北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)與常見(jiàn)題型通關(guān)講解練第03講勾股定理的應(yīng)用(3種題型)(原卷版+解析)

第03講勾股定理的應(yīng)用（3種題型）【知識(shí)梳理】一．勾股定理的應(yīng)用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．（3）常見(jiàn)的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長(zhǎng)度．②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個(gè)直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外作正多邊形，以斜邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積等于以直角邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積和．③勾股定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用：運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問(wèn)題．④勾股定理在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個(gè)無(wú)理數(shù)表示成直角邊是兩個(gè)正整數(shù)的直角三角形的斜邊．二．平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題（1）平面展開(kāi)﹣?zhàn)疃搪窂絾?wèn)題，先根據(jù)題意把立體圖形展開(kāi)成平面圖形后，再確定兩點(diǎn)之間的最短路徑．一般情況是兩點(diǎn)之間，線段最短．在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．（2）關(guān)于數(shù)形結(jié)合的思想，勾股定理及其逆定理它們本身就是數(shù)和形的結(jié)合，所以我們?cè)诮鉀Q有關(guān)結(jié)合問(wèn)題時(shí)的關(guān)鍵就是能從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型．【考點(diǎn)剖析】題型一．勾股定理的實(shí)際應(yīng)用例1．如圖，一棵樹(shù)從處折斷了，樹(shù)頂端離樹(shù)底端距離，那么這棵樹(shù)原來(lái)的高度是A． B． C． D．【變式】如圖在實(shí)踐活動(dòng)課上，小華打算測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，她發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面后還多出，當(dāng)她把繩子斜拉直，且使繩子的底端剛好接觸地面時(shí)，測(cè)得繩子底端距離旗桿底部，由此可計(jì)算出學(xué)校旗桿的高度是A． B． C． D．例2．如圖，一個(gè)直徑為20cm的杯子，在它的正中間豎直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，當(dāng)木棍倒向杯壁時(shí)（木棍底端不動(dòng)），木棍頂端正好觸到杯口，求木棍長(zhǎng)度．【變式】小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多了1m，當(dāng)他把繩子的下端拉開(kāi)5m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高．題型二．平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題例3．如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根細(xì)線從點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)，那么用細(xì)線最短需要（）A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm例4．一個(gè)上底和下底都是等邊三角形的盒子，等邊三角形的高為70cm，盒子的高為240cm，M為AB的中點(diǎn)，在M處有一只飛蛾要飛到E處，它的最短行程多少？【變式】如圖①，有一個(gè)圓柱，它的高等于12，底面半徑等于3，在圓柱的底面A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)題型三：勾股定理中的折疊問(wèn)題例5．如圖，矩形紙片中，，，折疊紙片使邊與對(duì)角線重合，折痕為，則的長(zhǎng)為A．1 B． C． D．2【變式】如圖，將矩形沿直線折疊，頂點(diǎn)恰好落在邊上點(diǎn)處，已知，，求圖中陰影部分的面積．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一．選擇題1．如圖，在水池的正中央有一根蘆葦，池底長(zhǎng)10尺，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面則這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度是（）A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺2．如圖，已知圓柱底面的周長(zhǎng)為12cm，圓柱高為8cm，在圓柱的側(cè)面上，過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為（）A．10cm B．20cm C．cm D．100cm3．如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻壁，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為米，頂端距離地面米．若梯子底端位置保持不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面米，則小巷的寬度為（）A． B． C． D．4．如圖，臺(tái)階階梯每一層高20cm，寬30cm，長(zhǎng)50cm，一只螞蟻從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，最短路程是（）A．10 B．50 C．120 D．130二．填空題5．