2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義：一次函數(shù)的應(yīng)用

第11講一次函數(shù)的應(yīng)用

目錄

一、考情分析

二、知識建構(gòu)

題型01分配問題

題型02最大利潤問題

題型03行程問題

題型04幾何問題

題型05工程問題

題型06分段計費問題

題型07體積問題

題型08調(diào)運問題

題型09計時問題

題型10現(xiàn)實生活相關(guān)問題

夯基-必備基礎(chǔ)知識梳理

一次函數(shù)的實際應(yīng)用：

1）一次函數(shù)應(yīng)用問題的求解思路：

①建立一次函數(shù)模型一求出一次函數(shù)解析式T結(jié)合函數(shù)解析式、函數(shù)性質(zhì)作出解答；

②利用函數(shù)并與方程（組）、不等式（組）聯(lián)系在一起解決實際生活中的利率、利潤、租金、生產(chǎn)方案的設(shè)計問

題以及經(jīng)濟(jì)決策、市場經(jīng)濟(jì)等方面的應(yīng)用。

2）建立函數(shù)模型解決實際問題的一般步驟：

①審題，設(shè)定實際問題中的變量，明確變量X和y；

②根據(jù)等量關(guān)系，建立變量與變量之間的函數(shù)關(guān)系式，如：一次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；

③確定自變量x的取值范圍，保證自變量具有實際意義；

④利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題；

⑤寫出答案。

3）利用一次函數(shù)的圖象解決實際問題的一般步驟：

①觀察圖象，獲取有效信息；

②對獲取的信息進(jìn)行加工、處理，理清各數(shù)量之間的關(guān)系；

③選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具（如函數(shù)、方程、不等式等），通過建模解決問題。

【提示】時刻注意根據(jù)實際情況確定變量的取值范圍。

4）求最值的本質(zhì)為求最優(yōu)方案，解法有兩種：

①可將所有求得的方案的值計算出來，再進(jìn)行比較；

②直接利用所求值與其變量之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式求解，由一次函數(shù)的增減性可直接確定最優(yōu)方案及

最值；若為分段函數(shù)，則應(yīng)分類討論，先計算出每個分段函數(shù)的取值，再進(jìn)行比較.

【提示】一次函數(shù)本身并沒有最值，但在實際問題中，自變量的取值往往有一定的限制，其圖象為射線或

線段.涉及最值問題的一般思路：確定函數(shù)表達(dá)式-確定函數(shù)增減性一根據(jù)自變量的取值范圍確定最值.

一提升?必考題型歸納

題型01分配問題

[例1]（2023?陜西咸陽??？家荒＃┠澄木呱痰晡木叽黉N給出了兩種優(yōu)惠方案：①買一支鋼筆贈送一本筆記

本，多于鋼筆數(shù)的筆記本按原價收費；②鋼筆和筆記本均按定價的八折收費.已知每支鋼筆定價為15元，

每本筆記本定價為4元.某顧客準(zhǔn)備購買x支鋼筆和筆記本（x+10）本，設(shè)選擇第一種方案購買所需費用為

為元，選擇第二種方案購買所需費用為內(nèi)元.

⑴請分別寫出月,%與x之間的關(guān)系式

⑵若該顧客準(zhǔn)備購買10支鋼筆目只能選擇其中一種優(yōu)惠方案請你通過計算說明選擇哪種方案更為優(yōu)惠.

【答案】（l）yi=15%+40,y2115.2x+32,

（2）選擇方案②更為優(yōu)惠，見解析

【分析】（1）根據(jù)兩種優(yōu)惠方案，列出函數(shù)關(guān)系式即可；

（2）將％=10代入兩個函數(shù)解析式，求出函數(shù)值，進(jìn)行比較即可.

【詳解】（1）解：由題意，得：%=15x+4X（X+10—久）=15%+40,y2=[15%+4（%+10）]X80%=

15.2%+32；

（2）當(dāng)?shù)?10時，%=15X10+40=190；y2=15.2X10+32=184

190>184,

???選擇方案②更為優(yōu)惠.

【點撥】本題考查一次函數(shù)的實際應(yīng)用，讀懂題意，正確的列出一次函數(shù)的解析式，是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1J（2023?陜西西安??？家荒＃├罾蠋熡媱澖M織學(xué)生暑假去北京研學(xué)旅行，經(jīng)了解,現(xiàn)有甲、乙兩

家旅行社比較合適，報價均為每人2000元，且提供的服務(wù)完全相同，針對組團(tuán)旅游的游客，甲旅行社表示，

每人都按八折收費；乙旅行社表示，若人數(shù)不超過20人，每人都按八五折收費，超過20人時，其中20人每

人仍按報價的八五折收費，則超出部分每人按七折收費，假設(shè)組團(tuán)參加甲、乙兩家旅行社研學(xué)旅行的人數(shù)

均為無人.

（1）請分別寫出甲、乙兩家旅行社收取組團(tuán)研學(xué)旅行的總費用y（元）與久（人）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若李老師組團(tuán)參加研學(xué)旅行的人數(shù)共有25人，請你計算，在甲、乙兩家旅行社中，幫助李老師選擇收取

總費用較少的一家.

【答案】⑴甲旅行社：y=2000Xx0.8=1600.；乙旅行社：藍(lán)黑簫藍(lán)瑞）

（2）甲旅行社

【分析】（1）根據(jù)題意可以得到甲、乙兩家旅行社收取組團(tuán)旅游的總費用y（元）與x（人）之間的函數(shù)關(guān)

系式；

（2）將％=25分別代入（1）中的函數(shù)解析式，然后比較大小，即可解答本題.

