2025年湘教新版高一數(shù)學上冊月考試卷

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年湘教新版高一數(shù)學上冊月考試卷72考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共5題，共10分)1、【題文】已知數(shù)列{an}的通項為我們把使乘積為整數(shù)的n叫做“優(yōu)數(shù)”，則在內(nèi)最大的“優(yōu)數(shù)”為（）．A.510B.512C.1022D.10242、【題文】已知集合

則為（）A.B.C.D.3、【題文】直線l:ax+by=0和圓C:x2+y2+ax+by=0在同一坐標系的圖形只能是。

4、設a＞b＞c＞0，則3a2++﹣6ac+9c2的最小值為（）A.2B.4C.2D.45、圓(x+2)2+y2=5

關于y

軸對稱的圓的方程為(

)

A.x2+(y+2)2=5

B.x2+(y鈭?2)2=5

C.(x鈭?2)2+y2=5

D.(x鈭?2)2+(y鈭?2)2=5

評卷人得分二、填空題(共6題，共12分)6、函數(shù)f（x）=2x-5的零點所在區(qū)間為[m，m+1]（m∈N），則m=____．7、已知函數(shù)y=f（x）有9個零點x1，x2，，x9，且函數(shù)y=f（x）滿足f（3+x）=f（3-x），則x1+x2++x9=____．8、已知點P在圓x2+y2=25上移動，A（0，1）則AP的中點M的軌跡方程是____．9、已知等差數(shù)列的前n項和為則數(shù)列的前100項和為________.10、【題文】若直線平分圓則的最小值是____11、若關于x

的不等式鈭?12x2+2x>鈭?mx

的解集為{x|0<x<2}

則m=

______．評卷人得分三、解答題(共9題，共18分)12、（1）已知一個圓經(jīng)過點P（5；1），且圓心在點C（6，-2），求圓的方程．

（2）已知圓C：x2+y2-8y+12=0；直線l：ax+y+2a=0．求當a為何值時，直線l與圓C相切．

13、如圖，有兩條相交直線l1，l2成60°角，交于點O，甲乙兩人分別在l1，l2上．起初甲離O點3千米；乙離O點1千米；后來甲乙兩人分別沿著箭頭所示方向前進，同時用4千米/時的速度步行．

（1）經(jīng)過多少小時；兩人的距離最短？

（2）若兩人為了保持通訊，兩人之間的距離不能超過千米；那么他們兩人在行進中能保持通訊的時間為多少小時？

14、某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況；隨機抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量（單位：克），重量的分組區(qū)間為（490，495]，（495，500]，，（510，515]，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．根據(jù)頻率分布直方圖；

求：（1）重量超過500克的產(chǎn)品的頻率；

（2）重量超過500克的產(chǎn)品的數(shù)量．

15、已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=3，an+2=4an+1-4an（n∈N*）．

（1）求證：數(shù)列{an+1-2an}成等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列{an}的通項公式．

16、解不等式組17、已知tan（3π+α）=3，試求的值．18、已知f（x）為R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）為二次函數(shù)，且滿足f（2）=-1，不等式組的解集是{x|1＜x＜3}．

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）作出f（x）的圖象并根據(jù)圖象討論關于x的方程：f（x）-c=0（c∈R）根的個數(shù)．19、（1）證明兩角和的余弦公式Cα+β：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；

（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知b=3．求a，c（a＞c）20、已知a鈫?=(1,3)b鈫?=(3,鈭?4)

當k

為何值時。

(1)ka鈫?鈭?b鈫?

與a鈫?+b鈫?

共線．

(2)ka鈫?鈭?b鈫?

與a鈫?+b鈫?

垂直．評卷人得分四、作圖題(共4題，共16分)21、作出下列函數(shù)圖象：y=22、作出函數(shù)y=的圖象．23、畫出計算1++++的程序框圖．24、某潛艇為躲避反潛飛機的偵查，緊急下潛50m后，又以15km/h的速度，沿北偏東45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏東60°前行8min，最后擺脫了反潛飛機的偵查．試畫出潛艇整個過程的位移示意圖．評卷人得分五、證明題(共2題，共20分)25、已知G是△ABC的重心，過A、G的圓與BG切于G，CG的延長線交圓于D，求證：AG2=GC?GD．26、已知ABCD四點共圓，AB與DC相交于點E，AD與BC交于F，∠E的平分線EX與∠F的平分線FX交于X，M、N分別是AC與BD的中點，求證：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分別平分∠MFN與∠MEN．評卷人得分六、綜合題(共2題，共16分)27、已知直線l1：x-y+2=0；l2：x+y-4=0，兩條直線的交點為A，點B在l1上，點C在l2上，且，當B，C變化時，求過A，B，C三點的動圓形成的區(qū)域的面積大小為____．28、已知平面區(qū)域上；坐標x，y滿足|x|+|y|≤1

