13.2.4 角邊角（難點(diǎn)練）解析版

13.2.4角邊角（難點(diǎn)練）一、單選題1．（2021·天津育賢中學(xué)八年級期中）如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，把一個三角尺的直角頂點(diǎn)與BC邊的中點(diǎn)O重合，且兩條直角邊分別經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B．夢想飛揚(yáng)學(xué)習(xí)小組將三角尺繞點(diǎn)O按順時針方向旋轉(zhuǎn)任意一個銳角，當(dāng)三角尺的兩直角邊與AB，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)時，給出下列結(jié)論：①線段AE與AF的長度之和為定值；②∠BEO與∠OFC的度數(shù)之和為定值；③四邊形AEOF的面積為定值．其中正確的是（）A．僅①正確 B．僅①②正確 C．僅②③正確 D．①②③都正確【答案】D【分析】連接，易證，利用全等三角形的性質(zhì)可得出，進(jìn)而可得出，結(jié)論①正確；由三角形內(nèi)角和定理結(jié)合，可得出，結(jié)論②正確；由可得出，結(jié)合圖形可得出，結(jié)論③正確．【詳解】解：連接，如圖所示，為等腰直角三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，．，，．在和中，，，，，則結(jié)論①正確；，，，，則結(jié)論②正確；，，，則結(jié)論③正確．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形以及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2020·瑞安市安陽實(shí)驗(yàn)中學(xué)）如圖，在中，，分別以，，為邊，在的同側(cè)作正方形，，．若圖中兩塊陰影部分的面積分別記為，，則對，的大小判斷正確的是（）A． B． C． D．無法確定【答案】B【分析】連接EH，過點(diǎn)H作HK⊥BF于點(diǎn)K，令A(yù)E與BH交于點(diǎn)J，HL與BF交于點(diǎn)L，根據(jù)已知條件易證△BHK≌△ABC，繼而由全等三角形的性質(zhì)得S△BHK＝S△ABC，BC＝HK，∠ABC＝∠BHK，再由全等三角形的判定可得△BCJ≌△HKL，進(jìn)而可得S1＝S△BHK＝S△ABC，由正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定可知△ABC≌△AIG，繼而可得S△ABC＝S△AIG＝S2，等量代換即可求解．【詳解】解：連接EH，過點(diǎn)H作HK⊥BF于點(diǎn)K，令A(yù)E與BH交于點(diǎn)J，HL與BF交于點(diǎn)L，由題意可知：四邊形BCED是正方形，四邊形ACFG是正方形，四邊形ABHI是正方形，∠ACB＝90°∴∠CEH＝∠ECK＝90°,CE＝BC∵∠BKH＝90°,∴四邊形CEHK是矩形，∴CE＝HK又∠HBK＋∠ABC＝90°,∠BAC＋∠ABC＝90°∴∠HBK＝∠BAC∴△BHK≌△ABC（AAS）∴S△BHK＝S△ABC，BC＝HK，∠ABC＝∠BHK，∵∠ABC＋∠CBJ＝90°，∠BHK＋∠KHL＝90°∴∠CBJ＝∠KHL∴△BCJ≌△HKL（ASA）∴S△BCJ＝S△HKL，∴S1＝S△BHK＝S△ABC，∵四邊形ACFG是正方形，四邊形ABHI是正方形，∴AB＝AI，AC＝AG，∠G＝∠ACB＝90°∴△ABC≌△AIG（SAS）∴S△ABC＝S△AIG＝S2，即S1＝S2故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及其性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定方法．3．（2019·廣西）如圖，在△ABC中，AB=BC，，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，BF⊥AD，垂足為E，BF交AC于點(diǎn)F，連接DF.下列結(jié)論正確的是（）A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠3=∠4 D．∠4=∠5【答案】A【分析】如圖，過點(diǎn)C作BC的垂線，交BF的延長線于點(diǎn)G，則，先根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)推出，又根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)推出，由此即可得出答案．【詳解】如圖，過點(diǎn)C作BC的垂線，交BF的延長線于點(diǎn)G，則，即在和中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)在和中，故選：A．【點(diǎn)睛】本題是一道較難的綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識點(diǎn)，通過作輔助線，構(gòu)造兩個全等的三角形是解題關(guān)鍵．4．（2018·全國八年級課時練習(xí)）已知等邊三角形ABC的邊長為12，點(diǎn)P為AC上一點(diǎn)，點(diǎn)D在CB的延長線上，且BD=AP，連接PD交AB于點(diǎn)E，PE⊥AB于點(diǎn)F，則線段EF的長為（）A．6 B．5C．4.5 D．與AP的長度有關(guān)【答案】A【分析】作DQ⊥AB，交直線AB的延長線于點(diǎn)Q，連接DE，PQ，根據(jù)全等三角形的判定定理得出△APE≌△BDQ，再由AE=BQ，PE=QD且PE∥QD，可知四邊形PEDQ是平行四邊形，進(jìn)而可得出EF=AB，由等邊△ABC的邊長為12可得出DE=6．【詳解】解；如圖，作DQ⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)F，連接DE，PQ，

