計數(shù)原理與概率講義 高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

計數(shù)原理與概率考點一排列與組合問題解決排列、組合問題的一般過程：(1)認真審題，弄清楚要做什么事情；(2)要做的事情是需要分步還是分類，還是分步分類同時進行，確定分多少步及多少類；(3)確定每一步或每一類是排列(有序)問題還是組合(無序)問題，元素總數(shù)是多少及取出多少元素.例1(1)(多選)小許購買了一套五行文昌塔擺件(如圖)，準(zhǔn)備一字排開擺放在桌面上，下列結(jié)論正確的有()A.不同的擺放方法共有120種B.若要求“水塔”和“土塔”不相鄰，則不同的擺放方法共有36種C.若要求“水塔”和“土塔”不相鄰，則不同的擺放方法共有72種D.若要求“水塔”和“土塔”相鄰，且“水塔”不擺兩端，則不同的擺放方法共有36種(2)(2024·張家口模擬)有5位大學(xué)生要分配到A，B，C三個單位實習(xí)，每位學(xué)生只能到一個單位實習(xí)，每個單位至少要接收一位學(xué)生實習(xí)，已知這5位學(xué)生中的甲同學(xué)分配在A單位實習(xí)，則這5位學(xué)生實習(xí)的不同分配方案有種.(用數(shù)字作答)

[規(guī)律方法]排列、組合問題的求解方法與技巧(1)合理分類與準(zhǔn)確分步；(2)排列、組合混合問題要先選后排；(3)特殊元素優(yōu)先安排；(4)相鄰問題捆綁處理；(5)不相鄰問題插空處理；(6)定序問題除法處理；(7)“小集團”排列問題先整體后局部；(8)正難則反，等價轉(zhuǎn)化.跟蹤演練1(1)(2024·義烏模擬)在義烏，婺劇深受民眾喜愛.某次婺劇表演結(jié)束后，老生、小生、花旦、正旦、老旦各一人排成一排合影留念，其中小生和老生不相鄰且老旦不排在最右邊的不同排法總數(shù)是()A.36 B.48 C.60 D.72(2)(2024·寧波模擬)某快遞公司將一個快件從寄件人甲處攬收開始直至送達收件人乙，需要經(jīng)過5個轉(zhuǎn)運環(huán)節(jié)，其中第1，2兩個環(huán)節(jié)各有a，b兩種運輸方式，第3，4兩個環(huán)節(jié)各有b，c兩種運輸方式，第5個環(huán)節(jié)有d，e兩種運輸方式.則快件從甲送到乙恰用到4種運輸方式的不同送達方式有種.考點二二項式定理1.求二項展開式中特定項或項的系數(shù)問題的思路：(1)利用通項公式將Tk+1項寫出并化簡.(2)令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出k.(3)代回通項公式即得所求.2.對于兩個因式的積的特定項問題，一般對某個因式用通項公式，再結(jié)合因式相乘，分類討論求解.例2(1)(2024·張家口模擬)(1-x2)(1+x)5的展開式中x4的系數(shù)為()A.-5 B.5 C.-10 D.10(2)(多選)已知(1-2x)2025=a0+a1x+a2x2+…+a2025x2025，則下列結(jié)論中正確的是()A.a1+a2+a3+…+a2025=-2B.a1-a2+a3-a4+…-a2024+a2025=1-32025C.a1+2a2+3a3+…+2025a2025=4050D.|a1|+|a2|+…+|a2025|=32025[規(guī)律方法]二項式(a+b)n的通項公式Tk+1=Cnkan-kbk(k=0，1，2，…，n)，它表示的是二項展開式的第k+1項，而不是第k項；其中Cnk是二項展開式的第k+1項的二項式系數(shù)，而二項展開式的第跟蹤演練2(1)(2024·武漢模擬)若(1+2x)10=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a10(1+x)10，則a2等于()A.180 B.-180 C.-90 D.90(2)(2024·全國甲卷)13+x10考點三概率1.古典概型的概率公式P(A)=事件A2.條件概率公式設(shè)A，B為兩個隨機事件，且P(A)>0，則P(B|A)=P(3.全概率公式設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)=nΣi=1P(Ai)·P(B|Ai例3(1)(2024·蘇州模擬)有4個外包裝相同的盒子，其中2個盒子分別裝有1個白球，另外2個盒子分別裝有1個黑球，現(xiàn)準(zhǔn)備將每個盒子逐個拆開，則恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中的概率為()A.12 B.1C.14 D.(2)(多選)(2024·廣州模擬)甲箱中有3個紅球和2個白球，乙箱中有2個紅球和2個白球(兩箱中的球除顏色外沒有其他區(qū)別)，先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，分別用事件A1和A2表示從甲箱中取出的球是紅球和白球；再從乙箱中隨機取出兩球，用事件B表示從乙箱中取出的兩球都是紅球，則()A.P(A1)=35 B.P(B)=C.P(B|A1)=950 D.P(A2|B)=[規(guī)律方法]求概率的方法與技巧(1)古典概型用古典概型概率公式求解.(2)條件概率用條件概率公式及全概率公式求解.(3)根據(jù)事件間關(guān)系，利用概率的加法、乘法公式及對應(yīng)事件的概率公式求解.跟蹤演練3(1)(2024·景德鎮(zhèn)模擬)六位爸爸站在幼兒園門口等待接六位小朋友放學(xué)，小朋友們隨機排成一列隊伍依次走出幼兒園，爸爸們也隨機分兩列隊伍依次排隊站在幼兒園門口的兩側(cè)，每列3人.則爸爸們不需要通過插隊就能接到自己家的小朋友的概率為()A.16 B.1C.172 D.(2)(多選)(2024·蘭州模擬)英國數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，經(jīng)他研究，隨機事件A，B存在如下關(guān)系：P(A|B)=P(A)A.使用支付方式1支付的用戶中有10%的人遇到支付問題B.使用支付方式2支付遇到支付問題與使用支付方式3支付遇到支付問題的概率不同C.要將出現(xiàn)支付問題的概率降到0.05，可以將支付方式1支付通道關(guān)閉D.減少支付方式3支付的人數(shù)有可能降低出現(xiàn)支付問題的概率

答案精析例1(1)ACD(2)50跟蹤演練1(1)C(2)16例2(1)A[(1+x)5的展開式通項為Tk+1=C5kx則(1-x2)(1+x)5的展開式中含x4的項為C54x4-x2·C52x2=C54所以(1-x2)(1+x)5的展開式中x4的系數(shù)為-5.](2)AB[對于A選項，令x=1，則a0+a1+a2+a3+…+a2025=-1，又a0=C20250所以a1+a2+a3+…+a2025=-2，故A正確；對于B選項，令x=-1，則a0-a1+a2-a3+…-a2025=32025，-a1+a2-a3+…-a2025=32025-1，故a1-a2+a3-a4+…-a2024+a2025=1-32025，故B正確；對于C選項，記y=(1-2x)2025=a0+a1x+a2x2+…+a2025x2025，則y'=-4050(1-2x)2024=a1+2a2x+…+2025a2025x2024，令x=1，則a1+2a2+3a3+…+2025a2025=-4050，故C錯誤；對于D選項，(1-2x)2025的通項