2024新高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)梳理與練習(xí)：平面向量及其應(yīng)用、復(fù)數(shù)

模塊十:平面向量及其應(yīng)用、復(fù)數(shù)

1、平面向量的概念

(1)基本概念

向量的定義

向量的模

零向量

單位向量

向量的表示幾何表示

字母表示

注:在平面內(nèi)，若將所有單位向量的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)

半徑為1的圓.(2)有向線段與向量的區(qū)別與聯(lián)系

區(qū)別聯(lián)系

有向線具有方向的線段，包含三個(gè)要素:起向量用有向線段表示，并不是說向

段點(diǎn)、方量

向、長(zhǎng)度.在空間中是固定的線段.就是有向線段，每條有向線段對(duì)應(yīng)著

向量有大小、方向兩個(gè)要素，在空間中一個(gè)向量，但每一個(gè)向量對(duì)應(yīng)著無

可以自由平移.數(shù)條有向線段.

(3)平面向量的相關(guān)概念

定義符號(hào)表不:圖形表示

相等向量~a-b

平行向量(共線向量)a//b

相反向量方與b互為相反向量b--a;AB--

BA

注:(1)規(guī)定:零向量與任意向量平行,即對(duì)任意向量都有力/&.

(2)已知四邊形ABCD，則“存=反"是"四邊形ABCD是平行四邊形”的什么條件?

(3)零向量的相反向量仍然是零向量.

2、平面向量的基本運(yùn)算

(1)平面向量的加法運(yùn)算@+了)

(1)向量加法的三角形法則(順次連接，指向終點(diǎn))

如圖,已知非零向量a,b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)4,作荏=a，就=b,則向量照叫做a

與b的和，記作a+b,即a+b=詬+與下=前，這種求向量和的方法稱為向量加法

的三角形法則.可簡(jiǎn)記為“順

次連接、指向終點(diǎn)”.

(2)向量加法的平行四邊形法則

如圖，以同一點(diǎn)。為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a,

0a

b,以。4OB為鄰邊作。OACB，則以。為起點(diǎn)的向量~OC{_OC是。OACB的對(duì)角線)

就是向量a與b的和，我們把這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形

法則.

⑶多個(gè)向量的和運(yùn)算

為了得到有限個(gè)向量的和,只需將這些向量依次首尾相接,那么以第一個(gè)向量的始點(diǎn)

為始點(diǎn),最后一個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量,就是這些向量的和.

(4)向量加法的運(yùn)算律(閱讀課本，自證)

1)交換律:2+了=%+22)結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c(2)平面向量

的減法運(yùn)算@一方)

(1)向量減法的三角形法則(共起點(diǎn),指向被減向量終點(diǎn))

“終減超”.

岬，曲非零向量a,b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。，作市=a=b，連接,則BA=

OA-OBa-b，即把兩個(gè)向量a,b的起點(diǎn)放在一起,兩個(gè)向量的差a-b是以減向

量b的終點(diǎn)為起點(diǎn)，被減向量a的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量，這是向量減法的三角形法則，即

向量減法的幾何意義.

(3)\\a\-\b||<a+b\<|a|+\b\;||a\-\b||<\a-b\<|a|+\b\(注意等號(hào)成立的

條件,并總結(jié)出來)

(4)平面向量的數(shù)乘運(yùn)算(疝)

(1)實(shí)數(shù)式與向量N相乘的運(yùn)算簡(jiǎn)稱為數(shù)乘向量.

一般地，給定一個(gè)實(shí)數(shù)A與任意一個(gè)向量a，規(guī)定它們的乘積是一個(gè)向量，記作丸a，其

中：

(1)當(dāng)；IH0且aH0時(shí),4a的模為|4||a|,而且Aa的方向如下:

(1)當(dāng);I>0時(shí)，與a的方向相同；

(2)當(dāng)4<0時(shí)，與a的方向相反.

(2)當(dāng)；I=0或a=0時(shí),;la=0.