又∵PE⊥AB于E，

∴∠BQD=∠AEP=90°，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠ABC=∠DBQ=60°，

在△APE和△BDQ中，，

∴△APE≌△BDQ（AAS），

∴AE=BQ，PE=QD且PE∥QD，

∴四邊形PEDQ是平行四邊形，

∴EF=EQ，

∵EB+AE=BE+BQ=AB，

∴EF=AB，

又∵等邊△ABC的邊長為12，

∴EF=6．故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵在于根據(jù)題中PE⊥AB作輔助線構(gòu)成全等的三角形.5．（2020·河北高邑·八年級期末）如圖，已知∠DCE=90°，∠DAC=90°，BE⊥AC于B，且DC=EC．若BE=7，AB=3，則AD的長為（）A．3 B．5 C．4 D．不確定【答案】C【解析】根據(jù)同角的余角相等求出∠ACD=∠E，再利用“角角邊”證明△ACD≌△BCE，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AD=BC，AC=BE=7，然后求解BC=AC-AB=7-3=4．

故選：C．點(diǎn)睛：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等角的余角相等的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．6．（2017·西安市鐵一中學(xué)八年級期末）如圖，在正方形中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，則，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】過點(diǎn)B作BE垂直y軸交y軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CE垂直x軸,交BE于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AD垂直x軸于點(diǎn)C，連接OB，如下圖所示：∵點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，∴OD＝3，AD＝1，OF＝4，∵是正方形，∴OA＝，AB＝OA=BC，∠AOB＝CBO，∴AB＝，又∵OF＝4，∴BF＝，又∵點(diǎn)B在第二象限，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（－2，4），∵EB//x軸∴∠DOB=∠EBO又∵∠AOB＝CBO（已證）∴∠DOB－∠AOB=∠EBO-∠CBO,即∠AOD=∠CBE在和中(AAS)，∴BE=OD,CE=AD，又∵OD＝3，AD＝1，BF＝2，∴EF＝BE－BF＝3－2＝1，CE＝1，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是（1，4），點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1，又∵CE＝1，∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4－1＝3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，3）；故選A．二、填空題7．（2021·湖北黃陂·八年級月考）如圖，中，，，D為延長線上一點(diǎn)，，且，與的延長線交于點(diǎn)P，若，則__________．【答案】【分析】作于，根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出CP=PM，DC=AM，設(shè)PC=PM=x，AC=BC=3x，AM=DC=5x，求出BD=2x，即可求出答案．【詳解】解：作于，，，，，，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，，設(shè)，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．8．（2020·廣西桂林·）我們知道，正方形的四條邊都相等，四個角都是直角．如圖，已知四邊形是邊長為4的正方形，點(diǎn)分別在邊和上，，是線段的中點(diǎn)，則的面積是__________．【答案】【分析】根據(jù)已知條件求出△ABE≌△ADF，再利用勾股定理求出AF的長度，進(jìn)而利用割補(bǔ)法求出，最后結(jié)合三角形中線的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】∵∠BAF=∠DAE且∠BAF=∠BAE+∠EAF，∠DAE=∠DAF+∠EAF∴∠BAE=∠DAF又ABCD是正方形∴∠B=∠D=90°，AB=AD∴△ABE≌△ADF(ASA)∴DF=BE=1，AE=AF又G是AE的中點(diǎn)∴故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形綜合，難度較高，解題關(guān)鍵在于用割補(bǔ)法求出并掌握“三角形的中線將三角形平分成面積相等的兩個部分”這一性質(zhì).9．（2020·福建順昌·八年級月考）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CF交AB于E，BD⊥CF，AF⊥CF，則下列結(jié)論:①∠ACF＝∠CBD②BD＝FC③FC＝FD+AF④AE=DC中，正確的結(jié)論是____________(填正確結(jié)論的編號)【答案】①②③【分析】根據(jù)同角的余角相等，可得到結(jié)論①，再證明△ACF≌△CBD，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷結(jié)論②、③、④即可.【詳解】解：∵BD⊥CF，AF⊥CF，∴∠BDC=∠AFC=90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACF+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°，∴∠ACF=∠CBD，故①正確；在△ACF和△CBD中，，∴△ACF≌△CBD，∴BD＝FC，CD=AF，故結(jié)論②正確∴FC＝FD+CD=FD+AF，故結(jié)論③正確，∵在Rt△AEF中，AE>AF，∴AE>CD，故結(jié)論④錯誤.綜上所述，正確的結(jié)論是：①②③.【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定方法及全等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.10．