2024年中考數學壓軸題型幾何綜合六種模型

專題14幾何綜合六種模型

壓軸題密押

通用的解題思路：

題型一：兩垂一圓構造直角三角形模型

平面內有兩點A,B,再找一點C,使得ABC為直角三角形

分類討論：

若NA=90°,則點C在過點A且垂直于AB的直線上（除點A夕卜）;

若NB=90°,則點C在過點B且垂直于AB的直線上（除點B夕卜）；

若NC=90°,則點C在以AB為直徑的圓上（除點A,B外）.

以上簡稱“兩垂一圓”.

“兩垂一圓”上的點能構成直角三角形，但要除去A,B兩點.

題型二：兩圓一中垂構造等腰三角形模型

if""/訶

分類討論：

若AB=AC,則點C在以點A為圓心，線段AB的長為半徑的圓上；

若BA=BC,則點C在以點B為圓心，線段AB的長為半徑的圓上；

若CA=CB,則點C在線段AB的垂直平分線PQ上以上簡稱“兩圓一中垂”

“兩圓一中垂”上的點能構成等腰三角形，但是要除去原有的點A,B,還要除去因共線無法構成三角形的點MN

以及線段AB中點E（共除去5個點）需要注意細節(jié)

1

題型三：胡不歸模型

【模型解讀】一動點P在直線MN外的運動速度為％,在直線MN上運動的速度為V2,且A、

B為定點，點C在直線/WN上，確定點C的位置使江+些的值最小.（注意與阿氏圓模型的區(qū)分）

匕匕

1）—+—=-fsC+-^^cl記k上,即求BC+kAC的最小值.

2）構造射線A。使得sinNCWN=k,—=k,CH=kAC,將問題轉化為求BC+C”最小值.

4C

3）過B點作BH1AD交MN于點C,交/W于"點，止匕時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小.

【解題關鍵】在求形如"%+kPB"的式子的最值問題中，關鍵是構造與kPB相等的線段，將"%+kPB"型問題轉

化為"%+PC"型.（若k>l,則提取系數，轉化為小于1的形式解決即可）。

【最值原理】兩點之間線段最短及垂線段最短。

題型四：阿氏圓模型

【模型解讀】如圖1所示，。。的半徑為r,點A、B都在。。外，P為。。上一動點，已知r=k-OB,連

接圖、PB,則當“PA+k-PB"的值最小時，P點的位置如何確定？

如圖2,在線段0B上截取0C使OC=k-r,則可說明△BP。與/\PCO相似，即k-PB=PC。

故本題求“PA+kPB”的最小值可以轉化為“PA+PC”的最小值，

其中與A與C為定點，P為動點，故當4P、C三點共線時，“PA+PC”值最小。如圖3所示:

2

注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：

在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“k-PA+PB”最值問題，其中P點軌跡是直線，而當P點軌跡變?yōu)?/p>

圓時，即通常我們所說的"阿氏圓”問題.

【最值原理】兩點之間線段最短及垂線段最短解題。

題型五：瓜豆原理模型（點在直線上）

【模型解讀】

瓜豆原理：若兩動點到某定點的距離比是定值，夾角是定角，則兩動點的運動路徑相同。

動點軌跡基本類型為直線型和圓弧型，本專題受教學進程影響，估只對瓜豆原理中的直線型軌跡作講解。

主動點叫瓜，從動點叫豆，瓜在直線上運動，豆也在直線一上運動；瓜在圓周上運動，豆的軌跡也是圓。

古人云：種瓜得瓜，種豆得豆.“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”。

模型1、運動軌跡為直線

1）如圖，P是直線BC上一動點，連接AP,取AP中點Q,當點P在BC上運動時，Q點軌跡是？

解析：當P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線.

理由：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N,在運動過程中，因為4P=24Q,所以QN始

終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線.

