2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：平面向量中的奔馳定理以及三角形四心的相關(guān)計(jì)算（含答案）

2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)平面向量中的奔馳定

理以及三角形四心的相關(guān)計(jì)算含答案

平面向量中的奔馳定理以及三角形四心的相關(guān)計(jì)算

目錄

奔馳定理和四心的性質(zhì)及證明

奔馳定理以及四心的向量式

題四O四心的識(shí)別

題因自奔馳定理

ms四心的相關(guān)計(jì)算

題四圓奔馳定理與四心的綜合題

知識(shí)點(diǎn)?梳理

技巧一.四心的概念介紹：

（1）重心：中線的交點(diǎn)，重心將中線長(zhǎng)度分成2:1.

（2）內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

（3）外心：中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等.

（4）垂心：高線的交點(diǎn)，高線與對(duì)應(yīng)邊垂直.

技巧二.奔馳定理-----解決面積比例問(wèn)題

重心定理:三角形三條中線的交點(diǎn).

已知△ABC的頂點(diǎn)yJ,B（X2,紡），C（g,統(tǒng)），則ZVIBC的重心坐標(biāo)為G（，計(jì)才+g,1y飛十隊(duì)

注意：（1）在△ABC中，若。為重心，則示+無(wú)+加=6.

（2）三角形的重心分中線兩段線段長(zhǎng)度比為2:1,且分的三個(gè)三角形面積相等.

重心的向量表示：式苕=｝荏+2

OO???

奔馳定理：SA-OA+SB-OB+SC-OC=0,則A4OB、A4O。、△60。的面積之比等于刖演人

奔馳定理證明：如圖，令A(yù)iOA=OA"2加=OBi"3形=南，即滿足OA.+OB.+OC^0

S^AOB

]SAAOCJ：，"0°=，故SMO^.S叢AOC：S叢BOC=

SAAQBI義1義2SAAQC141人3DABQG/l2/l3

技巧三.三角形四心與推論：

⑴。是△ABC的重心：Sgoc：SdcoA：S/^AOB=1:1:1=OA+OB+OC=0.

（2）0是4ABe的內(nèi)心：SABQC:SACOA:SAAOB=a:b:c0aOA+bOB+cOC=0.

（3）0是△ABC的外心：

S^B℃：SACOA：SAAOB=sin2A:sin2B:sin2CQsin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0.

（4）0是△ABC的垂心：

S/\B℃：SACOA：SAAOB=tanA:tanB:tanCotanAOA+tanBOB+tanCOC=0.

技巧四.常見(jiàn)他論

（1）內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量+1與所在的直線上.

網(wǎng)"I

I荏I?定+1宓|?定+1玄卜屈=6oP為△ABC的內(nèi)心.

⑵外心：|巨?|=|屈|=\PC\0P為AABC的外心.

⑶垂心：丙?兩=麗?反5=定?瓦為△48。的垂心.

（4）重心：示+屈+同=6oP為△48。的重心.

棄庭定理和四心的性質(zhì)及證明（全）/

【重心】:若O為AIB。重心\

⑴SABOC：SACOA：SA4OB=上1：1；BC

（2）04+05+00=0;

（3）動(dòng)點(diǎn)P滿足歷=ON+A（AB+AC）,4e（o,+oo）,則P的軌跡一定通過(guò)△4BC的重心

_>_>（7R~ACy

（4）動(dòng)點(diǎn)尸滿足OP=04+才，，—+,:—"e（o+8）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC

I\AB\sinB“卜inC）

的重心

⑸重心坐標(biāo)為：尸丁，中墳).

\JO'

【垂心】:若O為ZUBC垂心

<S)OA-OB=OB-OC=OC-'OA

(2)|m|2+|Bc|2=|OB|2+|GA|2=|OC|2+|AB|2

（3）動(dòng)點(diǎn)P滿足囪=瓦？+4—+，一C—"e（0,+00）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△48。

I\AB\cosB|AC|COSC）

的垂心

=

(4)S^O(J,.S^COA:S^OBtanA:tan5:tanC

(5)tanA?OA+tanB?OB+tanC?OC=0.