（1）畫出滿足條件的區(qū)域L0；并求出面積S；

（2）對區(qū)域L0作一個內(nèi)切圓M1，然后在M1內(nèi)作一個內(nèi)接與此圓與L0相同形狀的圖形L1，在L1內(nèi)繼續(xù)作圓M2；經(jīng)過無數(shù)次后，求所有圓的面積的和．

（提示公式：）參考答案一、選擇題(共5題，共10分)1、C【分析】【解析】

試題分析：因為數(shù)列{an}的通項為所以又因為所以在內(nèi)最大的“優(yōu)數(shù)”為即．

考點：對數(shù)的運算．【解析】【答案】Ｃ2、A【分析】【解析】集合M={y|y>1}，集合N=所以【解析】【答案】A3、D【分析】【解析】略【解析】【答案】D4、D【分析】【解答】解：由a＞b＞c＞0，可得a﹣b＞0；

則3a2++﹣6ac+9c2

=2a2++（a﹣3c）2

=2a2++（a﹣3c）2=2[b+（a﹣b）]2++（a﹣3c）2

≥2（2）2+=8b（a﹣b）+

≥2=4．

當且僅當a=2b=3c=時取等號．

因此3a2++﹣6ac+9c2的最小值為4．

故選：D．

【分析】運用配方和通分等變形可得原式=2a2++（a﹣3c）2=2[b+（a﹣b）]2++（a﹣3c）2，兩次運用基本不等式，可得最小值，注意等號成立的條件．5、C【分析】解：已知圓關于y

軸對稱的圓的圓心坐標為(2,0)

半徑不變，還是2

故對稱圓的方程為(x鈭?2)2+y2=5

故選：C

．

求出關于y

軸對稱的圓的圓心坐標為(2,0)

半徑還是2

從而求得所求的圓的方程．

本題主要考查求圓的標準方程，求出關于y

軸對稱的圓的圓心坐標為(2,0)

是解題的關鍵，屬于基礎題．【解析】C

二、填空題(共6題，共12分)6、略

【分析】

∵函數(shù)f（x）=2x-5；f（x）是單調(diào)函數(shù)；

∴f（2）=22-5=4-5=-1＜0；

f（3）=23-5=3＞0；

∴f（x）在區(qū)間[2；3]上有零點；

∴m=2；

故答案為2；

【解析】【答案】已知函數(shù)f（x）=2x-5；根據(jù)零點定理判斷零點所在的范圍；

7、略

【分析】

∵函數(shù)y=f（x）滿足f（3+x）=f（3-x）；

即函數(shù)y=f（x）的圖象關于直線x=3對稱。

即函數(shù)y=f（x）的零點關于直線x=3對稱。

不妨令x1＜x2＜＜x9；則。

即（x1+x9）=3，（x2+x8）=3，（x3+x7）=3，（x4+x6）=3，（x5+x5）=3；

∴x1+x2++x9=3×9=27

故答案為：27

【解析】【答案】由已知中函數(shù)y=f（x）滿足f（3+x）=f（3-x），根據(jù)函數(shù)的對稱性，可得函數(shù)y=f（x）的零點關于直線x=3對稱，當令x1＜x2＜＜x9時，可得（x1+x9）=3，（x2+x8）=3，（x3+x7）=3，（x4+x6）=3，（x5+x5）=3；進而得到答案．

8、略

【分析】

設AP的中點M（x，y），點P（m，n），則m2+n2=25①．

由中點公式得x=y=

∴m=2x；且n=2y-1②；

把②代入①得x2+y2-y-6=0；

故答案為x2+y2-y-6=0．

【解析】【答案】設AP的中點M（x，y），點P（m，n），則m2+n2=25①；把點M和點P坐標間的關系代入①式建立關于x，y的方程．

9、略

【分析】試題分析：設等差數(shù)列的首項為公差為則解得則所以數(shù)列的前100項和考點：等差數(shù)列的通項公式及求和公式、裂項抵消法.【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】由題意知