【詳解】（1）解：由題意可得，

甲旅行社:y=2000x-0.8=1600%；

當(dāng)0WxW20時,y=2000"0.85=1700萬,

當(dāng)x>20時,y=2000-20-0.85+(x-20)-2000-0.7=1400%+6000,

y—1700x(0<x<20)

故乙旅行社：

y—1400%+6000(%>20)

（2）解：依題意，把％=25代入y=1600%,

貝！I甲旅彳亍社：y=1600x25=40000；

因為25>20

所以把％=25代入y=1400%+6000中,

則乙旅行社:y=1400x25+6000=41000；

因為41000>40000,

所以選擇甲旅行社.

【點撥】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用一次函

數(shù)的性質(zhì)解答.

【變式1-2]（2022?陜西西安?統(tǒng)考三模）某校為改善辦學(xué)條件，計劃購進(jìn)兩種規(guī)格的書架，經(jīng)市場調(diào)查

發(fā)現(xiàn)有線下和線上兩種購買方式，具體情況如表：

線下線上

規(guī)格

單價（元/個）運費（元/個）單價（元/個）運費（元/個）

A240021020

B300025030

（1）如果在線上購買A.B兩種書架20個，共花費y元，設(shè)其中A種書架購買x個，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）在（1）的條件下，若購買B種書架的數(shù)量不少于4種書架的2倍，請求出花費最少的購買方案，并計算

按照這種購買方案線上比線下節(jié)約多少錢.

【答案】（l）y=-50%+5600

⑵購買A種書架6個，購買8種書架14個；線上比線下節(jié)約340元

【分析】（1）設(shè)其中A種書架購買尤個，則B種書架購買（20-乃個，根據(jù)表中的單價及運費列出函數(shù)關(guān)

系式即可；

（2）根據(jù)購買B種書架的數(shù)量不少于A種書架的2倍，求出x的取值范圍，再根據(jù)第（1）小題的函數(shù)關(guān)

系式，求出y的最小值即線上的花費，再求出線下需要的花費，即可求解.

【詳解】(1)由題意得

y=210%+250(20-x)+2Ox+30(20-x)

整理得y=-50x+5600

(2)由題意得20—久N2久

解得x1

???-50<0

■-?y隨尤的增大而減小

當(dāng)_x=6時，y最小為-300+5600=5300

線下購買時的花費為240X6+300X14=5640

此時，購買B種書架20-6=14個

線上比線下節(jié)約5640-5300=340元

所以，購買A種書架6個，購買8種書架14個；線上比線下節(jié)約340元.

【點撥】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，準(zhǔn)確理解題意，找到數(shù)量關(guān)系是解題的

關(guān)鍵.

【變式1-3](2021?貴州六盤水?統(tǒng)考二模)某班舉行“學(xué)黨史”知識競賽活動，班主任安排小穎購買4,8兩

種物品，如圖是小穎購買物品前與同學(xué)的對話情景：

(1)請計算出A,B兩種物品的單價；

(2)本次競賽活動共需購買20個物品,且A物品的數(shù)量不少于B物品數(shù)量的一半,請設(shè)計出最省錢的購買方

案，并說明理由.

【答案】(1)A種物品的單價是30元，8種物品的單價是15元

(2)A種物品購買7個，8種物品購買13個最省錢，理由見解析

【分析】（1）設(shè)A種物品的單價是x元，8種物品的單價是y元，可得［-2n，即可解得答案；

（2股A種物品購買加個共需W元根據(jù)A物品的數(shù)量不少于B物品數(shù)量的一半，可得哈6|,W=30加+15

（20-加）=15/H+300,根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)即可得答案.

【詳解】（1）解：設(shè)A種物品的單價是x元，8種物品的單價是V元，

根據(jù)題意得：晨寇二^0,

解得［X，

答：A種物品的單價是30元，8種物品的單價是15元；

（2）解：設(shè)A種物品購買機個，8種物品購買（20-租）個，共需W元，

???A物品的數(shù)量不少于B物品數(shù)量的一半，

解得〃侖6|,

而W=30m+15（20-m）=15m+300,

??-15>0,

??.W隨〃，的增大而增大，

,論6|,m是整數(shù),

-'-m-7時,W最小,最小為15x7+300=405,

.,.A種物品購買7個，8種物品購買13個最省錢.

【點撥】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系列方程組和函數(shù)關(guān)系式.

題型02最大利潤問題

［例2］（2023?云南德宏?統(tǒng)考一模）某房地產(chǎn)開發(fā)公司計劃建A3兩種戶型的經(jīng)濟(jì)適用住房共80套，該公

司所籌資金不少于2090萬元，但不超過2122萬元，目所籌資金全部用于建房，兩種戶型的建房成本和售

價如下表：

AB

成本（萬元/套）2528

售價(萬元/套)3034

⑴該公司對這兩種戶型住房共有幾種建房方案？

⑵若該公司所建的兩種戶型住房可全部售出，則采取哪一種建房方案獲得利潤最大？最大利潤是多少？

【答案】⑴有11種建房方案.

(2)A型住房建40套，8型住房建40套獲得利潤最大；最大利潤為440萬元.

【分析】(1)根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)結(jié)合公司所籌資金不少于2090萬元，但不超過2122萬元，再建立

不等式組可以解答本題；

(2)根據(jù)題意可以得到利潤與住房戶型的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)從而可以解答本題；

【詳解】(1)解：設(shè)4種戶型的住房建x套，則B種戶型的住房建(80-乃套，

(25x+28(80—x)>2090

(25%+28(80-%)<2122'

解得，39三久W50,

???尤取非負(fù)整數(shù)，

,尤為40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,

，有11種建房方案.