【內(nèi)心】:若O為內(nèi)心

BC

、COA：S4AoB=a:b:c

⑵+b?加+c沈=6

AB

(3)動(dòng)點(diǎn)P滿足標(biāo)=31+4,A6[0,+8),則P的軌跡一定通過(guò)△ABC的內(nèi)心

\AB\+而

(i)oI?=dB?=dc5；

(2)動(dòng)點(diǎn)P滿足毋=°B1℃荏I冠

,/le(o,+8),則動(dòng)點(diǎn)F的軌跡一定通過(guò)

|AB|cosB124aCOSC

△ABC的外心;

⑶若+同?詬=(9+對(duì)屬=+兩?/=(),則。是△ABC的外心;

@)S^goc：SACOA：SAAOB=sin2Asin2Asin2c;

(5)sin2A-OA+sin2B-OB+sin2C-OC=0.

奔聒定理以及四心的向量式

證明：已知。是A4BC內(nèi)的一點(diǎn)，ABOC,A4OC,AAO8的面積分別為SA，SB,S0,求證：SA-OA+

SB-OB+SC-OC=^

A

【解答】如圖，延長(zhǎng)OA與BC邊相交于點(diǎn)。則yoj\

BDS\ABDS^BODSAAB。-S^BODS,

DCS、ACDSbcoDSACD—SbcoDSB

OD=^OB+^OC

JDG

SBS0

VB+VC

SB+SCSB+SC

SCODSBOD+SCODSA

..ODSBOD

(

OASBOASJOASBOA+SCOASR+SC

??.OD=-OA

SB+SC

ol=OB+OC

SB+beSB+beSB+be

???

SA-OA+SB-OB+Sc-OC=0

推論:O是A4BC平面內(nèi)的一\點(diǎn)、，且N?OA+y*OB+z?OC=0,則

SABO。

S^BOC：SbcoA：SbAOB=㈤:㈤:⑶②

S^ABCx-\-y+z

【奔馳定理與三角形四心向量式】

1、。是AABC的重心oS>BOC：S、COA：S>AOB=1:1:1=OA+OB+OC=0

2、O是'ABC的內(nèi)心=S耶oc：SbcoA：SbAOB=a:b:c=a*OA+b*OB+c*OC=0

3、O是'ABC的外心oSgoc：SbcoA：SkAOB=sin2A:sin2B:sin2C

=sin2A?OA+sin2B?OB+sin2C?OC=0

4、O是'ABC的垂心QS型oc：S、COA：S?AOB=tanA:tanB:tanC

QtanA?OA+tanB?OB+tanC*OC=0

證明：如圖。為三角形的垂心，tanA=,tanB=gg0tanA:tanB=DB:AD

ADDJD

S.oc：S、COA=DB:AD

??S^BOC：SbcoA=tanA:tan5

=

同寸SNO。A：S卜ACI^'tan_^:tanC7,S、BOC：StanA:tanC7

**?SNRCO：SNOOA：SNAOR—tanAitan_SitaiiCr

5

奔馳定理是三角形四心向量式的完美統(tǒng)一

【題型四心的識(shí)別

題目叵已知點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)點(diǎn)，有下列四個(gè)等式：

甲：兩+屈+定=6；乙：兩?（兩一通）=定?（兩一兩）；

丙：|丙|=|兩|=］定|；T；PA-PB=PB-PC=PC-PA.

如果只有一個(gè)等式不成立，則該等式為（）

A.甲B.乙C.丙D.T

題目叵已知點(diǎn)。是平面上一定點(diǎn)，A,B,。是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足加=示+

A+［0,+8）,則。的軌跡一定通過(guò)△48。的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

［題目［］］若。在△ABC所在的平面內(nèi)，a,b,c是△ABC的三邊，滿足以下條件

a?瓦？+6?無(wú)+方=0,則。是△ABC的（）

A.垂心B.重心C.內(nèi)心D.夕卜心

題目@若。在△ABC所在的平面內(nèi)，且滿足以下條件

【四心之垂心】

1題目已知。是平面上一定點(diǎn)，4,8,。是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足岳=。1+

/_ABAC

久e（o,+8）,則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡一定通過(guò)△48。的（）.