(2)運(yùn)算律:設(shè)尢〃是實(shí)數(shù)，則有

1)A(/za)=(A/z)a(結(jié)合律);2)(A+4)方=疝+(第一分配律);3)A(a+b)-Xa+Xb

(第二分配律)(5)共線向量定理(閱讀課本,并給出證明)

⑴向量N0H0)與石共線(a//b)的充要條件是:存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)無，使石=石.

(2)A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件是:存在實(shí)數(shù)A彼得AB^AAC.

⑶若點(diǎn)。異于4B,C三點(diǎn)則

A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)丸,4,使得灰=疝？+海瓦其中；I+〃=1.

(4)若兩個(gè)非零向量N與石共線且疝+4=7,則必有丸=〃=0.

3、向量的數(shù)量積

⑴向量的夾角0<(a,b)<7i

給定兩個(gè)非零向量a,b,在平面內(nèi)任選一點(diǎn)。，作福=a,OB=b,則稱［0,n］內(nèi)的

Z-AOB為向量a與向量b的夾角，記作(a,b).

注:位,b)=0u>N與b同向；位,=兀oN與b反向；位,=］=方1b.

(2)向量的數(shù)量積(內(nèi)積)(注意:數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù))

一般地，當(dāng)a與b都是非零向量時(shí)，稱|a||b|cos(a,b)為向量a與b的數(shù)量積(也稱為

內(nèi)積)，記作a-b,即

a-b=|a||b|cos(a;b).

規(guī)定:0與任意向量的數(shù)量積為0.

B

⑶投影向量

設(shè)非零向量荏=反而=瓦過4B分別作CD所在直線的垂線，

垂足分別為A，當(dāng)，則曬叫做向量N在向量方方向上的投影向量.

注:（1）向量N在向量方方向上的投影向量acos8-N（其中位，石〉=8,Z是與方方向相

同的單位向量）（2）向量元在向量方方向上的投影向量晶N=臚（其中Z是與了方

向相同的單位向量）

（4）數(shù)量積的性質(zhì)（熟記,給出證明）

設(shè)a,b是非零向量,它們的夾角是6,e是與b方向相同的單位向量,貝IJ

如果a-b=0，是否有。=0,或b=0?

（1]a-e=e-a=|a|cos0.

（2）alb=a,b=0.

（3）當(dāng)a與b同向時(shí),a?b=|a||b|;當(dāng)a與b反向時(shí),a-b=-\a\\b\.特別地,a-a=

\a\2或\a\=7a?a.

a?a常常記作a2.

此外，由|cos0|<1還可以得到

⑷|a?b|4|a||b|.

(5)向量夾角公式:cos。=怖百(其中位花＞=8)(5)數(shù)量積的運(yùn)算律(在下面寫出

證明)對(duì)于向量a,b,c和實(shí)數(shù)4,有(1)a?b=b?a;(2)(Aa)-b=A(a-b)=a-(Ab);

(3)(a+b)?c=a?c+b?c.

2

⑹0+石)=

a2—~b2-

4、平面向量基本定理(閱讀課本,并給出證明)

平面向量基本定理如果七,62是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面

內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使

CL—入]?]+入2?2.

若elte2不共線，我們把｛eL叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底(base).

說明：⑴平面向量基本定理表明，在給定的平面內(nèi),當(dāng)向量冕與形與或不共線時(shí)，任

意一個(gè)向量都可以寫成京與蔡的線性運(yùn)算，而且表達(dá)式唯一.

(2)平面內(nèi)任意不共線的兩個(gè)向量"與孩與孩都可以組成該平面上向量的一組基

底｛否,項(xiàng)，此時(shí)若N=丸后+,則稱丸歷+22可為向量a在基底回,項(xiàng)下的分

解式.

5、平面向量的正交分解與坐標(biāo)表示

(1)平面向量的正交分解

如果平面向量的基底｛e1)e2｝中,e21e2，就稱這組基底為正交基底；

在正交基底下向量的分解稱為向量的正交分解.

(2)平面向量的坐標(biāo)表示

如圖6.3-8,在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與久軸、y軸方

圖6.3-8

向相同的兩個(gè)單位向量分別為i.jM{i,j}作為基底.對(duì)于平面內(nèi)的任意一個(gè)向量a,

由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)％,y,使得

a-xi+yj.