(2)設(shè)該公司建房獲得利潤卬萬元,

由題意知：勿=(30-25)%+(34-28)(80-%)=-%+480,

???fc=-1,W隨x的增大而減小，

，當(dāng)x=40時，

即A型住房建40套，2型住房建40套獲得利潤最大；最大利潤為440萬元.

【點撥】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問

題需要的條件，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答.

【變式2-1](2022?陜西西安??？寄M預(yù)測)西安白鹿原櫻桃以果大、汁多味甜、品質(zhì)優(yōu)良等特點遠(yuǎn)近聞名.袁

浪浪家種植了A,8兩個品種的櫻桃共4畝，兩種櫻桃的成本(包括種植成本和設(shè)備成本)售價如表：

品種種植成本(萬元/畝)設(shè)備成本(萬元/畝)售價(萬元/畝)

A10.23.5

B1.50.34.2

設(shè)種植A品種櫻桃x畝，若4畝地全部種植兩種櫻桃共獲得利潤y萬元(利潤=售價-種植成本-設(shè)備成本).

⑴求y與龍之間的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若A品種櫻桃的種植畝數(shù)不少于B品種櫻桃種植畝數(shù)的1.5倍，則A品種櫻桃種植多少畝時利潤最大？

并求最大利潤.

【答案】(Dy=-o.lx+9.6

(2)種植A品種櫻桃種植2.4畝時利潤最大，最大利潤是9.36萬元

【分析】(1)由題意得,y=(3.5-1-0.2)久+(4.2-1.5-0.3)X(4-%),整理求解即可；

(2)根據(jù)A品種櫻桃的種植畝數(shù)不少于8品種櫻桃種植畝數(shù)的1.5倍，可以求得尤的取值范圍，再根據(jù)一

次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到種植A品種櫻桃種植多少畝時利潤最大，并求出此時的最大利潤.

【詳解】(1)解：由題意可得,y=(3.5-1-0.2)比+(4.2-1.5-0.3)X(41x)=-O.lx+9.6,

??.y與X的函數(shù)關(guān)系式為y=-O.lx+9.6；

(2)解：?乂品種櫻桃的種植畝數(shù)不少于B品種櫻桃種植畝數(shù)的1.5倍，

.'.X>1,5(4-x),解得x>2.4,

'.'y=-0.1%+9.6,

'：k=-0,1<0,

隨X的增大而減小，

，當(dāng)x=2.4時，j取得最大值，此時y=9.36,

答：種植A品種櫻桃種植2.4畝時利潤最大，最大利潤是9.36萬元.

【點撥】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于明確題意，利用一次函數(shù)的

性質(zhì)和不等式的性質(zhì)解答.

【變式2-2](2023?河南洛陽?統(tǒng)考二模)西峽卿猴桃是河南省西峽縣特產(chǎn).某網(wǎng)店新進(jìn)甲、乙兩種卿猴桃,

已知購進(jìn)10件甲種期猴桃和15件乙種卿猴桃需950元，購進(jìn)15件甲種貓I猴桃和20件乙種期猴桃需1350元.

⑴求甲、乙兩種卿猴桃的進(jìn)貨單價；

⑵若該網(wǎng)店購進(jìn)甲、乙兩種助猴桃共100件，甲種卿猴桃按進(jìn)價提價20%后的價格銷售，乙種卿猴桃按進(jìn)價

的2倍標(biāo)價后再打七折銷售,若甲、乙兩種卿猴桃全部售完后的銷售總額不低于5100元（不考慮損耗）,請

你幫網(wǎng)店設(shè)計利潤最大的進(jìn)貨方案，并說明理由.

【答案】⑴甲種卿猴桃的進(jìn)貨單價是50元，乙種卿猴桃的進(jìn)貨單價是30元

（2）當(dāng)購進(jìn)甲、乙兩種驕猴桃各50件時，銷售完后獲得的利潤最大，最大利潤是1100元

【分析】（I）設(shè)甲種獅猴桃的進(jìn)貨單價是機元，乙種期猴桃的進(jìn)貨單價是幾元，根據(jù)題意列二元一次方程組

求解即可；

（2）由（1）可知甲、乙的進(jìn)貨單價，根據(jù)題意可算出甲、乙的銷售價格，設(shè)購進(jìn)甲種貓I猴桃久件，則購進(jìn)

乙種卿猴桃（100-%）件，總利潤為w元，銷售總額為y元,分別列式表示總利潤、銷售總額，根據(jù)題意解不

等式，根據(jù)一次函數(shù)圖像的性質(zhì)即可求解.

【詳解】（1）解：設(shè)甲種卿猴桃的進(jìn)貨單價是小元，乙種卿猴桃的進(jìn)貨單價是幾元，根據(jù)題意可得：

（10m+15n=950角刀彳曰0n=50

115m+20n=1350z=301

，甲種獅猴桃的進(jìn)貨單價是50元，乙種卿猴桃的進(jìn)貨單價是30元.

