐，不能保證頂點在底面上的射影為底面正多邊形的中心，故C錯誤；對于D,正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形,符合正棱錐的結(jié)構(gòu)特征，D正確；故選：C題型3正棱錐的有關(guān)計算【例題3】（2022春·內(nèi)蒙古赤峰·高一統(tǒng)考期末）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其底面正方形的邊長與其側(cè)面三角形底邊上的高的比值為（

）A．5+1 B．5?1 C．5+1【答案】B【分析】由已知，畫出正四棱錐的圖像，根據(jù)題意條件，找到正四棱錐的高?，側(cè)面三角形的斜高?'，底面邊長a之間的等量關(guān)系，然后帶入Rt△POH【詳解】由已知，可畫出正四棱錐的圖像，底面ABCD是邊長為a的正方形，頂點P在底面的投影為O，OP=?，H為BC中點，PH為側(cè)面△PBC?2=12·則1?a24a?'=故選：B.【變式3-1】1．（2023·全國·高一專題練習）華裔建筑師貝聿銘為盧浮宮設(shè)計的玻璃金字塔是一個底面邊長為30米的正四棱錐，其四個玻璃側(cè)面的面積約1500平方米，則塔高約為______米．【答案】20【分析】做PO⊥底面ABCD于點O，取AB的中點E，可得OE⊥AB、PE⊥AB【詳解】如圖，做PO⊥正四棱錐底面ABCD于點O，則O為底面ABCD的中心，取AB的中點E連接PE、OE，則OE⊥AB，因為PA=PB，所以因為四個玻璃側(cè)面的面積約1500平方米，所以S△由12×AB所以PO=則塔高約為20米，故答案為：20.【變式3-1】2．（2023春·全國·高一專題練習）益陽市“一園兩中心”項目是益陽市委市政府推進“大益陽城市圈”建設(shè)、實現(xiàn)益陽“東接?xùn)|進”戰(zhàn)略作出的重大決策.“兩中心”是指益陽市文化中心、益陽市政務(wù)中心.其中圖書館是益陽市文化中心的重要場館之一，市政府決定在圖書館頂上安裝太陽能板發(fā)電，要測量頂部的面積，將圖書館看成一個長方體ABCD?A1B1C1D1與一個等底的正四棱錐PA．576m2 B．624m2 C．688m2【答案】B【分析】根據(jù)給定條件求出正四棱錐P?【詳解】依題意，正四棱錐P?A1B1因OO1//CC1，且OO而AB=24，即有O1C1=122，又取B1C1中點E，連接PE,O1E正四棱錐P?A1所以圖書館頂部的面積為624m故選：B題型4棱臺概念辨析【方法總結(jié)】棱臺的圖形1.底面：如圖中的多邊形ABCD，多邊形A'B'C'D'2.側(cè)面：如圖中的梯形A'B'BA，B'C'CB，C'D'DC等3.側(cè)棱：如圖中的線段A'A，B'B，C'C，D'D4頂點：如圖中的點A’，B’，C’，D’，A，B，C，D【例題4】（2020·高一課時練習）下列命題中正確的是A．用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺B．平行四邊形的直觀圖是平行四邊形C．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱D．正方形的直觀圖是正方形【答案】B【詳解】分析：根據(jù)棱臺與棱柱定義可判斷A,C真假，根據(jù)直觀圖的畫法可得B,C真假.詳解：用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺；平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；有兩個面平行，其余各面都是平行四邊行的幾何體不一定是棱柱；正方形的直觀圖是平行四邊形，所以正確的是B.點睛：本題考查學(xué)生對棱臺與棱柱定義，以及直觀圖的畫法的理解，考查學(xué)生識別知識能力.【變式4-1】1．（2022·高一課時練習）下面四個幾何體中，是棱臺的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)臺體、錐體概念逐一分析，即可得結(jié)果.【詳解】A是圓臺，D是棱錐，C側(cè)棱延長沒有交于一點，故不是四棱臺，B是三棱臺．故選：B【變式4-1】2．（2022·高一課時練習）下面兩個空間圖形是棱臺嗎？簡述理由.【答案】詳見解析.【分析】利用棱臺的概念即得.【詳解】兩個空間圖形都不是棱臺，因為左側(cè)圖形雖然兩底面平行，但側(cè)棱延長后不能相交于一點；右側(cè)圖形雖然側(cè)棱延長后相交于一點，但兩底面不平行，所以兩個圖形都不是棱臺.【變式4-1】3．（2022·全國·高一專題練習）如圖，能推斷這個幾何體可能是三棱臺的是（

