2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章等式與不等式2.2不等式2.2.4均值不等式及其應(yīng)用第2課時學(xué)案含解析新人教B版必修第一冊

2.2.4均值不等式及其應(yīng)用第2課時學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解均值不等式,并能運(yùn)用均值不等式解決一些較為簡潔的問題;2.相識到數(shù)學(xué)是從實(shí)際中來的,體會思索與發(fā)覺的過程.自主預(yù)習(xí)一、常見的不等式1.a2+b2≥(a,b∈R).

2.ab≤≤a2+b22(a,二、均值定理1.均值定理的內(nèi)容:.

2.均值定理成立的條件:、、.

課堂探究1.問題探究(情境引入)推斷以下解題過程的正誤(1)已知x<0,求x+1x的最值解:x+1x≥2x·1x=2,(2)已知x≥12時,求x2+1的最小值解:x2+1≥2x2·1=2x,當(dāng)且僅當(dāng)x2即x=1時,x2+1有最小值2x=2.2.典型例題題型一求一元解析式最值例1已知x>2,則x+4x-2變式訓(xùn)練已知x<54,求函數(shù)y=4x-2+14題型二求二元解析式最值例2已知x>0,y>0,且1x+9y=1,求x+y變式訓(xùn)練已知正數(shù)x,y滿足x+y=1,則1x+4y的最小值是題型三均值不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用例3(1)已知矩形的面積為100,則這個矩形的長、寬各為多少時,矩形的周長最短?最短周長是多少?(2)已知矩形的周長為36,則這個矩形的長、寬各為多少時,它的面積最大?最大面積是多少?例3的結(jié)論可以表述為:要點(diǎn)歸納:兩個正數(shù)的積為常數(shù)時,.

兩個正數(shù)的和為常數(shù)時,.

變式訓(xùn)練將一根鐵絲切割成三段做一個面積為2m2,形態(tài)為直角三角形的框架,在下列四種長度的鐵絲中,選用最合理(夠用且奢侈最少)的是()A.6.5m B.6.8m C.7m D.7.2m題型四證明不等式例4已知a,b是實(shí)數(shù),求證:a2+b2≥2ab.并說明等號成立的條件.變式訓(xùn)練已知a,b∈R,求證:(1)(a+b)2≥4ab;(2)2(a2+b2)≥(a+b)2.核心素養(yǎng)專練1.(多選)若a,b∈R,且a·b>0,則下列不等式中,恒成立的是()A.a2+b2≥2ab B.a+b≥2abC.1a+1b>2ab D.ba2.求函數(shù)y=1x-3+x(x>33.已知x>0,y>0,且1x+1y=1,求x+y參考答案自主預(yù)習(xí)略課堂探究例1解:x+4x-2=x-2+4∵x-2>0,∴x-2+4x-2+2≥24+2=4+2當(dāng)且僅當(dāng)x-2=2,即x=4時取“=”.變式訓(xùn)練解:∵4x-5<0,∴y=4x-2+14x-5=-5-4x+15-4x+3≤-2+3=1,當(dāng)且僅當(dāng)5-4例2解:∵x>0,y>0,1x+9y=∴x+y=1x+9y(x+y)=yx+9xy+10當(dāng)且僅當(dāng)yx=9xy,即x=4,y=12時變式訓(xùn)練解:∵x+y=1,∴1x+4y=(x+y)1x+4y=∵yx+4xy≥2y∴5+yx+4xy當(dāng)且僅當(dāng)x+y=1,yx=4∴1x+4例3解:(1)設(shè)矩形的長與寬分別為x與y,依題意得xy=100.因?yàn)閤>0,y>0,所以x+y2≥xy=100=10,所以2(x+y)≥40.當(dāng)且僅當(dāng)x=y時,等號成立,由x=因此,當(dāng)矩形的長和寬都是10時,它的周長最短,最短周長為40.(2)設(shè)矩形的長與寬分別為x與y,依題意得2(x+y)=36,即x+y=18.因?yàn)閤>0,y>0,所以182=x+y2≥xy,因此xy≤9,即xy≤81.當(dāng)且僅當(dāng)x=y此時x=y=9.因此,當(dāng)矩形的長和寬都是9時,它的面積最大,最大面積為81.例3的結(jié)論表述略要點(diǎn)歸納:略變式訓(xùn)練C解析:設(shè)兩直角邊分別為a,b,直角三角形的框架的周長為l,則12ab=2,∴ab=4,l=a+b+a2+b2≥2ab+2ab=4+22≈6∵要求夠用且奢侈最少,故選C.例4證明:因?yàn)閍2+b2-2ab=(a-b)2≥0,所以a2+b2-2ab≥0,即a2+b2≥2ab,等號成立時,當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)2=0,即a=b.變式訓(xùn)練證明:(1)因?yàn)?a+b)2-4ab=(a-b)2≥0,所以(a+b)2≥4ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立.(2)因?yàn)?(a2+b2)-(a+b)2=(a-b)2≥0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立.核心素養(yǎng)專練1.AD2.53.4學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能夠嫻熟駕馭均值不等式及變形的應(yīng)用.2.能夠運(yùn)用均值不等式解決生活中的應(yīng)用問題.自主預(yù)習(xí)學(xué)問點(diǎn)一均值不等式及變形均值不等式的常見變形,試用不等號連接,并說明等號成立的條件.當(dāng)a>0,b>0時,有21a+1b