（2）解：由（1）可知，甲種助猴桃的進(jìn)貨單價是50元，乙種期猴桃的進(jìn)貨單價是30元，

?.?甲種卿猴桃按進(jìn)價提價20%后的價格銷售，乙種卿猴桃按進(jìn)價的2倍標(biāo)價后再打七折銷售，

二甲種卿猴桃的售價為50+50X20%=60（元/件）,乙種卿猴桃的售價為30X2x70%=42（元/件）,

設(shè)購進(jìn)甲種卿猴桃萬件，則購進(jìn)乙種卿猴桃（10。-%）件，總利潤為w元,銷售總額為y元，

，兩種卿猴桃100件全部售完后的總利潤為卬=（60-50）%+（42-30）（100-%）=-2%+1200,

兩種卿猴桃100件全部售完后的銷售總額為y=60%+42（100-%）=18%+4200,

?-18X+4200>5100,

:.x>50,

-w——2.x+1200,而—2<0,

隨X的增大而減小，

,當(dāng)x=50時,W最大是一2x50+1200=1100（元），

二當(dāng)購進(jìn)甲、乙兩種嫌猴桃各50件時，銷售完后獲得的利潤最大，最大利潤是1100元.

【點撥】本題主要考查解二元一次方程組、解一元一次不等式，一次函數(shù)圖像的性質(zhì)與銷售的問題，理解

題目中的數(shù)量關(guān)系，掌握解二元一次方程組得方法，解不等式，一次函數(shù)圖像的增減性等知識是解題的關(guān)

鍵.

【變式2-3](2023.山西忻州?校聯(lián)考模擬預(yù)測)2022年第19屆亞運會

((Thel9thAsianGamesHangzhou2022')),簡稱“杭州2022年亞運會1各于2023年9月23日至10月8日在

中國浙江杭州舉行.杭州亞運會吉祥物是一組承載深厚底蘊和充滿時代活力的機器人，組合名為“江南憶”，

出自唐朝詩人白居易的名句“江南憶，最憶是杭州”.它融合了杭州的歷史人文、自然生態(tài)和創(chuàng)新基因，三個

吉祥物分別取名“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”某專賣店購進(jìn)4B兩種杭州亞運會吉祥物禮盒共50個，共花去7500元,

這兩種吉祥物禮盒的進(jìn)價、售價如表：

進(jìn)價(元/個)售價(元/個)

4種禮盒168198

B種禮盒138158

(1)求人B兩種吉祥物禮盒分別購進(jìn)了多少個；

(2)由于銷售情況很好,第一次購進(jìn)的50個禮盒很快就銷售完了，專賣店老板又計劃用不超過12000元購進(jìn)人

B兩種禮盒共80個，則應(yīng)該如何進(jìn)貨，才能使得第二批禮盒全部售完后獲得最大利潤？最大利潤為多少？

【答案】⑴購進(jìn)力種吉祥物禮盒20個,購進(jìn)B種吉祥物禮盒30個；

⑵購進(jìn)4種禮盒32個，B種禮盒48個售完后獲得最大利潤，最大利潤1920元

【分析】(1)設(shè)購進(jìn)力種吉祥物禮盒》個，則購進(jìn)B種吉祥物禮盒(50-久)個，根據(jù)購進(jìn)A,8兩種杭州亞運

會吉祥物禮盒共花去7500元列方程,解方程即可；

(2)設(shè)購進(jìn)4種禮盒a個，B種禮盒(80-a)個，獲得利潤為y元，根據(jù)兩種禮盒進(jìn)價不超過12000元求出a

的取值范圍，再根據(jù)總利潤=兩種禮盒利潤之和列出函數(shù)解析式，由函數(shù)的性質(zhì)即可求最值.

【詳解】(1)解：設(shè)購進(jìn)4種吉祥物禮盒x個，則購進(jìn)B種吉祥物禮盒(50-x)個,

根據(jù)題意:168%+138(50-%)=7500,

解得：久=20,

???50—%=30,

答：購進(jìn)4種吉祥物禮盒20個，購進(jìn)8種吉祥物禮盒30個；

(2)解：設(shè)購進(jìn)4種禮盒a個，B種禮盒(80-a)個，獲得利潤為y元，

???購買人B兩種禮盒的費用不超過12000元，

168a+138(80-a)<12000,

解得：a<32,

根據(jù)題意得：y=(198-168)a+(158-138)(80-a)=10a+1600,

10>0,

??.y隨a的增大而增大，

???當(dāng)a=32時,y有最大值,最大值為10x32+1600=1920,

80—a=80-32=48,

答：購進(jìn)A種禮盒32個，B種禮盒48個售完后獲得最大利潤，最大利潤1920元.

【點撥】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意正確列方程和解析

式是解題關(guān)鍵.

題型03行程問題

[例3](2023?湖南婁底?統(tǒng)考一模)周末，小明和小亮相約到公園游玩.已知小明、小亮家到公園的距離相

同，小明先騎車6min到達(dá)超市，購買了一些水果和飲用水，然后再騎車lOmin到達(dá)公園.小明出發(fā)lOmin后，

小亮騎車從家出發(fā)直接去公園.下面給出的圖象反映的是小明、小亮騎行的情況.請根據(jù)相關(guān)信息，解答

下列問題：

小明離開家的時間/min4620

1500

(2)填空：

①小明在超市購物的時間是」nin；

②超市到公園的距離是.m；

③小亮騎行的速度是_m/min；

④小亮到達(dá)公園時，小明距離公園還有_m；

(3)解答：當(dāng)0WxW31時，請直接寫出為關(guān)于久的函數(shù)解析式.

【答案】⑴見解析

⑵①15；②2100；③240；④1260

'250x(0<x<6)

(3)y1=1500(6<x<21)

210%-2910(21<x<31)

【分析】此題考查了從函數(shù)圖象獲取信息、列函數(shù)解析式、有理數(shù)混合運算的應(yīng)用等知識，看懂圖象，讀

懂題意，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵；

(1)由圖可知，小明的速度為等=250(m/min),即可求得當(dāng)久=4時y的值，根據(jù)圖象即可得到當(dāng)％=20

時y的值;

(2)①由圖象可知，小明在超市購物的時間；②根據(jù)圖象可知，超市到公園的距離；③用路程除以時間即

可得到小亮騎車的速度；④根據(jù)第二階段小明騎行的速度求出小亮到達(dá)公園時，小明距離公園的距離即可；

(3)根據(jù)題意和圖象，分別寫出0<%<6.6<%<21,21<%<31得到解析式，即可得到答案.

