2024-2025學年高中數(shù)學第2章推理與證明2.1.1合情推理應用案鞏固提升新人教B版選修2-2

PAGEPAGE22.1.1合情推理[A基礎達標]1．視察數(shù)列1，5，14，30，x，…，則x的值為()A．22 B．33C．44 D．55解析：選D.視察歸納得出，從第2項起，每一項都等于它的前一項與它本身項數(shù)的平方的和，即an＝an－1＋n2，所以x＝30＋52＝55.2．給出下列三個類比結(jié)論：①類比ax·ay＝ax＋y，則有ax÷ay＝ax－y；②類比loga(xy)＝logax＋logay，則有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③類比(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，則有(xy)z＝x(yz)．其中結(jié)論正確的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選C.依據(jù)指數(shù)的運算法則知ax÷ay＝ax－y，故①正確；依據(jù)三角函數(shù)的運算法則知：sin(α＋β)≠sinαsinβ，②不正確；依據(jù)乘法結(jié)合律知：(xy)z＝x(yz)，③正確．3．視察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般結(jié)論是()A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2解析：選B.可以發(fā)覺：第一個式子的第一個數(shù)是1，其次個式子的第一個數(shù)是2，…，故第n個式子的第一個數(shù)是n；第一個式子中有1個數(shù)相加，其次個式子中有3個數(shù)相加，…，故第n個式子中有2n－1個數(shù)相加；第一個式子的結(jié)果是1的平方，其次個式子的結(jié)果是3的平方，故第n個式子應當是2n－1的平方，故可以得到n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.4．在平面直角坐標系內(nèi)，方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1表示在x軸，y軸上的截距分別為a，b的直線，拓展到空間，在x軸，y軸，z軸上的截距分別為m，n，c(mnc≠0)的平面方程為()A．eq\f(x,m)＋eq\f(y,n)＋eq\f(z,c)＝1 B．eq\f(x,mn)＋eq\f(y,nc)＋eq\f(z,mc)＝1C．eq\f(xy,mn)＋eq\f(yz,nc)＋eq\f(zx,cm)＝1 D．mx＋ny＋cz＝1答案：A5．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示．依據(jù)圖中的規(guī)律，第n個“金魚”圖須要火柴棒的根數(shù)為()A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2解析：選C.從①②③可以看出，從圖②起先每個圖中的火柴棒都比前一個圖中的火柴棒多6根，故火柴棒數(shù)成等差數(shù)列，第一個圖中火柴棒為8根，故可歸納出第n個“金魚”圖需火柴棒的根數(shù)為6n＋2.6．我們知道：周長肯定的全部矩形中，正方形的面積最大；周長肯定的全部矩形與圓中，圓的面積最大，將這些結(jié)論類比到空間，可以得到的結(jié)論是________________________．解析：平面圖形與立體圖形的類比：周長→表面積，正方形→正方體，面積→體積，矩形→長方體，圓→球．答案：表面積肯定的全部長方體中，正方體的體積最大；表面積肯定的全部長方體和球中，球的體積最大7．視察下列不等式：1＋eq\f(1,22)＜eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＜eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＜eq\f(7,4)，…照此規(guī)律，第五個不等式為________________．解析：視察每行不等式的特點，每行不等式左端最終一個分數(shù)的分母的算術(shù)平方根與右端值的分母相等，且每行右端分數(shù)的分子構(gòu)成等差數(shù)列．所以第五個不等式為1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)＜eq\f(11,6).答案：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)＜eq\f(11,6)8．將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣(如圖)：依據(jù)以上排列的規(guī)律，第n(n≥3，n∈N＋)行從左向右的第3個數(shù)為________．解析：前(n－1)行共有正整數(shù)1＋2＋…＋(n－1)＝eq\f(n2－n,2)(個)，因此第n行第3個數(shù)是全體正整數(shù)中第eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n2－n,2)＋3))個，即為eq\f(n2－n＋6,2).