大學(xué)物理課后習(xí)題及答案

習(xí)題二2-1質(zhì)量為m的子彈以速率水平射入沙土中，設(shè)子彈所受阻力與速度反向，大小與速度成正比，比例系數(shù)為k，忽略子彈的重力，求：(1)子彈射入沙土后，速度大小隨時(shí)間的變化關(guān)系；(2)子彈射入沙土的最大深度。[解]設(shè)任意時(shí)刻子彈的速度為v，子彈進(jìn)入沙土的最大深度為s，由題意知，子彈所受的阻力f=-kv(1)由牛頓第二定律即所以對(duì)等式兩邊積分得因此(2)由牛頓第二定律即所以對(duì)上式兩邊積分得到即2-2質(zhì)量為m的小球，在水中受到的浮力為F，當(dāng)它從靜止開始沉降時(shí)，受到水的粘滯阻力為f＝kv(k為常數(shù))。若從沉降開始計(jì)時(shí)，試證明小球在水中豎直沉降的速率v與時(shí)間的關(guān)系為[證明]任意時(shí)刻t小球的受力如圖所示，取向下為y軸的正方向，開始沉降處為坐標(biāo)原點(diǎn)。由牛頓第二定律得即整理得對(duì)上式兩邊積分得即2-3跳傘運(yùn)動(dòng)員與裝備的質(zhì)量共為m，從傘塔上跳出后立即張傘，受空氣的阻力與速率的平方成正比，即。求跳傘員的運(yùn)動(dòng)速率v隨時(shí)間t變化的規(guī)律和極限速率。[解]設(shè)運(yùn)動(dòng)員在任一時(shí)刻的速率為v，極限速率為，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員受的空氣阻力等于運(yùn)動(dòng)員及裝備的重力時(shí)，速率達(dá)到極限。此時(shí)即有牛頓第二定律整理得對(duì)上式兩邊積分得整理得2-4一根線密度為的均勻柔軟鏈條，上端被人用手提住，下端恰好碰到桌面?，F(xiàn)將手突然松開，鏈條下落，設(shè)每節(jié)鏈環(huán)落到桌面上之后就靜止在桌面上，求鏈條下落距離s時(shí)對(duì)桌面的瞬時(shí)作用力。[解]鏈條對(duì)桌面的作用力由兩部分構(gòu)成：一是已下落的s段對(duì)桌面的壓力，另一部分是正在下落的段對(duì)桌面的沖力，桌面對(duì)段的作用力為。顯然時(shí)刻，下落桌面部分長(zhǎng)s。設(shè)再經(jīng)過，有落在桌面上。取下落的段鏈條為研究對(duì)象，它在時(shí)間之內(nèi)速度由變?yōu)榱悖鶕?jù)動(dòng)量定理(1)(2)(3)由(2)、(3)式得故鏈條對(duì)桌面的作用力為2-5一半徑為R的半球形碗，內(nèi)表面光滑，碗口向上固定于桌面上。一質(zhì)量為m的小球正以角速度沿碗的內(nèi)面在水平面上作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)。求小球的運(yùn)動(dòng)水平面距離碗底的高度。[分析]小鋼球沿碗內(nèi)壁作圓周運(yùn)動(dòng)，其向心力是由內(nèi)壁對(duì)它的支承力的分力提供的，而支承力的方向始終與該點(diǎn)內(nèi)壁相垂直，顯然，不同的角速度對(duì)應(yīng)不同大小和方向的支承力。[解]設(shè)小球的運(yùn)動(dòng)水平面距碗底的高度為h，小球受力如圖所示，則由以上四式得2-6一飛車運(yùn)動(dòng)員在一個(gè)呈錐形內(nèi)表面的演出艙內(nèi)進(jìn)行表演。若人與車的質(zhì)量為m，錐面的半頂角為。飛車運(yùn)動(dòng)員恰好在一水平面內(nèi)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，其速率為。忽略摩擦阻力，試作飛車運(yùn)動(dòng)員及車的受力圖，并將圓周的半徑用、g和表示之。[解]飛車運(yùn)動(dòng)員的及車的受力如圖所示，設(shè)其距錐面頂點(diǎn)的高度為h，則聯(lián)立兩式得2-7在光滑的豎直圓環(huán)上，套有兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球A和B，并用輕而不易拉伸的繩子把兩球聯(lián)結(jié)起來。兩球由圖示位置開始釋放，試求此時(shí)繩上的張力。[解]小球A和B受力如圖，因繩子不可伸長(zhǎng)，開始釋放時(shí)球的速度為零，小球A和B的切向加速度相等，法向加速度為零，則對(duì)A球?qū)球由上面兩式得2-8一人造地球衛(wèi)星質(zhì)量m=1327kg，在離地面m的高空中環(huán)繞地球作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)。求：(1)衛(wèi)星所受向心力f的大?。?2)衛(wèi)星的速率v；(3)衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動(dòng)周期T。[解]衛(wèi)星所受的向心力即是衛(wèi)星和地球之間的引力由上面兩式得(2)由牛頓第二定律(3)衛(wèi)星的運(yùn)轉(zhuǎn)周期2-9試求赤道上方的地球同步衛(wèi)星距地面的高度。[解]設(shè)同步衛(wèi)距地面高度為h，距地心為R+h，則所以代入第一式中解得2-10自動(dòng)步槍連發(fā)時(shí)每分鐘射出120發(fā)子彈，每顆子彈的質(zhì)量為m＝7.90g，出口速率為735，求射擊時(shí)(以分鐘計(jì))搶托對(duì)肩的平均壓力。[解]取時(shí)間之內(nèi)射出的子彈為研究對(duì)象，作用在子彈上的平均力為，根據(jù)動(dòng)量定理得所以故槍托對(duì)肩部的平均壓力為2-11水力采煤是利用高壓水槍噴出的強(qiáng)力水柱沖擊煤層。設(shè)水柱直徑為D=30mm，水速v=56，水柱垂直射到煤層表面上，沖擊煤層后速度變?yōu)榱恪Ｇ笏鶎?duì)煤層的平均沖力。[解]取長(zhǎng)為dx的一段水柱為研究對(duì)象，設(shè)它受到的煤層的作用力為，根據(jù)動(dòng)量定理所以故水柱對(duì)煤層的平均沖力2-12F＝30+4t的力作用在質(zhì)量為10kg的物體上，求：(1)在開始兩秒鐘內(nèi)，此力的沖量是多少?(2)要使沖量等于300，此力作用的時(shí)間為多少?(3)若物體的初速度為10，方向與F相同，在t=6.86s時(shí)，此物體的速度是多少?[解]根據(jù)沖量定義(1)開始兩秒鐘此力的沖量(2)

