13.5 逆命題與逆定理（重點練）解析版

13.5逆命題與逆定理（重點練）一、單選題1．（2021·湖南湘鄉(xiāng)·八年級期末）在RtABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點D，DE⊥AC，垂足為點E，若BD＝3，則DE的長為（）A．3 B． C．2 D．6【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求得．【詳解】解：∵∠B=90°，

∴DB⊥AB，

又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，

∴DE=BD=3，

故選：A．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．2．（2021·遼寧沈河·八年級期末）如圖，已知∠ABC，小彬借助一把沒有刻度且等寬的直尺，按如圖的方法畫出了∠ABC的平分線BP．他這樣做的依據(jù)是（）A．在一個角的內(nèi)部，且到角兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上B．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等C．三角形三條角平分線的交點到三條邊的距離相等D．測量垂直平分線上的點到這條線段的距離相等【答案】A【分析】根據(jù)角平分線判定得出BP平分∠DPE，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出∠DBP＝∠EBP，即可得出答案．【詳解】解：∵∠M＝∠N＝90°，BM＝BN，∴BP平分∠DPE，∴∠DPB＝∠EPB，∵DP∥BC，PE∥BD，∴∠DPB＝∠PBE，∠EPB＝∠DBP，∴∠DBP＝∠EBC，即在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上，故選：A．【點睛】本題主要考查了角平分線的判定，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等得點在角的平分線上．3．（2021·全國八年級課時練習(xí)）命題“鄰補角互補”的逆命題是（）A．真命題 B．假命題 C．有時是真命題，有時是假命題 D．互補的兩個角相鄰【答案】B【分析】根據(jù)命題“鄰補角互補”寫出的它的逆命題，然后判斷真假即可．【詳解】解：“鄰補角互補”的逆命題是“互補的角是鄰補角”，這句話是錯誤的，是假命題，故選：B．【點睛】本題考查了命題與逆命題，以及判斷命題的真假，能準(zhǔn)確寫出原命題的逆命題是解題的關(guān)鍵．4．（2021·全國八年級課時練習(xí)）下列命題的逆命題是假命題的是（）A．如果或，那么 B．兩個負(fù)數(shù)之積是正數(shù)C．如果，那么 D．絕對值相等的兩個數(shù)一定相等【答案】B【分析】先找出各命題的逆命題,后根據(jù)所學(xué)知識逐一判斷即可．【詳解】根據(jù)題意，得A命題的逆命題是“如果，那么或”，是真命題，不符合題意；B命題的逆命題是“如果兩個數(shù)的積是正數(shù)，那么這兩個數(shù)都是負(fù)數(shù)”，兩數(shù)還可能都是正數(shù)，是假命題，符合題意；C命題的逆命題是“如果，那么”，是真命題，不符合題意；D命題的逆命題是“如果兩個數(shù)相等，那么這兩個數(shù)的絕對值相等”，是真命題，不符合題意．故選B．【點睛】本題考查了命題，逆命題的關(guān)系，熟練掌握逆命題的確定方法并靈活判斷真?zhèn)问墙忸}的關(guān)鍵．5．（2021·全國八年級課時練習(xí)）以下命題的逆命題為真命題的是（）A．鄰補角相等 B．同旁內(nèi)角互補，兩直線平行C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】先寫出各自命題的逆命題，然后進行判斷即可得到答案．【詳解】解：A、鄰補角相等的逆命題是：互補的兩個角相等，是假命題，不符合題意；B、同旁內(nèi)角互補，兩直線平行的逆命題為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，是真命題，符合題意；C.若a=b,則的逆命題為若，則a=b，此逆命題為假命題，故錯誤；D.若a>0，b>0，則的逆命題為若，則a>0，b>0，此逆命題為假命題，故錯誤．故選B．【點睛】本題主要考查了逆命題和判定命題的真假，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．6．（2021·全國八年級課時練習(xí)）下列命題的逆命題一定成立的是（）①對頂角相等；②同位角相等，兩直線平行；③若，則④若，則A．①②③ B．①④ C．②④ D．②【答案】D【分析】先寫出各自命題的逆命題，然后進行判斷即可得到答案．【詳解】解：①逆命題為：相等的角為對頂角，錯誤；②逆命題為：兩直線平行，同位角相等，正確；③逆命題為：若，則，例如，，但，所以逆命題錯誤；④逆命題為：若，則，，因為當(dāng)時，也可能，所以逆命題錯誤．故選D．【點睛】本題主要考查了逆命題和判定命題的真假，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．7．（2019·廣東增城·八年級期末）如圖，點是平分線上的一點，，垂足為D，若，則點到邊的距離是（）A． B．3 C．5 D．4【答案】B【分析】作PE⊥OA于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求得．【詳解】作PE⊥OA于E∵點P是∠AOB平分線OC上一點，PD⊥OB，PE⊥OA∴PE=PD=3故選B．【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．8．（2020·武岡市第二中學(xué)八年級開學(xué)考試）如圖，在中，，AD平分，，，那么點D到直線AB的距離是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．10cm【答案】B【分析】過點D作DE⊥AB于E，然后根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)可得DE=CD，再代入數(shù)據(jù)求出CD，即可得解．【詳解】解：如圖，過點D作DE⊥AB于E，

