樣本相關(guān)系數(shù)（第2課時(shí)）高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)

人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析8.1.2樣本相關(guān)系數(shù)知識(shí)回顧1.變量間的相關(guān)關(guān)系是什么？2.散點(diǎn)圖是什么？3.變量相關(guān)關(guān)系的分類(lèi)是什么？正相關(guān)線(xiàn)性相關(guān)兩個(gè)變量有關(guān)系,但又沒(méi)有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱(chēng)為相關(guān)關(guān)系.成對(duì)樣本數(shù)據(jù)可用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來(lái)，由這些點(diǎn)組成的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖。非線(xiàn)性相關(guān)負(fù)相關(guān)新課導(dǎo)入散點(diǎn)圖無(wú)法量化兩個(gè)變量之間的相關(guān)程度的大小，更不能精確地說(shuō)明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)之間關(guān)系的密切程度，那么我們?nèi)绾尾拍軐ふ业竭@樣一個(gè)合適的量來(lái)對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度進(jìn)行定量分析呢？通過(guò)散點(diǎn)圖可以推斷兩個(gè)變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系、是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)、是線(xiàn)性相關(guān)是非線(xiàn)性相關(guān)，但這些推斷是定性的推斷.從定量的角度刻畫(huà)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線(xiàn)性相關(guān)程度，進(jìn)而推斷兩個(gè)變量的線(xiàn)性相關(guān)程度。樣本相關(guān)數(shù)r問(wèn)題1：如何引入一個(gè)恰當(dāng)?shù)摹皵?shù)字特征”，對(duì)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度進(jìn)行定量分析？新課探究

利用上述方法處理表中的數(shù)據(jù),得到下圖.我們發(fā)現(xiàn)，這時(shí)的散點(diǎn)大多數(shù)分布在第一象限、第三象限,大多數(shù)散點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)同號(hào).

顯然,這樣的規(guī)律是由人體脂肪含量與年齡正相關(guān)所決定的.一般地，如果變量x和y正相關(guān)，那么關(guān)于均值平移后的大多數(shù)散點(diǎn)將分布在第一象限、第三象限，對(duì)應(yīng)的成對(duì)數(shù)據(jù)同號(hào)的居多，如下圖所示；························如果變量x和y負(fù)相關(guān)，那么關(guān)于均值平移后的大多數(shù)散點(diǎn)將分布在第二象限、第四象限，對(duì)應(yīng)的成對(duì)數(shù)據(jù)異號(hào)的居多，如下圖所示.新課探究思考：根據(jù)上述分析，你能利用正相關(guān)變量和負(fù)相關(guān)變量的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)平移后呈現(xiàn)的規(guī)律，構(gòu)造一個(gè)度量成對(duì)樣本數(shù)據(jù)是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的數(shù)字特征嗎？新課探究一般情形下，表明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；表明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)．利用散點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)是否同號(hào)，可以構(gòu)造一個(gè)量新課探究問(wèn)題2：你認(rèn)為

的大小一定能度量出成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度嗎？在研究體重與身高之間的相關(guān)程度時(shí)，如果體重的單位不變，把身高單位由米改為厘米，單位的改變不會(huì)改變體重與身高之間的相關(guān)程度。我們發(fā)現(xiàn)，

的大小與數(shù)據(jù)的度量單位有關(guān)，所以不能直接用它度量成對(duì)樣本數(shù)據(jù)相關(guān)程度的大小。為了消除單位的影響，進(jìn)一步做“標(biāo)準(zhǔn)化”處理當(dāng)r>0時(shí)，稱(chēng)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，稱(chēng)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)．我們稱(chēng)r為變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)。樣本相關(guān)系數(shù)r是一個(gè)描述成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，它的正負(fù)和絕對(duì)值的大小可以反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的變化特征：新課探究新課探究問(wèn)題3：樣本相關(guān)系數(shù)r的大小與成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？標(biāo)準(zhǔn)化處理后的成對(duì)樣本數(shù)據(jù):設(shè)其第一分量為設(shè)其第二分量為新課探究問(wèn)題3：樣本相關(guān)系數(shù)r的大小與成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？追問(wèn)1:當(dāng)|r|=1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)之間具有怎樣的關(guān)系？所以

當(dāng)|r|=1時(shí)

，向量

與

共線(xiàn)。即存在實(shí)數(shù),使得成對(duì)樣本數(shù)據(jù)（xi,yi)都落在直線(xiàn)