2）如圖，在△4PQ中AP=AQ,/PAQ為定值，當點P在直線BC上運動時，求Q點軌跡？

解析：當AP與AQ夾角固定且ZIP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形。

理由：當確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始

位置和終點位置，連接即得Q點軌跡線段。

3

【最值原理】動點軌跡為一條直線時，利用"垂線段最短"求最值。

1）當動點軌跡已知時可直接運用垂線段最短求最值；

2）當動點軌跡未知時，先確定動點軌跡，再垂線段最短求最值。

3）確定動點軌跡的方法（重點）

①當某動點與定直線的端點連接后的角度不變時，該動點的軌跡為直線；

②當某動點到某條直線的距離不變時，該動點的軌跡為直線；

③當一個點的坐標以某個字母的代數式表示時，若可化為一次函數，則點的軌跡為直線；

④觀察動點運動到特殊位置時，如中點，端點等特殊位置考慮；

⑤若動點軌跡用上述方法不都合適，則可以將所求線段轉化（常用中位線、矩形對角線、全等、相似）為

其他已知軌跡的線段求最值。

題型六：瓜豆原理模型（點在圓上）

【模型解讀】

模型1、運動軌跡為圓弧

模型1-1.如圖，P是圓。上一個動點，A為定點，連接AP,Q為AP中點.Q點軌跡是？

如圖，連接40,取40中點M,任意時刻，均有△4WQs/V\0P,QM:P0=AQ:AP=l:2.

則動點2是以"為圓心，為半徑的圓。

模型1-2.如圖，△APQ是直角三角形，/%（2=90。且42=（4（2，當P在圓。運動時，Q點軌跡是？

如圖，連結40,作4/WJ_A。，A0:AM=k:l；任意時刻均有△APOS/XAQM,且相似比為k。

則動點。是以M為圓心，為半徑的圓。

模型1-3.定義型：若動點到平面內某定點的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧。（常見于動態(tài)翻折中）

如圖，若P為動點，但AB=AC=AP,則B、C、P三點共圓，

4

則動點P是以A圓心，AB半徑的圓或圓弧。

模型1-4.定邊對定角（或直角）模型

1）一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧.

如圖，若P為動點，AB為定值，/APB=90。，則動點P是以AB為直徑的圓或圓弧。

2）一條定邊所對的角始終為定角，則定角頂點軌跡是圓弧.

如圖，若P為動點，AB為定值，NAPB為定值，則動點P的軌跡為圓弧。

【模型原理】動點的軌跡為定圓時，可利用："一定點與圓上的動點距離最大值為定點到圓心的距離與半徑

之和，最小值為定點到圓心的距離與半徑之差"的性質求解。

壓軸題預測

題型一：兩垂一圓構造直角三角形模型

1.（2023?安溪縣二模）如圖，是半圓。的直徑，BP1AB,與半圓。相切于點。，連接4D并延

長，交8P的延長線于點C.

（1）求證：PB=PC;

（2）若。。的半徑為5,AD=8,求8尸的長.

【分析】（1）連接OD,OP,DB,根據相切等推出AOD尸三AO5P,PB=PD,進而證明尸8=PC,

5

(2)先證明zUgOsABC。，進而求出5c的長，根據第一問，求出8尸.

【解答】(1)證明：連接8,OP,DB,

尸。與半圓。相切于點。，

/.PDLOP,BPIAB

在RtAODP與RtAOBP中,

{OD=OB

\OP=OP'

RtAODP=RtAOBP(HL),

PB=PD,

/ADB=90°,

ZCDP=90°,

在RtACDB中，

BP=PD,

點尸為BC的中點，

PB=PC；

(2)BPLAB,

ZABD+ZCBD=90°,

Z.DAB+/ABD=90°,

/DAB=ZCBD

MBDSABCD,

AD_AB

訪一旅’

BC=—,

2

BP=￡=2

24

故BP的長為”.

4

6

【點評】本題考查圓相切，相似三角形的判定等知識，解題的關鍵是三角形相似推出線段成比例.

2.（2023?平房區(qū)二模）如圖1,A48C內接于。。中，48為直徑，點。在弧8c上，連接CD.

Cl）求證：NCAB+ND=9?！?

（2）如圖2,連接0c交4D于點尸，/.DAB+2ACAD=90°,求證：AC=CD；

（3）在（2）的條件下，如圖3,點E在線段C尸上，連接/￡，BE交4D于點、H,若NEHA=2NEAH,AE=6,

OF=y/2,求線段的長.