這樣，平面內(nèi)的任一向量a都可由％,y唯一確定，我們把有序數(shù)對(duì)(%,y)叫做向量a

的坐標(biāo)，記作

a=(%,y).

⑴

其中,無叫做a在久軸上的坐標(biāo),y叫做a在y軸上的坐

標(biāo),(1)叫做向量a的坐標(biāo)表示.

顯然,i-j-0-

(3)平面向量坐標(biāo)運(yùn)算

(1)如果平面上一點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y)^>0A-(x,y)(0為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(2)若4(孫力),B(%2,y2)，則荏=

線段AB的中點(diǎn)為M廁=+的坐標(biāo)為

(3)設(shè)N=(x2,yj,b=(%2，丫2)，則方+方=;a-b=

Xa-

d?b=;N〃b=;N_Lb=方=00

COS0==_____________(其中(a,〃)=6)?

砸I\/

試表示向量N在向量芯方向上的投影向量的坐標(biāo)？

⑷三角形重心坐標(biāo)公式:若△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為a⑴,月),B3,丫2)，。(久2，丫2)，G

為△ABC的重心，則OG^^(OA+OB+0C)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為

如圖6.3-18,線段PH的端點(diǎn)P1,P2的坐標(biāo)分別是(盯，力),(如丫2)，

點(diǎn)P是直線P$2上的一點(diǎn).當(dāng)甲=丸現(xiàn)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么?

拓展閱讀

向量的數(shù)量積與三角形的面積

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定4（孫力）,8（久2，丫2），假設(shè)。,48不在同一條直線上,

如圖1所示,你能用A,B的坐標(biāo)表示出△OAB的面積嗎？

一般地，利用向量的數(shù)量積可以方便地求出△04B的面積為

1

S=,|與丫2一功為1,

事實(shí)上，如圖2所示，記t=OA,a=1（-y7，xj，則容易驗(yàn)證,a是與CIA垂直的單位向

量.

過B作。4的垂線BC.因?yàn)閍為單位向量,所以由向量數(shù)量積的幾何意義可知

BC=|a-0B|,

因止匕,△OAB的面積為

1]__>

S——AOxBC——AOx|a?OB|

11

Xj（一為，打）,（尢2，丫2）

1

=51（一月，叼）,（為2，丫2）1

1

=2%丫2一久2月1，

由此也可以看出,如圖3所示,如果

圖3

4（無力力），802，丫2），而且O,A,B三點(diǎn)不共線，則以。4。8為鄰邊的平行四邊形

OACB的面積為

S=\x1y2-x2y1\.

由此你能體會(huì)到向量數(shù)量積的作用之大嗎？

【向量中重點(diǎn)方法總結(jié)】

1、極化恒等式

（1）概念設(shè)柒石是兩個(gè)平面向量,則有恒等式:a-b^^[（a+b）2-（a-了）]

（2）幾何意義：向量的數(shù)量積為和對(duì)角線與差對(duì)角線平方差的!

]

a-b^-[\AD\2-\BC\2]

（3）空間幾何與極化恒等式:在矩形ABCD中，若對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)

為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，有以下兩個(gè)重要的向量關(guān)系：

⑴PA2+PC2PB2+PD2■,{2}~PA-TC^PB-RD.

2、共線問題

(1)P、4、B三點(diǎn)共線?AP\09=t四=赤=(1-t)OA+tOB.

證明方法：

坐標(biāo)方法:設(shè)aQ],yD，B(>2，y2)，P(x，y)三點(diǎn)共線，則:彳？=獨(dú)瓦

冗1+Ax2

OA+AOB—>—>—>1

1+^0而=-----=op=toa+(1—t)0B其中:t二:；~-

yi+為21+A7+A

(2)定理應(yīng)用:平面上。,4B三點(diǎn)不共線，。在直線AB

上，且AD=XAB，令瓦？=乙麗=石,而=總則有、=君+(1-;1)在.其表達(dá)意思就是

從一個(gè)頂點(diǎn)。引出三個(gè)向量，且它們共線，每一個(gè)向量方石分別乘它對(duì)面的比值.

