2024-2025學年高中數(shù)學第四章函數(shù)應(yīng)用單元質(zhì)量評估含解析北師大版必修1

PAGEPAGE6第四章單元質(zhì)量評估eq\o(\s\up7(時間：120分鐘滿分：150分),\s\do5())一、選擇題(每小題5分，共60分)1．函數(shù)f(x)＝x3－64x零點的個數(shù)為(B)A．0B．3C．1D．2解析：令f(x)＝x3－64x＝x(x－8)(x＋8)＝0，則f(x)的零點為0,8和－8.2．以下函數(shù)在區(qū)間(0,2)上必有零點的是(D)A．y＝x－3B．y＝2xC．y＝x3D．y＝lgx解析：畫出A，B，C，D四個選項的函數(shù)圖像可知，只有D選項中y＝lgx在區(qū)間(0,2)上有零點．3．函數(shù)f(x)＝3x＋eq\f(1,2)x－2的零點所在的一個區(qū)間是(C)A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)解析：由f(－2)＝eq\f(1,9)－1－2<0，f(－1)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,2)－2<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝3＋eq\f(1,2)－2>0，f(2)＝9＋1－2>0，知函數(shù)的零點在(0,1)內(nèi)，故選C.4．下列圖像中與x軸均有交點，但不宜用二分法求交點橫坐標的是(B)5．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)的一個蔬菜生產(chǎn)基地共有8位工人，過去每人年薪為1萬元，從今年起，安排每人每年的工資比上一年增加20%，并每年新招3位工人，每位新工人第一年年薪為8千元，其次年起先拿與老工人一樣數(shù)額的年薪，那么第n年付給工人的工資總額y(萬元)表示成n的函數(shù)為(A)A．y＝(3n＋5)×1.2n＋2.4B．y＝8×1.2n＋2.4nC．y＝(3n＋8)×1.2n＋2.4D．y＝(3n＋5)×1.2n－1＋2.4解析：第n年共有(3n＋8)位工人，其中新工人3人，老工人(3n＋5)人，老工人的工資總額為(3n＋5)·(1＋20%)n＝(3n＋5)×1.2n,3位新工人的工資總額為3×0.8＝2.4.所以第n年付給工人的工資總額y＝(3n＋5)×1.2n＋2.4.6．已知a是函數(shù)f(x)＝2x－logeq\f(1,2)x的零點，若0<x0<a，則f(x0)的值滿意(B)A．f(x0)＝0B．f(x0)<0C．f(x0)>0D．f(x0)的符號不確定解析：由f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，又a是f(x)的零點，則f(x0)<0.故選B.7．用二分法求方程f(x)＝0在區(qū)間(1,2)內(nèi)的唯一實數(shù)解x0時，經(jīng)計算得f(1)＝eq\r(3)，f(2)＝－5，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝9，則下列結(jié)論正確的是(C)A．x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) B．x0＝eq\f(3,2)C．x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)) D．x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))或x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))解析：∵f(2)·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<0，∴x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)).8．某家具的標價為132元，若降價以九折出售(即實惠10%)，仍可獲利10%(相對進貨價)，則該家具的進貨價是(A)A．108元B．105元C．106元D．118元解析：由題意，132元打9折，價格為132×0.9＝118.8(元)．因為這個價格相對進貨價，獲利10%，也就是說它是進貨價的110%，所以進貨價為118.8÷110%＝108(元)，故選A.9．有一個盛水的容器，由懸在它上空的一根水管勻速向容器內(nèi)注水，直至把容器注滿．在注水過程中，時刻t與水面高度y的函數(shù)關(guān)系如圖所示，圖中PQ為一線段，則與之對應(yīng)的容器的形態(tài)是圖中的(B)解析：由題中函數(shù)圖像知，水面高度y上升的速度先是由慢到快，后來速度保持不變，結(jié)合容器形態(tài)知選B.10．