【分析】（1）利直徑所對的圓周角是直角求得N/CB==90。，再利用同弧所對的圓周角相等即可證明；

（2）根據圓周角定理及直角三角形的性質可證明NC4D=ND,進而得出/C=CD；

（3）連接DE,BD,證出NHED=/HDE,由圓周角定理得出N/O3=90。，設4HED=NHDE=/3,則

ADHB=2p,NDBE=90。-2/3,過點8作3G_L8E交ED的延長線于點G,求出AD=2收，過點8作

3Z_LDG于點上，證出sinZLBG=sinZLEB，得出生=些，則（2也了=x（6+2x）,解方程求出乙D=ZG=1,

BGEG

由勾股定理可得出答案.

【解答】（1）證明：???A45C內接于。。中，45為直徑，

ZACB==90°,

.../CAB+/B=90°,

???AC=AC,

/B==/D,

:.NCAB+ND=90。.

(2)證明：vZDAB-^-2ZCAD=90°f

ZDAB=90°-2ZCAD,

在中，vZACB=90°,

...ZDAB=90°-ACAD-AB,

7

90°-2/CAD==90°-/CAD-/B,

/CAD=/B,

?.?NB=/D,

/CAD=ZD,

AC=CD.

(3)解：連接DE,BD,

C

■：oc垂直平分/o,

/.AE=DE=6，

NEDA=NEAH,

???ZEHA=2ZEAH,

ZEHA=2/EDA,

ZEHA=ZEDH+NHED,

ZHED=ZHDE,

?.,AB為直徑，

/.ZADB=90°,

設ZHED=/HDE=B,

:./DHB=2/3,ZDBE=90°-2/3,

過點5作交助的延長線于點G,

:.ZGDB=90°-a,ADBG=2/3,

/.AG=2/3,

BD=BG,

?/AF=DF,AO=BO,

BD=BG=2OF=2V2,

8

過點8作_LDG于點L，

DL=GL,

設DL=GL=x,

/LBG+/G=ZLEB+ZG=90°,

/.ZLBG=/LEB,

sinZLBG=sinZLEB,

.LGBG

'~BG~~EG"

(2向2=式6+2防，

解得西=-4(舍去)，x2=1,

:.LD=LG=\,

/.EL-7,LB=Vv,

BE=y/EI}+LB2=J72+(V7)2=2V14.

【點評】本題是圓的綜合題，考查了垂徑定理，圓周角定理，等腰三角形的判定與性質，銳角三角函數的

定義，勾股定理，正確添加輔助線是解決該問題的關鍵.

3.（2022?蔡甸區(qū)校級模擬）如圖，點E是正方形/BCD邊8c上一點（點E不與3、C重合），連接DE交

對角線ZC于點尸，AADF的外接圓。交邊于點G,連接G。、GE.

（1）求NEDG的度數；

RF5

（2）若---=—，求tanNDEG.

CE2

【分析】（1）由正方形的性質得出NA4c=45。，由圓周角定理可得出答案；

（2）延長BA至點P,使/尸=CE,連接。尸，證明NDCE=ADAP（SAS）,由全等三角形的性質得出DE=DP,

NCDE=ZADP,ZP=ZDEC,證明NEDG=APDG（SAS）,由全等三角形的性質得出NDEG=NP,則可

得出答案.

【解答】解：（1）?.?四邊形Z3C。是正方形，

9

...ABAC=45°，

???GF=GF,

ZEDG=ZFAG=45°；

(2)延長84至點P,使4P=CE,連接。P,

.CE~2'

.CE_2

..=—，

BC7

???四邊形ABCD是正方形，

AD=DC,ABAD=NDCE=90°,

/PAD=NDCE,

又＜AP=CE,

...\DCE=ATM尸(S4S),

/.DE=DP,ZCDE=NADP,ZP=ZDEC,

NADC=ZPDE=90°,

ZEDG=ZPDG=45°,

又DG=DG,

\EDG=\PDG(SAS),

/./DEG=ZP,

/./DEC=/DEG,

rpCF1

tanNDEG=tanZDCE=——=——=-.

CDCB7

【點評】本題考查了圓周角定理，銳角三角函數的定義，全等三角形的判定與性質，正方形的性質，熟練

掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵.

4.(2023?懷化)如圖，43是。。的直徑，點尸是。。外一點，P4與。。相切于點/,點C為。。上的一

點.連接尸C、AC、OC,^.PC=PA.

10

(1)求證：尸C為OO的切線；

(2)延長PC與48的延長線交于點。，求證：PD-OC=PA-OD；

(3)若NC4B=30。，OD=8,求陰影部分的面積.

