2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)第七章數(shù)列數(shù)列的概念與簡單表示法理

數(shù)列的概念與簡潔表示法1．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列依據(jù)肯定依次排列的一列數(shù)數(shù)列的項數(shù)列中的每一個數(shù)數(shù)列的通項數(shù)列{an}的第n項an通項公式假如數(shù)列{an}的第n項an與序號n之間的關(guān)系能用公式an＝f(n)表示，這個公式叫做數(shù)列的通項公式前n項和數(shù)列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做數(shù)列的前n項和2.數(shù)列的表示方法列表法列表格表示n與an的對應(yīng)關(guān)系圖象法把點(diǎn)(n，an)畫在平面直角坐標(biāo)系中公式法通項公式把數(shù)列的通項用公式表示遞推公式運(yùn)用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示數(shù)列的方法3.an與Sn的關(guān)系若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))4．?dāng)?shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿意條件項數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限項與項間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an＋1>an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1<an常數(shù)列an＋1＝an概念方法微思索1．?dāng)?shù)列的項與項數(shù)是一個概念嗎？提示不是，數(shù)列的項是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項數(shù)是指數(shù)列的項對應(yīng)的位置序號．2．?dāng)?shù)列的通項公式an＝3n＋5與函數(shù)y＝3x＋5有何區(qū)分與聯(lián)系？提示數(shù)列的通項公式an＝3n＋5是特別的函數(shù)，其定義域為N*，而函數(shù)y＝3x＋5的定義域是R，an＝3n＋5的圖象是離散的點(diǎn)，且排列在y＝3x＋5的圖象上．1．（2024?山東模擬）已知數(shù)列的前項和為，且，，若，則稱項為“和諧項”，則數(shù)列的全部“和諧項”的平方和為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，則，即，，所以，因為，所以，故，因為，所以，于是數(shù)列的全部“和諧項“的平方和為：，故選A．2．（2024?洛陽二模）數(shù)列的前項和為，且，成立，則的最小值為__________．【答案】2024【解析】依題意：，當(dāng)時，，當(dāng)時，，令得即，則的最小值為2024．1．（2024?門頭溝區(qū)一模）一輛郵車從地往地運(yùn)輸郵件，沿途共有地，依次記為，，，為地，為地）．從地動身時，裝上發(fā)往后面地的郵件各1件，到達(dá)后面各地后卸下前面各地發(fā)往該地的郵件，同時裝上該地發(fā)往后面各地的郵件各1件，記該郵車到達(dá)，，各地裝卸完畢后剩余的郵件數(shù)記為，2，，．則的表達(dá)式為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依據(jù)題意，該郵車到第站時，一共裝上了件郵件，須要卸下件郵件，則，故選D．2．（2024?西湖區(qū)校級模擬）若數(shù)列的前4項分別是，，，，則此數(shù)列的一個通項公式為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】數(shù)列的分母為2，3，4，5，對應(yīng)的通項為，則數(shù)列的通項公式可以是，故選C．3．（2024?河南一模）已知數(shù)列：，，，，，，，，，，，依它的前10項的規(guī)律，這個數(shù)列的第2024項等于（）A． B． C．64 D．【答案】D【解析】視察數(shù)列：，，，，，，，，，，，得出：它的項數(shù)是，并且在每一個段內(nèi)，是個分?jǐn)?shù)，，且它們的分子分母和為，；由時，，故在64段中，該數(shù)列的第2024項為第64組的第2項，故，故選D．4．（2024?安徽模擬）刪去正整數(shù)數(shù)列1，2，3，中的全部完全平方數(shù)，得到一個新數(shù)列，這個數(shù)列的第2024項是（）A．2062 B．2063 C．2064 D．2065【答案】B【解析】由題意可得，數(shù)列可以寫成：，2，3，，5，6，7，8，，第個平方數(shù)與第個平方數(shù)之間有個正整數(shù)，而數(shù)列，2，3，，5，6，7，8，共有2025項，去掉45個平方數(shù)后，還剩余1980個數(shù)，這個數(shù)列的第2024項是2025后的第38個數(shù)，即是原來數(shù)列的第2063項，即為2063；故選B．5．（2024?聊城模擬）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論．主要用于說明中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理．?dāng)?shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)驗過的兩儀數(shù)量總和．是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其前10項依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、，則此數(shù)列第20項為（）A．180 B．200 C．128 D．162【答案】B【解析】由0、2、4、8、12、18、24、32、40、，可得偶數(shù)項的通項公式：．則此數(shù)列第20項．故選B．6．（2024?海淀區(qū)校級三模）已知實(shí)數(shù)序列，，，滿意：任何連續(xù)3項之和均為負(fù)數(shù)，且任何4項之和均為正數(shù)，則的最大值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】由，，則，，，則，，，則，即有，與每連續(xù)3項的和都是負(fù)的沖突，項數(shù)．故這樣的一個數(shù)列最多能包含5項．故選B．7．（2024?