1|AB|cosBAC\cosC)

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

【題目叵。是△ABC所在平面上一點(diǎn)，若羔?屈=屈?同=宓?啟,則P是△4BC的（

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

［題目區(qū)若H為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且|反?『+|或『=|HB|2+|CA|2=|HC|2+|AB|2

則點(diǎn)”是△ABC的（）

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

【四心之重心】

題目回已知G是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若彳X+,+0方=0,則G是△48。的（）.

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

題目叵）已知O是平面上一定點(diǎn),A,B,。是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+A（AB+

Z方）"e（0,+8）,則P的軌跡一定通過(guò)△48。的（）.

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

題目叵。是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足^?二加+4

|AB|sinB|AC|sinCJ

4e（0,+8）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的（）

A.內(nèi)心B.重心C.外心D.垂心

【四心之外心】

「題目HU已知。是△ABC所在平面上一點(diǎn)，若謬=01,則。是△48。的（）.

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

OB+OC

題目舊已知。是平面上的一定點(diǎn)，A,B,。是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足歷=

2

AC}

+4ae（0,+8）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的（）。

|AB|cosB|AC|cosCJ

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

【題目叵O是△4BC所在平面上一點(diǎn)，若（31+5而?荏=（OB+OC）-W=（OA+OC）-AC=

0,則。是△48。的（）.

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

奔馳定理

:題目|T|已知點(diǎn)P是A4BC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足2且？+5兩+3定=6，SA71BC=s,^JSApBC=

:題目區(qū)|已知點(diǎn)P是A4BC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足巨？+麗+2定=3荏，則A4BP與A4BC面積之

比是___

題耳叵設(shè)P為ZVIBC所在平面上一點(diǎn)，且滿足3PA+4FC=mAB（m>0）.若4ABP的面積為8,

則△ABC的面積為.

:題目叵已知O是△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，乙4,NB,NC所對(duì)的邊分別為a=3,b=2,c=4,若

+sinB?元+sinC-3d=6,則△AOB與△ABC的面積之比為（）

邀目叵已知。是三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn),且加+2OB+5苕=6,則A4OB的面積與'ABC的面積

之比為（）

題目叵若點(diǎn)M是△48。所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)。是邊AC靠近4的三等分點(diǎn),且滿足5AM=AB+

/，則4ABM與4ABD的面積比為（）

:題目區(qū)平面上有△ABC及其內(nèi)一點(diǎn)O,構(gòu)成如圖所示圖形，若將△OAR,△08。，△OCA的面積分別

記作S0,Sa,SB，則有關(guān)系式S。?瓦？+Sb?元+Sj0d=6.因圖形和奔馳車的logo很相似，常把上

述結(jié)論稱為“奔馳定理”.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若滿足a-OA+b-OB

+c?。苕=6,則O為△48。的（）

C.重心D.垂心

四心的相關(guān)計(jì)算

藏目叵著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外

心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線,該定理被稱為歐拉線定理.已知

△ABC的外心為O,重心為G,垂心為為中點(diǎn)，且48=5,4?=4,則下列各式正確的有

①/灰=-3@AO-BC=-Q

③而=ZH+9+Dd?AB+AC=^OM+2HM

題目叵若。為4ABC的重心（重心為三條中線交點(diǎn)），且市+海+AOC=6,則4=.

：W@區(qū)銳角△ABC中，a,b,c為角48,。所對(duì)的邊，點(diǎn)G為AABC的重心，若AG，8G,則cos。

的取值范圍為.

「題目區(qū)設(shè)點(diǎn)O是△ABC外接圓的圓心，43=3，且配?皮=—4,則電嗎的值是

smC---------

外心向量計(jì)算可以構(gòu)造方程組

題目叵已知點(diǎn)O是AABC的外心，若丞5=^AB+《前,則cos/及4。=.