ab

當(dāng)且僅當(dāng)時,以上三個等號同時成立.

學(xué)問點(diǎn)二用均值不等式求最值用均值不等式x+y2≥xy(1)x,y是否是;

(2)求積xy的最大值時,應(yīng)看和x+y是否為;求和x+y的時,應(yīng)看積xy是否為定值;

(3)等號成立的條件是否滿足.課堂探究題型一利用均值不等式求最值例1(1)已知x>2,求x+4x-(2)設(shè)0<x<32,求函數(shù)y=4x(3-2x)的最大值跟蹤訓(xùn)練1函數(shù)y=2x+2x(x<0)的最大值為例2(1)若正實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y+6=xy,則xy的最小值是;

(2)若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2+xy=1,則x+y的最大值是.

跟蹤訓(xùn)練2已知正數(shù)x,y滿足x+y=1,則1x+4y的最小值是題型二均值不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用例3某食品廠定期購買面粉,已知該廠每天需用面粉6噸,每噸面粉的價格為1800元,面粉的保管費(fèi)及其他費(fèi)用為平均每噸每天3元,購買面粉每次需支付運(yùn)費(fèi)900元.求該廠多少天購買一次面粉,才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少?跟蹤訓(xùn)練3高三學(xué)生在新的學(xué)期里,剛剛搬入新教室,隨著樓層的上升,上、下樓耗費(fèi)的精力增多,因此不滿足度上升,已知當(dāng)教室在第n層樓時,上、下樓造成的不滿足度為n,但高處嘈雜聲較小,環(huán)境較好,因此隨著教室所在樓層的上升,環(huán)境不滿足度降低,設(shè)教室在第n層樓時,環(huán)境不滿足度為8n,則同學(xué)們認(rèn)為最相宜的教室所在的樓層應(yīng)為()A.2 B.3 C.4 D.8課堂練習(xí)1.設(shè)x>0,則y=3-3x-1x的最大值是(A.3 B.3-22C.-1 D.3-232.設(shè)a>0,b>0,若3是3a與3b的等比中項,則1a+1b的最小值為(A.8 B.4 C.1 D.13.設(shè)a,b,c∈R,ab=2,且c≤a2+b2恒成立,則c的最大值是()A.12 B.2C.14 D.核心素養(yǎng)專練核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)建?！环N常見的函數(shù)模型y=x+ax(a>0某市實(shí)施機(jī)動車單雙號限行,新能源汽車不在限行范圍內(nèi),某人為了出行便利,打算購買某種新能源汽車.假設(shè)購車費(fèi)用為14.4萬元,每年應(yīng)交付保險費(fèi)、充電費(fèi)等其他費(fèi)用共0.9萬元,汽車的保養(yǎng)修理費(fèi)為:第一年0.2萬元,其次年0.4萬元,第三年0.6萬元,…,依等差數(shù)列逐年遞增.(1)設(shè)運(yùn)用n年該車的總費(fèi)用(包括購車費(fèi)用)為f(n),試寫出f(n)的表達(dá)式;(2)問這種新能源汽車運(yùn)用多少年報廢最合算(即該車運(yùn)用多少年年平均費(fèi)用最少)?