P

【分析】(1)先由切線的性質得/尸/。=90。，然后依據“SSS”判定APOC和APQ4全等，從而得

ZPCO=ZPAO=90°,據此即可得出結論；

(2)由NDCO=ZCU尸=90。，NOOC=NPD4可判定AOOC和A/V%相似，進而根據相似三角形的性質可

得出結論；

(3)連接BC,過點C作CE_LOB于點￡,先證△。。打為等邊三角形，再設OE=〃，則CM=08=OC=2.,

CE=/a,在RtACDE和在RtADOC中，由勾股定理得CO?=C￡2+DE?=O》2一。。2,由此可求出°的值,

進而得。。的半徑為4,然后根據編影=%℃-S扇形BOC即可得出答案.

【解答】(1)證明：??,48為。。的直徑，尸/為。。的切線，

PALOA,

即：ZPAO=90°,

?點。在OO上，

OC=OA,

在△尸0c和APCU中，

OC=OA

<PC=PA,

PO=PO

NPOC=APOA(SSS),

ZPCO=NPAO=90°,

即：尸C_LOC,

又。C為0。的半徑，

PC為。。的切線.

(2)證明：由(1)可知：OCLPD,

11

...ADCO=ZDAP=90°,

又ZODC=/.PDA,

/.AODCSAPDA,

.PCOP

-7?一訪‘

即：PDOC=PAOD.

(3)解：連接BC,過點。作CE_LOB于點E,

:.ZCOB=60°,

又OC=OB,

/.A0C5為等邊三角形，

CE1OB,

OE=BE,

設?！?a,顯然aw0,

則OA=OB=OC=2a,

在RtAOCE中，OE=a,OC=2a,

由勾股定理得：CEZOC?-OE。=屆,

???OD=8,

:.DE=OD-OE=S-a,

在RtACDE中，CE=?,DE=8-a,

由勾股定理得：CD2=CE2+DE2=(V3?)2+(8-a)2,

在RtADOC中，OC=2a,OD=8,

由勾股定理得：CD2=OD2-OC-=82-(2a)2,

(V3a)2+(8-a)2-82-(2a)2,

12

整理得：a2—2a=0)

;a片0,

a=2,

OC=2a=4,CE=V3a=2^/3，

S.nf)r=—OD-CE=—x8x2A/3=8A/3)

22

?_60%x42_8%

乂1s扇形=

S陰影=SAD"—S扇形80C=8#—■

【點評】此題主要考查了切線的判定和性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，扇形

面積的計算，勾股定理的應用等知識點，解答此題的關鍵是熟練掌握全等三角形、相似三角形的判定方法,

理解切線垂直于過且點的半徑；過半徑的外端垂直于半徑的直線是圓的切線；難點是在解答(3)時，設置

適當的未知數，利用勾股定理構造方程求出圓的半徑.

5.(2023?廣陵區(qū)二模)如圖，頂點為/(-4,4)的二次函數圖象經過原點(0,0),點P在該圖象上，O尸交其

對稱軸/于點M,點W、N關于點A對稱，連接PN,ON.

(1)求該二次函數的表達式；

(2)若點尸的坐標是(-6,3),求AOPN的面積；

(3)當點P在對稱軸/左側的二次函數圖象上運動時，請解答下面問題：

①求證：ZPNM=ZONM；

②若AOPN為直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標.

【分析】(1)根據二次函數圖象的頂點設出二次函數的關系式，再根據二次函數圖象經過原點，求出。的值,

即可得出二次函數的關系式；

(2)設直線。尸的解析式為了=日，將/點代入，求出直線。尸的解析式，再把x=-4代入y=求出

”的坐標，根據點州、N關于點尸對稱，求出N的坐標，從而得出的長，再根據三角形的面積公式

13

即可得出答案.