∵∠C=90°，AD平分∠CAB，

∴DE=CD，

∵BC=12cm，BD=8cm，

∴CD=BC-BD=12-8=4cm，

∴DE=4cm．

故選B．【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2020·重慶璧山·）下列命題中，錯誤的是（）A．線段的兩個端點關(guān)于它的垂直平分線對稱；B．斜邊和一條直角邊分別對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；C．等腰三角形的角平分線、中線、高線互相重合；D．五邊形共有5條對角線．【答案】C【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)、三角形全等判定條件、等腰三角形的三線、多邊形的對角線條數(shù)公式逐一判斷即可．【詳解】垂直平分線也是這條線段的對稱軸，故A正確；符合HL，故B正確；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合，故C錯誤；多邊形對角線公式為：，當(dāng)n=5時，有5條對角線，故D正確；故選C．【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)、三角形全等判定條件、等腰三角形的三線、多邊形的對角線條數(shù)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活應(yīng)用是本題的關(guān)鍵．10．（2020·山東八年級月考）如圖，中，，垂直平分，交于點，交于點，且，若的周長為，，則的長為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)線段垂直平分線和等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AB=AE=CE，再根據(jù)的周長為，能推出2DE+2EC=14cm，即可得出答案．【詳解】∵，，EF垂直平分AC，∴AB=AE=EC，∵△ABC周長26cm，AC=10cm，∴AB+BE+EC=16cm，即2DE+2EC=16cm，∴DE+EC=DC=8cm．故選：C．【點睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練應(yīng)用等腰三角形和垂直平分線的性質(zhì)進行等量代換為解題關(guān)鍵．11．（2019·江西吉安·八年級期末）如圖，，點是垂直平分線的交點，則的度數(shù)是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】解：連接OA，OB∵∠BAC=80°∴∠ABC+∠ACB=100°又∵O是AB和AC垂直平分線的交點∴OA=OB，OA=OC∴∠OBA=∠OAB，∠OCA=∠OAC，OB=OC∴∠OBA+∠OCA=80°∴∠OBA+∠OCB=100°-80°=20°又∵OB=OC∴∠BCO=∠CBO=10°故答案選擇B.【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線和等腰三角形的性質(zhì).12．（2020·巴彥淖爾市臨河區(qū)第二中學(xué)八年級月考）如圖，△ABC中,AD是∠BAC的平分線，AB=4，AC=3,那么△ABD和△ADC的面積比是（）A．1:1 B．3:4 C．4:3 D．不能確定【答案】C【分析】如圖，過D分別作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DF，然后利用三角形的面積公式就可以得到△ABD與△ADC的面積比是AB：AC，再利用已知條件即可求出結(jié)果．【詳解】解：如圖，過D分別作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∵AD是∠BAC的角平分線，

