八年級上冊《角平分線的作法及性質(zhì)》課件與同步練習(xí)

12.3角的平分線的性質(zhì)

第1課時(shí)角平分線的作法及性質(zhì)右圖是一個(gè)平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC，將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是∠DAB的平分線．你能說明它的道理嗎？ABDC新課導(dǎo)入E學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．學(xué)會(huì)角平分線的畫法.2．探究并認(rèn)知角平分線的性質(zhì).3．熟練地運(yùn)用角平分線的性質(zhì)解決實(shí)際問題.推進(jìn)新課證明：在△ACD和△ACB中，AD=AB（已知），DC=BC（已知），CA=CA（公共邊）∴△ACD≌△ACB（SSS）．∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的對應(yīng)角相等）.∴AC平分∠DAB（角平分線的定義）.ADBCE從利用平分角的儀器畫角的平分線的過程中，你受到哪些啟發(fā)？如何利用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角的平分線？用尺規(guī)作角的平分線知識點(diǎn)1利用尺規(guī)作角的平分線的具體方法:

ABOMNC

1．以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N．3．畫射線OC．射線OC即為所求．

2．分別以點(diǎn)M，N為圓心．大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于點(diǎn)C．

你能說明為什么射線OC

是∠AOB

的平分線嗎？ABOMNC練習(xí)1平分平角∠AOB，通過作角平分線得到射線OC，然后反向延長OC得到直線CD，直線CD與直線AB存在什么樣的位置關(guān)系？互相垂直.練習(xí)2給一張三角形紙片，你能不借助任何工具找到某一個(gè)角的平分線嗎？能，將這個(gè)三角形沿過一個(gè)頂點(diǎn)的線折疊，使在該頂點(diǎn)的角的兩邊重合，則這條線就是這個(gè)角的平分線.角的平分線的性質(zhì)知識點(diǎn)2利用尺規(guī)我們可以作一個(gè)角的平分線，那么角的平分線有什么性質(zhì)呢？

如圖，任意作一個(gè)角∠AOB，作出∠AOB的平分線OC，在OC

上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P

畫出OA，OB

的垂線，分別記垂足為D，E，測量PD，PE

并作比較，你得到什么結(jié)論？探究在OC

上再取幾個(gè)點(diǎn)試一試．通過以上測量，你發(fā)現(xiàn)了角的平分線的什么性質(zhì)？觀察測量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫出結(jié)論：____________.

PD

PE

第一次第二次第三次

PD=PE已知：∠AOC=∠BOC，點(diǎn)P

在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．求證：PD

=PE．角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．題設(shè)：

一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上．結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等．證明:∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO

，∠AOC=∠BOC

，

OP=OP

，

∴

△PDO≌△PEO（AAS）.∴PD=PE

.∵OC是∠AOB的平分線，

PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．幾何語言：角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．由角的平分線的性質(zhì)的證明過程，你能概括出證明幾何命題的一般步驟嗎？（1）明確命題中的已知和求證；（2）根據(jù)題意，畫出圖形，并用符號表示已知和求證；（3）經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程．

角的平分線的性質(zhì)的作用是什么？主要是用于判斷和證明兩條線段是否相等，與以前的方法相比，運(yùn)用此性質(zhì)不需要先證兩個(gè)三角形全等．ABOPCDE練習(xí)1

下列結(jié)論一定成立的是

．（1）如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，D，E分別為OA，OB上的點(diǎn)，則PD=PE．ABOPCDE練習(xí)1

下列結(jié)論一定成立的是

．（2）如圖，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，則PD=PE．練習(xí)1

下列結(jié)論一定成立的是

．（3）如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，垂足為D．若PD=3，則點(diǎn)P到OB的距離為3．ABOPCD（3）在此題的已知條件下，你還能得到哪些結(jié)論？練習(xí)2

如圖，△ABC中，BD=CD，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：EB=FC．ABCDEF證明：∵AD是角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.在Rt△DEB和Rt△DFC中，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）.∴EB=FC.ABCDEF隨堂演練1.如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C、D．下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.PC=PDB.OC=ODC.∠CPO=∠DPOD.OC=PO基礎(chǔ)鞏固D2.如圖，在直線MN上求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到射線OA和OB的距離相等.【課本P50練習(xí)第1題】2.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，則下列四個(gè)結(jié)論：綜合應(yīng)用①AD

上任意一點(diǎn)到點(diǎn)C、點(diǎn)B的距離相等；②AD上任意一點(diǎn)到AB，AC的距離相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF．其中，正確的個(gè)數(shù)是（）A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)D3.如圖，點(diǎn)D、B分別在∠MAN的兩邊上，C是∠MAN內(nèi)一點(diǎn)，AB=AD，BC=CD，CE⊥AM于E，CF⊥AN于F.求證：CE=CF.拓展延伸證明：在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC(SSS).∴∠DAC=∠BAC.∴AC平分∠MAN.∵CE⊥AM，CF⊥AN，∴CE=CF.課堂小結(jié)ABOMNC角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．1.從課后習(xí)題中選??；2.完成練習(xí)冊本課時(shí)的習(xí)題。課后作業(yè)1．如圖，小李用直尺和圓規(guī)作∠CAB的平分線AD，是由△ADF≌△ADE得出∠CAD＝∠DAB，而△ADF≌△ADE的依據(jù)是(