一塊電路板的AB線段之間有60個串聯(lián)的焊接點，知道電路不通的緣由是焊口脫落造成的，要想用二分法的思想檢測出哪處焊口脫落，至多須要檢測(B)A．4次B．6次C．8次D．30次解析：用二分法思想首先檢測1～30，若電路通，則必在31～60這30個焊口上有一個脫落，若不通，則必在1～30這30個焊口中有一個脫落，不妨設(shè)1～30不通，則其次次檢測1～15通還是不通，若通，則脫落點在16～30中的一個，若不通，必在1～15個焊口處，不妨認為是1～15不通，第三次檢測1～8，依次類推共需6次．故選B.11．設(shè)函數(shù)f(x)的零點為x1，函數(shù)g(x)＝4x＋2x－2的零點為x2，若|x1－x2|>eq\f(1,4)，則f(x)可以是(C)A．f(x)＝2x－eq\f(1,2) B．f(x)＝－x2＋x－eq\f(1,4)C．f(x)＝1－10x D．f(x)＝ln(8x－2)解析：依題意得geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝eq\r(2)＋eq\f(1,2)－2<0，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝1>0，∴x2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))).若f(x)＝1－10x，則有x1＝0，此時|x1－x2|>eq\f(1,4)，驗證其他三項，均不符合題意，因此選C.12．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖像如圖所示，則(A)A．b∈(－∞，0) B．b∈(0,1)C．b∈(1,2) D．b∈(2，＋∞)解析：由f(0)＝0得d＝0，又因為f(1)＝0，所以a＋b＋c＝0.①又因為f(－1)<0，即－a＋b－c<0.②①＋②，得2b<0，所以b<0.故選A.二、填空題(每小題5分，共20分)13．用二分法求方程x3－2x－5＝0在區(qū)間(2,4)上的實數(shù)根時，取中點x1＝3，則下一個有根區(qū)間是(2,3)．解析：設(shè)f(x)＝x3－2x－5，則f(2)<0，f(3)>0，f(4)>0，有f(2)·f(3)<0，則下一個有根區(qū)間是(2,3)．14．假如函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一個零點是0，則另一個零點是3.解析：由題意知m＋3＝0，所以m＝－3，所以f(x)＝x2－3x＝x(x－3)，所以f(x)的另一個零點是3.15．要建立一個長方體形態(tài)的倉庫，其內(nèi)部的高為3m，長與寬的和為20m，則倉庫容積的最大值為300_m解析：設(shè)長為xm，則寬為(20－x)m，倉庫的容積為V，則V＝x(20－x)·3＝－3x2＋60x,0<x<20，由二次函數(shù)的圖像知，頂點的縱坐標為V的最大值．∴x＝10時，V最大＝300(m3)．16.一位設(shè)計師在邊長為3的正方形ABCD中設(shè)計圖案，他分別以A，B，C，D為圓心，beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<b≤\f(3,2)))為半徑畫圓，由正方形內(nèi)的圓弧與正方形邊上的線段構(gòu)成了豐富多彩的圖形，如圖所示，則這些圖形中實線部分總長度的最小值為3π.解析：由題意知實線部分的總長度為l＝4(3－2b)＋2πb＝(2π－8)b＋12，l是關(guān)于b的一次函數(shù)，一次項系數(shù)2π－8<0，故l關(guān)于b的函數(shù)單調(diào)遞減，因此，當b取最大值時，l取得最小值，結(jié)合圖形知，b的最大值為eq\f(3,2)，代入上式得lmin＝(2π－8)×eq\f(3,2)＋12＝3π.三、解答題(寫出必要的計算步驟、解答過程，只寫最終結(jié)果的不得分，共70分)17．(10分)已知函數(shù)f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1.(1)m為何值時，函數(shù)的圖像與x軸有兩個交點？(2)假如函數(shù)的一個零點在原點，求m的值．解：(1)∵函數(shù)的圖像與x軸有兩個交點，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≠0，,Δ>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠－1，,4m2－4×2m＋1·2m－1>0.))整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠－1，,m<1，))即當m<1，且m≠－1時，函數(shù)的圖像與x軸有兩個交點．