99

題目叵已知點(diǎn)。是△4BC的內(nèi)心，若丞5=4而+《前,則cos/及4。=（）

99

江西稽州市高一期中第16題一一外心、重心相關(guān)計(jì)算

［題目叵、48。中，4B=3,AC=6,G為AABC的重心，O為A4BC的外心，則而?耳苕=

:題目叵〔⑴已知△4BC的外心為O,且48=5,4。=3,則及5?宓=.

（2）已知△48。的重心為。，且48=5,3,則N萬(wàn)?圮=.

（3）已知△ABC的重心為。，且48=5,40=3,4=卷，。為8C中點(diǎn)，則初?"=.

［題目叵］設(shè)H為ZVIBC的垂心,且3HA+￡HB+5HC=幣，則cos//HB=.

題目叵］（多選）對(duì)于給定的△ABC,其外心為O,重心為G,垂心為以，則下列結(jié)論正確的是（）

A.AO-AB=~AB2

B.OA-OB=OA-OC=OB-OC

C.過(guò)點(diǎn)G的直線Z交43、47于夙尸,若在=/玄，/=〃點(diǎn),則3+!=3

A〃

D.萬(wàn)？與共線

\AB\cosB|AC|cosC

藏目叵著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到

外心的距離是重心到垂心距離的一半.此直線被稱為三角形的歐拉線,該定理被稱為歐拉線定理.

已知△ABC的外心為O,垂心為重心為G,且AB=2,AC=3,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.AH-BC=OB.AG-BC=-C.AO-BC=^-D.OH=OA+OB+OC

o/

題目舊著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到

外心的距離是重心到垂心距離的一半.此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理.

設(shè)點(diǎn)分別是△4BC的外心、垂心，且M為中點(diǎn)，則（）

A.AB+AC=3HM+3MOB.AB+AC=3HM-3MO

C.AB+AC=2HM+42WOD.AB+AC=2HM-^MO

山東盾棗莊、滕州市高一期中聯(lián)考第16題一一外心相關(guān)計(jì)算

［題目應(yīng)］已知。是△4BC的外心，48=6,47=10,若丞5=爰岳+,前,且2/+109=53/0）,則

△ABC的面積為.

題目叵］（1）已知△ABC的外心為O,且AB=5,AC=3,則初?豆方=.

（2）已知△ABC的重心為O,且AB=5,4。=3,則丞5?反5=.

（3）已知△48。的重心為O,且AB=5,47=3,4為中點(diǎn)，則Z6比=

O

［題目叵5在△ABC中，荏?/=16,$080=6,8。=3,且若。為△ABC的內(nèi)心，則丞

BC=.

題目I16］設(shè)/為△ABC的內(nèi)心，AB=AC=5,BC=6,AI=mAB+nBC，則m+九為.

題目叵在△48。中，cosA=（~,。為△48。的內(nèi)心，若初=2；血+“前3，96兄），則力+4的最

大值為（）

題目叵已知點(diǎn)。是AABC的內(nèi)心，若丞5=-|-AB+yAC，則cosZBAC=.

題目叵］已知。為△4BC的外心，AC=3,8C=4,則。?荏=.

題目也在△ABC中，AB=6,AC=30?點(diǎn)河滿足標(biāo)=曰荏++3百.過(guò)點(diǎn)河的直線Z分別與

邊48,4。交于點(diǎn)。,后且無(wú)方=4萬(wàn)B，AE=—AC.已知點(diǎn)G為△ABC的外心，AG=AAB+

A〃

“zd,則\AG\^).

題目巨已知H為△ABC的垂心(三角形的三條高線的交點(diǎn))，若潘?荏+符方，則sin94c

題目叵3設(shè)打是AABC的垂心，且4HA+5HB+6HC=6,則cos/AHB=.