（2019·全國潁上縣教育局）如圖：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC邊上的中點(diǎn)，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，給出以下四個結(jié)論：①AE=CF；②EF=AP；③2S四邊形AEPF=S△ABC；④當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時（點(diǎn)E不與A，B重合）有BE+CF=EF；上述結(jié)論中始終正確的序號有__________．【答案】①③【分析】根據(jù)題意，容易證明△AEP≌△CFP，然后能推理得到①③都是正確．【詳解】∵AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，∴∠EAP=∠BAC=45°，AP=BC=CP．①在△AEP與△CFP中，∵∠EAP=∠C=45°，AP=CP，∠APE=∠CPF=90°-∠APF，∴△AEP≌△CFP，∴AE=CF．正確；②只有當(dāng)F在AC中點(diǎn)時EF=AP，故不能得出EF=AP，錯誤；③∵△AEP≌△CFP，同理可證△APF≌△BPE．∴S四邊形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=S△ABC，即2S四邊形AEPF=S△ABC；正確；④根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，EF=PE，所以，EF隨著點(diǎn)E的變化而變化，只有當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時，EF=PE=AP，在其它位置時EF≠AP，故④錯誤；故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證得△AEP和△CFP全等是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破點(diǎn)．11．（2020·廣州市第七中學(xué)八年級期中）如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)C(1，2)、A(－2，0)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是__________.【答案】(3，－1)【解析】分析：過C和B分別作CD⊥OD于D，BE⊥CD于E，利用已知條件可證明△ADC≌△CEB，再由全等三角形的性質(zhì)和已知數(shù)據(jù)即可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)．詳解：過C和B分別作CD⊥OD于D，BE⊥CD于E，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°,∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE，在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB=90°；∠CAD=∠BCE，AC=BC，∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴DC=BE，AD=CE，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(?2,0)，∴AD=CE=3，OD=1，BE=CD=2，∴則B點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,?1).故答案為(3,?1).點(diǎn)睛：本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于結(jié)合坐標(biāo)、圖形性質(zhì)和已經(jīng)條件.12．（2020·四川綿陽·）如圖，△ABE，△BCD均為等邊三角形，點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，連接AD，EC，AD與EB相交于點(diǎn)M，BD與EC相交于點(diǎn)N，下列說法正確的有：___________①AD=EC；②BM=BN；③MN∥AC；④EM=MB．【答案】①②③【解析】∵△ABE，△BCD均為等邊三角形，∴AB=BE，BC=BD，∠ABE=∠CBD=60°，∴∠ABD=∠EBC，在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC(SAS)，∴AD=EC，故①正確；∴∠DAB=∠BEC，又由上可知∠ABE=∠CBD=60°，∴∠EBD=60°，在△ABM和△EBN中∴△ABM≌△EBN(ASA)，∴BM=BN，故②正確；∴△BMN為等邊三角形，∴∠NMB=∠ABM=60°，∴MN∥AC，故③正確；若EM=MB，則AM平分∠EAB，則∠DAB=30°，而由條件無法得出這一條件，故④不正確；綜上可知正確的有①②③，故答案為①②③.點(diǎn)睛：本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、AAS、ASA和HL）和性質(zhì)（即全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等）.13．（2021·河南封丘·八年級期末）如圖，AD=AB,∠C=∠E,AB=2，AE=8，則DE=_________.【答案】6【詳解】根據(jù)三角形全等的判定“AAS”可得△ADC≌△ABE，可得AD=AB=2，由AE=8可得DE=AE-AD=6.故答案為6.點(diǎn)睛：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．14．（2018·江西雷式中學(xué)八年級月考）如圖所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，結(jié)論：①EM＝FN；②AF∥EB；③∠FAN＝∠EAM；④△ACN≌△ABM其中正確的有．【答案】①③④【分析】由∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，利用“AAS”得到△ABE與△ACF全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等且對應(yīng)角相等即可得到∠EAB與∠FAC相等，AE與AF相等，AB與AC相等，然后在等式∠EAB=∠FAC兩邊都減去∠MAN，得到∠EAM與∠FAN相等，然后再由∠E=∠F=90°，AE=AF，∠EAM=∠FAN，利用“ASA”得到△AEM與△AFN全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等得到選項(xiàng)①和③正確；然后再∠C=∠B，AC=AB，∠CAN=∠BAM，利用“ASA”得到△ACN與△ABM全等，故選項(xiàng)④正確；若選項(xiàng)②正確，得到∠F與∠BDN相等，且都為90°，而∠BDN不一定為90°，故②錯誤．