(2)∵函數(shù)的一個零點在原點，即點(0,0)在函數(shù)f(x)的圖像上，∴f(0)＝0，即2m－1＝0.∴m＝eq\f(1,2).18．(12分)已知函數(shù)f(x)＝x2－x＋c(c∈R)的一個零點為1.(1)求函數(shù)f(x)的最小值；(2)設(shè)g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，x≤0，,log2x＋1，x>0，))若g(t)＝2，求實數(shù)t的值．解：(1)因為函數(shù)f(x)＝x2－x＋c的一個零點為1，所以f(1)＝0，即12－1＋c＝0，解得c＝0，所以f(x)＝x2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2－eq\f(1,4).當x＝eq\f(1,2)時，函數(shù)f(x)的最小值為－eq\f(1,4).(2)g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x，x≤0，,log2x＋1，x>0，))由g(t)＝2知，當t≤0時，g(t)＝t2－t＝2，解得t＝－1，或t＝2(舍去)；當t>0時，g(t)＝log2(t＋1)＝2，解得t＝3，綜上所述，實數(shù)t的值為－1或3.19．(12分)某公司需將一批貨物從甲地運到乙地，現(xiàn)有汽車、火車兩種運輸工具可供選擇，若該貨物在運輸過程中(含裝卸時間)的損耗為300元/h，其他主要參考數(shù)據(jù)如下：運輸工具途中速度/(km/h)途中費用/(元/km)裝卸時間/h裝卸費用/元汽車50821000火車100441800問如何依據(jù)運輸距離的遠近選擇運輸工具，使運輸過程的費用與損耗之和最?。拷猓涸O(shè)運輸距離為x，運輸過程中的費用與損耗之和為y，則汽車y1＝(8x＋1000)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,50)＋2))×300＝14x＋1600，火車y2＝(4x＋1800)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,100)＋4))×300＝7x＋3000.可得y1－y2＝(14x＋1600)－(7x＋3000)＝7x－1400.當0<x<200時，y1<y2；當x＝200時，y1＝y(tǒng)2；當x>200時，y1>y2.故運輸距離小于200km時，選擇汽車運輸；等于200km時，選擇汽車、火車均可；大于200km時，選擇火車運輸．20．(12分)有甲、乙兩種商品，經(jīng)營銷售這兩種商品所得的利潤依次為M萬元和N萬元，它們與投入資金x萬元的關(guān)系可由閱歷公式給出：M＝eq\f(1,4)x，N＝eq\f(3,4)eq\r(x－1)(x≥1)．今有8萬元資金投入經(jīng)營甲、乙兩種商品，且乙商品至少要求投資1萬元，為獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品的資金投入安排應(yīng)是多少？共能獲得多大利潤？解：設(shè)投入乙種商品的資金為x萬元，則投入甲種商品的資金為(8－x)萬元，共獲得利潤y＝M＋N＝eq\f(1,4)(8－x)＋eq\f(3,4)eq\r(x－1)(1≤x≤8)．令eq\r(x－1)＝t(0≤t≤eq\r(7))，則x＝t2＋1，∴y＝eq\f(1,4)(7－t2)＋eq\f(3,4)t＝－eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,2)))2＋eq\f(37,16).故當t＝eq\f(3,2)時，可獲最大利潤eq\f(37,16)萬元．此時，投入乙種商品的資金為eq\f(13,4)萬元，甲種商品的資金為eq\f(19,4)萬元．21．(12分)如圖所示，A，B兩城相距100km，某自然氣公司安排在兩地之間建一自然氣站D給A，B兩城供氣．已知D地距A城xkm，為保證城市平安，自然氣站距兩城市的距離均不得少于10km.已知建設(shè)費用y(萬元)與A，B兩地的供氣距離(km)的平方和成正比，當自然氣站D距A城的距離為40km時，建設(shè)費用為1300萬元．(供氣距離指自然氣站到城市的距離)(1)把建設(shè)費用y(萬元)表示成供氣距離x(km)的函數(shù)，并求定義域；(2)自然氣供氣站建在距A城多遠，才能使建設(shè)供氣費用最小，最小費用是多少？解：(1)由題意知D地距B地(100－x)km，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10≤100－x，,x≥10，))∴10≤x≤90.設(shè)比例系數(shù)為k，則y＝k[x2＋(100－x)2](10≤x≤90)．又x＝40，y＝1300，所以1300＝k(402＋602)，即k＝eq\f(