∴DE=DF，

∴S△ABD：S△ADC=AB?DE：AC?DF=AB：AC=4：3．

故選C．【點睛】本題考查角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，等高的三角形的面積的比等于底邊的比，熟記等高三角形的面積關(guān)系是解題的關(guān)鍵．13．（2020·北京市京源學(xué)校）如圖所示,在中，，AD平分，于點E，則下列結(jié)論：①DA平分；②∠=∠；③DE平分∠；④．其中正確的有（）A．①② B．①④ C．③④ D．①②④【答案】D【分析】根據(jù)題中條件，結(jié)合圖形及角平分線的性質(zhì)得到結(jié)論，與各選項進行比對，排除錯誤答案，選出正確的結(jié)果．【詳解】∵AD平分∠BAC

∴∠DAC=∠DAE

∵∠C=90°，DE⊥AB

∴∠C=∠E=90°

∵AD=AD

∴△DAC≌△DAE

∴∠CDA=∠EDA

∴①AD平分∠CDE正確；

無法證明∠BDE=60°，

∴③DE平分∠ADB錯誤；

∵BE+AE=AB，AE=AC

∴BE+AC=AB

∴④BE+AC=AB正確；

∵∠BDE=90°-∠B，∠BAC=90°-∠B

∴∠BDE=∠BAC

∴②∠BAC=∠BDE正確．

故選D．【點睛】考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是靈活運用角平分線的性質(zhì)進行分析．14．（2019·溫州市第十二中學(xué)八年級期中）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE平分∠ACB，AD交CE于點F，已知△AFC的面積為5，F(xiàn)D＝2，則AC長是（）A．2.5 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)已知作FH⊥AC，先求出FH，再利用面積法，便可求出AC.【詳解】解：過F作FH⊥AC，∵AD⊥BC，CE平分∠ACB，∴FH＝DF，∵FD＝2，∴FH＝2，∵△AFC的面積為5，∴AC?FH＝×2×AC＝5，∴AC＝5，故選：C．【點睛】考查了角平分線性質(zhì)和用面積法求三角形的低，也屬于常考題目，希望重點掌握.二、填空題15．（2020·江蘇南京·八年級期中）角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在_______上．【答案】角的平分線【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)的逆定理解答即可．【詳解】∵角平分線性質(zhì)的逆定理：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上∴答案為角的平分線故答案為角的平分線．【點睛】本題考查了角平分線性質(zhì)的逆定理，熟練記憶定理是本題的關(guān)鍵．16．（2020·富順第三中學(xué)校八年級期中）如圖，△ABC中，AB=AC=14cm，D是AB的中點，DE⊥AB于D交AC于E，△EBC的周長是24cm，則BC=______．【答案】10cm【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求出AE等于BE，再根據(jù)已知條件可知BE與EC的和，再用周長減去BE與EC的和即可得出BC的長．【詳解】解：在△ABE中，∵D是AB的中點，且DE⊥AB，∴AE=BE，在△ABC中，∵AB=AC=14cm，AC=AE+EC，∴BE+EC=AE+EC=AC=14cm，又∵BE+EC+BC=24cm，∴BC=24-14=10cm．故答案為：10cm．【點睛】本題考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，熟記相關(guān)性質(zhì)并能靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，切記答案帶單位．17．（2020·江蘇南京·八年級期中）如圖，在中，的垂直平分線交于點，，，則的周長為_______．【答案】11【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，即可得到AD=BD，則，代入即可求解．【詳解】∵的垂直平分線交于點∴AD=BD∵∴∵，∴故答案為：11．【點睛】本題主要考查的是垂直平分線的性質(zhì)，垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2021·江蘇八年級專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝10，則△ABD的面積為________．【答案】15【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得DE的長，再利用三角形的面積公式求得答案即可．【詳解】解：如圖，作DE⊥AB于點E,∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，∴CD=DE=3∴S△ABD=·AB·DE=×10×3=15故答案為：15【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，理解熟記并熟練運用是解題關(guān)鍵．19．（2019·福建漳州·八年級期中）如圖，是內(nèi)一點，且點到，的距離，相等，則的依據(jù)是__．【答案】HL【分析】根據(jù)證明即可．【詳解】解：，，，在和中，，．故答案為．【點睛】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．20．（2020·和平縣和豐中學(xué)八年級月考）如圖，∠D=∠C=90°，E是DC的中點，AE平分∠DAB，∠DEA=28°，則∠ABE的度數(shù)是__________．【答案】28°【分析】過點E作EF⊥AB于F，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=EF，根據(jù)線段中點的定義可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上證明即可得出BE平分∠ABC，最后求得∠ABE的度數(shù)．【詳解】如圖，過點E作EF⊥AB于F，∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，∴DE=EF，∵E是DC的中點，∴DE=CE，∴CE=EF，又∵∠C=90°，∴點E在∠ABC的平分線上，∴BE平分∠ABC，又∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠AEB=90°，∴∠BEC=90°?∠AED=62°，∴Rt△BCE中,∠CBE=28°，∴∠ABE=28°故填：28°.【點睛】此題主要考查角平分線的性質(zhì)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線進行求解.21．（2019·遼寧燈塔·八年級期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝110°，若DE、FG分別垂直平分AB、BC，那么∠EBF的度數(shù)為__________【答案】40°【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出AE=BE，BF=CF，推出∠A=∠ABE，∠C=∠CBF，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A+∠C的度數(shù)，即可求出∠ABE+∠CBF的度數(shù)，就能求出答案．【詳解】∵DE、FG分別垂直平分AB、BC，