【詳解】（1）解：由圖可知，小明的速度為等=250（m/min）,

O

.?.當(dāng)X=4時，y=250x4=1000,

由圖象可知，當(dāng)久=20時，y=1500,

填表如下：

小明離開家的時間/min4620

小明離家距離/m100015001500

(2)解：①由圖象可知，小明在超市購物的時間：21-6=15(min),

②超市到公園的距離是：3600-1500=2100(m),

③小亮騎車的速度為等=240(m/min),

Zb—1U

④第二階段小明的速度為：36；；；。。=210(m/min),

31—Z1

小亮到達(dá)公園時，小明距公園還有：

3600-1500-210x(25-21)=1260(m).

故答案為：①15；②2100；③240；④1260.

(3)解:設(shè)當(dāng)0W久W6時，y1=心，把(6,1500)代入得：

1500=6k,

解得：fc=250,

，此時y1=250%；

當(dāng)6<xW21時，y1=1500；

當(dāng)21<%<31時，設(shè)yi=k'x+b,把(21,1500),(31,3600)代入得：

(21k,+b=1500

131k'+b=3600'

解得?(x=210

用牛1守?U=-2910'

,此時y1=210%-2910；

(250x(0<%<6)

：.yi=11500(6<%<21)

(210X-2910(21<%<31)

【變式3-1]（2022?浙江紹興?統(tǒng)考一模）紹興首條智慧快速路于今年3月19日正式通車.該快速路上M,N

兩站相距20Am,甲、乙兩名杭州亞運會會務(wù)工作志愿者從“站出發(fā)前往N站附近的比賽場館開展服務(wù).甲

乘坐無人駕駛小巴，乙乘坐無人駕駛汽車.圖中。C,48分別表示甲、乙離開M站的路程s(km)與時間t(min)

的函數(shù)關(guān)系的圖象.

(1)填空：甲比乙提前分鐘出發(fā)；無人駕駛小巴的速度為km/min；當(dāng)乙乘坐無人駕駛汽車到達(dá)

N站時,無人駕駛小巴離N站還有km.

⑵求乙離開河站的路程s(km)與時間t(min)的函數(shù)關(guān)系式并說明圖中兩函數(shù)圖象交點P的實際意義.

【答案】⑴5；|；g

(2)s=t<20),實際意義見解析

【分析】(1)觀察圖象可得甲比乙提前5分鐘出發(fā)；再利用路程除以無人駕駛小巴到達(dá)〃站所用時間可得

無人駕駛小巴的速度；再用20減去無人駕駛小巴20分鐘所行駛的路程，即可求解；

(2)根據(jù)題意可得(5,0),(20,20)兩點在函數(shù)圖象上，再利用待定系數(shù)解答，即可求解.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意得：甲比乙提前5分鐘出發(fā)；

無人駕駛小巴的速度為崇=|km/min；

當(dāng)乙乘坐無人駕駛汽車到達(dá)N站時，無人駕駛小巴離N站還有20-|x20=ykm；

故答案為：5；|；g

(2)解：設(shè)s關(guān)于時間珀勺函數(shù)關(guān)系式為s=kt+b,

?「(5,0),(20,20)兩點在函數(shù)圖象上，

.(0=5fc+h解彳曰j"3

,120=20/c+b'斛得卜=_型,

所以s關(guān)于時間上的函數(shù)關(guān)系式為s=(5<f<20).

圖中兩函數(shù)圖象交點P的實際意義是乙乘坐的無人駕駛汽車追上甲乘坐的無人駕駛小巴，兩車與M站的距離

相等.

【點撥】本題主要考查了從函數(shù)圖象獲取信息，一次函數(shù)的應(yīng)用，能準(zhǔn)確從函數(shù)圖象獲取信息，利用待定

系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2］（2022?江蘇無錫?宜興市實驗中學(xué)?？级＃┮咔槠陂g，某志愿者組織籌集兩車物資送往疫情嚴(yán)

重地區(qū).圖中的折線、線段分別表示甲，乙兩車所走的路程y尹（千米），yz（千米）與時間%（小時）之

間的函數(shù)關(guān)系對應(yīng)的圖象.請根據(jù)圖象所提供的信息，解決下列問題：

⑵甲車排除故障后，立即提速趕往.請問甲車在排除故障時，距出發(fā)點的路程是多少千米？

（3）為了保證及時聯(lián)絡(luò)，甲、乙兩車在第一次相遇時約定此后兩車之間的路程不超過45千米，請通過計算說

明，按圖象所表示的走法是否符合約定.

【答案】（1）2

（2）320千米；

⑶符合

【分析】（1）根據(jù)A3段圖象直接解答；

（2）根據(jù)點D的坐標(biāo)得到乙車的速度，求出點E的坐標(biāo)進(jìn)而得到直線CE的解析式，即可得到答案；

（3）結(jié)合函數(shù)圖象可知在8C兩點處，兩車距離最遠(yuǎn)，結(jié)合速度計算距離與45比較可得結(jié)論.