如圖，圓柱的高為8cm，底面半徑為2cm，在圓柱下底面的A點(diǎn)處有一只螞蟻，它想吃到上底面B處的食物，已知四邊形ADBC的邊AD、BC恰好是上、下底面的直徑，問(wèn)：螞蟻吃到食物爬行的最短距離是cm．（π取3）6．《九章算術(shù)》中的“引葭赴岸”問(wèn)題：今有池方一丈，葭（一種蘆葦類植物）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊，水深幾何？其大意是：有一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形池塘，一棵蘆葦生長(zhǎng)在它的正中央，高出水面1尺．如果把該蘆葦拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳壳『门龅桨哆叄ㄈ鐖D所示），則水深________尺．7．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代一部著名的數(shù)學(xué)專著，其中記載了一個(gè)“折竹抵地”問(wèn)題：今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，問(wèn)折者高幾何？其意思是：有一根與地面垂直且高一丈的竹子丈尺），現(xiàn)被大風(fēng)折斷成兩截，尖端落在地面上，竹尖與竹根的距離為三尺，問(wèn)折斷處離地面的距離為．三．解答題8．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問(wèn)題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，問(wèn)折者高幾何？”翻譯成數(shù)學(xué)問(wèn)題是：如圖所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝4，求AC的長(zhǎng)．9．如圖，一架25米長(zhǎng)的梯子斜靠在一豎直的墻上，梯子底端離墻有7米．（1）求梯子靠墻的頂端距地面有多少米？（2）小燕說(shuō)“如果梯子的頂端沿墻下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向就滑動(dòng)了4米．”她的說(shuō)法正確嗎？若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．已知某開(kāi)發(fā)區(qū)有一塊四邊形的空地ABCD，如圖所示，現(xiàn)計(jì)劃在空地上種植草皮，經(jīng)測(cè)量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，問(wèn)要多少投入？11．我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．問(wèn)：折者高幾何？”譯文：一根竹子，原高一丈，蟲(chóng)傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好著地，著地處離原竹子根部3尺遠(yuǎn)．問(wèn)：原處還有多高的竹子？（1丈尺）12．如圖，一個(gè)梯子AB，頂端A靠在墻AC上，這是梯子的頂端距地面的垂直高度為24米，若梯子的頂端下滑4米，底端將水平滑動(dòng)了8米，求滑動(dòng)前梯子底端與墻的距離CB是多少？13．（2022春?蜀山區(qū)期中）在一款名為超級(jí)瑪麗的游戲中，瑪麗到達(dá)一個(gè)高為10米的高臺(tái)A，利用旗桿頂部的繩索，劃過(guò)90°到達(dá)與高臺(tái)A水平距離為17米，高為3米的矮臺(tái)B，（1）求高臺(tái)A比矮臺(tái)B高多少米？（2）求旗桿的高度OM；（3）瑪麗在蕩繩索過(guò)程中離地面的最低點(diǎn)的高度MN．14．如圖，四邊形ABCD是舞蹈訓(xùn)練場(chǎng)地，要在場(chǎng)地上鋪上草坪網(wǎng)．經(jīng)過(guò)測(cè)量得知：∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m．（1）判斷∠D是不是直角，并說(shuō)明理由；（2）求四邊形ABCD需要鋪的草坪網(wǎng)的面積．15．如圖，A，B兩村在河L的同側(cè)，A，B到河L的距離分別為1.5km和2km，AB＝1.3km，現(xiàn)要在河邊建一供水廠，同時(shí)向A，B兩村供水．若鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為每千米1.8萬(wàn)元，問(wèn)水廠與A村的水平距離為多遠(yuǎn)時(shí)，能使鋪設(shè)費(fèi)用最省，并求出總費(fèi)用約多少萬(wàn)元．第03講勾股定理的應(yīng)用（3種題型）【知識(shí)梳理】一．勾股定理的應(yīng)用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．（3）常見(jiàn)的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長(zhǎng)度．②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個(gè)直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外作正多邊形，以斜邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積等于以直角邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積和．③勾股定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用：運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問(wèn)題．④勾股定理在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個(gè)無(wú)理數(shù)表示成直角邊是兩個(gè)正整數(shù)的直角三角形的斜邊．二．平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題（1）平面展開(kāi)﹣?zhàn)疃搪窂絾?wèn)題，先根據(jù)題意把立體圖形展開(kāi)成平面圖形后，再確定兩點(diǎn)之間的最短路徑．一般情況是兩點(diǎn)之間，線段最短．在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．（2）關(guān)于數(shù)形結(jié)合的思想，勾股定理及其逆定理它們本身就是數(shù)和形的結(jié)合，所以我們?cè)诮鉀Q有關(guān)結(jié)合問(wèn)題時(shí)的關(guān)鍵就是能從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型．