∴AE=BE，BF=CF，

∴∠A=∠ABE，∠C=∠CBF，

∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∠ABC=110°，

∴∠A+∠C=70°，

∴∠ABE+∠CBF=70°，

∴∠EBF=110°-70°=40°，

故答案為：40°【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識點的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出∠A+∠C的度數(shù)，進一步求出∠ABE+∠CBF的度數(shù)，題目比較典型，難度不大．22．（2019·浙江寧波·八年級期中）如圖，在四邊形ABCD中，，，點M，N分別是CD，BC上兩個動點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，的度數(shù)為_________．【答案】100°【分析】作點A關(guān)于BC的對稱點A′，關(guān)于CD的對稱點A″，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，連接A′A″與BC、CD的交點即為所求的點M、N，利用三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠A′+∠A″，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），然后計算即可得解．【詳解】解：如圖，

作點A關(guān)于BC的對稱點A′，關(guān)于CD的對稱點A″，

連接A′A″與BC、CD的交點即為所求的點M、N，

∵∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，

∴∠A′+∠A″=180°-∠130°=50°，

由軸對稱的性質(zhì)得：A′N=AN，A″M=AM∴∠A′=∠A′AN，∠A″=∠A″AM，

∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°．

故答案為：100°【點睛】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，軸對稱的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，確定出點M、N的位置是解題的關(guān)鍵，要注意整體思想的利用．23．（2019·溫州市第十二中學(xué)八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE是AB的垂直平分線，若∠CBE＝20°，則∠A＝_____°．【答案】35【分析】利用三角形內(nèi)角和定理求出∠CEB，再證明∠A＝∠EBA，便可求解了.【詳解】解：∵∠C＝90°，∴∠CEB＝90°﹣∠CBE＝70°，∵DE垂直平分線段AB，∴EA＝EB，∴∠A＝∠EBA，∵∠CEB＝∠A+∠EBA，∴∠A＝∠EBA＝35°，故答案為35【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵是熟悉掌握知識本身.24．（2019·河南葉縣·八年級期末）如圖，在中，，，的面積是，邊的垂直平分線分別交，邊于點，.若點為邊的中點，點為線段上一動點，則周長的最小值為__________．【答案】10【分析】連接AD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得而AD⊥BC，根據(jù)三角形的面積求出AD的長，由EF是AC的垂直平分線可得當(dāng)AD,EF交點M時，周長的最小值為AD+CD的長，故可求解.【詳解】連接AD,∵，點為邊的中點，∴AD⊥BC，∵，的面積是，∴AD=16×2÷4=8，∵EF是AC的垂直平分線,∴點C關(guān)于直線EF的對稱點為A，∴AD的長為CM+MD的最小值，∴周長的最小值為AD+CD=8+BC=8+2=10.故填：10.【點睛】此題主要考查對稱軸的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知等腰三角形的性質(zhì)及垂直平分線的性質(zhì).25．（2018·上海長寧·）已知，△ABC的周長為16，∠A，∠B的角平分線交點到AB的距離為2，則△ABC的面積為________【答案】16【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得點P到△ABC三邊的距離相等，再根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可得解．【詳解】解：設(shè)∠A和∠B的平分線相交于P，P到邊AB的距離為2，

∴點P到AC、BC的距離為2，

∵△ABC的周長為16，

∴△ABC的面積=×AB×2+×BC×2+×AC×2=×(AB+BC+AC)×2=×16×2=16．

故答案為16．【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，三角形的面積，熟記性質(zhì)并判斷出點P到三角形三邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．26．（2018·上海長寧·）如圖，已知點B、C分別在∠EAF的兩邊AE，AF上，BP,CP分別平分∠EBC,∠BCF,則點P__________（填“一定在”或“不一定在”）∠A的平分線上【答案】一定在.【分析】作射線AP，過點P分別作AE、BC、AF的垂線PM、PD、PN，M、D、N為垂足．根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PM=PD，PD=PN，進而可得出結(jié)論．【詳解】證明：過點P分別作AE、BC、AF的垂線PM、PD、PN，M、D、N為垂足，