(3)①設對稱軸/交x軸于點3,作尸C_L/于點C,由P在二次函數圖象上，設PC-工產-2/),再由。的

4

坐標，表示出直線。尸的解析式，進而表示出N及8的坐標，設對稱軸/交x軸于點3,作尸C，/于

點C,構建相似三角形：ANCPsANBO.由相似三角形的對應角相等證得結論；

②AOPN能為直角三角形，理由為：分三種情況考慮：若NONP為直角，由①得到NRW=NOMl/=45。，

可得出三角形ZCN為等腰直角三角形，得到尸C=CN,將表示出的尸C及CN代入，得到關于機的方程，

求出方程的解得到機的值為0或4土行，進而得到此時/與P重合，不合題意，故NONP不能為直角；若

ZPON為直角，利用勾股定理得到OP2+ON2=川2,由尸的坐標，利用勾股定理表示出。產，由OB及BN,

利用勾股定理表示出ONZ,由尸。及CN,利用勾股定理表示出尸以2,代入OP?0叱=P2,得到關于加

的方程，求出方程的解得到機的值為4±4也或0,然后判斷NPON是否為直角；若NNPO為直角,則有

\PMN^\BMO^\BON,由相似得比例，將各自的值代入得到關于小的方程，求出方程的解得到小的值為

4,此時/與P重合，故NNPO不能為直角，綜上，點尸在對稱軸/左側的二次函數圖象上運動時，AOPN

不能為直角三角形.

【解答】(1)解：設二次函數的表達式為了=a(x+4『+4,

把點(0,0)代入表達式，解得〃=-；.

二次函數的表達式為y=-1(x+4)2+4,

即y=―2無；

(2)解：設直線。尸為＞=履(左w0),

將尸(一6,3)代入y=區(qū)，解得左二一；，

1

y——x?

2

當x=—4時，y=2.

???點M、N關于點4對稱，

/.N(—4,6).

MN=4.

14

…S"ON=SbOMN+S"MN=12；

(3)①證明：設點尸的坐標為-2,),

其中f<-4，

設直線。尸為y=〃x(MHO),

將P(t,~t2-2。代入y=k'x,解得k'=一雪.

Z+8

y=-------x?

4

當x=—4時，y=t+8.

M(―4,%+8).

/.4N=4M=4—?+8)=T—4.

設對稱軸/交X軸于點8,作PC，/于點C,

則5(-4,0),C(-4,-；〃-27).

OB=4,A?=4+(-Z-4)=-f,PC=-4-1,

1,1,

NC=-t-(--t2-2t)=-t2+t.

J2

NC4Z+ttNB-tt

則mil=------=，=——=.

PC-4-t4OB44

.NCNB

,~PC~~OB'

又...ZNCP=ZNBO=90°，

NNCPsNNBO.

ZPNM=ZONM.

②AOPN能為直角三角形，理由如下：

解：分三種情況考慮：

⑺若NONP為直角，由①得：ZPNM=ZONM=45°,

APCN為等腰直角三角形，

/.CP=NC,BPm-4=—m2-m,

4

整理得：m2-8m+16=0,BP(m—4)2=0,

15

解得：加=4,

此時點4與點尸重合，故不存在尸點使AOPN為直角三角形；

⑻若/PCW為直角，根據勾股定理得：OPrON?=PN?,

'：OP2=m2+(-—m2-2m)2,ON2=42+m2,AN2=(m—4)2+(——m2—2m+m)2,

44

/.m2+(--m2-2m)2+42+m2=(zw-4)2+m2-2m+m)2,

44

整理得：m[m-8m-16)=0,

角畢得：加=0或加=—4—4后或一4+4后（舍去）,

當加=0時，P點與原點重合，故/PON不能為直角,

當初=—4-4后，即尸(-4-4亞，4)時，N為第四象限點，成立，故/PON能為直角;

(位)若/7VP。為直角，可得NNPM=NOBM=90。,且/PMN=/BMO,

NPMNSNBMO,

X-/ZMPN=ZOBN=90°,<ZPNM=ZOND,

,\PMNSABON,

/.\PMNs\BMOs\BON,

MBOBnn8-m4

OBNB4m

整理得：(〃L4)2=0,

解得：m=4,

此時/與P重合，故NN尸O不能為直角，

綜上，點尸在對稱軸/左側的二次函數圖象上運動時，A。尸N能為直角三角形，當機=4+4也，即

尸（-4-4啦,-4）時，N為第四象限的點成立.

16

【點評】此題考查了利用待定系數法求二次函數解析式，兩點坐標確定一次函數解析式，相似三角形的判

定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，勾股定理，以及相似三角形的判定與性質，本題（3）中的第②

小問利用的是反證法，先假設結論成立，利用邏輯推理的方法得出與已知條件，定理，公理矛盾，可得出

假設錯誤，原結論不成立.