題目叵在/\ABC中，點(diǎn)。、點(diǎn)H分別為△4BC的外心和垂心，|48|=5,|AC|=3,則而?反5=

奔馳定理與四心的綜合題

更目叵已知XABC的內(nèi)角人、口、C的對(duì)邊分別為a、b、c,O為XABC內(nèi)一點(diǎn)，若分別滿足下列四個(gè)

條件：

①aOA+bOB+cOC=0；

②tanyl-OA+tanB-OB+tan。OC=0；

③sin2A-OA+sin2B-OB+sin2C-00=0；

@OA+OB+OC=0；

則點(diǎn)。分別為A4BC的()

A.外心、內(nèi)心、垂心、重心B.內(nèi)心、外心、垂心、重心

C.垂心、內(nèi)心、重心、外心D.內(nèi)心、垂心、外心、重心

題目叵奔馳定理：已知O是△4BC內(nèi)的一點(diǎn)，ABOC,/\AOC,/\AOB的面積分別為S4SaS。則S,

SA-市+SB?瓦+5方=0“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的

圖形與“奔馳”轎車(Mercedesbenz)的log。很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.若O是銳角

△4BC內(nèi)的一點(diǎn)，A,B,。是△ABC的一個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)O滿足則瓦乙濕=瓦?&5=。苕?示，則

()

A

A.O為△46。的垂心B.AAOB=n-C

C.|OA|：|OB|：|OC|=sinA：sinB：sinCD.tanA-OA+tanB-OB+tanC?OC=0

［題目叵］“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論,因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的三

叉車標(biāo)很相似,故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知。是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，ABOC,

/XAOC,/\AOB的面積分別為S4、S-S°,則有+SBOB+ScOC=6,設(shè)。是銳角AABC內(nèi)的

一點(diǎn)，/氏4C,乙4BC,乙4cB分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，以下命題錯(cuò)誤的是（）

A.若美+無(wú)方=6,則。為△ABC的重心

B.若瓦？+23§+3》d=6』iJS4：SB：Sc=l：2：3

C.則。為ZVIBC（不為直角三角形）的垂心，則tan/BAC?瓦5+tanZABC-OB+tanZACB-OC

-?

=0

D.若|35|=|座1=2,乙4OB=軍，2瓦？+3元+4而=小,則5田°=?

111162

畫史④（多選題）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”

轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知。是△ABC內(nèi)一

點(diǎn)，ABOC,/\AOC,fXAOB的面積分別為SA,SB,S°,則ST加+S8?元+So?5方=6,O是

△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，/歷1。，NABC,乙4cB分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有（）

A.若2瓦5+3OB+4OC=6,則SA：SB：S0=4:3:2

B.若|D1|=|屈|=2,=§，且2示+3成+4元=6,則S^BC：

C.若瓦5?麗=瓦?云=3d?市，則。為△ABC的垂心

D.若。為△ABC的內(nèi)心，且5示+12詬+13區(qū)=百,貝I」乙4cB

題目叵（多選題）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”

轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知O是△4BC內(nèi)一

點(diǎn)，ABOC、△AOC、AAOB的面積分別為SA、SB.S0,則SA-加+SB?加+So?。3=幣.設(shè)。是銳

角△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，NBA。、/ABC、乙4cB分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有（）

A.若dl+2屈+3歷=6,則SA：SB：SC=1:2:3

B.\OA\=\OB\=2,NAOB=罷，2^1+3加+4歷=6,則$O30=?

111162

C.若。為△48。的內(nèi)心，3a+43§+5加=小,則zc=y

D.若。為△ABC的重心，則OA+OB+OC=G

［題目回在給出的下列命題中，正確的是（）

A.已知O為△48。的外心,邊48、AC長(zhǎng)為定值,^\AO-BC為定值.

B./\ABC中，已知4B=3,AC=2,/歷1C=1■，則前+卜〉0）,且由5=

+（1-〃云，則4C=3（*@

5

C.加?為△ABC為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，5.|ZC|2-|AB|2=2AA1-BC,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過(guò)△ABC的

重心.

