2024年中考數(shù)學壓軸題型轉化思想在兩種題型中的應用（學生版）

專題16轉化思想在兩種題型中的應用

壓軸題密押

通用的解題思路：

轉化思想方法包含三個基本要素：

1、把什么東西轉化，即轉化的對象；

2、轉化到何處去，即轉化的目標；

3、如何進行轉化，即轉化的方法。

轉化思想方法應遵循以下五條原則：

1、熟悉化原則:將陌生的問題轉化成熟悉的問題，以利于我們運用熟悉的知識、經驗和問題來解決；

2、簡單化原則:將復雜問題轉化成簡單問題，通過對簡單問題的解決，達到解決復雜問題的目的，或獲得某

種解題的啟示和依據(jù)：3、和諧化原則:轉化問題的條件或結論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內部所表示和諧

統(tǒng)的形式，或者轉化命題，使其推演有利于運用某種數(shù)學方法或符合人們的思維規(guī)律:4、直觀化原則:將比

較抽象的問題轉化為比較直觀的問題來解決;5、正難則反原則:當問題正面討論遇到困難時，應想到考慮問

題的反面，設法從問題的反面去探求，使問題獲得解決或證明的可能性。

壓軸題預測

題型一：圓中的轉化思想

1.（2023?齊齊哈爾）綜合與實踐：

數(shù)學模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學應用的基本途徑.通過探究圖形的變化規(guī)律，再結合其他數(shù)學知

識的內在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學經驗，并將其運用到更廣闊的數(shù)學天地.

（1）發(fā)現(xiàn)問題：如圖1,在AABC和中，AB^AC,AE=AF,NBAC=NE4尸=30。，連接3E,CF,

延長3E交5于點。.則3E與CF的數(shù)量關系：,NBDC=°；

（2）類比探究：如圖2,在AABC和AAEF中，AB=AC,AE=AF,ZBAC=ZEAF=UQ0,連接BE,

CF,延長3E,Q交于點D.請猜想BE與CF的數(shù)量關系及NBDC的度數(shù)，并說明理由；

（3）拓展延伸：如圖3,AABC和AAEF均為等腰直角三角形，ZBAC=ZEAF=90°,連接BE,CF,且

點、B,E,尸在一條直線上，過點A作40，班'，垂足為點則5R,CF,A〃之間的數(shù)量關系：；

（4）實踐應用：正方形ABCD中，AB=2,若平面內存在點P滿足NBPD=90。，PD=1,則.

備用圖

2.(2024?介休市模擬)閱讀與思考

如圖是小強同學的數(shù)學課堂筆記本，請仔細閱讀，并完成相應的任務.

平面直角坐標系與直角三角形

尤年x月x日星期三

原理：根據(jù)直角三角形的定義，性質，判定，以直角三角形頂點分三種情況進行分類討論.口

訣：“兩線一圓”

作圖：舉例如下：己知4(3,0)、5(0,4),在直線x=l上求點C,使得AA5C為直角三角形.以

下分三種情況討論：

情況一：當A為直角頂點時，過點A作AS的垂線/交直線x=l于點C,則交點即為所求點

c.如圖①，有G一個點；

情況二：當3為直角頂點時，過點3作的垂線/交直線x=l于點C,則交點即為所求點

C.如圖②，有一個點；

情況三：當C為直角頂點時，以AB為直徑作圓，則該圓與直線x=l的交點即為所求點C.如

圖③，有C3,C4兩個點；

方法：一、幾何法：構造“K型”或“一線三垂直”相似；

二、代數(shù)法：兩點間的距離公式，列方程，解方程，檢驗根;

三、解析法：求垂線解析式，聯(lián)立方程組求交點.

任務：（1）上面課堂筆記中的分析過程，主要運用的數(shù)學思想是（從下面選項中選出兩個即可）;

A.數(shù)形結合

B.統(tǒng)計思想

C.分類討論

D.轉化思想

（2）選擇一種課堂筆記本中記載的方法，求出“情況一”中的坐標.

（3）直接寫出“情況二”中C2的坐標

（4）請你寫出在“情況三”中，確定C3、C,的坐標位置及求坐標過程中，所依據(jù)的數(shù)學定理或原理（寫

出一個即可）.

3.(2023?吳川市二模)已知：的直徑AB=1O,C是AB的中點，D是O上的一個動點(不與點A、

B、C重合)，射線CD交射線至于點E.

(1)如圖1,當班1=時，求線段CD的長;

(2)如圖2,當點。在8c上運動時，連接3C、BD,ABCD中是否存在度數(shù)保持不變的角？如果存在,

請指出這個角并求其度數(shù)；如果不存在，請說明理由;

(3)聯(lián)結OD,當AODE是以DE為腰的等腰三角形時，求AODE與ACBE面積的比值.

4.(2023?微山縣二模)如圖，AABC中，NC=90。，NA3c的平分線交AC于點。，點O在AB上，以點

。為圓心，以OB為半徑的圓經過點。，交BC于點E,交AB于點

(1)求證：47與(O相切;

3

(2)若瓦)=10,sinZDBC=-,求AF的長.

5

CEB

5.(2023?花都區(qū)一模)如圖，O是AABC的外接圓，直徑AB=10,8c=8,AE平分NC4B交3c于點

E.

(1)尺規(guī)作圖：在AE的延長線上取一點尸，使得BF=BE,連接8尸；(保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)在(1)所作的圖中：

①證明：3尸是的切線；

②求出的值.

6.(2023?阿城區(qū)模擬)已知：AB.DF是。的直徑，弦CD_LAB,垂足為E,過點尸的切線與DC的

延長線交于點G,連接BC.