【詳解】解：在△ABE和△ACF中，∠E=∠F=90°，AE=AF，∠B=∠C，∴△ABE≌△ACF，∴∠EAB=∠FAC，AE=AF，AB=AC，∴∠EAB-∠MAN=∠FAC-∠NAM，即∠EAM=∠FAN，在△AEM和△AFN中，∠E=∠F=90°，AE=AF，∠EAM=∠FAN，∴△AEM≌△AFN，∴EM=FN，∠FAN=∠EAM，故選項(xiàng)①和③正確；在△ACN和△ABM中，∠C=∠B，AC=AB，∠CAN=∠BAM（公共角），∴△ACN≌△ABM，故選項(xiàng)④正確；若AF∥EB，∠F=∠BDN=90°，而∠BDN不一定為90°，故②錯誤，則正確的選項(xiàng)有：①③④．故答案為①③④三、解答題15．（2019·浙江杭州·）（1）如圖1，點(diǎn)分別在的邊上，點(diǎn)都在內(nèi)部的射線上，分別是的外角．已知，且．求證：≌；（2）如圖2，在中，．點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)在線段上，．若的面積為15，求與的面積之和．【答案】（1）見解析；（2）5．【分析】（1）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和已知條件可得∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，進(jìn)而可根據(jù)ASA證得結(jié)論；（2）仿（1）題的思路證明△ABE≌△CAF，然后根據(jù)CD＝2BD可求出△ABD的面積，進(jìn)一步即可求得結(jié)果．【詳解】解：（1）如圖1，∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠2＝∠FCA+∠CAF，∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（ASA）；（2）∵△ABC的面積為15，CD＝2BD，∴△ABD的面積是：×15＝5，如圖2，∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠2＝∠FCA+∠CAF，∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（ASA）；∴△ACF與△BDE的面積之和等于△ABE與△BDE的面積之和，即等于△ABD的面積，是5．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、三角形的面積、三角形的外角性質(zhì)等知識，屬于典型題目，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2020·山西）綜合與探究：在中，.點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以的速度沿線段向點(diǎn)運(yùn)動．（1）如圖1，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間為，當(dāng)______時，是直角三角形．（2）如圖2，若另一動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段向點(diǎn)運(yùn)動，如果動點(diǎn)都以的速度同時出發(fā)，設(shè)運(yùn)動時間為，求當(dāng)為何值時，是直角三角形．（3）如圖3，若另一動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線方向運(yùn)動，連接交點(diǎn)，且動點(diǎn)都以的速度同時出發(fā)．①設(shè)運(yùn)動時間為，那么當(dāng)為何值時，是等腰三角形？②如圖4，連接.請你猜想：在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，和的面積之間的數(shù)量關(guān)系為______．【答案】（1）；（2）當(dāng)或時，是直角三角形；（3）①當(dāng)為時，是等腰三角形，②．【分析】（1）當(dāng)△PBC是直角三角形時，則∠BPC=90°，∠B=60°，求出BP=AP=cm，即可得到t的值；（2）分①當(dāng)時和②當(dāng)時兩種情況，分別算出t的大??；（3）①由∠DCQ=120°，可知當(dāng)△DCQ是等腰三角形時，CD=CQ，然后可證明△APD是直角三角形，即可根據(jù)題意求出t的值；②面積相等．過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，根據(jù)AAS證明，可得，從而通過同底等高可證．【詳解】解：（1）當(dāng)△PBC是直角三角形時，則∠BPC=90°，∵∠B=60°，∴BP=AP=cm，∴t=，故答案為：；（2）①當(dāng)時，，即，解得；②當(dāng)時，，即，解得，故當(dāng)或時，是直角三角形；（3）①∵，∴當(dāng)是等腰三角形時，，∴，又∵，∴，∴，故有，解得，∴當(dāng)為時，是等腰三角形；②．如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴和同底等高，∴與的面積相等．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，含30°角的直角三角形，還要注意三角形面積的求法．也考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想．17．（2019·湖北恩施·八年級月考）如圖1，在中，是直角，，、分別是、的平分線，、相交于點(diǎn)．（1）求出的度數(shù)；（2）判斷與之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．（提示：在上截取，連接．）（3）如圖2，在△中，如果不是直角，而（1）中的其它條件不變，試判斷線段、與之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【答案】（1）∠AFC＝120°；（2）FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系為：DF＝EF．理由見解析；（3）AC＝AE+CD．理由見解析．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和性質(zhì)只要求出∠FAC，∠ACF即可解決問題;