【詳解】（1）解：甲車途中停留了6-4=2小時，

故答案為：2；

(2):D(8,480),

，乙車的速度是嗎=等=60(千米/小時),

乙O

二當(dāng)E的縱坐標(biāo)為60X7=420,即E(7,420),

設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b，得

管+°=420p1100

[yfc+b=480'解便°=-280,

/.y=100x-280,

當(dāng)x=6時，y=320,

二甲車在排除故障時，距出發(fā)點的路程是320千米；

(3)由圖象可知，甲、乙車在第一次相遇后，在及C處相距最遠(yuǎn)，

在B處有yzry尹6X60—320=40<45,

在c處有y甲-y乙=480-60x?=24<45,

，按圖象所表示的走法符合約定.

【點撥】此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的實際應(yīng)用，正確理解函數(shù)圖象并得到相

關(guān)的信息是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3](2021.河南平頂山.統(tǒng)考二模)小明和小亮相約從學(xué)校前往博物館，其中學(xué)校距離博物館900米.

小明因有事，比小亮晚一些出發(fā)，圖中y1=k1t、y2=k2t+b分別是小明、小亮行駛的路程y與小明追趕時

間t之間的關(guān)系.

(1)觀察圖象可知，小亮比小明先走了米.

(2)求七、的的值，并解釋心的實際意義.

(3)通過計算說明，誰先到博物館.

【答案】(1)100；(2)后=3,-2=2,心的實際意義是小亮每秒前進(jìn)2米；(3)小明先到博物館.

【分析】(1)根據(jù)圖像直接進(jìn)行判斷即可；

(2)將t=20,y=60代入%=krt,可以求得ki的值；將1=0時,y=100；t=20時，y—140代入火=

k2t+b,可以求得心的值，且自色表示小亮和小明的速度；

(3)根據(jù)(2)的結(jié)果進(jìn)行計算即可.

【詳解】(1)根據(jù)圖像可以看出小明走的時候，小亮已經(jīng)走了100米.

故答案為：10。

(2)將t=20,y=60代入為=k]t，彳導(dǎo)60=20kl,-'.k1=3；

分別將t=。時，y=100；t=20時，y=140代入丫2=k2t+b得

(b=100

1140=20k2+b'

解得心°，

所以七=3,e=2.

其中心的實際意義是小亮每秒前進(jìn)2米.

(3)由題意可知：從小明開始出發(fā)計算：小明用的時間為900=3t,t=300s,

小亮用的時間為900=2t+100,t=400s,

所以小明先到博物館.

【點撥】本題主要考查一次函數(shù)的實際應(yīng)用，正確理解圖表中的信息是解題關(guān)鍵.

題型04幾何問題

【例4-1](2021.廣東廣州.二模)如圖所示，直線y=)+2分別與x軸、y軸交于點A.B,以線段48為邊，

在第二象限內(nèi)作等腰直角△ABC,ABAC=90。，則過AC兩點直線的解析式為()

A.y=+2B.y=—|x+2C.y—+2D.y=—2x+2

【答案】B

【分析】過C作CM垂直于x軸，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，以及4C=AB,

利用AAS得到三角形4CM與三角形B4。全等，由全等三角形對應(yīng)邊相等得到CM=0A,AM=OB,由AM+

02求出。M的長，即可確定出C坐標(biāo),然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得過8、C兩點的直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

【詳解】解：對于直線y=|x+2,令x=0，得到y(tǒng)=2,即8(0,2),0B=2,

令V=0,得到x=-3,即4(一3,0),0/1=3,

過C作CM1無軸，可得乙4MC=乙BOA=90°,

^ACM+ACAM=90°,

ABC為等腰直角三角形,即血C=90°,AC=BA,

：./LCAM+NBA。=90°,

.-./.ACM=/-BAO,

在4CAM^\K28。中,

2AMe=^BOA=90°

AACM=NBA。,

、AC=BA

???△CAMdABO(AAS),

AM=OB=2,CM=OA=3,即。M=04+AM=3+2=5,

???C(—5,3),

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

-8(0,2),

，解得卜=?.

l-5k+b=3[b=2

???過8、C兩點的直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是y=-|x+2.

故選：B.

【點撥】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，全等三角形的判定

與性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

【例題4-2](2023?江蘇鹽城校考三模)如圖，菱形48CD的頂點4(1,0)、B(7,0)在久軸上/DAB=60°，點

E在邊8c上且橫坐標(biāo)為8，點F為邊CD上一動點，y軸上有一點P(0,-1遮).當(dāng)點P到EF所在直線的距離取

【答案】(6,3V3)

【分析】依據(jù)直線EF過定點E,則定點P到直線EF的最大距離就是PE長,利用直線PE的解析式求出直線EF

的解析式，貝伸點坐標(biāo)可求出來.

【詳解】解：如圖，4B=4D=6,

???乙DAB=60°,

0(4,3V3),

???點E在邊8c上且橫坐標(biāo)?為8,

???E(8,V3),C(10,3V3),

???直線EF過定點E,

PE1EF時，點P到EF所在直線的距離取得最大值.

爭，￡(8,V3),

設(shè)PE解析式為y=依-苧，代入點E坐標(biāo)得，

鳳8k-*即卜=g.

???此刻直線EF的k值為：kEF=-V3,

設(shè)直線EF解析式為：y=-V3x+m，代入點E坐標(biāo)得：V3=-8V3+m,

m=9V3,

二直線EF的解析式為：y=-V3x+9V3,

令y=3百，貝！|3百=-V3x+9V3,解得x=6.

此刻點尸的坐標(biāo)為：(6,3V3).

【點撥】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵就是能看到點到直線的最大距離就是P到

定點E的長.