【解析】【答案】11、略

【分析】解：原不等式化為12x2鈭?(m+2)x<0

該不等式對應的方程為12x2鈭?(m+2)x=0

該一元二次方程的兩個實數(shù)根為0

和2

由根與系數(shù)的關系；得。

鈭?鈭?(m+2)12=0+2

解得m=鈭?1

．

故答案為：鈭?1

．

把不等式化為一般形式；寫出該不等式對應的方程，由根與系數(shù)的關系，求出m

的值．

本題考查了一元二次不等式的解法與應用問題，也考查了根與系數(shù)的應用問題，是基礎題．【解析】鈭?1

三、解答題(共9題，共18分)12、略

【分析】

（1）∵圓經(jīng)過點P（5；1），且圓心在點C（6，-2）；

∴圓的半徑r==

因此，所求圓的標準方程為（x-5）2+（y-1）2=10；

（2）圓C：x2+y2-8y+12=0的圓心為C（0，4），半徑r=2

當直線l：ax+y+2a=0與圓C相切時；C到直線的距離為。

d==r，即=2，解之得a=-

∴當a值為-時；直線l與圓C相切．

【解析】【答案】（1）由兩點的距離公式算出PC的長，即得圓的半徑r=再根據(jù)圓的標準方程列式，即可求出所求圓的方程．

（2）求出圓的圓心為C（0，4），半徑r=2．圓的切線到圓心的距離等于半徑；因此由點到直線的距離公式建立關于a的方程，解之即可得到滿足條件的a值．

13、略

【分析】

由題意；（1）當0≤t＜0.25時，A在O的右邊，則t小時走的路為4t，OA=3-4t，OB=1-4t；

根據(jù)余弦定理得：AB=且0≤t≤0.25，則t=0.25時，AB最小為

0.25≤t＜0.75時；A在O的右邊，則t小時走的路為4t，OA=3-4t，OB=1+4t；

根據(jù)余弦定理得：0.25≤t＜0.75，則t=0.25時，AB最小為．

0.75≤t時；OA=3+4t，OB=1+4t；

根據(jù)余弦定理得：AB=且0.75≤t，則t=0.75時，AB最小為

∴當t=小時，兩人的距離最短，最短距離為．

（2）開始OA=3km；OB=1km，∠AOB=60°；

根據(jù)余弦定理得：AB2=OA2+OB2-2OA?OB?cos∠AOB=9+1-3=7；

解得：AB=（km）；

又時，t=小時。

故可知他們兩人在行進中能保持通訊的時間為小時。

【解析】【答案】（1）設運動的時間是t小時；兩點運動的路程為4tkm，表示出此時的OA和OB，再由cos∠AOB的值，利用余弦定理表示出AB的長，根據(jù)t的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出兩人距離最短時的時間t的值．

（2）由（1）值，再開始到0.25小時內(nèi)兩人之間的距離不能超過千米；之后則不滿足題意，故得解．

14、略

【分析】

（I）如圖；重量超過500克的產(chǎn)品頻率是0.07×5+0.05×5+0.01×5=0.65

（I）由于樣本的容量是40；故重量超過500克的產(chǎn)品數(shù)量是40×0.65=26件；

【解析】【答案】（1）由圖可以得出重量超過500克的產(chǎn)品的頻率為右邊三個小矩形面積的和；求出每個小矩形的面積再相加即可；

（2）重量超過500克的產(chǎn)品的數(shù)量可由頻率乘以樣本容量計算出．

15、略

【分析】

（1）∵an+2=4an+1-4an

∴an+2-2an+1=2an+1-4an=2（an+1-an）

又a2-2a1=1

即

∴數(shù)列{an+1-2an}是以1為首項；2為公比的等比數(shù)列。

（2）由（1）知an+1-2an=2n-1

∴

又

∴

∴an=（n+1）2n-2

【解析】【答案】（1）將已知的遞推關系變形，利用等比數(shù)列的定義，證得數(shù)列{an+1-2an}成等比數(shù)列．

（2）利用等比數(shù)列的通項公式求出an+1-2an=2n-1，兩邊同時除以2n+1，利用等差數(shù)列的定義得到為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式求出數(shù)列{an}的通項公式．

16、略

【分析】試題分析：本題是一到解不等式組的基礎題，先求一元二次不等式的解再求絕對值不等式的解再求它們的交集.試題解析：解不等式得4分解不等式得7分所以不等式的解為8分.考點：不等式得解法.【解析】【答案】17、解：由tan（3π+α）=3，可得tanα=3，故

====【分析】【分析】先把利用誘導公式把tan（3π+α）=3化簡，得tanα=3，再利用誘導公式化簡得到令分式的分子分母同除cosα，得到只含有tanα的式子，把tanα=3代入即可．18、略

【分析】

（1）由題意得當x＞0時；設f（x）=a（x-1）（x-3），由f（2）=-1，求得a的值，即得f（x）的解析式．x＜0時，則有-x＞0，利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的解析式，再由f（0）=0，即可得到f（x）在R上的解析式．

（2）作出f（x）的圖象；方程f（x）-c=0得根的個數(shù)即直線y=c和y=f（x）的圖象交點個數(shù)，數(shù)形結(jié)合得出結(jié)論．

本題主要考查方程的根的個數(shù)判斷方法、函數(shù)的奇偶性的應用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．【解析】解：（1）由題意得當x＞0時，設f（x）=a（x-1）（x-3），∵f（2）=-1，∴a=1，∴f（x）=x2-4x+3．