（2）根據(jù)在圖2的

AC上截取CG=CD，證得△CFG≌△CFD

(SAS),得出DF=

GF；再根據(jù)ASA證明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD；

（3）根據(jù)(2)

的證明方法，在圖3的AC上截取AG=AE，證得△EAF≌△GAF

(SAS)得出∠EFA=∠GFA；再根據(jù)ASA證明△FDC≌△FGC，得CD=CG即可解決問題．【詳解】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120°（2）解：FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系為：DF＝EF．理由：如圖2，在AC上截取CG＝CD，∵CE是∠BCA的平分線，∴∠DCF＝∠GCF，在△CFG和△CFD中，，∴△CFG≌△CFD（SAS），∴DF＝GF．∠CFD＝∠CFG由（1）∠AFC＝120°得，∴∠CFD＝∠CFG＝∠AFE＝60°，∴∠AFG＝60°，又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，∴∠AFE＝∠AFG，在△AFG和△AFE中，，∴△AFG≌△AFE（ASA），∴EF＝GF，∴DF＝EF；（3）結(jié)論：AC＝AE+CD．理由：如圖3，在AC上截取AG＝AE，同（2）可得，△EAF≌△GAF（SAS），∴∠EFA＝∠GFA，AG＝AE∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-(∠BAC+∠BCA)=180°-×120°=120°，∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，∴∠CFG＝∠CFD＝60°，同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），∴CD＝CG，∴AC＝AG+CG＝AE+CD．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定和性質(zhì)是證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形．18．（2018·四川金?！こ啥紝?shí)外）如圖，在中，過C作的平分線AD的垂線，垂足為D，AD交BC于G，交AC于E，且．（1）試說明．（2）作的平分線CF交AD于P，交AB于F，試說明．（3）（2）的條件下，若，試判斷AF、CG、AC的關(guān)系．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．【分析】（1）依據(jù)角平分線的定義以及平分線的性質(zhì)，即可得到，進(jìn)而得出，即可推出．（2）由三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)可求出，再由角平分線的性質(zhì)可推出，，從而推出，最后即可證明．（3）在AC上取點(diǎn)H，使得，并連接PH．根據(jù)題意易證，推出．再由和（2）的結(jié)論可得，即推出，從而證明．最后利用“ASA”證明，推出，即可求出．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．（2）∵，，∴，∵平分，平分，∴，，∴，∴，∴．（3）在AC上取點(diǎn)H，使得，并連接PH．∵平分，∴，在與中，，∴，∴．∵，，∴，，∴，∴，∴，∴，在與中，，∴，∴，∵，．∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，較難．掌握各知識點(diǎn)，必要時能添加合適的輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．19．（2020·四川自貢·成都實(shí)外）在矩形ABCD中，，如圖1將矩形沿MN翻折使得C點(diǎn)恰好落在A處，D點(diǎn)落在E處，連接CN、AM．（1）求證：四邊形AMCN是菱形；（2）若的面積與的面積比為，求的值；（3）如圖2，若，，動點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時出發(fā)，沿和各邊勻速運(yùn)動一周．即點(diǎn)P自A→M→B→A停止，點(diǎn)Q自C→D→N→C停止．在運(yùn)動過程中，已知點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動時間為秒，當(dāng)A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，求t的值．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）【分析】(1)根據(jù)翻折根據(jù)翻折可得：，，∠E＝∠D＝90°，，∠EAM＝∠DCM＝90°，再根據(jù)矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定可證得△EAN≌△BAM（ASA），進(jìn)而可得AN＝AM，繼而根據(jù)菱形的判定方法即可求證結(jié)論；(2)根據(jù)題意易得ND∶MC＝2∶3，進(jìn)而設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理可得DC，過N作于點(diǎn)F，可得DC＝NF，再根據(jù)勾股定理可得MN的長，繼而即可求解；(3)根據(jù)勾股定理求得，，判斷出點(diǎn)P在BM，點(diǎn)Q在ND上時，才能構(gòu)成平行四邊形，然后用t表示出PC、QA，再根據(jù)平行四邊形的對邊相等列出方程求解即可．【詳解】解：（1）根據(jù)翻折可得：，，∠E＝∠D＝90°，，∠EAM＝∠DCM＝90°，EN＝DN，∵四邊形ABCD是矩形∴∠E＝∠D＝∠B＝90°,∠EAM＝∠DCM＝∠BAN＝90°，AE＝CD＝AB∴∠EAM－∠MAN＝∠BAN－∠MAN，即∠EAN＝∠BAM，在△EAN和△BAM中，∴△EAN≌△BAM（ASA）∴AN＝AM，，四邊形AMCN是菱形．（2），，，設(shè)，則，，過N作于點(diǎn)F，則，，，．（3）設(shè)，則，則由勾股定理得：，，則，，分析可知，當(dāng)P在AM上時，Q在CD上，此時不可能出現(xiàn)平行四邊形，當(dāng)P在BM上時，時，四邊形APCQ為平行四邊形，又，，，解得：，當(dāng)P在AB上時，Q在ND或NC上時，都不可能構(gòu)成平行四邊形，綜上，A、C、P、Q為平行四邊形時，．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題型，主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，(3)判斷出以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，點(diǎn)P、Q的位置是解題的關(guān)鍵．20．（2020·福建惠安·八年級期中）在中，，分別過點(diǎn)A、B兩點(diǎn)作過點(diǎn)C的直線m的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E．（1）如圖，當(dāng)，點(diǎn)A、B在直線m的同側(cè)時，猜想線段，和三條線段有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論：__________；（2）如圖，當(dāng)，點(diǎn)A、B在直線m的異側(cè)時，請問（1）中有關(guān)于線段、和三條線段的數(shù)量關(guān)系的結(jié)論還成立嗎？若成立，請你給出證明；若不成立，請給出正確的結(jié)論，并說明理由．（3）當(dāng)，，點(diǎn)A、B在直線m的同側(cè)時，一動點(diǎn)M以每秒的速度從A點(diǎn)出發(fā)沿A→C→B路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動，同時另一動點(diǎn)N以每秒的速度從B點(diǎn)出發(fā)沿B→C→A路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動，兩點(diǎn)都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時才能停止運(yùn)動．在運(yùn)動過程中，分別過點(diǎn)M和點(diǎn)N作于P，于Q．設(shè)運(yùn)動時間為t秒，當(dāng)t為何值時，與全等？【答案】（1）；（2）不成立，理由見解析；（3）當(dāng)或14或16秒時，與全等【分析】（1）根據(jù)，，得，而，根據(jù)等角的余角相等得，然后根據(jù)“AAS”可判斷，則，，于是；

