2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程課時(shí)分層作業(yè)含解析新人教A版選修1-1

PAGE6-課時(shí)分層作業(yè)(六)(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,169)＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(5,0)，(－5,0) B．(0,5)，(0，－5)C．(0,12)，(0，－12) D．(12,0)，(－12,0)C[c2＝169－25＝144，c＝12，故選C．]2．已知橢圓過點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－4))和點(diǎn)Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，3))，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．x2＋eq\f(y2,25)＝1B．eq\f(x2,25)＋y2＝1或x2＋eq\f(y2,25)＝1C．eq\f(x2,25)＋y2＝1D．以上都不對A[設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,25)m＋16n＝1，,\f(16,25)m＋9n＝1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝\f(1,25).))∴橢圓的方程為x2＋eq\f(y2,25)＝1.]3．若橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1的焦距為2，則m的值為()A．5 B．3C．5或3 D．8C[由題意可知m－4＝1或4－m＝1，即m＝3或5.]4．設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，則△F1PF2的面積等于()A．5 B．4C．3 D．1B[由橢圓方程，得a＝3，b＝2，c＝eq\r(5)，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2eq\r(5))2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面積為eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,2)×4×2＝4，故選B．]5．假如方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a＋6)＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(3，＋∞)B．(－∞，－2)C．(3，＋∞)∪(－∞，－2)D．(3，＋∞)∪(－6，－2)D[由于橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＞a＋6，,a＋6＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2a－3＞0，,a＞－6.))解得a＞3或－6＜a＜－2，故選D．]二、填空題6．已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)，并且焦距為6，則實(shí)數(shù)m為________．4或eq\r(34)[因?yàn)?c＝6，所以c＝3.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知a2＝25，b2＝m2，由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，所以m2＝16，又m>0，故m＝4.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知a2＝m2，b2＝25，a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m>0，故m＝eq\r(34).綜上，實(shí)數(shù)m的值為4或eq\r(34).]7．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且eq\o(PF1,\s\up8(→))⊥eq\o(PF2,\s\up8(→)).若△PF1F2的面積為9，則b＝________.3[依題意，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝2a，,|PF1|·|PF2|＝18，,|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，))可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有8．橢圓的兩焦點(diǎn)為F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，點(diǎn)P在橢圓上，若△PF1F2eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1[如圖，當(dāng)P在y軸上時(shí)△PF1F2的面積最大，∴eq\f(1,2)×8b＝12，∴b＝3.又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.]三、解答題9．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)．設(shè)橢圓C上一點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(\r(3),2)))到兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)．[解]∵橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4，∴2a＝4，a2∵點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(\r(3),2)))是橢圓上的一點(diǎn)，∴eq\f(\r(3)2,4)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2),b2)＝1，∴b2＝3，∴c2＝1，∴橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(－1,0)，(1,0)．10．已知點(diǎn)A(0，eq\r(3))和圓O1：x2＋(y＋eq\r(3))2＝16，點(diǎn)M在圓O1上運(yùn)動，點(diǎn)P在半徑O1M上，且|PM|＝|PA|，求動點(diǎn)P的軌跡方程．[解]因?yàn)閨PM|＝|PA|，|PM|＋|PO1|＝4，所以|PO1|＋|PA|＝4，又因?yàn)閨O1A|＝2eq\r(3)<4，所以點(diǎn)P的軌跡是以A，O1為焦點(diǎn)的橢圓，所以c＝eq\r(3)，a＝2，b＝1.所以動點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋eq\f(y2,4)＝1.1．“2<m<6”是“方程eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示橢圓”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件B[若eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示橢圓．則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2>0，,6－m>0，,m－2≠6－m，))∴2<m<6且m≠4.故“2<m<6”是“eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示橢圓”的必要不充分條件．]2．已知橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M在該橢圓上，且eq\o(MF1,\s\up8(→))·eq\o(MF2,\s\up8(→))＝0，則點(diǎn)M到x軸的距離為()A．eq\f(2\r(3),3) B．eq\f(2\r(6),3)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\r(3)C[設(shè)M(x0，y0)，由F1(－eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(eq\r(3)，0)得eq\o(MF1,\s\up8(→))＝(－eq\r(3)－x0，－y0)，eq\o(MF2,\s\up8(→))＝(eq\r(3)－x0，－y0)，由eq\o(MF1,\s\up8(→))·eq\o(MF2,\s\up8(→))＝0得xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝3，又eq\f(x\o\al(2,0),4)＋yeq\o\al(2,0)＝1，解得y0＝±eq\f(\r(3),3).即點(diǎn)M到x軸的距離為eq\f(\r(3),3)，故選C．]3．橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)F1的距離為2，N是MF1的中點(diǎn)，則|ON|(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的值為________．4[如圖所示．|ON|＝eq\f(1,2)|MF2|＝eq\f(1,2)(2×5－|MF1|)＝4.]4．如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，△POF2是面積為eq\r(3)的正三角形，則b2＝________.2eq\r(3)[設(shè)正三角形POF2的邊長為c，則eq\f(\r(3),4)c2＝eq\r(3)，解得c＝2，從而|OF2|＝|PF2|＝2，連接PF1(圖略)，由|OF1|＝|OF2|＝|OP|知，PF1⊥PF2，則|PF1|＝eq\r(|F1F2|2－|PF2|2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3)，所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(3)＋2，即a＝eq\r(3)＋1，所以b2＝a2－c2＝(eq\r(3)＋1)2－4＝2eq\r(3).]5．設(shè)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F2的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)(如圖所示)，∠F1F2B＝eq\f(2π,3)，△F1F2A的面積是△F1F2B面積的2倍．若|AB|＝eq\f(15,2)，求橢圓C的方程．[解]由題意可得S△F1F2A＝2S△F1所以|F2A|＝2|F2B由橢圓的定義得|F1B|＋|F2B|＝|F1A|＋|F2A|＝設(shè)|F2A|＝2|F2B|＝2在△F1F2B(2a－m)2＝4c2＋m2－2·2c·m·coseq\f(2π,3)，所以m＝eq\f(2a2－c2,2a＋c).