6.（2024?寶安區(qū)二模）“海之躍”摩天輪是某地區(qū)的城市名片.濱城學校九年級（3）班的項目式學習團隊

計劃在摩天輪上測量一座寫字樓的高度.

【素材一】如圖1，“海之躍”摩天輪共有24個轎廂，均勻分布在圓周上.擬測算的寫字樓與摩天輪在同一

平面內.

【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和鉛錘，制作測角儀器（如圖2）.

,如圖3,摩天輪的最高高度為128米，半徑為60米，該團隊

分成三組分別乘坐1號、4號和10號轎廂，當1號轎廂運動到摩天輪最高點時，三組隊員同時使用測角儀

17

【任務一】初步探究，獲取基礎數據

（1）如圖3,請連接N。、BO,則NAOB=45。：

（2）求出1號轎廂運動到最高點時，4號轎廂所在位置3點的高度.（結果保留根號）

【任務二】推理分析，估算實際高度

（3）根據觀測數據，計算寫字樓的實際高度DN.（結果用四舍五入法取整數，血。1.41）

【分析】（1）由題可知，“海之躍”摩天輪共有24個轎廂，均勻分布在圓周上，其中N/O8包含了3個橋

3

廂，因止匕N/O8=——x360°=45°；

24

（2）過點3作于點￡,由題可知，點/此時的高度為最高為128米，半徑為60米，因此。點高

度為68米，根據ZAOB=45°,可得?！?。2-0$45。=30后，即可；

（3）連接08,OC,BC,由素材1,素材3可得NC08=90。，ZOBC=ZAOB=45°,則8。=60后，

2

過點。作_L5C于點/，令BF=n,由素材2,3得：DF=5BF=5n,CF=-DF=2n,可得

5

BC=60V2=3n,即〃=20后，因此尸點的高度為：68+3072-2072=68+10A/5'?82（米），即可.

【解答】解：任務一：（1）連接/。、BO,如下圖所不：

“海之躍”摩天輪共有24個轎廂，均勻分布在圓周上，其中乙4。8包含了3個橋廂,

18

3

..ZOB=—x360°=45°,

24

故答案為：45.

(2)過點8作于點E,

?.?點/此時的高度為最高為128米，半徑為60米,

點高度為68米，

???BELAO,NAOB=45。，

.-.O￡=05-cos45°=3072,

B點的高度為（68+30匹）米，

答：8點的高度為（68+30匹）米.

任務二：（3）連接。8,OC,BC,

由素材1,素材3可得NCO8=90°，NOBC=NAOB=45°,

貝！|2C=60直，過點。作。尸_L8C于點尸，

19

7

令AF=〃，由素材2,素材3的4號轎廂測量情況和10號轎廂測量情況得：DF=5BF=5?,CF=-DF=2n,

5

BC=60V2=3〃，即〃=2072,

尸點的高度為：68+300一20五=68+10后“82(米),

答：寫字樓的實際高度。N約為82米.

【點評】本題考查的是三角形的綜合體，熟練掌握勾股定理和余弦定理的運用是解題的關鍵.

7.(2022?江北區(qū)一模)如圖1,四邊形Z8CD是。。的內接四邊形，其中=對角線/C、8。相交

于點￡,在/C上取一點尸，使得N尸=/8,過點尸作交0。于點G、H.

(1)證明：\AED~AADC.

(2)如圖2,若/￡=1,且G//恰好經過圓心O,求8c-CD的值.

(3)若/E=l,EF=2,設BE的長為x.

①如圖3,用含有x的代數式表示△BCD的周長.

圖1圖2圖3圖4

【分析】(1)利用等腰三角形的性質與圓周角定理解得即可；

(2)利用垂徑定理和(1)的結論求得/C,CE的長，通過證明,利用相似三角形的性質

即可得出結論；

(3)①利用垂徑定理和(1)的結論求得/C,CE的長，再通過證明AAEDSABEC和A4E3SA￡)EC,利

用相似三角形的性質求得5C,DE,。的關系式，利用三角形周長的意義解答即可；

②利用勾股定理求得8c,則ABC。的外接圓半徑可得，設ABC。內切圓半徑為r,利用①中的結論求得2。，

8和ABC。的周長，利用三角形的面積公式列出方程，解方程即可求得A3。內切圓半徑.

【解答】(1)證明：=，

AB=AD.

...ZADB=ZACD.

20

???ZDAE=ZCAD,

\AED^\ADC.