（2）同（1）易證，則，，于是；

（3）只需根據(jù)點(diǎn)M和點(diǎn)N的不同位置進(jìn)行分類討論即可解決問題．【詳解】（1）猜想：（2）不成立；理由：∵，，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，，∴；（3）①當(dāng)時，點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在上，如圖，此時，，，，則，，

當(dāng)，即，解得：，不合題意；②當(dāng)時，點(diǎn)M在上，點(diǎn)N也在上，此時相當(dāng)于兩點(diǎn)相遇，如圖，∵，點(diǎn)M與點(diǎn)N重合，∴，解得：；③當(dāng)時，點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在上，如圖，∵，∴，解得：；④當(dāng)時，點(diǎn)N停在點(diǎn)A處，點(diǎn)M在上，如圖，∵，∴，解得：；綜上所述：當(dāng)或14或16秒時，與全等．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，同角的余角相等，判斷出是解本題的關(guān)鍵，還用到了分類討論的思想．21．（2020·富順縣趙化中學(xué)校八年級月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAD＝∠BAD，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊AC上，連接DF，（1）求證：AC＝AE；（2）若AC＝8，AB＝10，且△ABC的面積等于24，求DE的長；（3）若CF＝BE，試說明AB、AF、EB之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）先過點(diǎn)作于，由于，那么，則有，聯(lián)合，，利用可證．（2）由，證得，然后根據(jù)即可求得．（3）由，，根據(jù)，即可證得．【詳解】解：（1），，，在和中，，，．（2），，，，的面積等于24，由（1）得：，，，，又，，；（3），，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．22．（2019·浙江杭州·八年級期末）如圖，，，點(diǎn)D在AC邊上，，AE和BD相交于點(diǎn)O．（1）求證：．（2）如果，，E點(diǎn)到AC邊的距離為3，求的面積．【答案】（1）答案見詳解（2）9【分析】（1）根據(jù)ASA來證明三角形全等即可；（2）欲求△EDC的面積需先求出DC長，由（1）中可知AC=BD=15，根據(jù)求出DC，進(jìn)而求出△EDC的面積．【詳解】解：（1）在△AOD和△BOE中，，∠AOD=∠BOE,∴∠2=∠BED∵∴∠1=∠BED∴∠1+∠BEA=∠BED+∠BEA即∠AEC=∠BED在△AEC和△BED∴(ASA)（2）由得AC=BD=15,∴DC=15×=6過E作EF⊥DC于F，∴EF=3∴【點(diǎn)睛】本題考查了利用ASA來證明三角形全等，然后利用全等三角形的性質(zhì)來求解，解題關(guān)鍵是證得三角形全等，利用全等三角形性質(zhì)對應(yīng)邊相等求得三角形的底邊長是目的．23．（2019·黑龍江龍沙·八年級期末）綜合實(shí)踐如圖①，，垂足分別為點(diǎn)，．（1）求的長；（2）將所在直線旋轉(zhuǎn)到的外部，如圖②，猜想之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論，不需證明；（3）如圖③，將圖①中的條件改為：在中，三點(diǎn)在同一直線上，并且，其中為任意鈍角．猜想之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)0.8cm;(2)DE=AD+BE;(3)DE=AD+BE，證明見解析．【分析】(1)本小題只要先證明，得到，，再根據(jù)，，易求出BE的值；(2)先證明，得到，，由圖②ED=EC+CD，等量代換易得到之間的關(guān)系；（３）本題先證明，然后運(yùn)用“AAS”定理判定，從而得到，再結(jié)合圖③中線段ED的特點(diǎn)易找到之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：(1)∵∴∴∵∴∴在與中，∴∴又∵，∴(2)∵∴∴∴∴∴在與中，∴∴又∵∴(3)∵∴∴在與中，∴∴又∵∴【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是全等三角形的判定，確定一種判定定理，根據(jù)已知條件找到判定全等所需要的邊相等或角相等的條件是解決這類題的關(guān)鍵．24．（2018·河南川匯·）如圖，AB＝BD，AC＝CE，DC、BE交于點(diǎn)F，∠ABD＝∠ACE＝60°．（1）求證：BE＝CD；（2）求∠A+∠ABF+∠ACF的值．【答案】（1）見解析；（2）∠ABF+∠ACF+∠BAC＝120°.【分析】（1）先證△ABD，△ACE是等邊三角形，由“SAS”可證△ADC≌△ABE，可得BE＝CD；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠ABF＝∠ADC，由三角形內(nèi)角和定理可求解．【詳解】證明：（1）如圖，連接AD，AE，∵AB＝BD，AC＝CE，∠ABD＝∠ACE＝60°．∴△ABD，△ACE是等邊三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC，∴∠DAC＝∠BAE，且AD＝AB，AC＝AE，∴△ADC≌△ABE（SAS）∴BE＝CD；（2）∵△ADC≌△ABE，∴∠ABF＝∠ADC，∵∠ADC+∠ACF+∠DAB+∠BAC＝180°，∴∠ABF+∠ACF+∠BAC＝120°【點(diǎn)睛】本題的考點(diǎn)是三角形綜合題.方法是根據(jù)已知條件和特殊三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答.25．（2018·河南川匯·）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD．BC∥AD．（1）求證：△ABC≌△CDA；（2）△ABC關(guān)于對角線AC的對稱圖形為△AEC，EC、AD交于點(diǎn)F，判斷△ACF的形狀并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）△ACF是等腰三角形，見解析.