∵CP是∠FCB的平分線，

∴PN=PD．

同理：PM=PD．

∴PM=PN．

∴點P在∠BAC的平分線上．故答案為一定在.【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．27．（2019·全國）已知，如圖，AC=BC，AD=BD，那么______是_______的垂直平分線.【答案】CDAB【分析】根據(jù)線段垂直平分線的判定即可解答.【詳解】解：∵AC=BC∴點C在線段AB的垂直平分線上；∵AD=BD∴點D在線段AB的垂直平分線上；∴CD是線段AB的垂直平分線上.故答案為CD；AB.【點睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知與線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上是解題關(guān)鍵.28．（2019·廣西青秀·南寧二中八年級期中）已知：如圖，△ABC和△DEC都是等邊三角形，D是BC延長線上一點，AD與BE相交于點P，AC、BE相交于點M，AD，CE相交于點N，則下列五個結(jié)論：①AD＝BE；②AP＝BM；③∠APM＝60°；④△CMN是等邊三角形；⑤連接CP，則CP平分∠BPD，其中，正確的是_____．（填寫序號）【答案】①③④⑤．【分析】①根據(jù)△ACD≌△BCE(SAS)即可證明AD＝BE；②根據(jù)△ACN≌△BCM(ASA)即可證明AN＝BM，從而判斷AP≠BM；③根據(jù)∠CBE+∠CDA＝60°即可求出∠APM=60°；④根據(jù)△ACN≌△BCM及∠MCN＝60°可知△CMN為等邊三角形；⑤根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知.【詳解】①∵△ABC和△CDE都是等邊三角形∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°∴∠ACE＝60°∴∠ACD＝∠BCE＝120°在△ACD和△BCE中∴△ACD≌△BCE(SAS)∴AD＝BE；②∵△ACD≌△BCE∴∠CAD＝∠CBE在△ACN和△BCM中∴△ACN≌△BCM(ASA)∴AN＝BM；③∵∠CAD+∠CDA＝60°而∠CAD＝∠CBE∴∠CBE+∠CDA＝60°∴∠BPD＝120°∴∠APM＝60°；④∵△ACN≌△BCM∴CN＝BM而∠MCN＝60°∴△CMN為等邊三角形；⑤過C點作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如圖∵△ACD≌△BCE∴CQ＝CH∴CP平分∠BPD.故答案為：①③④⑤．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)的靈活運用，角的計算及角平分線的判定，熟練掌握三角形全等的證明方法，角平分線的判定及相關(guān)輔助線的作法是解決本題的關(guān)鍵.三、解答題29．（2020·四川武侯·成都七中八年級開學(xué)考試）如圖，的頂點均在正方形網(wǎng)格圖的格點上，且網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都是1．（1）畫出在網(wǎng)格圖中關(guān)于直線對稱的圖形；（2）在直線上找一點，使得（要求在直線上標(biāo)出點的位置）；（3）連接、，計算四邊形的面積．【答案】（1）畫圖見解析；（2）畫圖見解析；（3）．【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點、、關(guān)于直線的對稱點、、的位置，然后順次連接即可；（2）根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等，過中點作交直線于點，點即為所求；（3）根據(jù)列式計算即可得解．【詳解】解：（1）△如圖所示；（2）如圖所示，過中點作交直線于點，此時；（3）．【點睛】本題考查了利用軸對稱變換作圖，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質(zhì)，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對應(yīng)點的位置是解題的關(guān)鍵．30．（2019·浙江路橋·八年級期末）如圖，已如是等邊三角形，于點，于點，，求證：（1）≌；（2）是的垂直平分線．【分析】（1）已知BE=CF,∠EBD=∠FCD,∠BED=∠CFD，根據(jù)三角形全等的判定定理可得；（2）通過證明△ABD≌△ACD得BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，推出是的垂直平分線．