(2)解：v\AED^/^ADC,

.AE_AD

-AD~AC'

?.?GH為。。的直徑，GHLAC,

/.AF=FC=-AC.

2

?/AB=AD,AF=AB,

AB=AD=AF,

:.AC=2AD.

?AD

,?茄一就一鼠

???AE=\,

二.AD=2.

AB=2,AC=4.

/.EC=AC-AE=3.

?.-AB=AD,

AB=AD.

/.ZACB=ZACD.

???ZBDC=ABAC,

ADECs.BC.

.CDEC

:.BC-CD=ACEC=4x3=n.

(3)角軋?vAE=\,EF=2,

AB=AD=AF=AE+EF=3.

?:\AEDS\ADC,

.AEAD

…而一就一3?

:.AC=3AD=9.

:.CE=AC—AE=8.

21

??,NCAD=/CBD,/CEB=/DEA,

AAED^ABEC.

.BEEC_BC

一~AE~^D~^4D'

x_8_BC

…廠法一亍?

Q

DE=—,BC=3x.

x

?;/ABD=NACD,/AEB=/DEC,

\AEB^\DEC.

.AE_AB

'~DE~~CD'

.1_3

''8-DC'

X

24

/.DC=——.

x

74Q32

\BCD的周長=BC+CQ+BE+OE=3x+——+x+—=4x+——.

XXX

②BC為OO的直徑，

ZBAC=90°.

BC=y1AB-+AC2=^32+92=3麗.

外接圓半徑為亞.

2

在RtAABE中,

BE=\IAE2+AB?=A/12+32=VW.

由①的結論可得：DE=~=-y/\0,

105

_24_12

CrnD——,——V1U,

VIo5

A8CD的周長=4而+半史麗，

5

：.BD=BE+DE=-41O.

5

設AB。內切圓半徑為廠，

-xABCD的周長xr=LxAD.C。.

22

22

—Vior=-Vwx—Vio.

555

r=—VTo.

|加2

，ABC。內切圓半徑與外接圓半徑的比值=1—=4.

3加5

2

【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質，圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定與性質，三角形

的外接圓半徑和內切圓半徑，熟練掌握圓的有關性質和相似三角形的性質是解題的關鍵

題型二：兩圓一中垂構造等腰三角形模型

1.(2022?開州區(qū)模擬)如圖，在等腰RtAABC中，AB=BC,。是8c的中點，E為/C邊上任意一點，

連接。E,將線段DE繞點。逆時針旋轉90。得到線段。尸，連接￡尸，交4S于點G.

(1)如圖1,若=6,AE=母,求ED的長；

(2)如圖2,點G恰好是歷的中點，連接8尸，求證：CD=41BF；

(3)如圖3,若AB=4C,連接CF,當CF+與BF取得最小值時.請直接寫出SACEF的值.

【分析】(1)過點￡作于點〃，得/。/汨=90。，在等腰直角三角形/8C中，求出3c=6,AC=642,

再證明AC77E也是等腰直角三角形，最后在RtADHE中，求出DE即可；

(2)過點E作EM//BF于4B交點M,過點。作DN_L8。交NC于N,得出ACDN為等腰直角三角形，

再證明ASFD=N￡7)(S/S),\EMG=\FBG{AAS),最后在等腰RtACDN中，求出CO與8尸關系；

(3)如圖3-1中，取/C的中點7,連接。T,BT,則A5DT是等腰直角三角形.首先證明點尸在直線BT

上運動，如圖3-2中，取的中點。，連接3Q,作"于點X,CJLBQ于點、J,交37于點R.再

證明當點歹與R重合時，C尸+好8月的值最小，即可解決問題.

5

23

【解答】解：（1）如圖，過點E作E〃_L8C于點77,

ACHE=90°,

在等腰直角二角形/3C中，

,/AB=6,

BC=6,AC=642,

:D為BC中點，

:.CD=-BC,

2

?.?/￡=行，

:.CE=AC-CE=542,

???ZC=45°,

ACHE也是等腰直角三角形，

CH=EH=5,

HD=CH-CD=2,

：.在RtADHE中，DE=NEH?+HD。=729.