【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)，根據(jù)ASA即可判斷；（2）只要證明∠ACF＝∠CAF，即可判斷．【詳解】（1）證明：∵AB∥CD∴∠BAC＝∠ACD，∵BC∥AD，∴∠ACB＝∠CAD，∵AC＝CA，∴△ABC≌△CDA（ASA），（2）∵△ABC與△AEC關(guān)于AC對稱，∴∠ACB＝∠ACE，∵AD∥BC，∠ACB＝∠CAD，∴∠ACF＝∠CAF，∴FA＝FC，∴△ACF是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題的考點(diǎn)是全等三角形的判定及等腰三角形的判定.方法是由已知條件得出全等三角形及等腰三角形的判定條件進(jìn)行判定.26．（2019·齊齊哈爾市第五十三中學(xué)校八年級期中）綜合與探究如圖，等腰直角中，，，現(xiàn)將該三角形放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為.（1）過點(diǎn)作軸，求的長及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）連接，若為坐標(biāo)平面內(nèi)異于點(diǎn)的點(diǎn)，且以、、為頂點(diǎn)的三角形與全等，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）已知，試探究在軸上是否存在點(diǎn)，使是以為腰的等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）4，；（2）或或；（3）或或【分析】（1）先根據(jù)證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出、的長即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）做關(guān)于軸的對稱圖形得到；做關(guān)于軸的對稱圖形得到；做關(guān)于軸的對稱圖形得到，根據(jù)對稱圖形的性質(zhì)即可知道所作的圖形全等，即可寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時有一個點(diǎn)符合，當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時分鈍角三角形和銳角三角形即可求解.【詳解】（1）∵點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為∴∵∴∵軸∴∴∴又∵，∴∴∴∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（2）①做關(guān)于軸的對稱圖形得到，∴∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；②∵點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對稱∴做關(guān)于軸的對稱圖形得到∴∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；③做關(guān)于軸的對稱圖形得到，∴∴∴點(diǎn)的坐標(biāo)為∴綜上所述點(diǎn)的坐標(biāo)為或或；（3）①當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時，且是腰∵軸∴可以做點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)∴點(diǎn)的坐標(biāo)為∴是的垂直平分線∴∴是以為腰的等腰三角形；②當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時，且是腰，形成銳角三角形時，即∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；②當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時，且是腰，形成鈍角三角形時，即∴點(diǎn)的坐標(biāo)為∴綜上所述點(diǎn)的坐標(biāo)為或或【點(diǎn)睛】本題主要考察全等三角形的判定及性質(zhì)，軸對稱圖形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，進(jìn)行分類討論不漏解是關(guān)鍵.27．（2019·福建省惠安科山中學(xué)）如圖，在△ABC中，BC＝8cm，AG∥BC，AG＝8cm，點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BC以4cm/s的速度連續(xù)做往返運(yùn)動，同時點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AG以2cm/s的速度向終點(diǎn)G運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)G時，E、F兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，EF與AC交于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動時間為t（秒）（1）分別寫出當(dāng)0≤t≤2和2＜t≤4時線段BF的長度（用含t的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)BF＝AE時，求t的值；（3）若△ADE≌△CDF，求所有滿足條件的t值．【答案】（1）當(dāng)0≤t≤2時，；當(dāng)2＜t≤4時，；（2）；（3）t=或4時，△ADE≌△CDF．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)、點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)的速度、結(jié)合圖形解答；（2）根據(jù)題意列出方程，解方程即可；（3）分點(diǎn)F從點(diǎn)B運(yùn)動至點(diǎn)C；從點(diǎn)C返回兩種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，當(dāng)0≤t≤2時，；當(dāng)2＜t≤4時，；（2）根據(jù)題意，由BF＝AE，則①，此時方程無解，不符合題意；②，解得：；∴當(dāng)BF＝AE時，t的值為：；（3）當(dāng)0＜t≤2時，△ADE≌△CDF，