【變式4-1]((2022?安徽滁州?統(tǒng)考一模)如圖，直線/對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=x+l,在直線I上，順次取

點4(1,2),4(2,3),43(3,4),4(4,5),……,An(n,n+1),構(gòu)成的形如“7”的圖形的陰影部分面積分別為

Si=3x2—2x1；$2=4x3—3x2；S3=5x4—4x3；...

(2)S九=(用含〃的式子表ZF)!

(3)S1+S2+S3+???+$?=(用含n的式子表示，要化簡).

【答案】(1)7x6—6x5；(或12)

(2)(n+2)(n+1)-(n+l)n；或2(n+1)

(3)n2+3n

【分析】(1)由題意可知力5(5,6)、4(6,7),再借助矩形面積公式計算即可；

(2)分別求出Si、52、S3、S’的表達(dá)式，找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可；

(3)根據(jù)S1、52、S3、S4......S”的表達(dá)式的規(guī)律，相加后進(jìn)行化簡計算即可.

【詳解】(1)解:由題意可知4(5,6)、46(6,7),

.*.S5=7x6—6x5=12,

故答案為：7x6-6x5；(或12)

(2)由題意可知：

S1=3x2-2xl=2x(l+l),

$2=4x3—3x2=2x(2+1),

S3=5X4-4X3=2X(3+1)/

S4=6X5—5x4=2x(4+l),

Sn=(n+2)(n+1)—(n+l)n=2x(n+1)z

故答案為:(n+2)(n+1)-(n+l)n；或2(n+1)

(3)S]+S2+S3+??■+S?

=3x2-2x1+4x3-3x24-5x4-4x3+???+(n+2)(n+1)—(n+l)n

=(n+2)(n+1)—2

故答案為：聲+3n

【點撥】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征及用代數(shù)式表示圖象的變化規(guī)律問題，根據(jù)點的坐

標(biāo)變化找出陰影部分面積的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵.

【變式4-2]((2019?山東青島?統(tǒng)考二模)閱讀材料解答問題：

自主學(xué)習(xí)：在平面直角坐標(biāo)系中，對于任意兩點的“非常距離”給出如下定義：

若出-X2囹%-對，則點P/與點尸2的“非常距離”為仇L忿|；

若㈤-詞<\yi-y2\,則點P與點P2的“非常距離”為I”-w.

例如：如圖1所示，點B(1,2),點尸2(3,5),因為|1-3|<|2-5|,所以點B與點尸2的“非常距離”為|2

-5|=3,也就是圖1中線段PiQ與線段P2Q長度的較大值（點。為垂直于y軸的直線PiQ與垂直于x軸的

直線尸2。的交點）

問題解決：

（1）計算：平面直角坐標(biāo)系中兩點A（-l,0）,B（2,3）的“非常距離”.

應(yīng)用拓展：

（2）已知點C（|,0）,點。為y軸上的一個動點：

①若點C與點D的“非常距離”為3,則點D的坐標(biāo)為；

②在D點運動過程中，點C與點D的“非常距離”的最小值為；

問題延伸：

（3）已知：￡是直線y=|x+3上的一個動點，如圖2,點F的坐標(biāo)是（0,1）,求點E與點尸的啡常距離”

【答案】（1）3；（2）①（0,3）或（0,-3）；②|（3）E

【分析】（1）根據(jù)若山㈤<lyiM則點Pi與點P2的“非常距離”為1%無1解答即可;

（2）①根據(jù)點D位于y軸上，可以設(shè)點D的坐標(biāo)為（0,y）.由“非常距離”的定義可以確定|0-y|=3，據(jù)此

可以求得y的值；

②設(shè)點D的坐標(biāo)為（0,y）,根據(jù)卜|-0囹0引，得出點C與點D的“非常距離”最小值為卜|-0|,即可得出答案；

（2）設(shè)點E的坐標(biāo)為（xo,%+3）.根據(jù)材料“若lx.沙曰|,則點Pi與點P2的“非常距離”為|卬冽”知，

C.D兩點的“非常距離”的最小值為-無0=前）+2,據(jù)此可以求得點E的坐標(biāo).

4

【詳解】（1）,「1-1-21=3,|0-3|=3,

..?3=3

，點A與點B的啡常距離”為3.

（2）①???/）為），軸上的一個動點，

，設(shè)點D的坐標(biāo)為（0,y）.

1I-1-01=|,點C與點。的“非常距離”為3,

Bo-yl=3,

解得，y=3或y=-3,

，點D的坐標(biāo)是（0,3）或（0,-3）,

故答案為（0,3）或（0,-3）；

②當(dāng)I-1-0|>|0-y時，點C與點D的啡常距離”為|,

，點C與點D的“非常距離”的最小值為之.

故答案為|；

（2）如圖2,取點E與點尸的“非常距離”的最小值時，

需要根據(jù)運算定義“若|XLX2囹竺-J2|,則點P/與點尸2的啡常距離”為出-也|”解答，

此時g-刈=\yi-y2\,BPAE=AF,

-E是直線y=。+3上的一個動點，點F的坐標(biāo)是（0,1）,

4

，設(shè)點E的坐標(biāo)為（xo,露+3）,

4

此時,xo--,

.,點E與點F的“非常距離”的最小值為：|刈=三,

此時E（［，/）.

【點撥】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，“非常距離”的定義，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈

活運用所學(xué)知識解決問題.

【變式4-3]((2022.河北邢臺??？既?如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b的圖象％經(jīng)過點

4(-2,4),且與正比例函數(shù)y=-1久的圖象％交于點8(爪,2),與x軸交于點C.

⑴求小的值及直線4的解析式；

(2)求SABOC的面積；

(3)設(shè)直線％=。與直線4，%父于E，F(xiàn)兩點，當(dāng)S^EFB=3s時，請直接與出a的值.