(2)如圖，過點、E作EM//B尸于交點M,過點。作。N_L8C交/C于N,

.?.△CZW為等腰直角三角形,

24

...CD=ND,

???BD=CD,

BD=DN,

???Z5+ZBDE=/6+ZBDE,

/.N5—N6，

在A5陽和A7VEZ)中，

BD=DN

<N5=N6，

DF=DE

:.\BFD=NED(SAS),

:.BF=EN,Z3=Z4,

在.AWG和AF5G中，

Z1=Z2

<ZMGE=ZBGF,

GF=GE

:.\EMG=\FBG{AAS),

ME=BF,

/.ME=EN,

Z2+Z3=45°,

Zl+Z4=45°,

/./MEN=Z1+Z4+/FED=90°,

ZAEM=90°,

/.是等腰直角三角形，

AE=ME=BF=EN,

:.BF=-AN，

2

?/DN/IBC,。是5C的中點，

/.CN=AN,

:.BF=-CN,

2

5

又???在等腰RtACDN中，CD=—CN,

2

25

/.CD=42BF.

(3)如圖3-1中，取4c的中點T,連接。T,BT,則A5QT是等腰直角三角形.

/.ZBDF=ZTDE,

???DB=DT,DF=DE,

NBDF=ATDE(SAS),

/DBF=/DTE=135。，

?「ZDBT=135°，

:.F,B,T共線,

/.點F在直線BT上運動，

如圖3-2中，取4T的中點Q,連接BQ,作于點H,C/L5。于點J,交BT于點、R.

圖3-2

FHQT1

???tan/FBH=——==-，

BHBT2

V5

:.FH=—BF,

5

V?

CF+—BF=CF+FH?CJ,

5

.?.當點b與H重合時，。尸+好5月的值最小,

5

26

ABTQ=ZCTR=90°,BT=CT,NQBT=NRCT,

:.NBTQ=\CTR(ASA),

TR=QT,

---AB=BC=472,AABC=90°,

AC=y/2AB=8,

：.AT=CT=BT=4,QT=RT=2,

BF=TE=2,

S.CFF=--CE-FT=-x2x2=2.

ACEF22

【點評】本題考查了幾何變換的綜合應用，解題關鍵是正確作出輔助線，能判定出全等三角形，解直角等

腰三角形.

2.(2023春?璧山區(qū)校級期中)如圖，直線＞=依+6經過點/(8,0)和2(0,4)兩點，將A4O8沿直線/對折使

點力和點3重合，直線/與x軸交于點。與交于點。，點。的縱坐標為2,連接8C.

(1)求直線N3的解析式；

(2)若點E在x軸的負半軸上，且ASED的面積為10,求A8OE的周長；

(3)已知y軸上有一點P,若以點8,C,尸為頂點的三角形是等腰三角形，直接寫出所有滿足條件的點

【分析】(1)根據給出的/、B兩點坐標，代入表達式，即可求出的解析式；

(2)根據AD=3。可以得出AADE的面積和NBDE的面積相等，然后過。作。尸_Lx軸，可以求出AE的長,

然后得到OE的長，通過勾股定理，可以得到的長，即可得到A8OE的周長；

(3)根據題意，當8尸=8C時，可得到兩個尸點，通過3點的縱坐標±8。長可以得到對應的尸點坐標，當

BC=CP,可以得到一個。點坐標，通過等腰三角形，可以得到尸點坐標，當PB=PC,可知P點在3c的

垂直平分線上，通過等腰三角形，導邊可以得出尸點的坐標.

27

【解答】解：(1)將點4(8,0)和5(0,4)代入0=履+:中,得：

[0=8左+6

[4=b'

k=--

解得：2，

6=4

故48的解析式為：y=--x+4；

2

(2)

V將AAOB沿直線I對折使點/和點8重合，

AC=BC，

設OC=x,貝|J8c=4C=8-x,

在RtAOBC中，

x2+42=(8-x)2,

..x—3,

。。=3,

/.AD=BD,

…S^ADE=^\BDE=

???點。的縱坐標為2,

過。作ZM/_Lx軸交X軸于點M,

DM=2,

,：S^ADE=AE.DM,

4E=10,

/.0E=2,

0B=4,

BE=^OE2+OB2=2A/5,

:'C20E=2+4+2V5=6+2V5；

(3)以B點為圓心，BC長為半徑作圓，交y軸于耳、鳥兩點，以。點為圓心，長為半徑作圓，交y軸

于點鳥，在y軸上找一點與，使尸45=尸