答案：eq\f(n2－n＋6,2)9．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通過計算a2，a3，a4，猜想an.解：因為Sn＝n2·an(n≥2)，a1＝1，所以S2＝4·a2＝a1＋a2，a2＝eq\f(1,3)＝eq\f(2,3×2).S3＝9a3＝a1＋a2＋a3，a3＝eq\f(a1＋a2,8)＝eq\f(1,6)＝eq\f(2,4×3).S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4，a4＝eq\f(a1＋a2＋a3,15)＝eq\f(1,10)＝eq\f(2,5×4).所以猜想an＝eq\f(2,n（n＋1）).10．平面中的三角形和空間中的四面體有許多相類似的性質(zhì)，例如在三角形中：①三角形兩邊之和大于第三邊．②三角形的面積S＝eq\f(1,2)×底×高．③三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的eq\f(1,2).請類比上述性質(zhì)，寫出空間中四面體的相關(guān)結(jié)論．解：由三角形的性質(zhì)，可類比得空間四面體的相關(guān)性質(zhì)為：①四面體的隨意三個面的面積之和大于第四個面的面積．②四面體的體積V＝eq\f(1,3)×底面積×高．③四面體的中位面平行于第四個面且面積等于第四個面的面積的eq\f(1,4).[B實力提升]11．將正奇數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，則第21行從左向右的第5個數(shù)為()135791113151719212325272931…A．809 B．853C．785 D．893解析：選A.前20行共有正奇數(shù)1＋3＋5＋…＋39＝202＝400(個)，則第21行從左向右的第5個數(shù)是第405個正奇數(shù)，所以這個數(shù)是2×405－1＝809.12．依據(jù)圖(1)的面積關(guān)系：eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f(PA′,PA)·eq\f(PB′,PB)，可猜想圖(2)有體積關(guān)系：eq\f(VP-A′B′C′,VP-ABC)＝________．解析：題干兩圖中，與△PAB，△PA′B′相對應的是三棱錐P-ABC，P-A′B′C′；與△PA′B′兩邊PA′，PB′相對應的是三棱錐P-A′B′C′的三條側(cè)棱PA′，PB′，PC′.與△PAB的兩條邊PA，PB相對應的是三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA，PB，PC.由此，類比題圖(1)的面積關(guān)系，得到題圖(2)的體積關(guān)系為eq\f(VP-A′B′C′,VP-ABC)＝eq\f(PA′,PA)·eq\f(PB′,PB)·eq\f(PC′,PC).答案：eq\f(PA′,PA)·eq\f(PB′,PB)·eq\f(PC′,PC)13．在公比為4的等比數(shù)列{bn}中，若Tn是數(shù)列{bn}的前n項積，則有eq\f(T20,T10)，eq\f(T30,T20)，eq\f(T40,T30)也是等比數(shù)列，且公比為4100；類比上述結(jié)論，相應地在公差為3的等差數(shù)列{an}中，若Sn是{an}的前n項和，寫出相應的結(jié)論，推斷該結(jié)論是否正確，并加以證明．解：結(jié)論：S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差數(shù)列且公差為300.此結(jié)論是正確的，證明如下：因為數(shù)列{an}的公差d＝3.所以(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝10d＋10d＋10d＋…＋10d＝100d＝300.10個同理：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，所以S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差數(shù)列且公差為300.14．(選做題)視察下面兩式：(1)tan10°·tan20°＋tan20°·tan60°＋tan60°·tan10°＝1；(2)tan5°·tan10°＋tan10°·tan75°＋tan75°·tan5°＝1.分析上面兩式的共同特點，寫出反映一般規(guī)律的等式，并證明你的結(jié)論．解：猜想：假如α＋β＋γ＝eq\f(π,2)，α，β，γ都不為eq\f(π,2)，則tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝1.證明如下：因為α＋β＋γ＝eq\f(π,2)，所以α＋β＝eq\f(π,2)－γ，所以tan(α＋β)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)