年平均費(fèi)用的最小值是多少?參考答案自主預(yù)習(xí)略課堂探究例1解:(1)∵x>2,∴x-2>0,∴x+4x-2=x-2+4x-2+2≥2當(dāng)且僅當(dāng)x-2=4x-2,即x=4時∴x+4x-2(2)∵0<x<32,∴3-2x>0,∴y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]≤22x+當(dāng)且僅當(dāng)2x=3-2x,即x=34時,等號成立∵34∈0,32,∴函數(shù)y=4x(3-2x)跟蹤訓(xùn)練1-4例2(1)18(2)2解析:(1)∵xy=2x+y+6≥22xy+6設(shè)xy=t(t>0),即t2≥22t+6,(t-32)(t+2)≥0,∴t≥32,則xy≥18.當(dāng)且僅當(dāng)2x=y且2x+y+6=xy,即x=3,y=6時等號成立,故xy的最小值為18.(2)依據(jù)題意,得1=(x+y)2-xy≥(x+y)2-x+y22=34所以43≥(x+y)2,所以x+y≤2當(dāng)且僅當(dāng)x=y>0且x2+y2+xy=1,即x=y=33時等號成立跟蹤訓(xùn)練29解析:∵x+y=1,∴1x+4y=(x+y)1x+4y=∵x>0,y>0,∴yx>0,4xy∴yx+4xy≥2yx·4xy=4,∴當(dāng)且僅當(dāng)x+y=1,yx=4∴1x+4例3解:設(shè)該廠每x天購買一次面粉,其購買量為6x噸.由題意可知,面粉的保管及其他費(fèi)用為3×[6x+6(x-1)+6(x-2)+…+6×1]=9x(x+1).設(shè)平均每天所支付的總費(fèi)用為y元,則y=1x[9x(x+1)+900]+6×1=9x+900x+10809≥29x·900x+10809=10當(dāng)且僅當(dāng)9x=900x,即x=10時,等號成立所以該廠每10天購買一次面粉時,才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少.跟蹤訓(xùn)練3B解析:由題意知,教室在第n層樓時,同學(xué)們總的不滿足度y=n+8n≥42,當(dāng)且僅當(dāng)n=8n,即n=22時,不滿足度最小,又n∈N+,分別把n=2,3代入y=n+8n,易知n=3時,y最小.故最相宜的教室應(yīng)在課堂練習(xí)1.D解析:∵x>0,∴3x+1x≥23x·1x=23,當(dāng)且僅當(dāng)x=33時取等號,∴-3x+1x≤-23,則y=3-3x-2.B解析:由題意知3a·3b=3,即3a+b=3,所以a+b=1.因?yàn)閍>0,b>0,所以1a+1b=1a+1b(a+b)=2+ba+ab≥當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時,等號成立3.D解析:∵ab=2,∴a2+b2≥2ab=4.又c≤a2+b2恒成立,∴c≤4.故選D.核心素養(yǎng)專練解:(1)由題意,得f(n)=14.4+(0.2+0.4+0.6+…+0.2n)+0.9n=14.4+0.2n(n+1)2+0.9n=0.(2)設(shè)