）A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4，AC＝3，A1C1＝4B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1【答案】C【分析】本題主要考查棱臺的定義，根據(jù)棱臺的上下底面互相平行，故兩個底面對應(yīng)邊之間的比值是相等的，此條件是構(gòu)成棱臺的必要條件，逐個分析可得答案.【詳解】解：棱臺是由棱錐截成的，上下兩個底面互相平行，且對應(yīng)邊之間的比值相等.A：A1B：B1C：A1D：滿足這個條件的是一個三棱柱，不是棱臺，D不正確；故選：C【變式4-1】4．（多選）（2022春·河北衡水·高一?？计谥校┫铝忻}中正確的是（

）A．兩個底面平行且相似，其余各面是梯形的多面體是棱臺B．正三棱柱的側(cè)面為矩形C．棱臺的各側(cè)棱延長后一定交于一點D．棱錐的側(cè)面和底面可以都是三角形【答案】BCD【分析】對于AC，利用棱臺的定義判斷即可，對于B，由正棱柱的定義判斷，對于D，舉例判斷即可【詳解】對于A，兩個底面平行且相似，其余各面是梯形的多面體，其側(cè)棱的延長不一定交于一點，所以此多面體不一定是棱臺，所以A錯誤，對于B，由正棱柱的定義可知正三棱柱的側(cè)面為矩形，所以B正確，對于C，由棱臺的定義可知，棱臺的各側(cè)棱延長后一定交于一點，所以C正確，對于D，三棱錐的側(cè)面和底面都是三角形，所以D正確，故選：BCD【變式4-1】5．（2023·全國·高一專題練習）下列說法正確的有（

）①有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．②有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺．③底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；④棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是正六棱錐A．0個 B．1個C．2個 D．3個【答案】A【分析】利用棱錐的定義和性質(zhì)，結(jié)合圖形即可得到答案.【詳解】解析①不正確．棱錐的定義是：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐．②如圖1，不正確，側(cè)棱延長線可能不交于一點.③錯誤．不一定是正三棱錐,如圖2所示：三棱錐中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD．滿足底面△BCD為等邊三角形．三個側(cè)面△ABD，△ABC，△ACD都是等腰三角形，但AC長度不一定等于AD，即三條側(cè)棱不一定全部相等．④不正確，不存在這樣的正六棱錐.極限考慮，如圖3的正六邊形ABCDEF分割成了6個全等的小正三角形，三角形所有邊長相等，從而不存在答案所說的正六棱錐.故選：A.題型5棱臺的結(jié)構(gòu)特征【方法總結(jié)】棱臺的結(jié)構(gòu)特征1.上下底面是互相平行且相似的多邊形2.側(cè)面都是梯形3.各側(cè)棱的延長線交于一點【例題5】（2020·高一課時練習）下列命題中正確的是（

）A．棱臺的側(cè)面可以是平行四邊形B．兩個底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺C．棱臺的底面是兩個相似的正方形D．棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點【答案】D【分析】用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺,結(jié)合選項逐一驗證得出正確選項.【詳解】對于A,棱臺的側(cè)面是梯形,錯誤;對于B,兩個底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體，若側(cè)棱的延長線不能交于一點，則該幾何體不是棱臺,錯誤;對于C,棱臺的底面是兩個相似的多邊形,錯誤;對于D,由棱臺的性質(zhì)得棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點,正確;故選:D.【點睛】本題考查命題真假的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意棱臺的定義及性質(zhì)的合理運用．【變式5-1】1．（2023·高一課時練習）對有兩個面互相平行，其余各面都是梯形的多面體，以下說法正確的是(