D.H為△ABC的垂心，2福+3顯+4且3=6,則cosNAHB=—字.

平面向量中的奔馳定理以及三角形四心的相關(guān)計(jì)算

目錄

奔馳定理和四心的性質(zhì)及證明

奔馳定，以及四心的向量式

酗O四心的識(shí)別

奔馳定理

宓型1三四心的相關(guān)計(jì)算

施，型口,奔馳定理與四心的綜合題

知識(shí)點(diǎn)?梳理

技巧一.四心的梃念介紹：

（1）重心：中線的交點(diǎn)，重心將中線長(zhǎng)度分成2:1.

（2）內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

（3）外心：中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等.

（4）垂心：高線的交點(diǎn)，高線與對(duì)應(yīng)邊垂直.

技巧二.弁馳定理——解決面積比例問(wèn)題

重心定理:三角形三條中線的交點(diǎn).

Xx++x3

已知△ABC的頂點(diǎn)yJ,B（X2,紡），C（x3,禽），則△ABC的重心坐標(biāo)為G（^,沙飛十%

注意：（1）在△ABC中，若。為重心，則示+無(wú)+。3=6.

（2）三角形的重心分中線兩段線段長(zhǎng)度比為2:1,且分的三個(gè)三角形面積相等.

重心的向量表示：式苕=豆+2區(qū)方.

OO???

奔馳定理：SA-OA+SB-OB+SC-OC=0,則A4OB、A4O。、△60。的面積之比等于刖演人

奔馳定理證明：如圖，令A(yù)iOA=OA"2加=OBi"3形=南，即滿足OA.+OB.+OC^0

S^AOB

]SAAOCJ：，"0°=，故SMO^.S叢AOC：S叢BOC=

SAAQBI義1義2SAAQC141人3DABQG/l2/l3

技巧三.三角形四心與推論：

⑴。是△ABC的重心：Sgoc：SdcoA：S/^AOB=1:1:1=OA+OB+OC=0.

（2）0是4ABe的內(nèi)心：SABQC:SACOA:SAAOB=a:b:c0aOA+bOB+cOC=0.

（3）0是△ABC的外心：

S^B℃：SACOA：SAAOB=sin2A:sin2B:sin2CQsin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0.

（4）0是△ABC的垂心：

S/\B℃：SACOA：SAAOB=tanA:tanB:tanCotanAOA+tanBOB+tanCOC=0.

技巧四.常見(jiàn)他論

（1）內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量+1與所在的直線上.

網(wǎng)"I

I荏I?定+1宓|?定+1玄卜屈=6oP為△ABC的內(nèi)心.

⑵外心：|巨?|=|屈|=\PC\0P為AABC的外心.

⑶垂心：丙?兩=麗?反5=定?瓦為△48。的垂心.

（4）重心：示+屈+同=6oP為△48。的重心.

棄庭定理和四心的性質(zhì)及證明（全）/

【重心】:若O為AIB。重心\

⑴SABOC：SACOA：SA4OB=上1：1；BC

（2）04+05+00=0;

（3）動(dòng)點(diǎn)P滿足歷=ON+A（AB+AC）,4e（o,+oo）,則P的軌跡一定通過(guò)△4BC的重心

_>_>（7R~ACy

（4）動(dòng)點(diǎn)尸滿足OP=04+才，，—+,:—"e（o+8）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC

I\AB\sinB“卜inC）

的重心

⑸重心坐標(biāo)為：尸丁，中墳).

\JO'

【垂心】:若O為ZUBC垂心

<S)OA-OB=OB-OC=OC-'OA

(2)|m|2+|Bc|2=|OB|2+|GA|2=|OC|2+|AB|2

（3）動(dòng)點(diǎn)P滿足囪=瓦？+4—+，一C—"e（0,+00）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△48。

I\AB\cosB|AC|COSC）

的垂心

=

(4)S^O(J,.S^COA:S^OBtanA:tan5:tanC

(5)tanA?OA+tanB?OB+tanC?OC=0.