【答案】(l)m=-3,y=2%+8

(2)4

(3)a的值為?；蛞?

【分析】(1)把8(血2)代入〉=-|x中求出機的值，得到點8的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出直線匕的

解析式；

(2)求出點C的坐標(biāo)為(-4,0),根據(jù)三角形面積公式即可得到答案；

(3)分三種情況進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)解：把B(zn,2)代入y=-1?中，解得根=-3,

將B(—3,2),4(—2,4)代入y=kx+,

得

解得仁〉

，直線。的解析式為y=2x+8;

(2)令2久+8=0,解得x=-4,

.,點C的坐標(biāo)為(-4,0),

?S^BOC=2。。,1犯1=4；

(3)由題意可知，點E的坐標(biāo)為(a,2a+8)，點尸的坐標(biāo)為但-乳),

-'-EF=12a+8+-(z|=+,點8至！]直線％=a的距禺為|a+31,

?S^EFB=3SABOC=12,

結(jié)合圖象分析，當(dāng)a>一3時，SHEFB=1x(8+ga)x(a+3)=12,解得a1=0,a2=-6(舍)；

當(dāng)a=—3時,不存在S^EFB/

當(dāng)a<-3時，SAEFB=|X(一8-|a^)X(-a-3)=12,

解得的=0(舍)，a?=-6,

綜上所述，a的值為0或-6.

【點撥】此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、一元二次方程的解法等知識，

分類討論和數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

【變式4-4]((2023?重慶沙坪壩?重慶一中?？级?如圖，在四邊形力BCD中,AD\\BC,z￡>=90。，過點力作

AE18c于點E,AB=S,BC=7,BE=3.動點P從點B出發(fā)，沿Br4一。運動，到達(dá)點。時停止運動.設(shè)

點P的運動路程為x,△力PE的面積為力..

9

8

7

6

5

4

3

2

1

B

EcW12345678910%

⑴請直接寫出乃與X之間的函數(shù)關(guān)系式以及對應(yīng)的X的取值范圍；

(2)請在直角坐標(biāo)系中畫出yi的圖象，并寫出函數(shù)月的一條性質(zhì)；

(3)若直線光的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫為的函數(shù)圖象，直接寫出當(dāng)月>火時尤的取值范圍.(保留一位小

數(shù)，誤差不超過0.2)

-|x+6(0<x<5)

【答案】⑴月=

2%-10(5<%<9)

(2)當(dāng)。WxW5時，為隨x的增大而減小，當(dāng)5〈久W9時，為隨工的增大而增大(答案不唯一)

(3)0<x<3.3或7.1<x<9(答案不唯一)

【分析】(1)當(dāng)點P在力B上運動時，由外=TxHExPH,即可求解；當(dāng)點P在4。上運動時，同理可解；

(2)通過取點描點連線繪制圖象即可；再觀察函數(shù)圖象即可求解；

(3)觀察函數(shù)圖象即可求解.

【詳解】(1)解：???ND=90。，ADHBC,

貝!]CD1CE,

即=90°=N。=AAEC,

則四邊形4ECD為矩形，

在RCA48E中，4B=5,BE=3,則AE=4=AD,

則矩形力ECD為邊長為4的正方形；

當(dāng)點P在48上運動時,

過點P作PH1AE于點”，

貝=jxX￡xPH=jx4xXPxsin^BAE=2x(5-x)x|=-|x+6(0<x<5),

當(dāng)點P在上運動時,

同理可得：%=2%-10(5<x<9),

—|x+6(0<x<5)

即為=

2x-10(5<x<9)

(2)當(dāng)x=0時，%=6,當(dāng)x=5時，yi=0,當(dāng)x=9時，刈=8；

將上述坐標(biāo)描點連線繪制圖象如下：

從圖象看，當(dāng)0W久W5時，為隨x的增大而減小，當(dāng)5〈久W9時，為隨x的增大而增大（答案不唯一）；

（3）從圖象看，當(dāng)月>%時%的取值范圍為：0Wx<3.3或7.1<x<9（答案不唯一）.

【點撥】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、正方形的判別和性質(zhì)、面積的計算等，其

中（1）,要注意分類求解，避免遺漏.

題型05工程問題

[例5]（2022.山東泰安統(tǒng)考二模）2020年至2022年，某區(qū)計劃三年集中攻堅農(nóng)村公路，提升修建200公

里農(nóng)村公路.已知A施工隊每天修建公路長度是B施工隊每天修建公路長度的2倍，若A.B兩個施工隊分

別獨立完成整個任務(wù)，A施工隊比B施工隊少用25天.

（1）求B施工隊每天修建公路長度是多少公里；

（2）若該區(qū)需付給4施工隊的費用為每天40萬元，需付給B施工隊的費用為每天12萬元.考慮到要不超過

20天完成整個工程，該區(qū)安排B施工隊先單獨完成一部分，剩下的部分兩個施工隊再合作完成.求8施工

隊先單獨做多少天，該區(qū)需付的全部費用最低？最低費用是多少萬元？

【答案】（1*每天修4公里

（2）B單獨做5天,該區(qū)需付的全部費用最低，總費用為840萬元

【分析】（1）設(shè)8工程隊每天維護(hù)道路的長度是龍公里，則A工程隊每天維護(hù)道路的長度是2x公里，根據(jù)

工作時間=工作總量+工作效率結(jié)合A工程隊單獨完成整個任務(wù)比B工程隊單獨完成整個任務(wù)少用25天，即

可得出關(guān)于X的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)8工程隊先單獨做機天，根據(jù)要不超過20天完成整個工程，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，

解