當x＜0時；則有-x＞0，∵f（x）為R上的奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x）；

∴f（x）=-f（-x）=-[（-x）2-4（-x）+3]=-x2-4x-3，即：f（x）=-x2-4x-3．

當x=0時；由f（-x）=-f（x）得：f（0）=0．

所以，．（5分）

（2）作圖（如圖所示）：

（8分）

由f（x）-c=0得：c=f（x）；在上圖中作y=c，根據(jù)直線y=c和y=f（x）的圖象交點個數(shù)討論方程的根：

當c≥3或c≤-3；方程有1個根．

當1＜c＜3或-3＜c＜-1；方程有2個根．

當c=-1或c=1；方程有3個根．

當0＜c＜1或-1＜c＜0；方程有4個根．

當c=0，方程有5個根．（10分）19、略

【分析】

（1）建立單位圓；在單位圓中作出角，找出相應的單位圓上的點的坐標，由向量的數(shù)量積公式化簡整理既得；

（2）與條件利用兩個向量的數(shù)量積的定義求得ac=35，再利用余弦定理求得a2+c2=74；再根據(jù)a＞c可得a和c的值．

本題考查平面向量的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，利用三角函數(shù)的性質(zhì)合理地進行等價轉(zhuǎn)化．【解析】解：（1）證明：如圖；在平面直角坐標系中，以原點為圓心；

作一單位圓；再以原點為頂點；

x軸非負半軸為始邊分別作角α；β．

設它們的終邊分別交單位圓于點A（cosα；sinα）；

B（cos（-β）；sin（-β））

即有兩單位向量=（cosα，sinα），=（cosβ；-sinβ）；

∴=cosαcosβ-sinαsinβ；

∵=||?||?cos（α+β），且||=||=1；

∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ

（2）∵b=3．

∴?=

∴accosB=

又cosβ=

∴ac=35

由余弦定理：cosB==

∴a2+c2=74；由ac=35，a＞c；

解得a=7，c=5．20、略

【分析】

(1)

利用向量共線定理即可得出．

(2)

利用向量垂直與數(shù)量積的關系即可得出．

本題考查了向量共線定理、向量垂直與數(shù)量積的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．【解析】解：(1)ka鈫?鈭?b鈫?=(k鈭?3,3k+4)a鈫?+b鈫?=(4,鈭?1)

．

隆脽ka鈫?鈭?b鈫?

與a鈫?+b鈫?

共線；隆脿鈭?(k鈭?3)鈭?4(3k+4)=0

解得k=鈭?1

．

(2)隆脽ka鈫?鈭?b鈫?

與a鈫?+b鈫?

垂直，隆脿4(k鈭?3)鈭?(3k+4)=0

解得k=16

．四、作圖題(共4題，共16分)21、【解答】冪函數(shù)y={#mathml#}x32

{#/mathml#}的定義域是[0；+∞），圖象在第一象限，過原點且單調(diào)遞增，如圖所示；

【分析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分別畫出題目中的函數(shù)圖象即可．22、【解答】圖象如圖所示。

【分析】【分析】描點畫圖即可23、解：程序框圖如下：

【分析】【分析】根據(jù)題意，設計的程序框圖時需要分別設置一個累加變量S和一個計數(shù)變量i，以及判斷項數(shù)的判斷框．24、解：由題意作示意圖如下；

【分析】【分析】由題意作示意圖。五、證明題(共2題，共20分)25、略

【分析】【分析】構(gòu)造以重心G為頂點的平行四邊形GBFC，并巧用A、D、F、C四點共圓巧證乘積．延長GP至F，使PF=PG，連接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四邊形，故GF=2GP．從而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四點共圓，從而GA、GF=GC?GD．于是GA2=GC?GD．【解析】【解答】證明：延長GP至F；使PF=PG，連接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四邊形GBFC是平行四邊形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵過A；G的圓與BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四點共圓；

∴GA；GF=GC?GD；

即GA2=GC?GD．26、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性質(zhì)知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四邊形ABCD內(nèi)接于圓，則∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，聯(lián)立①②，即可證得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分別是∠AFB和∠AED的角平分線，等量代換后可證得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可連接AX，此時發(fā)現(xiàn)∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可證得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲證∠MFX=∠NFX，必須先證得∠AFM=∠BFN，可通過相似三角形來實現(xiàn)；首先連接FM、FN，易證得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通過等量代換，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圓周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可證得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，進一步可證得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可證得EX是∠MEN的角平分線．【解析】【解答】證明：（1）連接AX；

由圖知：∠FDC是△ACD的一個外角；

則有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分別是∠AFB、∠AED的角平分線；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性質(zhì)知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）連接MF；F