【內(nèi)心】:若O為內(nèi)心

BC

、COA：S4AoB=a:b:c

⑵+b?加+c沈=6

AB

(3)動(dòng)點(diǎn)P滿足標(biāo)=31+4,A6[0,+8),則P的軌跡一定通過(guò)△ABC的內(nèi)心

\AB\+而

(i)oI?=dB?=dc5；

(2)動(dòng)點(diǎn)P滿足毋=°B1℃荏I冠

,/le(o,+8),則動(dòng)點(diǎn)F的軌跡一定通過(guò)

|AB|cosB124aCOSC

△ABC的外心;

⑶若+同?詬=(9+對(duì)屬=+兩?/=(),則。是△ABC的外心;

@)S^goc：SACOA：SAAOB=sin2Asin2Asin2c;

(5)sin2A-OA+sin2B-OB+sin2C-OC=0.

奔聒定理以及四心的向量式

證明：已知。是A4BC內(nèi)的一點(diǎn)，ABOC,A4OC,AAO8的面積分別為SA，SB,S0,求證：SA-OA+

SB-OB+SC-OC=^

A

【解答】如圖，延長(zhǎng)OA與BC邊相交于點(diǎn)。則yoj\

BDS\ABDS^BODSAAB。-S^BODS,

DCS、ACDSbcoDSACD—SbcoDSB

OD=^OB+^OC

JDG

SBS0

VB+VC

SB+SCSB+SC

SCODSBOD+SCODSA

..ODSBOD

(

OASBOASJOASBOA+SCOASR+SC

??.OD=-OA

SB+SC

ol=OB+OC

SB+beSB+beSB+be

???

SA-OA+SB-OB+Sc-OC=0

推論:O是A4BC平面內(nèi)的一\點(diǎn)、，且N?OA+y*OB+z?OC=0,則

SABO。

S^BOC：SbcoA：SbAOB=㈤:㈤:⑶②

S^ABCx-\-y+z

【奔馳定理與三角形四心向量式】

1、。是AABC的重心oS>BOC：S、COA：S>AOB=1:1:1=OA+OB+OC=0

2、O是'ABC的內(nèi)心=S耶oc：SbcoA：SbAOB=a:b:c=a*OA+b*OB+c*OC=0

3、O是'ABC的外心oSgoc：SbcoA：SkAOB=sin2A:sin2B:sin2C

=sin2A?OA+sin2B?OB+sin2C?OC=0

4、O是'ABC的垂心QS型oc：S、COA：S?AOB=tanA:tanB:tanC

QtanA?OA+tanB?OB+tanC*OC=0

證明：如圖。為三角形的垂心，tanA=,tanB=gg0tanA:tanB=DB:AD

ADDJD

S.oc：S、COA=DB:AD

??S^BOC：SbcoA=tanA:tan5

=

同寸SNO。A：S卜ACI^'tan_^:tanC7,S、BOC：StanA:tanC7

**?SNRCO：SNOOA：SNAOR—tanAitan_SitaiiCr

5

奔馳定理是三角形四心向量式的完美統(tǒng)一

【題型四心的識(shí)別

題目叵已知點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)點(diǎn)，有下列四個(gè)等式：

甲：兩+屈+定=6；乙：兩?（兩一通）=定?（兩一兩）；

丙：|丙|=|兩|=］定|；T；PA-PB=PB-PC=PC-PA.

如果只有一個(gè)等式不成立，則該等式為（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】B

【解析】

甲：P為△ABC的重心；

乙：（兩一定）?（巨？一兩）=0=＞或?互5=0,即△ABC為

丙：尸為△ABC的外心；

?。篜為/XABC的垂心（投影轉(zhuǎn)換）

則△ABC為等邊三角形時(shí)，三心重合，故選

題目區(qū)1已知點(diǎn)O是平面上一定點(diǎn)，A,B,。是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+

A+而彳［0,+8）,則P的軌跡一定通過(guò)△ABC的（)