【詳解】（1）∵是等邊三角形，∴，∵，，∴，∵，∴≌．（2）∵≌，∴，∵是等邊三角形，∴，∴點，均在的垂直平分線上，∴是的垂直平分線．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定，關(guān)鍵是找邊角關(guān)系，選擇合適的判定定理證明，另外及垂直平分線判定需要滿足兩條，一平分，二垂直.31．（2018·浙江江干·八年級期末）寫出命題“等腰三角形兩腰上的高線長相等”的逆命題，判斷這個命題的真假，并說明理由．【答案】逆命題是兩邊上的高相等的三角形為等腰三角形，此逆命題為真命題．理由見解析.【分析】根據(jù)命題與逆命題的性質(zhì)判斷即可.【詳解】命題“等腰三角形兩腰上的高線長相等”的逆命題是兩邊上的高相等的三角形為等腰三角形，此逆命題為真命題．如圖，在△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，且CD=BE，∵BC=BC，∴△CBD≌△BCE（HL），∴∠DBC=∠ECB，∴△ABC為等腰三角形．【點睛】本題主要考查命題與定理的知識點,兩個命題中,如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論,而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的條件,那么這兩個命題叫做互逆命題.其中一個命題稱為另一個命題的逆命題.32．（2020·廣東廣州市第二中學(xué)八年級期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分線分別交AB，AC于點D，E．（1）若，求的度數(shù)；（2）若AE=5，△DCB的周長為16，求△ABC的周長．【答案】（1）30°；（2）26【分析】（1）由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可求得∠ACB的度數(shù)，又由線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AD＝CD，即可求得∠ACD的度數(shù)，繼而求得答案；（2）根據(jù)DE垂直平分AC得到DA＝DC，EC＝EA＝5，根據(jù)△DCB的周長為16，通過線段代換即可求得△ABC的周長．【詳解】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠ACB70°，∵DE垂直平分AC，∴DA＝DC，∴在△DAC中，∠DCA＝∠A＝40°，∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝30°；（2）∵DE垂直平分AC，∴DA＝DC，EC＝EA＝5，∴AC＝2AE＝10，∴△ABC的周長為：AC+BC+AB=AC+BC+BD+DA＝10+BC+BD+DC＝10+16＝26．【點睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)．此題難度不大，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．33．（2020·廣東廣州市第二中學(xué)八年級期中）尺規(guī)作圖：如圖，已知和兩點M，N，試確定一點P，使得P到射線OA，OB的距離相等，并且到點M，N的距離也相等．（不寫作法，保留作圖痕跡）．【分析】作線段MN的垂直平分線EF，作∠AOB的角平分線OT，射線OT交直線EF于點P，點P即為所求．【詳解】解：如圖，點P即為所求．【點睛】本題考查幾何作圖﹣基本作圖，角平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線和線段垂直平分線的性質(zhì)，會用尺規(guī)作已知角的平分線和已知線段的垂直平分線，屬于中考?？碱}型．34．（2020·陜西韓城·八年級期中）如圖，已知在中，的垂直平分線交于點，連接．若，求的度數(shù)；若求線段的長度．【答案】（1）30°；（2）7【分析】（1）由在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，利用等腰三角形的性質(zhì)，即可求得∠ABC的度數(shù)，然后由AB的垂直平分線MN交AC于點D，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可求得AD=BD，繼而求得∠ABD的度數(shù)，則可求得∠DBC的度數(shù)．