/

GC

B

圖2

(1)如圖1,求證：ZFGD=2Z.BCD；

(2)如圖2,過點A作方交O于點垂足為求證AM=CD；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接MC并延長與。！8的延長線交于點K,連接3C,若NHDC=2ZMHC,

MK=6,求bG的長.

7.（2023?松江區(qū)二模）如圖1,AB是半圓。的直徑，C是半圓O上一點，點。與點O關于直線AC對稱,

射線47交半圓。于點￡）,弦AC交（70于點E、交OD于點、F.

（1）如圖2,。恰好落在半圓。上，求證：O/=BC；

如果。，求色的值:

(2)NZMB=30

O'D

8.（2023?碑林區(qū)校級模擬）如圖①，已知線段與直線上過4、3兩點，作O使其與直線/相切，切

點為P,易證NAP3=/AHB>NAQ3,可知點P對線段AB的視角最大.

問題提出

（1）如圖②，已知A4B尸的外接圓為（O,P。與.O相切于點尸，交AB的延長線于點Q.

①請判斷NBPQ與N4的大小關系，并說明理由.

②若QB=2,AB=6,求尸。的長.

問題解決

（2）如圖③，一大型游樂場入口拉?設在道路DN邊上，在“雪亮工程”中，為了加強安全管理，結合現(xiàn)

實情況，相關部門準備在與地面道路DV夾角為60。的射線DM方向上（位于垂直于地面的平面內）確定一

個位置C,并架設斜桿AC,在斜桿AC的中點P處安裝一攝像頭，對入口AB實施監(jiān)控（其中點A、B、

D、P、C、M、N在同一平面內），已知ZM=40米，AB=25米，調研發(fā)現(xiàn)，當ZAPS最大時監(jiān)控效果

最好，請問在射線DM上是否存在一點C,使得/4PB達到最大？若存在，請確定點C在DM上的位置及

斜桿AC的長度；若不存在，請說明理由.

PQ

圖②

圖③

9.(2021?濱城區(qū)一模)如圖，在RtAABC中，NB=9O。，=點E在AC上，以AE■為直徑的O經

過點D.

(1)求證：①3c是。的切線;

@CD2=CECA；

(2)若點F是劣弧的中點，且CE=3,試求陰影部分的面積.

CEO

10.(2022?雁塔區(qū)校級四模)(1)如圖①，在AABC中，AB^AC,ABAC=120°,BC=U,求AABC外

接圓的半徑一

(2)如圖②，O是一個半徑為200米的圓形廣場，弦至是廣場上一個長為200百米的納涼演繹舞臺，

現(xiàn)計劃在廣場上建一個長為200米的手工藝集市CD,并在舞臺AB和集市CD之間修建兩個休閑長廊AD和

BC,規(guī)劃長廊、舞臺、集市圍成四邊形ABCD為活動區(qū)域，那么能否在優(yōu)弧上確定兩點C、。，使得

長廊AD+3C最長？若能，請求出AD+BC的最大值，并計算此時44￡＞的度數(shù)及四邊形MCD的面積；

若不能，請說明理由.

AA/----------------XB

圖①

圖②

11.(2022?青秀區(qū)校級一模)如圖，是：O的直徑，AC是弦，點E在圓外，OE_LAC于點￡),BE交

。于點尸，連接3D、BC、CF,ZBFC=ZAED.

(1)求證：AE是：O的切線；

(2)求證：OB2=ODOE；

7q

(3)設AB4O的面積為S],AfiDE的面積為S2，若tanNQD3=—,求」的值.

BC

題型二：函數(shù)中的轉化思想

1.（2021?南岸區(qū)校級模擬）初中階段的函數(shù)學習中，我們經理了列表、描點、連線畫函數(shù)圖象，并結合圖

象研究函數(shù)性質的過程，以下我們研究函數(shù)y=|二乙?一2性質及應用的部分過程,請按要求完成下列各小題.

x-2

（1）下表是X與y的幾組值，請在表格中的空白處填上恰當?shù)臄?shù)字；

X-4-3-11011345

~22

_244_8_44

y—04—

3535-33

（2）在平面直角坐標系中，補全描出表格中數(shù)據(jù)對應的各點，補全函數(shù)圖象;

（3）觀察函數(shù)y=|2-2的圖象，請寫出函數(shù)的一條性質：—.

x一2

（4）若方程y+gx=9為常數(shù)）有三個實數(shù)解，則f的取值范圍為一.

<i->

Ur

L

A

4

J

*o

1

1

7力

一?)—[-，一>—q>；\!i1

jn

-H-

2.(2021?望奎縣模擬)自主學習，請閱讀下列解題過程.

解一元二次不等式：x2-5%>0.

解：設尤2-5x=0,解得:x,=0,x2=5,則拋物線y=V-5x與x軸的交點坐標為(0,0)和(5,0).畫出二

次函數(shù)y=/-5x的大致圖象(如圖所示)，由圖象可知：當彳<0,或x>5時函數(shù)圖象位于x軸上方，此時

y>0,即爐-5%>0,所以，一元二次不等式爐-5x>0的解集為：x<0,或x>5.

通過對上述解題過程的學習，按其解題的思路和方法解答下列問題：

(1)上述解題過程中，滲透了下列數(shù)學思想中的—和—.(只填序號)

①轉化思想②分類討論思想③數(shù)形結合思想

(2)一元二次不等式f-5x<0的解集為—.

(3)用類似的方法解一元二次不等式：X2-2X-3>0.

3.（2024?全椒縣一模）如圖1,拋物線>=尤2一以與x軸相交于原點。和點A,直線y=