3、等和線

平面內(nèi)一組基底M0B及任一向量而，而=2。4+林OBQ,〃eR),若點(diǎn)P在直線

AB上或平行于AB的直線上，則土〃=k(定值)，反之也成立，把直線AB以及與直線

AB平行的直線稱為等和線,k=需

(1)當(dāng)?shù)群途€恰為直線時(shí),k=1;

(2)當(dāng)?shù)群途€在。點(diǎn)和直線AB之間時(shí),ke(0,1);

B'

O

(3)當(dāng)直線ZB在。點(diǎn)和等和線之間時(shí),/c6(1,+oo)；(句當(dāng)?shù)群途€過。點(diǎn)時(shí)，k=0;

4、三角形四心

⑴重心

(1)概念:三角形三條邊中線的交點(diǎn).

(2)重心向量表達(dá):。為△ABC的重心^OA+OB+OC^O.

(3)重心的性質(zhì)：

1)重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2:1.

2)重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等.

3)△ABC中4(%力力)、8(久2，，2)、。(町，丫3)，重心的坐標(biāo)是G(巨了打,力+?〃3)

(2)垂心

(1)概念:三角形的三條高線的交點(diǎn)叫做三角形的垂心。

⑵向量表達(dá):若H為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則而證=葩配=配屈0H

為△ABC的垂心.

⑶內(nèi)心

(1)概念:三角形內(nèi)切圓圓心.三內(nèi)角角平分線交點(diǎn).

(2)內(nèi)心向量表達(dá):0為AABC的內(nèi)心0aOA+bOB+cOC^0.

(3)內(nèi)心的性質(zhì)：1)內(nèi)心到三角形邊的距離相等

2)三角形面積與內(nèi)切圓半徑關(guān)系:S」=gCr=g(a+b+c)r

內(nèi)心:三角形的內(nèi)心在向量瑞+需所在的直線上;(4)外心

(1)概念:三角形外接圓圓心.三條邊垂直平分線交點(diǎn).

(2)外心向量表達(dá):。為△ABC的外心^OA^OB^OC.

(3)外心的性質(zhì)：1)外心到三角形三頂點(diǎn)的距離相等

2)三角形面積與外接圓半徑關(guān)系:S」=華

【復(fù)數(shù)】

1、復(fù)數(shù)的概念

(1)虛數(shù)單位i：[1)P=—1；(2)實(shí)數(shù)可以和i進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算，且加法和乘法的

運(yùn)算律仍然成立.(2)復(fù)數(shù)的概念

一般地，當(dāng)a與b都是實(shí)數(shù)時(shí)，稱a+bi為復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)一般用小寫字母z表示，即

z-a+bi(a,bER),

其中a稱為z的實(shí)部,b稱為z的虛部，分別記作

Re(z)=a,Im(z)=b.

所有復(fù)數(shù)組成的集合稱為復(fù)數(shù)集，復(fù)數(shù)集通常用大寫字母C表示，因此

C=(z\z-a+bi,a,bER}.

(3)復(fù)數(shù)的分類

,實(shí)數(shù)(b=0)[純虛數(shù)(a=0)

復(fù)數(shù)a+bi(a,bGR)虛數(shù)(b豐0)l非純虛數(shù)(a豐0)

兩個(gè)復(fù)數(shù)句與Z2，如果實(shí)部與虛部都對(duì)應(yīng)相等,我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，記作句=

Z2,

這就是說，如果a,b,c,d都是實(shí)數(shù)，那么

a+bi=c+di=a=c且b=d.

特別地，當(dāng)a,b都是實(shí)數(shù)時(shí),a+bi=O的充要條件是

應(yīng)當(dāng)注意,兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù),一定有大小之分(從而也就一定能用大于號(hào)或小于號(hào)

連接)，但是兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果不全是實(shí)數(shù)，一般不規(guī)定它們之間的大小,只能說它們相

等或不相等.例如,2+i與3+i,2與2i之間都不規(guī)定大小.特別地,不能將虛數(shù)與0

比較大小,因此也就不能說虛數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù).