上

。成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的兩個(gè)分量之間滿(mǎn)足一種線(xiàn)性關(guān)系.新課探究樣本相關(guān)系數(shù)對(duì)于變量x，y，利用成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)構(gòu)造則稱(chēng)r為變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù).(2)當(dāng)r>0時(shí)，稱(chēng)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān);當(dāng)r<0時(shí)，稱(chēng)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).(1)取值范圍為[-1,1]：當(dāng)|r|越接近1時(shí)，線(xiàn)性相關(guān)程度越強(qiáng)，當(dāng)|r|越接近0時(shí)，線(xiàn)性相關(guān)程度越弱．當(dāng)|r|＝1時(shí)，表明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都落在一條直線(xiàn)上；當(dāng)r＝0時(shí)，只表明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)間沒(méi)有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，但不排除它們之間有其他相關(guān)關(guān)系．(3)若0.75≤|r|≤1，則認(rèn)為y與x的線(xiàn)性相關(guān)程度很強(qiáng)；

若0.3≤|r|<0.75，則認(rèn)為y與x的線(xiàn)性相關(guān)程度一般；

若|r|≤0.25，則認(rèn)為y與x的線(xiàn)性相關(guān)程度較弱)兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)性可以通過(guò)散點(diǎn)圖對(duì)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，而樣本相關(guān)系數(shù)r可以反映兩個(gè)隨機(jī)變量之間的線(xiàn)性相關(guān)程度：r的符號(hào)反映相關(guān)關(guān)系的正負(fù)性，|r|的大小反映兩個(gè)變量線(xiàn)性相關(guān)的程度，即散點(diǎn)集中于一條直線(xiàn)的程度．判斷線(xiàn)性相關(guān)程度：散點(diǎn)圖+r新課探究圖(1)中成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的正線(xiàn)性相關(guān)程度很強(qiáng).圖(2)中成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的負(fù)線(xiàn)性相關(guān)程度比較強(qiáng).圖(3)中對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線(xiàn)性相關(guān)程度很弱.圖(4)中成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線(xiàn)性相關(guān)程度極弱.新課探究小試牛刀1.(多選)對(duì)兩個(gè)變量的樣本相關(guān)系數(shù)r，下列說(shuō)法正確的是(

)ADA.|r|越大，相關(guān)程度越大B.|r|越小，相關(guān)程度越大C.|r|趨近于0時(shí)，沒(méi)有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系D.|r|越接近1時(shí)，線(xiàn)性相關(guān)程度越強(qiáng)解析

對(duì)于A，|r|越大，相關(guān)程度越大，A正確；對(duì)于B，|r|越小，相關(guān)程度越小，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，|r|趨近于0時(shí)，線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系越弱，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，|r|越接近1時(shí)，線(xiàn)性相關(guān)程度越強(qiáng)，D正確.小試牛刀2.(多選)下面的散點(diǎn)圖與樣本相關(guān)系數(shù)r一定不符合的是(

)ACD解析

A中，由散點(diǎn)圖可得，兩相關(guān)變量呈負(fù)相關(guān)，故A錯(cuò)誤；B中，由散點(diǎn)圖可得，兩相關(guān)變量呈正相關(guān)，且樣本相關(guān)系數(shù)可能是r＝0.75；C中，若樣本相關(guān)系數(shù)r＝－1，則所有的點(diǎn)應(yīng)該分布在一條直線(xiàn)上，散點(diǎn)圖顯然不符合，故C錯(cuò)誤；D中，若樣本相關(guān)系數(shù)r＝1，則所有的點(diǎn)應(yīng)該分布在一條直線(xiàn)上，散點(diǎn)圖顯然不符合，故D錯(cuò)誤.小試牛刀3.對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得以下散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)比較，正確的是()A．r2<r4<0<r3<r1 B．r4<r2<0<r1<r3C．r4<r2<0<r3<r1D．r2<r4<0<r1<r3A小試牛刀4.對(duì)四對(duì)變量y和x進(jìn)行線(xiàn)性相關(guān)檢驗(yàn)，已知n是觀測(cè)值組數(shù)，r是樣本相關(guān)系數(shù)，且已知：①n＝7，r＝0.9533；②n＝15，r＝0.3012；③n＝17，r＝0.4991；④n＝3，r＝0.9950.則變量y和x線(xiàn)性相關(guān)程度最高的兩組是()A．①②B．①④C．②④D．③④解析：樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越大，變量x，y的線(xiàn)性相關(guān)程度越高B

例1根據(jù)表8.1-1中脂肪含量和年齡的樣本數(shù)據(jù)，推斷兩個(gè)變量是否線(xiàn)性相關(guān)，計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)，并推斷它們的相關(guān)程度.編號(hào)1234567891011121314年齡/歲2327394145495053545657586061脂肪含量/％9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.6課本例題解:由樣本數(shù)據(jù)可得由此可以推斷脂肪含量和年齡這兩個(gè)變量正線(xiàn)性相關(guān)，且相關(guān)程度很強(qiáng).課本例題