)A．ASA B．AASC．SSS D．SASC2．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D.若BC＝64，且BD∶CD＝9∶7，則點(diǎn)D到邊AB的距離為(

)A．18 B．24C．28 D．32C3．如圖，已知點(diǎn)P是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，PD⊥OA，PD＝4.若點(diǎn)C是OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PC的最小值為(

)A．2 B．2.5C．3 D．4D4．如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，∠AFD＝90°，DE＝2，則DF的長是______.25．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且AB＝5cm，AC＝3cm，BC＝4cm，則△DEB的周長為______cm.66．如圖，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，S△ABC

＝36cm2

，AB＝18cm，BC＝12cm，求DE的長．解：如圖，過點(diǎn)D作DF⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)F.∵DE⊥AB，DF⊥BC，BD是∠ABC的平分線，∴DE＝DF，第十二章全等三角形12.3角的平分線的性質(zhì)《第1課時(shí)角的平分線的性質(zhì)》同步練習(xí)1角的平分線的尺規(guī)作圖1．如圖，作∠AOB的平分線，作法如下：①以________為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交兩邊于點(diǎn)C，D.②分別以點(diǎn)C，D為圓心，______________的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E.③則射線OE就是∠AOB的平分線．這樣做的依據(jù)是__________.點(diǎn)OSSS2．(如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AC上，且AD＝AB.(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出∠A的平分線(保留作圖痕跡，不寫作法)．(2)若(1)中所作的角平分線與邊BC交于點(diǎn)E，連接DE.求證：DE＝BE.解：(1)如圖所示，即為所求，(2)證明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠DAE.∵AB＝AD，AE＝AE，∴△BAE≌△DAE(SAS)，∴DE＝BE.2角的平分線的性質(zhì)3．如圖，已知BG

是∠ABC

的平分線，DE⊥AB

于點(diǎn)

E，DF⊥BC

于點(diǎn)

F，DE＝6，則DF

的長是(

)A．2 B．3C．4 D．6D4．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，CD＝2，AB＝7，則△ABD的面積是(

)A．6 B．7C．8 D．14B5．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E.若CB＝6，則DE＋DB＝(

)A．4 B．5C．6 D．7C6．如圖，∠B＝∠D＝90°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)填空．(1)若∠1＝∠2，則BC＝________.(2)若∠3＝∠4，則________＝AD.DCAB7．如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，AD＝13，則點(diǎn)E到直線AD的距離為______.8．如圖，BD平分∠ABC，DA⊥AB于點(diǎn)A，AD＝2，點(diǎn)P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，則DP長的最小值為______.29．如圖，點(diǎn)D是△ABC的外角∠ACG的平分線上的一點(diǎn)．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn).求證：CE＝CF.證明：∵CD是∠ACG的平分線，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF.10．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)I為△ABC各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，過點(diǎn)I作AC的垂線，垂足為點(diǎn)H，若BC＝3，AB＝4，AC＝5，則IH的長為(

)A11．教材P52T7改編如圖，AB∥CD，BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，AD過點(diǎn)P，且與AB垂直．若AD＝8，則點(diǎn)P到BC的距離是______.412．如圖，OD平分∠AOB，OA＝OB，點(diǎn)P為OD上一點(diǎn)，PM⊥BD于點(diǎn)M，PN⊥AD于點(diǎn)N.求證：PM＝PN.證明：∵OD平分∠AOB，∴∠BOD＝∠AOD.在△OBD和△OAD中，∴△OBD≌△OAD(SAS)，∴∠BDO＝∠ADO.∵PM⊥BD，PN⊥AD，∴PM＝PN.13．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊AC上，BD＝DF.(1)求證：CF＝EB.(2)若AB＝12，AF＝8，求CF的長．解：(1)證明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于點(diǎn)E，∴DE＝DC.在Rt△CDF和Rt△EDB中，∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)，∴CF＝EB.(2)設(shè)CF＝x，則AE＝12－x.在Rt△ACD和Rt△AED中，∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，∴AC＝AE，即8＋x＝12－x，解得x＝2，即CF＝2.14．在四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC＋∠ADC＝180°.(1)如圖1，求證：CD＝CB.(2)如圖2，O為AC的中點(diǎn)，M為AB上一點(diǎn)，BM＝AD.求證：CM＝2DO.解：(1)如圖1，過點(diǎn)C分別作CE⊥AB于點(diǎn)E，CF⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)F，則∠CEB＝∠CFD＝90°.∵∠ADC＋∠CDF＝180°，∠ADC＋∠ABC＝180°，∴∠CDF＝∠ABC.∵AC平分∠DAB，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，∴△CDF≌△CBE(AAS)，∴CD＝CB.(2)如圖2，延長DO至點(diǎn)N，使ON＝DO，連接AN.∵AO＝OC，∠AON＝∠COD，∴△AON≌△COD(SAS)，∴∠N＝∠CDO，AN＝CD＝CB，∴CD∥AN，∴∠D