【考點(diǎn)剖析】題型一．勾股定理的實(shí)際應(yīng)用例1．如圖，一棵樹(shù)從處折斷了，樹(shù)頂端離樹(shù)底端距離，那么這棵樹(shù)原來(lái)的高度是A． B． C． D．【解答】解：米，米，，折斷的部分長(zhǎng)為，折斷前高度為（米．故選：．【變式】如圖在實(shí)踐活動(dòng)課上，小華打算測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，她發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面后還多出，當(dāng)她把繩子斜拉直，且使繩子的底端剛好接觸地面時(shí)，測(cè)得繩子底端距離旗桿底部，由此可計(jì)算出學(xué)校旗桿的高度是A． B． C． D．【解答】解：設(shè)旗桿的高度為米，則繩子的長(zhǎng)度為米，根據(jù)勾股定理可得：，解得，．即旗桿的高度為12米．故選：．例2．如圖，一個(gè)直徑為20cm的杯子，在它的正中間豎直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，當(dāng)木棍倒向杯壁時(shí)（木棍底端不動(dòng)），木棍頂端正好觸到杯口，求木棍長(zhǎng)度．【分析】設(shè)杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，因?yàn)橹睆綖?0cm的杯子，可根據(jù)勾股定理列方程求解．【解答】解：設(shè)杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，∵杯子的直徑為20cm，∴杯子半徑為10cm，∴x2+102＝（x+2）2，即x2+100＝x2+4x+4，解得：x＝24，24+2＝26（cm）．答：小木棍長(zhǎng)26cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是看到構(gòu)成的直角三角形以及各邊的長(zhǎng)．【變式】小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多了1m，當(dāng)他把繩子的下端拉開(kāi)5m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高．【答案】旗桿的高度為12米【詳解】解：設(shè)旗桿的高度為x米，則繩子的長(zhǎng)度為（x+1）米，根據(jù)勾股定理可得：x2+52=（x+1）2，解得，x=12．答：旗桿的高度為12米．題型二．平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題例3．如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根細(xì)線從點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)，那么用細(xì)線最短需要（）A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm【答案】B【分析】要求所用細(xì)線的最短距離，需將長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，利用勾股定理求出所需結(jié)果．【詳解】解：如圖，將長(zhǎng)方體展開(kāi)，連接A、B′，則AA′＝1＋3＋1＋3＝8（cm），A′B′＝6cm，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，由勾股定理得：AB′2＝AA′2+A′B′2＝82＋62＝102cm，所以AB′＝10cm．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)?最短路徑問(wèn)題，本題的關(guān)鍵是把長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)“化立體為平面”，構(gòu)造直角三角形運(yùn)用勾股定理解決．例4．一個(gè)上底和下底都是等邊三角形的盒子，等邊三角形的高為70cm，盒子的高為240cm，M為AB的中點(diǎn)，在M處有一只飛蛾要飛到E處，它的最短行程多少？【分析】根據(jù)題意得出ME2＝702+2402＝62500，進(jìn)而求出即可．【解答】解：連接MC，ME，得MC⊥EC，即△MEC是直角三角形，由勾股定理，得ME2＝702+2402＝62500，解得：ME＝250故在M處有一只飛蛾要飛到E處，它的最短行程為250cm．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平面展開(kāi)圖最短路徑問(wèn)題，得出△MEC是直角三角形是解題關(guān)鍵．【變式】如圖①，有一個(gè)圓柱，它的高等于12，底面半徑等于3，在圓柱的底面A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)【答案】解：如圖②所示，由題意可得：，在Rt△AA′B中，根據(jù)勾股定理得：則AB＝15．所以需要爬行的最短路程是15．題型三：勾股定理中的折疊問(wèn)題例5．如圖，矩形紙片中，，，折疊紙片使邊與對(duì)角線重合，折痕為，則的長(zhǎng)為A．1 B． C． D．2【解答】解：由已知可得，△，，，，在△中，可得，．則．故選：．【變式】如圖，將矩形沿直線折疊，頂點(diǎn)恰好落在邊上點(diǎn)處，已知，，求圖中陰影部分的面積．【解答】解：由折疊可知和關(guān)于成軸對(duì)稱，故，．所以，設(shè)，則．在中，由勾股定理，得．解得，故．所以陰影部分的面積為：．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一．選擇題1．如圖，在水池的正中央有一根蘆葦，池底長(zhǎng)10尺，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面則這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度是（）A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺【分析】找到題中的直角三角形，設(shè)水深為x尺，根據(jù)勾股定理解答．