)A．棱柱 B．棱錐C．棱臺 D．一定不是棱柱、棱錐【答案】D【分析】由棱柱、棱錐、棱臺的定義判斷【詳解】根據(jù)棱柱、棱錐、棱臺的特征，一定不是棱柱、棱錐．故選：D【變式5-1】2．（2021春·高一課時練習）①有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體的側(cè)棱一定不相交于一點，故一定不是棱臺；②兩個互相平行的面是平行四邊形，其余各面是四邊形的幾何體不一定是棱臺；③兩個互相平行的面是正方形，其余各面是四邊形的幾何體一定是棱臺．其中正確說法的個數(shù)為________．【答案】2【詳解】①正確，因為具有這些特征的幾何體的側(cè)棱一定不相交于一點，故一定不是棱臺；②正確；③不正確，當兩個平行的正方形完全相等時，一定不是棱臺．故填：2.點睛：多面體的學(xué)習中，一定要把握住棱柱、棱錐、棱臺的特征，特別是棱柱，要有兩個面平行，其余面的交線互相平行，否則就不是棱柱，棱臺一定要聯(lián)系棱錐，因為棱臺是棱錐截取出來的，所以應(yīng)該能還原為棱錐,側(cè)棱的延長線交于一點.【變式5-1】3．（2022·高一課時練習）下列空間圖形中是棱臺的為_____.(填序號)【答案】③【分析】根據(jù)棱臺的定義和性質(zhì)判定.【詳解】由棱臺的定義知，棱臺的上底面必須與下底面平行，且側(cè)棱延長后交于同一點.圖①中側(cè)棱延長后不能交于同一點，圖②中上底面不平行于下底面，故圖①和圖②都不是棱臺.圖③符合棱臺的定義與結(jié)構(gòu)特征.故答案為：③【變式5-1】4．（2021·高一課時練習）如圖，在一個長方體的容器中裝有少量水，現(xiàn)在將容器繞著其底部的一條棱傾斜，在傾斜的過程中：（1）水面的形狀不斷變化，可能是矩形，也可能變成不是矩形的平行四邊形，對嗎？（2）水的形狀也不斷變化，可以是棱柱，也可能變?yōu)槔馀_或棱錐，對嗎？（3）如果傾斜時，不是繞著底部的一條棱，而是繞著其底部的一個頂點，試著討論水面和水的形狀.【答案】（1）不對；（2）不對；（3）答案見解析【分析】根據(jù)繞著棱旋轉(zhuǎn)和繞著點旋轉(zhuǎn)的特點，將問題轉(zhuǎn)化為長方體被相應(yīng)平面所截形成的截面形狀.【詳解】（1）不對，水面的形狀就是用一個與棱（傾斜時固定不動的棱）平行的平面截長方體時截面的形狀，因而是矩形，不可能是其他非矩形的平行四邊形.（2）不對，水的形狀就是用與棱（將長方體傾斜時固定不動的棱）平行的平面將長方體截去一部分后，剩余部分的幾何體是棱柱，不可能是棱臺或棱錐.（3）用任意一個平面去截長方體，其截面形狀可以是三角形，四邊形，五邊形，六邊形，因而水面的形狀可以是三角形，四邊形，五邊形，六邊形；水的形狀可以是棱錐，棱柱，但不可能是棱臺.【變式5-1】5．（2023·高一課時練習）下列說法中，正確的個數(shù)為（

