2024-2025學年高中數(shù)學第二章平面向量2.2.1向量的加法學案含解析北師大版必修4

PAGE§2從位移的合成到向量的加法2．1向量的加法學問點一三角形法則[填一填]1．如圖，已知向量a、b，在平面上任取一點A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，再作向量eq\o(AC,\s\up6(→))，則向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫作向量a與b的和．記作a＋b.[答一答]1．隨意兩個向量都可以應用向量加法的三角形法則嗎？提示：是，因為三角形法則的關鍵是兩向量首尾相連．學問點二平行四邊形法則與多邊形法則[填一填]2．平行四邊形法則如圖，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，再作平行于eq\o(AD,\s\up6(→))的向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，連接DC，則eq\o(AC,\s\up6(→))叫作向量a與b的和，表示為：eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b.3．多邊形法則向量求和的三角形法則，可推廣至多個向量求和的多邊形法則：n個向量經過平移，順次使前一個向量的終點與后一個向量的起點重合，組成一向量折線，這n個向量的和等于折線起點到終點的向量，即eq\o(A0A1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋…＋An－1An＝eq\o(A0An,\s\up6(→)).[答一答]2．(1)向量加法的三角形法則與平行四邊形法則的運用條件有何不同？(2)向量加法的三角形法則與平行四邊形法則是一回事嗎？提示：(1)三角形法則適合隨意兩個向量求和，平行四邊形法則只適合兩個不共線的向量求和．(2)向量加法的三角形法則與平行四邊形法則都是計算兩個向量的和向量，當兩個向量不共線時，它們是一樣的．當兩個向量共線時，平行四邊形法則不再適用．學問點三向量加法運算律[填一填]4．(1)交換律：a＋b＝b＋a.(2)結合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．特殊地：對于零向量與任一向量a的和有0＋a＝a.[答一答]3．向量的加法運算律與實數(shù)的加法運算律有哪些異同？提示：運算律：向量的加法與實數(shù)的加法都滿意交換律與結合律；向量加法的交換律可以用平行四邊形法則來驗證；向量加法的結合律可以用三角形法則來驗證；如圖，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝c，連接AC，AD，BD，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b＋c.∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝a＋(b＋c)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(a＋b)＋c，∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．1．對向量加法的三角形法則的四點說明(1)適用范圍：隨意向量．(2)留意事項：①兩個向量肯定首尾相連；②和向量的始點是第一個向量的始點，終點是其次個向量的終點．(3)方法與步驟：第一步：將b(或a)平移，使一個向量的始點與另一個向量的終點相連；其次步：將剩下的始點與終點用有向線段相連，且有向線段的方向指向終點．則該有向線段表示的向量即為向量的和，也稱：“首尾相連，連首尾”．(4)圖示：如圖所示．2．對向量加法的平行四邊形法則的四點說明(1)適用范圍：隨意兩個非零向量，且不共線．(2)留意事項：①兩個非零向量肯定要有相同的始點；②平行四邊形中的一條對角線所對應的向量為和向量．(3)方法與步驟：第一步：先把兩個已知向量a與b的始點平移到同一點；其次步：以這兩個已知向量為鄰邊作平行四邊形．則兩鄰邊所夾的對角線所表示的向量即為a與b的和．(4)圖示：如圖所示．類型一向量的加法【例1】如圖中(1)(2)(3)所示，試作出向量a與b的和．【思路探究】依據(jù)向量加法法則作圖．【解】如圖(1)(2)(3)所示．首先作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，然后作eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b.規(guī)律方法本題是利用向量加法的三角形法則來解的，當兩個向量共線時同樣適用．如圖，已知向量a，b，c，試求作和向量a＋b＋c.解：如圖，首先在平面內任取一點O，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，接著作向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，然后作向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則向量eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c即為所求．類型二向量的加法運算【例2】如圖，O為正六邊形ABCDEF的中心，化簡下列向量：(1)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))；(2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))；(3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→)).【思路探究】此類問題應依據(jù)三角形法則或平行四邊形法則，視察是否具備應用法則的條件，若不具備，應變更條件，以便運用法則求解．【解】(1)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→)).(2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).(3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝0.規(guī)律方法(1)三角形法則強調“首尾相接”，平行四邊形法則強調“起點相同”．(2)當兩個向量不共線時，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統(tǒng)一的．當兩個向量共線時，平行四邊形法則不再適用．(3)向量加法的三角形法則和平行四邊形法則事實上就是向量加法的幾何意義．(1)在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點M，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝(A)A.eq\o(MB,\s\up6(→)) B.eq\o(BM,\s\up6(→))C.eq\o(DB,\s\up6(→)) D.eq\o(BD,\s\up6(→))(2)已知四邊形ABCD是一菱形，則下列等式中成立的是(C)A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))C.eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))D.eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))解析：(1)因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→)).