2、復(fù)數(shù)的幾何意義

(1)復(fù)數(shù)z=a+歷一一對(duì)應(yīng)一復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)

(2)復(fù)數(shù)z-a+bi――對(duì)應(yīng)平面向量0Z

(3)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,beR)的模(或稱為絕對(duì)值):|z|=Va2+振思考:設(shè)zeC,

在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，那么滿足下列條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？

(1)|z|=<|z|<2.

|z-z0|(z,Z0eC)的幾何意義是:3、共軌復(fù)數(shù):復(fù)數(shù)2=(2+次(a,b€R)的共軌

復(fù)數(shù)Z=

如果Z[,Z2是共聊復(fù)數(shù),那么在復(fù)平面內(nèi)它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)有怎樣的關(guān)系？4、復(fù)數(shù)的

四則運(yùn)算

加減法則:(a+bi)+(c+di)=(a±c)+(Z?±d)i;

乘法法則:(a+bi)(c+di)=(ac—bd)+(be+ad)i;

除法法貝小/瓦=(。+〃)(，-由)_(ac+bd)+(bc-ad)i

、'c+di(c+di)(c—di)c2+d2

乘方法則：i2=—1,嚴(yán)=1或+==F

mnm+nmimnm

幕運(yùn)算:z-z-z;(_zy=z;(z7-z2)=z7z號(hào)(m,九GN);說明：⑴

由復(fù)數(shù)與向量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以得出復(fù)數(shù)

圖1021

加法的幾何意義:如果復(fù)數(shù)Z1,Z2所對(duì)應(yīng)的向量分別為兩與兩，則當(dāng)兩與西

不共絲I寸，以。為和OZ2為兩條鄰邊作平行四邊形OZ/Z2，則句+Z2所對(duì)應(yīng)的向量

就是羽，如圖1021所示.

由復(fù)數(shù)加法的幾何意義可以得出

I\Z1\-\Z2\Ikl+Z2I<\Z1\+\z2\-

由復(fù)數(shù)與向量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)生同樣可以得出復(fù)數(shù)減法的幾何意義:如果復(fù)數(shù)句,Z2

所對(duì)應(yīng)的向量分別為兩與兩，設(shè)點(diǎn)Z滿足

OZ=Z2Zlt

則句-Z2所對(duì)應(yīng)的向量就是被，如圖1022所示.

由復(fù)數(shù)減法的幾何意義可以得出

I\zi\~\z2\I<\Z1-Z2\<\Z1\+\Z2\-

(2)兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，只要在所得的結(jié)果中把I2換成-1,并把實(shí)

部與虛部分別合并即可.

(3)在進(jìn)行復(fù)數(shù)除法運(yùn)算時(shí),對(duì)分母“實(shí)數(shù)化”,并把實(shí)部與虛部分別合并即可.5、復(fù)

數(shù)中的常用結(jié)論

(1)(1±02=+2i,^=i;^=-i;

4n4n+1

(2)i的運(yùn)算性質(zhì)：i=1,i=i,i4n+2=_乙抑+3=_。/+*+i+貨+2+

i4n+3=0(3)(a+bi)(a—bi)-a2+b2;(a±bi)2-a2—b2+2abi(其中a,beR)

⑷復(fù)數(shù)z的共胡復(fù)數(shù)為2,則z?Z=|z|2=|zp;zeR=z=Z;z是純虛數(shù)

=Z+2=0；ZI±Z2=百土石；

=z；?z7；(|)=g(你能給出證明么?)

6、復(fù)數(shù)的三角表示(閱讀人教A版必修第二冊(cè)P83-P89)

【課本優(yōu)質(zhì)習(xí)題匯總】

新人教A版必修第二冊(cè)P24

17.⑴如圖⑴，在△ABC中，計(jì)算AB+JC+CA；

(2)如圖(2),在四邊形ABCD中,計(jì)算后+就+而+51;

(3)如圖(3),在幾邊形aZzAs…Ai中，氏&+++…++=?

證明你的結(jié)論.

B

⑴

21.已知△ABC的外接圓圓心為。，且2而=荏+前,門1|=|而則向量瓦?在向

量就上的投影向量為().