【解答】解：設(shè)水深為x尺，則蘆葦長(zhǎng)為（x+1）尺，根據(jù)勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，解得：x＝12，蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度＝x+1＝12+1＝13（尺），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正確運(yùn)用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．2．如圖，已知圓柱底面的周長(zhǎng)為12cm，圓柱高為8cm，在圓柱的側(cè)面上，過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為（）A．10cm B．20cm C．cm D．100cm【分析】要求絲線的長(zhǎng)，需將圓柱的側(cè)面展開(kāi)，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果，在求線段長(zhǎng)時(shí)，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【解答】解：如圖，把圓柱的側(cè)面展開(kāi)，得到矩形，則這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為2AC的長(zhǎng)度．∵圓柱底面的周長(zhǎng)為12cm，圓柱高為8cm，∴AB＝8cm，BC＝BC′＝6cm，∴AC2＝62+82＝100，∴AC＝10，∴這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為2AC＝20（cm），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面展開(kāi)﹣?zhàn)疃搪窂絾?wèn)題，圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形，此矩形的長(zhǎng)等于圓柱底面周長(zhǎng)，高等于圓柱的高，本題把圓柱的側(cè)面展開(kāi)成矩形，“化曲面為平面”是解題的關(guān)鍵．3．如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻壁，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為米，頂端距離地面米．若梯子底端位置保持不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面米，則小巷的寬度為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)勾股定理求出梯子的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可得出小巷的寬度．【詳解】解：如圖，由題意可得：AD2=0.72+2.42=6.25，在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，BC=1.5米，BC2+AB2=AC2，AD=AC，∴AB2+1.52=6.25，∴AB=±2，∵AB＞0，∴AB=2米，∴小巷的寬度為：0.7+2=2.7（米）．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖．4．如圖，臺(tái)階階梯每一層高20cm，寬30cm，長(zhǎng)50cm，一只螞蟻從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，最短路程是（）A．10 B．50 C．120 D．130【解答】解：如圖所示，∵它的每一級(jí)的長(zhǎng)寬高為20cm，寬30cm，長(zhǎng)50cm，∴AB＝＝50（cm）．答：螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)B的最短路程是50cm，故選：B．二．填空題5．如圖，圓柱的高為8cm，底面半徑為2cm，在圓柱下底面的A點(diǎn)處有一只螞蟻，它想吃到上底面B處的食物，已知四邊形ADBC的邊AD、BC恰好是上、下底面的直徑，問(wèn)：螞蟻吃到食物爬行的最短距離是cm．（π取3）【分析】求至少要爬多少路程，根據(jù)兩點(diǎn)之間直線最短，把圓柱體展開(kāi)，在得到的矩形上連接兩點(diǎn)，求出距離即可．【解答】解：把圓柱體沿著AC直線剪開(kāi)，得到矩形如下：則AB的長(zhǎng)度為所求的最短距離，根據(jù)題意圓柱的高為8cm，底面半徑2cm，則可以知道AC＝4cm，BC＝底面周長(zhǎng)，∵底面周長(zhǎng)為2πr＝2×π×2＝4π（cm），∴BC＝2πcm≈6cm，∴根據(jù)勾股定理得出AB2＝AC2+BC2，即AB2＝82+62，∴AB＝10（cm）．答：螞蟻至少要爬行10cm路程才能食到食物，故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面展開(kāi)最短路徑問(wèn)題，關(guān)鍵知道圓柱展開(kāi)圖是長(zhǎng)方形，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可求出解．6．《九章算術(shù)》中的“引葭赴岸”問(wèn)題：今有池方一丈，葭（一種蘆葦類植物）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊，水深幾何？其大意是：有一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形池塘，一棵蘆葦生長(zhǎng)在它的正中央，高出水面1尺．如果把該蘆葦拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳壳『门龅桨哆叄ㄈ鐖D所示），則水深________尺．【答案】12【分析】我們可以將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)幾何圖形，如圖所示，根據(jù)題意，可知EB'的長(zhǎng)為10尺，則B'C＝5尺，設(shè)AB＝AB'＝x尺，表示出水深A(yù)C，根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到水深．【詳解】解：依題意畫(huà)出圖形，設(shè)蘆葦長(zhǎng)AB＝AB'＝x尺，則水深A(yù)C＝（x?1）尺，因?yàn)锽'E＝10尺，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52＋（x?1）2＝x2，解得：x＝13，即水深12尺，故答案為：12【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理列出方程是解題關(guān)鍵．7．