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【答案】B構(gòu)造菱形

題里區(qū)若。在AABC所在的平面內(nèi)，a,b,c是AABC的三邊，滿足以下條件

+b?元+c?歷=0,則。是△ABC的（）

A.垂心B.重心C.內(nèi)心D.夕卜心

【答案】B奔馳定理

題目瓦若。在△ABC所在的平面內(nèi)，且滿足以下條件

OA-OB-=OC-0,則。是△ABC的

A.垂心B.重心C.內(nèi)心D.夕卜心

【答案】B構(gòu)造菱形

【四心之垂心】

南目叵|已知。是平面上一定點(diǎn)，48,。是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足岳=。1+

久（）則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)△。的（）

|ylB|cosBjAClcosCJeo,+8,p48.

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

AB

【解析】原式為AP=A一+」

|AB|cosB|AC|COSC

等式兩邊同時(shí)乘豆方，得喬?豆方=久AB-BC1AC-BC

|AB|cosBjACjcosC

荏友?陽(yáng)夜

\BC\-\BC\=O,：.AP-BC=O=>AP_LBC

|AB|cosB|AC|COSC

題目叵IP是△ABC所在平面上一點(diǎn)，若四?屈=屈?定=定?啟,則P是△ABC的（）

A.重心B.夕卜心C.內(nèi)心D.垂心

【解析】丙?麗=麗?定今兩?（啟一定）=0今屈，G5,其它同理.

2222

題目,若H為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且國(guó)司2+叵列2=|BB|+|CA|=|HC|+|AB|

則點(diǎn)H是△ABC的（）

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

【解析】|匐|屈『+|市『0\HA\2+（BH+HCy=|ffl?|2+（CH+K4）2

得瓦兒曲=玩?豆An豆X?沃=0,即血，屈，同理可得近，彳方,百方，百方

【四心之重心】

題目可已知G是ZVIBC所在平面上的一點(diǎn)，若彳4+屈+恐方=0,則G是4ABC的（).

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

【解析】A重心的性質(zhì)

題目JJ已知O是平面上一定點(diǎn)，A,B,。是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足歷=瓦?+A(AB+

/方）"e（0,+8）,則P的軌跡一定通過(guò)△48。的（）.

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

【解析】歷=。1+忒而+而）=＞序=4（荏+而）

［顛目國(guó)］。是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足爐=示+4

|AB|sinB由sinC)

4C（0,+8）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的（）

A.內(nèi)心B.重心C.外心D.垂心

【解析】￥+￥,%為口。邊上的高

|AB|sinB|AC|sinChh

：.AP=^(AB+AC}.

【補(bǔ)充］——重心坐標(biāo)為（以+于如,四當(dāng)顯）

'OO'

【四心之外心】

題目巨已知。是△ABC所在平面上一點(diǎn)，若市=礪則。是△48。的（）.

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

【解析】外心的性質(zhì)

題目01乙已知。是平面上的一定點(diǎn)，A,B,。是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足標(biāo)=OB+OC

2

ae（o,+8）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的（）。

〔|AB|cosB|ZC|COSCJ

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

【解析】取BC中點(diǎn)M,則°二：℃=OD,

OP-OD=^尸半一+—1,移項(xiàng)后同乘后方

I\AB\cosBlACjcosC)

/AB,AC1/AB-BC,AC-W)

DP=[-=；-------+-F^--------nDP,BC=入----+—-----

I|AB|cosB|AC|COSCJI|AB|cosB[ACjcosC,

赤./二大一|射|十|；^|)=0,即存工資

題目叵。是△ABC所在平面上一點(diǎn)，若（瓦？+瓦）?荏=（OB+OC）-BC=（OA+OCyAC=

0,則。是△46。的（）.

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

【解析】記AB中點(diǎn)為。，（。1+場(chǎng)）?荏=00瓦，荏，其它同理

奔馳定理

題目區(qū)|已知點(diǎn)P是A4BC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足2巨5+5兩+3定=6，SAMC=S，則SAPBC=

【解析】（法1）:由結(jié)論推廣可得，學(xué)絲=—