（2）由（1）得BD=AD，結(jié)合AB=AC，根據(jù)BD=AD=AC-CD，代入即可求解．【詳解】（1）點在的垂直平分線上，（2）．【點睛】本題考查了線段垂直平分線和等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用，注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．35．（2020·廣西賓陽·八年級期中）已知，如圖，∠C＝∠D＝90°，E是CD的中點，AE平分∠DAB．求證：BE平分∠ABC．【分析】根據(jù)題意，先過E點作EF⊥AB于點F，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)及判定定理進行解答即可.【詳解】過E點作EF⊥AB于點F，∵∠D＝∠AFE＝90°，AE平分∠DAB∴DE=EF∵E是CD的中點∴DE＝EC∴EF＝EC∵EF⊥AB，∠C＝90°∴BE平分∠ABC．【點睛】本題主要考查了有關(guān)角平分線的輔助線畫法，以及角平分線的性質(zhì)及判定的證明，熟練掌握有關(guān)角平分線的性質(zhì)及判定的證明方法是解決本題的關(guān)鍵，這類題目是考試的重點，要理解性掌握.36．（2017·廣東吳川一中實驗學(xué)校八年級月考）如圖，已知點D是∠ABC的平分線上一點，點P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分別為A，C．求證：（1）AD=CD；（2）∠ADB=∠CDB．【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出距離相等，結(jié)合其它條件先證△ABP≌△CBP，從而得到AB=BC.再利用“邊角邊”證得△ABD≌△CBD，從而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證得結(jié)果.【詳解】解：∵點D是∠ABC的平分線上一點，點P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，