(A)^BC(B)yBC(C)-(D)-日前

22.如圖，。是平行四邊形ABC。外一點(diǎn)，用瓦?,赤,沆表示說.

o

(第22題)

(第24題)

24.如圖，在。C中，是不是只需知道。C的半徑或弦AB的長(zhǎng)度，就可以求出AB-

AC的值？

新人教A版必修第二冊(cè)P37

15.如圖，設(shè)。居。y是平面內(nèi)相交成60。角的兩條數(shù)軸,由，

(第15題)

e2分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量.若向量加=X6i+ye2,則把有序數(shù)

對(duì)(居y)叫做向量而在坐標(biāo)系。久y中的坐標(biāo).設(shè)加=3e1+2e2,

(1)計(jì)算|OP|的大??；

(2)根據(jù)平面向量基本定理判斷本題中對(duì)向量坐標(biāo)的規(guī)定是否合理.

16.用向量方法證明:對(duì)于任意的a,b,c,dER，恒有不等式

(ac+bd)2<(a?+b2)(c2+d2).

新人教A版必修第二冊(cè)P39

2.如下頁圖,正方形ABC。的邊長(zhǎng)為a,E是AB的中點(diǎn),F是BC邊上靠近點(diǎn)B的三等

分點(diǎn),AF與DE交于點(diǎn)M，求乙EMF的余弦值.

3.如圖，在△ABC中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線分別交直線AB,4?于不同的

兩點(diǎn)M,N.設(shè)AB-mAM,AC=nAN，求m+九的值.

(第3題)

新人教A版必修第二冊(cè)P52

1.若非零向量荏與就滿足儒+菊反”且喘?褊/則△曲為().

(A)三邊均不相等的三角形(B)直角三角形

(C)底邊和腰不相等的等腰三角形(D)等邊三角形

2,已知O,N,P在△ABC所在平面內(nèi)，滿足|a|=\0B\=\OC\,NA+NB+NC^0,<

PA-PB^PB-~PC^PC.

垂心是三角形三條高所在直線的交點(diǎn).

PA，則點(diǎn)0,N,P依次是△ABC的().

(A)重心,外心,垂心(B)重心,外心,內(nèi)心

(C)外心,重心,垂心(D)外心,重心，內(nèi)心

3.用向量法證明：直徑所對(duì)的圓周角是直角.新人教A版必修第二冊(cè)P53

知對(duì)任意平面向量存=?y)，把％石繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)9角得到向

量方=(久cos。-ysin8,xsin。+ycos。)，叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)0角

得到點(diǎn)P.已知平面內(nèi)點(diǎn)4(1,2)，點(diǎn)B(1+V2,2-2V2)，把點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向

旋轉(zhuǎn)3后得到點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

新人教A版必修第二冊(cè)P54

19.如圖，在-ABCD中，點(diǎn)E,F分別是邊的中

DFC

AB

點(diǎn)、,BE,BF分別與AC交于R,T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR,RT,TC之間的關(guān)系嗎？用向量方

法證明你的結(jié)論.新人教A版必修第二冊(cè)P61

⑷若是夾角為60。的兩個(gè)單位向量，則a=2七+e2與b=-3%+2e2的夾角

為().

(A)30。(B)60。(C)120。(D)150°

(5)已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為1,前=a,CA=b,AB=c,那么a-b+b-c+c-

a=().

(A)3(B)-3

(6)若平面向量a,b,c兩兩的夾角相等，且|a|=1,|b|=1,|c|=3,則

|a+b+c|=().

(A)2(B)5?2或5(D)/或遮新人教A版必修第二冊(cè)P61

N

15.已知△P/2P3，向量西，配，西滿足條件西+西+砧=0,

\0Pl\=\0P1\=I西I.求證:△P1P2P3是等邊三角形.