(2)對于A，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))≠eq\o(CA,\s\up6(→))；對于B，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))≠eq\o(BC,\s\up6(→))；對于C，eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，又eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))；對于D，eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))≠eq\o(DC,\s\up6(→)).故選C.類型三向量加法的綜合應用【例3】一架飛機向北飛行100km，然后變更方向向西飛行100km，求飛機飛行的路程及兩次位移的和．【思路探究】eq\x(\a\al(利用向量加法的三角,形法則可得合位移))→eq\x(\a\al(畫出圖形、,作出位移))→eq\x(\a\al(利用特殊三,角形可解))【解】如下圖所示，設eq\o(AB,\s\up6(→))表示飛機向北飛行100km，eq\o(BC,\s\up6(→))表示飛機向西飛行100km，則飛機飛行的路程為|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝100＋100＝200(km)．兩次飛行的位移的和指的是eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).∵|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝100，∠B＝90°，∴∠A＝45°，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(1002＋1002)＝100eq\r(2)(km)．故飛機飛行的路程是200km，兩次飛行的位移和的方向為北偏西45°，大小為100eq\規(guī)律方法利用向量加法解決實際應用問題的主要步驟(1)由題意作出相對應的幾何圖形，構造有關向量；(2)利用三角形法則和平行四邊形法則，進行向量的加法運算；(3)構造三角形(一般是直角三角形)，利用三角形邊和角的關系解題．在長江南岸某渡口處，江水以12.5km/h的速度向東流，渡船在靜水中的速度為25km/h.渡船要垂直渡過長江，其航向應如何確定？解：如圖，設eq\o(AB,\s\up6(→))表示水流的速度，eq\o(AD,\s\up6(→))表示渡船的速度，eq\o(AC,\s\up6(→))表示渡船實際垂直過江的速度．∵eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，∴四邊形ABCD為平行四邊形．在Rt△ADC中，∠ACD＝90°，|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝12.5，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝25，∴∠CAD＝30°.故渡船要垂直渡過長江，其航向應為北偏西30°.——易錯警示——向量加法法則與平面幾何學問交匯中的誤區(qū)【例4】如圖，正六邊形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝()A．0 B.eq\o(BE,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\o(CF,\s\up6(→))【錯解】選A或選B或選C【正解】因為ABCDEF是正六邊形，所以BA∥DE，BA＝DE，所以eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))①，所以eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→)).【錯解分析】在①處忽視利用正六邊形的性質推出BA∥DE，BA＝DE，并依據(jù)向量相等的概念推出eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))，從而無法簡化計算而出錯．【答案】D【防范措施】1.正確利用幾何圖形的性質利用幾何圖形中線線平行，線段相等可以推出向量共線和相等的條件．通過相等向量的代換往往可以實現(xiàn)向量運算的簡化．如本例中利用正六邊形的性質可以得到eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→)).2．恰當利用向量加法的運算律用向量加法的運算律可以實現(xiàn)簡化運算的目的，如本例將eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))變形為eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))就可以利用向量加法的多邊形法則求和向量．已知D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點，則下列等式中不正確的是(D)A.eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))B.eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝0C.eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))D.eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→))解析：依據(jù)三角形法則可知A，B正確．因為D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點，所以四邊形ADEF和四邊形DECF都是平行四邊形，所以eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))，eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))，所以eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))，故C正確，D不正確．一、選擇題1．若C是線段AB的中點，則eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))為(C)A.eq\o(AB,\s\up6(→)) B.eq\o(BA,\s\up6(→))C．0 D．以上均不正確2．下列等式不成立的是(C)A．a＋0＝a B．a＋b＝b＋aC.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→)) D.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0，故C錯．3．在矩形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(D)A.eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))B.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))D.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))解析：eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).二、填空題