山西二模）現(xiàn)在有這么一列數(shù)：2，，，，，，，，依據(jù)規(guī)律，橫線中的數(shù)應(yīng)為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得：分子為連續(xù)的質(zhì)數(shù)，分母依次為首項為2、公比為2的等比數(shù)列，故括號中的數(shù)應(yīng)當(dāng)為．故選B．8．（2024?玉林一模）已知數(shù)列中，將數(shù)列中的整數(shù)項按原來的依次組成數(shù)列，則的值為（）A．5035 B．5039 C．5043 D．5047【答案】C【解析】由，，可得此數(shù)列為，，，，，，，，，，，，，．的整數(shù)項為：，，，，，，．即整數(shù)：2，3，7，8，12，13，．其規(guī)律就是各項之間是，，，，，這樣遞增的，，．由，解得，．故選C．9．（2024?棗陽市校級模擬）已知數(shù)列，則是這個數(shù)列的（）A．第6項 B．第7項 C．第11項 D．第19項【答案】B【解析】數(shù)列，各項的平方為：2，5，8，11，則，又，，令，則．故選B．10．（2024?新華區(qū)校級模擬）已知正項數(shù)列的前項和為滿意：，若，記[m]表示不超過的最大整數(shù)，則（）A．17 B．18 C．19 D．20【答案】B【解析】當(dāng)時，，，．當(dāng)時，由，及得，，由于數(shù)列是正項數(shù)列，所以．則．．又當(dāng)時，．．對于，，．故選B．11．（2024?南崗區(qū)校級模擬）數(shù)列的前項和為，首項，若，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】數(shù)列的前項和為，首項，若，①，當(dāng)時，②，①②得：，整理得（常數(shù)），所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．所以，（首項符合通項）．所以，則．故選B．12．（2024?南崗區(qū)校級模擬）已知數(shù)列中的前項和為，，且對隨意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．， C． D．【答案】B【解析】①，②，由②①整理得：．（1）當(dāng)，時，有，即；（2）當(dāng)，時，有，即，整理得：．對隨意恒成立，當(dāng)，時，有恒成立，即恒成立；當(dāng)，時，有恒成立，即恒成立．綜合以上，知：．故選B．13．（2024?思明區(qū)校級一模）設(shè)是數(shù)列的前項和，滿意，且，則（）A．10 B． C． D．11【答案】A【解析】當(dāng)時，滿意，整理得，由于，所以．依據(jù)，整理得，故，故數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差設(shè)數(shù)列．所以，故，所以．故選A．14．（2024?龍?zhí)秴^(qū)校級模擬）數(shù)列，若，，則（）A．34 B．43 C．53 D．64【答案】B【解析】數(shù)列，若，，所以：時，，時，，時，，時，，時，，時，，時，，故選B．15．（2024?東陽市模擬）已知數(shù)列中，，下列說法正確的是（）A．存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列單調(diào)遞減 B．若存在正整數(shù)，使，則 C．當(dāng)時，對隨意正整數(shù)，都有 D．若對隨意正整數(shù)，都有，則【答案】D【解析】若數(shù)列單調(diào)遞減則，，，，，，，，即．故不正確．對取則，即存在正整數(shù)，使，但．故不正確．對取，則．．故不正確．對即．累加可得：．假設(shè)，則存在充分大的，使得這與題設(shè)沖突，所以．故選D．16．（2024?下城區(qū)校級模擬）已知數(shù)列滿意：，且，下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，則 C． D．【答案】B【解析】，，．，故且，于是與同號，．對于，若，則，則，，所以，故錯誤；對于，，即，于是，即數(shù)列單調(diào)遞減，于是，所以，即，，，故，正確；對于，考慮函數(shù)，如圖所示由圖可知當(dāng)時，數(shù)列遞減，所以，即，所以不正確；對于，設(shè)，則，由上圖可知，由上圖可知，，即，等價于，化簡得：，而明顯不成立，所以不正確；由解除法可知正確．故選B．17．（2024?普陀區(qū)一模）某人的月工資由基礎(chǔ)工資和績效工資組成2010年每月的基礎(chǔ)工資為2100元、績效工資為2000元從2011年起每月基礎(chǔ)工資比上一年增加210元、績效工資為上一年的．照此推算，此人2024年的年薪為__________萬元（結(jié)果精確到【答案】10.4【解析】由題意可得，基礎(chǔ)工資是以2100元為首項，以210元公差的等差數(shù)列，績效工資以為2000元首項，以公比為1.1的等比數(shù)列，則此人2024年每月的基礎(chǔ)工資為元，每月的績效工資為元，則此人2024年的年薪為萬元，故答案為：10.4．18．（2024?萍鄉(xiāng)一模）對于大于或等于2的自然數(shù)的次冪進(jìn)行如圖方式的“分裂”．仿此，的“分裂”中最大的數(shù)是__________，若的“分裂”中最小的數(shù)是211，則的值為__________．【答案】9；15【解析】依據(jù)所給的數(shù)據(jù)，不難發(fā)覺：在中所分解的最大的數(shù)是；在中，所分解的最小數(shù)是．依據(jù)發(fā)覺的規(guī)律可求分裂中，最大數(shù)是；若的“分裂”中最小數(shù)是211，則或（負(fù)數(shù)舍去）．故答案為：9；15．19．（2024?中山市一模）高斯是德國聞名的數(shù)學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)王子”之稱，以他的名字“高斯”命名的成果達(dá)110個，設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，并用表示的非負(fù)純小數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，已知數(shù)列滿意：，則__________．【答案】【解析】滿意：，．，，．，，，可得：數(shù)列成等差數(shù)列，首項為，公差為3．則．故答案為：．20．（2024?黑龍江模擬）數(shù)列的前項和為，，，則__________．【答案】【解析】當(dāng)時，，，所以兩式相減得，，所以，所以從第3項起數(shù)列是以為首項，以3為公比的等比數(shù)列，所以，所以，因為不滿意，所以．故答案為：．21．（2024?汕頭三模）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”．1852年英國來華傳教偉烈亞利將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合18