∴△ABP≌△CBP

∴AB=BC，∵點D是∠ABC的平分線上一點，∴∠ABD=∠CBD.在△ABD和△CBD中∴△ABD≌△CBD，

∴(1)AD=CD，(2)∠ADB=∠CDB．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)；得出兩對三角形全等是正確解決本題的關(guān)鍵．37．（2019·江蘇玄武·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，BC的垂直平分線分別交AC、BC于點D、E，求CD的長．【答案】【分析】連接DB，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠A=90°，根據(jù)線段垂直平分線的想知道的DC=DB，設(shè)DC=DB=x，則AD=8-x．根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接DB，在△ACB中，∵AB2+AC2＝62+82＝100，又∵BC2＝102＝100，∴AB2+AC2＝BC2．∴△ACB是直角三角形，∠A＝90°，∵DE垂直平分BC，∴DC＝DB，設(shè)DC＝DB＝x，則AD＝8﹣x．在Rt△ABD中，∠A＝90°，AB2+AD2＝BD2，即62+（8﹣x）2＝x2，解得x＝，即CD＝．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，線段的垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握是解題的關(guān)鍵.38．（2021·山東牡丹·）已知：如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線AP與BC的垂直平分線PQ相交于點P，過點P分別作PM⊥AC于點M，PN⊥AB交AB延長線于點N，連接PB，PC．求證：BN=CM．【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得PM=PN，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得PB=PC，然后利用“HL”證明Rt△PBN和Rt△PCM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可．【詳解】∵AP是∠BAC的平分線，PM⊥AC，PN⊥AB，

∴PM=PN，

∵PQ是線段BC的垂直平分線，

∴PB=PC，

在Rt△PBN和Rt△PCM中，，

∴Rt△PBN≌Rt△PCM（HL），

∴BN=CM．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，主要利用了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確確定出全等三角形是解題的關(guān)鍵．39．（2019·上饒市廣信區(qū)第七中學(xué)八年級月考）如圖，△ABC、△CDE均為等邊三角形，連接BD、AE交于點O，BC與AE交于于點P．（1）求證：△ACE≌△BCD．（2）求∠AOB的度數(shù)．（3）連接OC，求證：OC平分∠AOD【答案】(1)證明見解析；（2）；（3）證明見解析.【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)證明；（2）由得到∠CBD=∠CAE．再利用三角形內(nèi)角和等于180°，由△APC和△BPO中有內(nèi)角互為對頂角進而得出∠BOA=∠ACP=60°.（3）過C點作CG⊥AE，CH⊥BD，由三角形全等可得其對應(yīng)高相等．再根據(jù)到角兩邊距離相等的點在角平分線即可得出結(jié)論.【詳解】（1）證明：與都是等邊三角形，，，，∴，即．在和中，，（SAS）．（2）．∴∠CBD=∠CAE，

∵∠BPO=∠APC，又∵∠CBD+∠BPO+∠BOP=∠CAE+∠APC+∠ACP=180°.

∴∠BOP=∠ACP=60°，即∠AOB=60°．（3）如圖，過C點作CG⊥AE，CH⊥BD，，∴，AE=BD，∴，∴CG=CH，又∵CG⊥AE，CH⊥BD，∴OC是∠AOD的角平分線，即OC平分∠AOD.【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運用及全等三角形的判定和性質(zhì)的運用．解決本題的關(guān)鍵是證明三角形全等．40．（2019·山東鄆城·八年級月考）△ABC的邊BC的中垂線DF交∠BAC的外角平分線AD于D，垂足為F，ED⊥AB與點E，且AB>AC,求證：BE-AC=AE【分析】作DG⊥AC，連接BD、CD，易證△ADE≌△ADG，得AE=AG，只要再證明△BED≌△CGD，即可得到；【詳解】證明：作DG⊥AC，連接BD、CD，∵AD是外角∠BAG的平分線，DE⊥AB，∴∠DAE=∠DAG，則在△ADE與△ADG中,∴△ADE≌△ADG(AAS)，∴AE=AG，∵DF是BC的中垂線，∴BD=CD，∴在Rt△BED和Rt△CGD中，，∴Rt△BED≌Rt△CGD(HL)，∴BE=CG=AC+AG，AG=AE，∴BE?AC=AE.【點睛】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于作輔助線.41．（2021·陜西西鄉(xiāng)·八年級期末）如圖，已知，，請用尺規(guī)作圖在上取一點，