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代一部著名的數(shù)學(xué)專著，其中記載了一個(gè)“折竹抵地”問(wèn)題：今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，問(wèn)折者高幾何？其意思是：有一根與地面垂直且高一丈的竹子丈尺），現(xiàn)被大風(fēng)折斷成兩截，尖端落在地面上，竹尖與竹根的距離為三尺，問(wèn)折斷處離地面的距離為．【解答】解：設(shè)折斷后的竹子高為尺，則長(zhǎng)為尺，根據(jù)勾股定理得：，即：，解得：，故答案為：4.55尺．三．解答題8．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問(wèn)題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，問(wèn)折者高幾何？”翻譯成數(shù)學(xué)問(wèn)題是：如圖所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝4，求AC的長(zhǎng)．【分析】直接利用勾股定理進(jìn)而得出AC的長(zhǎng)．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵AC+AB＝10，BC＝4，設(shè)AC＝x，則AB＝10﹣x，∴x2+42＝（10﹣x）2，解得：x＝，答：AC的長(zhǎng)為．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出等式方程是解題關(guān)鍵．9．如圖，一架25米長(zhǎng)的梯子斜靠在一豎直的墻上，梯子底端離墻有7米．（1）求梯子靠墻的頂端距地面有多少米？（2）小燕說(shuō)“如果梯子的頂端沿墻下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向就滑動(dòng)了4米．”她的說(shuō)法正確嗎？若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）24米；（2）不正確，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）利用勾股定理，即可求出答案；（2）由題意，先求出，，，然后利用勾股定理求出，即可得到答案．【詳解】解：（1）如圖，由題意得，，∴∴即頂端距地面有24米（2）她的說(shuō)法不正確；由題意得，，，∴，∴，∴，∴梯子水平滑動(dòng)了8米，∴她的說(shuō)法不正確．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．10．已知某開(kāi)發(fā)區(qū)有一塊四邊形的空地ABCD，如圖所示，現(xiàn)計(jì)劃在空地上種植草皮，經(jīng)測(cè)量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，問(wèn)要多少投入？【答案】7200元．【分析】依題意，需要求得四邊形的面積才能求得結(jié)果．連接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的長(zhǎng)，由BD、CD、BC的長(zhǎng)度關(guān)系可得三角形DBC為一直角三角形，DC為斜邊；由此看，四邊形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC構(gòu)成，則容易求解．【詳解】連接BD，在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，在△CBD中，CD2＝132BC2＝122，而122+52＝132，即BC2+BD2＝CD2，∴∠DBC＝90°，S四邊形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝，＝；所以需費(fèi)用36×200＝7200（元）．【點(diǎn)睛】本題考查一般四邊形面積、勾股定理逆定理等，關(guān)鍵在對(duì)一般四邊形進(jìn)行分割為特殊三角形進(jìn)行求解．11．我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．問(wèn)：折者高幾何？”譯文：一根竹子，原高一丈，蟲(chóng)傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好著地，著地處離原竹子根部3尺遠(yuǎn)．問(wèn)：原處還有多高的竹子？（1丈尺）【答案】原處還有尺高的竹子．【分析】由題意得到折后竹子豎直高度“+”斜倒部分的長(zhǎng)度=10尺，再運(yùn)用勾股定理列方程即可求解．【詳解】解：設(shè)原處還有尺高的竹子，在中，由勾股定理得，所以，．答：原處還有尺高的竹子．

【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題．此題中的直角三角形只知道一直角邊，另兩邊未知往往要列方程求解12．如圖，一個(gè)梯子AB，頂端A靠在墻AC上，這是梯子的頂端距地面的垂直高度為24米，若梯子的頂端下滑4米，底端將水平滑動(dòng)了8米，求滑動(dòng)前梯子底端與墻的距離CB是多少？【答案】7米【分析】設(shè)BC=xm，則CD=（x+8）m，利用勾股定理分別表示出、，∵AB=ED，∴，求出x的值即可完成.【詳解】解：根據(jù)題意，AC=24m，AE=4m，BD=8m，則EC=20m設(shè)BC=xm，則CD=（x+8）m在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∵AB=ED∴解得：滑動(dòng)前梯子底端與墻的距離CB是7米.【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，難度較低，靈活運(yùn)用勾股定理是解題關(guān)鍵.13．（2022春?蜀山區(qū)期中）在一款名為超級(jí)瑪麗的游戲中，瑪麗到達(dá)一個(gè)高為10米的高臺(tái)A，利用旗桿頂部的繩索，劃過(guò)90°到達(dá)與高臺(tái)A水平距離為17米，高為3米的矮臺(tái)B，（1）求高臺(tái)A比矮臺(tái)B高多少米？（2）求旗桿的高度OM；（3）瑪麗在蕩繩索過(guò)程中離地面的最低點(diǎn)的高度MN．【分析】（1）由題意直接可得．（2）作AE⊥OM，BF⊥OM，可證△AOE≌△BFO，可得AE＝OF，OE＝BF，則AE﹣BF＝EF＝7，且AE+BF＝17可求AE＝OF＝12，OE＝BF＝5，即可求OM的長(zhǎng)．（3）根據(jù)勾股定理可求OA＝OB＝ON＝13，即可求MN的長(zhǎng)．【解答】解：（1）10﹣3＝7（米）（2）如圖：作AE⊥OM，BF⊥OM，∵∠AOE+∠BOF＝∠BOF+∠OBF＝90°∴∠AOE＝∠OBF在△AOE和△OB