則AE=CF，即8-4t=2t，

解得：t=；

當(dāng)2＜t≤4時，△ADE≌△CDF，

則AE=CF，即4t-8=2t，

解得：t=4；

則t=或4時，△ADE≌△CDF．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解一元一次方程，以及列代數(shù)式，根據(jù)題意列出一元一次方程進(jìn)行求解，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．28．（2021·湖北大冶·八年級期末）等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上．（1）如圖1，求證：∠BCO＝∠CAO（2）如圖2，若OA＝5，OC＝2，求B點(diǎn)的坐標(biāo)（3）如圖3，點(diǎn)C（0，3），Q、A兩點(diǎn)均在x軸上，且S△CQA＝18．分別以AC、CQ為腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，連接MN交y軸于P點(diǎn)，OP的長度是否發(fā)生改變？若不變，求出OP的值；若變化，求OP的取值范圍．【答案】（1）見解析（2）（﹣2，﹣3）（3）OP的長度不會發(fā)生改變，9【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等得出結(jié)論即可；（2）先過點(diǎn)B作BD⊥y軸于D，再判定△CDB≌△AOC（AAS），求得BD=CO=2，CD=AO=5，進(jìn)而得出OD=5-2=3，即可得到B點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）先過N作NH∥CM，交y軸于H，再△HCN≌△QAC（ASA），得出CH=AQ，HN=QC，然后根據(jù)點(diǎn)C（0，3），S△CQA=18，求得AQ=12，最后判定△PNH≌△PMC（AAS），得出，即可求得CP=3+6=9（定值）．【詳解】解：（1）如圖1，∵∠ACB＝90°，∠AOC＝90°，∴∠BCO+∠ACO＝90°＝∠CAO+∠ACO，∴∠BCO＝∠CAO；（2）如圖2，過點(diǎn)B作BD⊥y軸于D，則∠CDB＝∠AOC＝90°，在△CDB和△AOC中，，∴△CDB≌△AOC（AAS），∴BD＝CO＝2，CD＝AO＝5，∴OD＝5﹣2＝3，又∵點(diǎn)B在第三象限，∴B（﹣2，﹣3）；（3）OP的長度不會發(fā)生改變．理由：如圖3，過N作NH∥CM，交y軸于H，則∠CNH+∠MCN＝180°，∵等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，∴∠MCQ+∠ACN＝180°，∴∠ACQ+∠MCN＝360°﹣180°＝180°，∴∠CNH＝∠ACQ，又∵∠HCN+∠AC