16.如圖，已知OA^a,OB^b任意點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為S,點(diǎn)S關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)

稱點(diǎn)為N用a,b表示向量標(biāo),(本題可以運(yùn)用信息技術(shù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律)新人教A版必

修第二冊(cè)P62

19.如圖，直線I與△ABC的邊AB,AC分別相交于點(diǎn)D,E.設(shè)

AB=c,BC=a,CA=b,乙ADE=9，請(qǐng)用向量方法探究。與△ABC的邊和角之間的等

量關(guān)系.新人教B版必修第二冊(cè)P156

(1)已知點(diǎn)民居G,H分別是平面四邊形ABC。的邊AB,BC,CD,D4的中點(diǎn),求證：

前=艱

(2)已知三個(gè)非零向量a,b,c滿足條件a+b+c=0，表示它們的有向線段是否一定

能構(gòu)成三角形？如果不一定，那么a,b,c滿足什么條件才能構(gòu)成三角形？

⑶已知M,N分別是線段和CD的中點(diǎn)，求證：

1____k

W=-(AD+BC).

新人教B版必修第二冊(cè)P173

(3)如圖,已知M,N,P分別是△ABC三邊BC,CA,

(第5題)

AB上的點(diǎn)，且

__,1-->__>1__、__>1—>

BM=-BC,CN=-CA,AP=-AB,

444

如果四==b，試用基底｛a,b｝表示向量MN,NP,PM.新人教B版必修第二冊(cè)

P180

3.如圖所示，已知\0A\=\0B\=1,\OC\=左1

(第3題)

OB,^AOC=30。,用耐與礪表示OC.

4.已知e1,e2不共線，向量a=3巧一4e2,b=6巧+ke2,且a//b，求k的值.

5,已知a,b不共線，存=；la+b,前=a+由淇中;I,“eR,那么三點(diǎn)共線的

充要條件為().

(A)丸+〃=2(B)無一〃=1(C)式〃=—1(D)丸〃=1新人教B版必修第二冊(cè)P180

2.設(shè)。是正五邊形ABCDE內(nèi)任意一點(diǎn),求證：

AB+CB+~CD+~ED+EA2(DB+CO+OD+￡D).

(第3題)

3.如圖所示,△ABC中，而=a，就=b,D為AB中點(diǎn),E為上一點(diǎn)，且DC=

3EC.AE的延長(zhǎng)線與BC的交點(diǎn)為F.

(1)用向量a與b表示AE；

(2)用向量a與b表示AF，并求出AE-EF和BF-.FC的值.新人教B版必修第三冊(cè)

P84

利用向量的數(shù)量積證明如下結(jié)論.

(1)長(zhǎng)方形的兩條對(duì)角線相等；

(2)平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和.

新人教B版必修第三冊(cè)P89

⑹已知點(diǎn)H在△ABC所在的平面內(nèi),且滿足HA-HB-HC^HC-

沅?，求證:點(diǎn)H是AABC的垂心(即三條高的交點(diǎn)工

新人教B版必修第三冊(cè)P89

(3)已知|a-b|=l,b=(3,4)，求|a|的取值范圍.

(9)作圖說明，如果向量a在向量b(b。0)上的投影為c,則c=|a|cos(a,b)b.

新人教B版必修第三冊(cè)P113

4.設(shè)a,b,c是單位向量，且a?b=0,求(a-c)?(b-c)的最小值.

5.設(shè)向量a,b,c滿足|a|=|b|=l,a?b-c,b一c)=60。,求|c|的最大值.

6,已知A,B,C為平面上的3點(diǎn)而且AB3,BC4,CA^5,^AB.BC+BC-CA+

~CA-AB的值.

7.在△ABC中，荏=荏?荔+瓦T就+襦工瓦判斷△ABC的形狀.

8.已知為圓。上的三點(diǎn)，若而=女短+前),求四與正的夾角.新人教B

版必修第三冊(cè)P114'

2.已知向量e,\e\-1，對(duì)任意tER,恒有\(zhòng)a-te\21a-e|,則().

(A)ale(B)a1(a—e)

(C)e1(a—e)(D)(a+e)1(a—e)

3.若非零向量a,b滿足|a+b|=|b|,則().

(A)|2a|>|2a+b|(B)|2a|<|2a+b|

(C)|2b|>|a+2bI(D)|2b|<|a+2b|

4,已知△ABC中,BC邊上的高4。的長(zhǎng)為3,求1至?前,GT而.

5,已知△ABC中,AC=1,BC=—,AB=2，點(diǎn)M,N是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，求CM-CN

的最大值.新人教A