2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.2.2反證法學(xué)案含解析新人教A版選修2-2

PAGE7-2．2.2反證法[目標]1.了解反證法是間接證明的一種基本方法.2.理解反證法的思索過程，會用反證法證明數(shù)學(xué)問題．[重點]反證法的邏輯思維過程與邏輯思維方法．[難點]利用反證法解決有關(guān)問題．學(xué)問點反證法[填一填]1．反證法是間接證明的一種基本方法．2．一般地，假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最終得出沖突，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明白原命題成立，這種證明方法叫做反證法．3．反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出沖突，這個沖突可以是與已知條件沖突，或與假設(shè)沖突，或與定義、公理、定理、事實沖突等．[答一答]1．在證明命題“若p則q”的過程中，雖然否定了結(jié)論q，但在證明過程中，沒有把“綈q”當作條件利用，也推出了沖突或證得了結(jié)論，這種證明是反證法嗎？提示：不是，反證法是在假設(shè)原結(jié)論不成立的條件下推出沖突的，也就是說，之所以推出了沖突，就是因為我們假設(shè)了原結(jié)論不成立，故在用反證法時，必需把結(jié)論的否定作為條件運用，否則，就不是反證法．2．用反證法證明命題“假如a>b，那么eq\r(3,a)>eq\r(3,b)”時，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是什么？提示：應(yīng)假設(shè)eq\r(3,a)≤eq\r(3,b).類型一用反證法證明否定性命題【例1】已知三個正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列，求證：eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數(shù)列．【思路分析】由題目可獲得以下主要信息：①a、b、c三個正數(shù)成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列．②求證eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數(shù)列．不成的反面是“能成”．解答本題可選用反證法，關(guān)鍵是利用等差、等比中項．【證明】假設(shè)eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差數(shù)列，則eq\r(a)＋eq\r(c)＝2eq\r(b)，即a＋c＋2eq\r(ac)＝4b，而b2＝ac，即b＝eq\r(ac)，∴a＋c＋2eq\r(ac)＝4eq\r(ac)，∴(eq\r(a)－eq\r(c))2＝0.即eq\r(a)＝eq\r(c)，從而a＝b＝c，與a，b，c不成等差數(shù)列沖突，故eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數(shù)列．1.結(jié)論中含有“不”、“不是”、“不行能”、“不存在”等詞語的命題，此類問題的反面比較詳細，適于應(yīng)用反證法.2.反證法屬邏輯方法范疇，它的嚴謹體現(xiàn)在它的原理上，即“否定之否定等于確定”，其中：第一個否定是指“否定結(jié)論假設(shè)”；其次個否定是指“邏輯推理結(jié)果否定了假設(shè)”.反證法屬“間接解題方法”，書寫格式易錯之處是“假設(shè)”易錯寫成“設(shè)”.已知函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)(a>1)．(1)證明：函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)；(2)用反證法證明方程f(x)＝0沒有負數(shù)根．解：(1)證明：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨設(shè)x1<x2，則x2－x1>0，ax2－x1>1，且ax1>0，∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0.又∵x1＋1>0，x2＋1>0，∴eq\f(x2－2,x2＋1)－eq\f(x1－2,x1＋1)＝eq\f(x2－2x1＋1－x1－2x2＋1,x1＋1x2＋1)＝eq\f(3x2－x1,x1＋1x2＋1)>0，∴f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋eq\f(x2－2,x2＋1)－eq\f(x1－2,x1＋1)>0.故函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．(2)證法1：假設(shè)存在x0<0(x0≠－1)，滿意f(x0)＝0，則ax0＝－eq\f(x0－2,x0＋1)，且0<ax0<1，∴0<－eq\f(x0－2,x0＋1)<1.即eq\f(1,2)<x0<2，與假設(shè)x0<0沖突，故方程f(x0)＝0沒有負數(shù)根．證法2：假設(shè)存在x0<0(x0≠－1)，滿意f(x0)＝0.①若－1<x0<0，則eq\f(x0－2,x0＋1)<－2，ax0<1，∴f(x0)<－1與f(x0)＝0沖突．②若x0<－1，則eq\f(x0－2,x0＋1)>0，ax0>0，∴f(x)>0與f(x0)＝0沖突．故方程f(x)＝0沒有負數(shù)根．類型二用反證法證明唯一性命題【例2】已知：一點A和平面α.求證：經(jīng)過點A只能有一條直線和平面α垂直．【思路分析】eq\x(\a\al(分析點A和平,面α的位置關(guān)系))—eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(→\x(\a\al(用反證法證明點在,平面α內(nèi)命題成立))—,→\x(\a\al(用反證法證明點在,平面α外命題成立))—))→eq\x(命題成立)【證明】依據(jù)點A和平面α的位置關(guān)系，分兩種狀況證明．(1)如圖，點A在平面α內(nèi)，假設(shè)經(jīng)過點A至少有平面α的兩條垂線AB、AC，那么AB、AC是兩條相交直線，它們確定一個平面β，平面β和平面α相交于經(jīng)過點A的一條直線a.因為AB⊥平面α，AC⊥平面α，a?α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β內(nèi)經(jīng)過點A有兩條直線都和直線a垂直，這與平面幾何中經(jīng)過直線上一點只能有已知直線的一條垂線相沖突．