例1根據(jù)表8.1-1中脂肪含量和年齡的樣本數(shù)據(jù)，推斷兩個(gè)變量是否線(xiàn)性相關(guān)，計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)，并推斷它們的相關(guān)程度.編號(hào)1234567891011121314年齡/歲2327394145495053545657586061脂肪含量/％9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.6解:由樣本數(shù)據(jù)可得由此可以推斷脂肪含量和年齡這兩個(gè)變量正線(xiàn)性相關(guān)，且相關(guān)程度很強(qiáng).課本例題

例2有人收集了某城市居民年收入(所有居民在一年內(nèi)收人的總和)與A商品銷(xiāo)售額的10年數(shù)據(jù)，如下表所示.第n年12345678910居民年收入/億元32.231.132.935.837.138.039.043.044.646.0A商品銷(xiāo)售額/萬(wàn)元25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0解:畫(huà)出散點(diǎn)圖，推斷成對(duì)樣本數(shù)據(jù)是否線(xiàn)性相關(guān)，并通過(guò)樣本相關(guān)系數(shù)推斷居民年收入與A商品銷(xiāo)售額的相關(guān)程度和變化趨勢(shì)的異同.畫(huà)出成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，如圖所示.從散點(diǎn)圖看，A商品銷(xiāo)售額與居民年收人的樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系.由樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.95.由此可以推斷，A商品銷(xiāo)售額與居民年收入正線(xiàn)性相關(guān)，即A商品銷(xiāo)售額與居民年收入有相同的變化趨勢(shì)，且相關(guān)程度很強(qiáng).課本例題

例3在某校高一年級(jí)

中隨機(jī)抽取25名男生，測(cè)得他們的身高、體重、臂展等數(shù)據(jù)，如下表所示.體重與身高、臂展與身高分別具有怎樣的相關(guān)性?編號(hào)身高/cm體重/kg臂展/cm編號(hào)身高/cm體重/kg臂展/cm1234567891011121317317917517918217318017016917717717817455715262826355815454596756169170172177174166174169166176170174170141516171819202122232425166176176175169184169182171177173173666149604886585458615851161166165173162189164170164173165169課本例題根據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫(huà)出體重與身高、臂展與身高的散點(diǎn)圖，分別如圖(1)和(2)所示，兩個(gè)散點(diǎn)圖都呈現(xiàn)出線(xiàn)性相關(guān)的特征.解:通過(guò)計(jì)算得到體重與身高、臂展與身高的樣本相關(guān)系數(shù)分別約為0.34和0.78，都為正線(xiàn)性相關(guān).其中，臂展與身高的相關(guān)程度更高.課本練習(xí)103頁(yè)1.由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)是否一定能確切地反映變量之間的相關(guān)關(guān)系?為什么?解：樣本相關(guān)系數(shù)可以反映變量之間相關(guān)的正負(fù)性及線(xiàn)性相關(guān)的程度，但由于樣本數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，樣本相關(guān)系數(shù)往往不能確切地反映變量之間的相關(guān)關(guān)系.一般來(lái)說(shuō)，樣本量越大，根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)推斷變量之間相關(guān)的正負(fù)性及線(xiàn)性相關(guān)的程度越可靠，而樣本量越小則越不可靠.一個(gè)極端的情況是，無(wú)論兩個(gè)變量之間是什么關(guān)系，如果樣本量取2，則計(jì)算可得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值都是1(在樣本相關(guān)系數(shù)存在的情況下)，顯然據(jù)此推斷兩個(gè)變量完全線(xiàn)性相關(guān)是不合理的.課本練習(xí)103頁(yè)2.已知變量x和變量y的3對(duì)隨機(jī)觀測(cè)數(shù)據(jù)(2,2),(3,－1),(5,－7)，計(jì)算成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù).能據(jù)此推斷這兩個(gè)變量線(xiàn)性相關(guān)嗎?為什么?解：由樣本數(shù)據(jù)可得雖然樣本相關(guān)系數(shù)為－1，三個(gè)樣本點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，但是由于樣本量太小，據(jù)此推斷兩個(gè)變量完全線(xiàn)性相關(guān)并不可靠.課本練習(xí)103頁(yè)解:3.畫(huà)出下列成對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，并計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù).據(jù)此，請(qǐng)你談?wù)剺颖鞠嚓P(guān)系數(shù)在刻畫(huà)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)相關(guān)關(guān)系上的特點(diǎn).(1)(－2,－3),(－1,－1),(0,1),(1,3),(2,5),(3,7)；(2)(0,0),(1,1),(2,4),(3,9),(4,16)；(3)(－2,－8),(－1,－1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27);(4)(2,0)(1,),(0,2),(－1,),(－2,0).248x-4-320-213-16y-2??????515x2041310y?????20.51.5x-320-213-11y??????51020x-10-320-21