）（1）有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺（2）由若干個平面多邊形所圍成的幾何體是多面體（3）棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是正六棱錐（4）底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐A．3個 B．2個 C．1個 D．0【答案】C【分析】利用棱臺的定義判斷（1），利用多面體的定義判斷（2），利用正六棱錐的定義判斷（3），利用正三棱錐的定義判斷（4）【詳解】（1）如圖，側(cè)棱延長線可能不交于一點，故（1）錯誤（2）正確，符合多面體的定義（3）不正確，不存在這樣的正六棱錐，正六邊形中心與各個頂點連線，構(gòu)成了6個全等的小正三角，所以正六棱錐棱長不可能與底邊相等，故（3）錯誤.（4）錯誤.不一定是正三棱錐,如圖所示:三棱錐中有AB=AD=BD=BC=CD.滿足底面△BCD為等邊三角形.三個側(cè)面△故選：C題型6正棱臺的有關(guān)計算【例題6】（2023春·全國·高一專題練習）如圖，ABC?A．63 B．332 C．6【答案】C【分析】首先還原為三棱錐，再計算小棱錐的高，再根據(jù)相似關(guān)系，即可計算三棱臺的高.【詳解】如圖1，將正三棱臺，還原為正三棱錐，由相似關(guān)系可知，三棱錐P?A1B1C1的棱長都是3，如圖2，點P故選：C【變式6-1】1．（2022春·河南開封·高一?？计谥校┮粋€正四棱錐的側(cè)棱長為10，底面邊長為62A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】根據(jù)原正四棱錐的幾何關(guān)系求得其高，再結(jié)合正四棱臺的側(cè)棱長即可求得其高.【詳解】根據(jù)題意，正四棱臺是由原正四棱錐過側(cè)棱的中點且與底面平面的平面截得的，如下所示：對原正四棱錐，BD=2BC又△PO1B1~△POB故選：B.【變式6-1】2．（2021·高一課時練習）已知正四棱臺側(cè)棱長為5，上底面邊長和下底面邊長分別為2和5，求該四樓臺的高和斜高．【答案】高是552，斜高是91【分析】取上底A1B1C1D1的中心O1和下底ABCD的中心O，連結(jié)OO1，過O1作O1F⊥A1B1，交A1B1于F，過O作OE⊥AB，交AB于E，過F作FN⊥OE，交OE于N，正四棱臺的斜高B1K，正四棱臺的高OO1＝FN，由此能求出正四棱臺的高和斜高．【詳解】解：取上底A1B1C1D1的中心O1和下底ABCD的中心O，連結(jié)OO1，過O1作O1F⊥A1B1，交A1B1于F，過O作OE⊥AB，交AB于E，過F作FN⊥OE，交OE于N，正四棱臺的斜高B1K＝EF＝BB12?(則正四棱臺的高OO1＝FN＝EF2?(OE∴正四棱臺的高是552，斜高是91【變式6-1】3．（2022·高一課時練習）如圖所示，在正三棱臺ABC?A1B1C1中，已知AB=10，棱臺一個側(cè)面的面積為2033，【答案】2【分析】根據(jù)正三棱臺的結(jié)構(gòu)特征，用上下底面邊長表示出正三棱臺的斜高，進而得側(cè)面積表達式即可得解.【詳解】依題意，AB=10，則AD設(shè)上底面的邊長為x(x>0)如圖所示，連接O1O，過D1作D1H于是得DH=OD?OH=因四邊形B1C1CB的面積為12B1所以上底面的邊長為215【變式6-1】4．（2021春·高一課時練習）若正三棱臺的高為3，上、下底面邊長分別為2和4，求這個棱臺的側(cè)棱長和斜高.【答案】棱臺的側(cè)棱長為933，斜高為【解析】正棱臺兩底面中心分別為O和O1，AB和A1B1的中點分別是E，E1【詳解】如圖，正三棱臺ABC?A1B1C1中，兩底面中心分別為O和O1，AB和A1B1的中點分別是E，E1，連接在等邊ΔABC中，AB=4，則OA=4在等邊ΔA1B1C1中，在直角梯形OAA1O所以AA即棱臺的側(cè)棱長為933在直角梯形OEEEE即棱臺的斜高為221【點睛】本題考查求正棱臺的斜高，解題關(guān)鍵是掌握正棱臺中的兩個直角梯形：兩底面中心與一條側(cè)棱的兩個頂點構(gòu)成直角梯形，兩底面中心與在同一側(cè)面的上下底兩邊的中點構(gòu)成直角梯形．【變式6-1】5．（2022春·廣東珠?！じ咭唤y(tǒng)考期末）正四棱臺的上?下底面邊長分別為2cm,3cm，側(cè)棱長為2cmA．4cm2 B．57cm2 【答案】B【分析】先求棱臺的斜高，然后利用側(cè)面積公式進行求解.【詳解】由題意，正四棱臺的側(cè)面是等腰梯形，且其上?下底面邊長分