(2)如圖，點A在平面α外，假設(shè)經(jīng)過點A至少有平面α的兩條垂線AB和AC(B、C為垂足)，那么AB、AC是兩條相交直線，它們確定一個平面β，平面β和平面α相交于直線BC，因為AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC?α，所以AB⊥BC，AC⊥BC.在平面β內(nèi)經(jīng)過點A有兩條直線都和BC垂直，這與平面幾何中經(jīng)過直線外一點只能有已知直線的一條垂線相沖突．綜上，經(jīng)過一點A只能有平面α的一條垂線．證明“有且只有一個”的問題，須要證明兩個命題，即存在性和唯一性.當證明結(jié)論以“有且只有”、“只有一個”、“唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題時，由于反設(shè)結(jié)論易于導(dǎo)出沖突，所以用反證法證其唯一性就較簡潔明白.已知直線m與直線a和b分別交于A，B且a∥b，求證：過a、b、m有且只有一個平面．證明：如圖，∵a∥b，∴過a、b有一個平面α.又m∩a＝A，m∩b＝B，∴A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α，又A∈m，B∈m，∴m?α.即過a、b、m有一個平面α.假設(shè)過a、b、m還有一個平面β異于平面α.則a?α，b?α，a?β，b?β，這與a∥b，過a、b有且只有一個平面相沖突．因此，過a、b、m有且只有一個平面．類型三用反證法證明“至多”、“至少”型命題【例3】用反證法證明：假如函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，那么方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至多有一個實數(shù)根．(不考慮重根)【證明】假設(shè)方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至少有兩個實數(shù)根，設(shè)α，β為它的兩個實數(shù)根，則f(α)＝f(β)＝0.因為α≠β，不妨設(shè)α<β，又因為函數(shù)f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，所以f(α)<f(β)，這與f(α)＝f(β)＝0沖突，所以方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至多有一個實數(shù)根．用反證法證明“至少”“至多”型命題，否定結(jié)論時，需弄清晰結(jié)論的否定是什么，以免出現(xiàn)錯誤.還應(yīng)細致體會“至少有一個”“至多有一個”等表達的意義.若x，y都是正實數(shù)，且x＋y>2，求證：eq\f(1＋x,y)<2與eq\f(1＋y,x)<2中至少有一個成立．證明：假設(shè)eq\f(1＋x,y)<2和eq\f(1＋y,x)<2都不成立，則有eq\f(1＋x,y)≥2和eq\f(1＋y,x)≥2同時成立．∵x>0且y>0，∴1＋x≥2y，且1＋y≥2x，兩式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，∴x＋y≤2，這與已知條件x＋y>2相沖突，∴eq\f(1＋x,y)<2與eq\f(1＋y,x)<2中至少有一個成立．反證法未用到結(jié)論的反設(shè)致誤【例4】已知實數(shù)p滿意不等式(2p＋1)(p＋2)<0，用反證法證明：關(guān)于x的方程x2－2x＋5－p2＝0無實數(shù)根．【錯解】假設(shè)方程x2－2x＋5－p2＝0有實數(shù)根，由已知實數(shù)p滿意不等式(2p＋1)(p＋2)<0，解得－2<p<－eq\f(1,2)，而關(guān)于x的方程x2－2x＋5－p2＝0的根的判別式Δ＝4(p2－4)．∵－2<p<－eq\f(1,2)，∴eq\f(1,4)<p2<4，∴Δ<0，即關(guān)于x的方程x2－2x＋5－p2＝0無實數(shù)根．【錯因分析】錯解在解題的過程中并沒有用到假設(shè)的結(jié)論，故不是反證法．【正解】假設(shè)方程x2－2x＋5－p2＝0有實數(shù)根，則該方程的根的判別式Δ＝4－4(5－p2)≥0，解得p≥2或p≤－2①，而由已知實數(shù)p滿意不等式(2p＋1)(p＋2)<0，解得－2<p<－eq\f(1,2)②.數(shù)軸上表示①②的圖形無公共部分，故假設(shè)不成立，從而關(guān)于x的方程x2－2x＋5－p2＝0無實數(shù)根．設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列．設(shè)q≠1，證明：數(shù)列{an＋1}不是等比數(shù)列．證明：假設(shè){an＋1}是等比數(shù)列，則對隨意的k∈N*，(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，aeq\o\al(2,k＋1)＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，aeq\o\al(2,1)q2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，這與已知沖突．∴假設(shè)不成立，故{an＋1}不是等比數(shù)列．1．應(yīng)用反證法推出沖突的推導(dǎo)過程中要把下列哪些作為條件運用(C)①結(jié)論的否定；②已知條件；③公理、定理、定義等；④原結(jié)論．A．①② B．②③C．①②③ D．①②④2．實數(shù)a、b、c不全為0的條件為(D)A．a(chǎn)、b、c均不為0B．a(chǎn)、b、c中至多有一個為0C．a(chǎn)、b、c中至少有一個為0D．a(chǎn)、b、c中至少有一個不為03．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b的位置關(guān)系為(C)A．確定是異面直線 B．確定是相交直線C．不行能是平行直線 D．不行能是相交直線解析：假設(shè)c∥b，而由c∥a，可得a∥b，這與a，b異面沖突，故c與b不行能是平行直線．4．在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC內(nèi)的一點，∠APB>∠APC，求證：∠BAP<∠CAP.用反證法證明時應(yīng)分：假設(shè)∠BAP＝∠CAP和∠BAP>∠CAP兩類．解析：反證法對結(jié)論的否定是全面否定，∠BAP<∠CAP的對立面就是∠BAP＝∠CAP或∠BAP>∠CAP.5．已知：非零實數(shù)a、b、c構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列，求證：eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)不行能成等差數(shù)列．證明：假設(shè)eq\f(1,a)，eq\f(1,b