當(dāng)時(shí)解得(3)當(dāng)時(shí)，，根據(jù)動(dòng)量定理因此2-13質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，以不變速率v沿圖示三角形ABC的水平光滑軌道運(yùn)動(dòng)。求質(zhì)點(diǎn)越過角A時(shí)，軌道作用于質(zhì)點(diǎn)沖量的大小。[解]如圖所示，質(zhì)點(diǎn)越過A角時(shí)動(dòng)量的改變?yōu)橛蓤D知的大小根據(jù)動(dòng)量定理2-14質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在xOy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程，試求：(1)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量；(2)從t＝0到這段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)受到的合力的沖量；(3)在上述時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量是否守恒?為什么?[解]質(zhì)點(diǎn)的速度(1)(1)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量(2)由(1)式得時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度為根據(jù)動(dòng)量定理解法二：(3)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量不守恒，因?yàn)橛傻谝粏柦Y(jié)果知?jiǎng)恿侩S時(shí)間t變化。2-15將一空盒放在臺(tái)秤盤上，并將臺(tái)秤的讀數(shù)調(diào)節(jié)到零，然后從高出盒底h處將石子以每秒n個(gè)的速率連續(xù)注入盒中，每一石子的質(zhì)量為m。假定石子與盒子的碰撞是完全非彈性的，試求石子開始落入盒后t秒時(shí)，臺(tái)秤的讀數(shù)。[解]t秒鐘后臺(tái)秤的讀數(shù)包括下面兩部分，一部分是已落入盒中的石子對(duì)稱盤的壓力，另一部分是正下落的石子對(duì)秤的沖力，顯然取時(shí)間下落的石子為研究對(duì)象，設(shè)它們所受到的平均沖力為，根據(jù)動(dòng)量定理所以故時(shí)間下落的石子對(duì)稱的沖力因此秤的讀數(shù)為2-16以速度前進(jìn)的炮車，向后發(fā)射一炮彈，已知炮車的仰角為，炮彈和炮車的質(zhì)量分別為m和M，炮彈相對(duì)炮車的出口速率為v，如圖所示。求炮車的反沖速率是多大?[解]以大地為參照系，取炮彈與炮彈組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)水平方向的動(dòng)量守恒。由圖可知炮彈相對(duì)于地面的速度的水平分量為，根據(jù)動(dòng)量守恒定律所以此即為炮車的反沖速率。2-17一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示。已知質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為20g，在A、B兩位置處的速率都是20，與x軸成角，與y軸垂直，求質(zhì)點(diǎn)由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)這段時(shí)間內(nèi)，作用在質(zhì)點(diǎn)上外力的總沖量。[解]由題意知，質(zhì)點(diǎn)由A點(diǎn)到B點(diǎn)動(dòng)量的改變?yōu)楦鶕?jù)動(dòng)量定理，作用在質(zhì)點(diǎn)上的外力的沖量所以沖量與x軸之間的夾角2-18若直升飛機(jī)上升的螺旋漿由兩個(gè)對(duì)稱的葉片組成，每一葉片的質(zhì)量m＝136kg，長(zhǎng)l=3.66m。當(dāng)它的轉(zhuǎn)速n=320時(shí)，求兩個(gè)葉片根部的張力(設(shè)葉片是均勻薄片)。[解一]設(shè)葉片的根部為原點(diǎn)O，作徑向Or軸，在葉片上距O點(diǎn)為r處取一線元，則，其兩邊所受的張力如圖所示。根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)沿徑向的動(dòng)力學(xué)方程，有即對(duì)上式積分，并考慮到葉片的外端r趨近于l時(shí)，張力，則因此距O點(diǎn)為r處葉片中的張力為式中負(fù)號(hào)表明T指向O點(diǎn)。取r=0，代入題中所給數(shù)據(jù)，得葉片根部張力[解二]任意時(shí)刻t葉片的動(dòng)量經(jīng)過dt時(shí)間，葉片動(dòng)量的改變?nèi)~片根部所受的作用力2-19如圖所示，砂子從h＝0.8m處下落到以3的速率沿水平向右運(yùn)動(dòng)的傳輸帶上，若每秒鐘落下100kg的砂子，求傳輸帶對(duì)砂子作用力的大小和方向。[解]如圖所示，設(shè)時(shí)間內(nèi)落下的砂子的質(zhì)量為，則的動(dòng)量改變顯然有由圖可知根據(jù)動(dòng)量定理所以2-20礦砂從傳輸帶A落到另一傳輸帶B，其速度大小為＝4，＝2方向如圖所示。設(shè)傳輸帶的運(yùn)送量＝2000，求礦砂作用在傳輸帶B上的力的大小和方向。[解]取時(shí)間內(nèi)落下的礦砂為研究對(duì)象，建立如圖所示的坐標(biāo)系，其動(dòng)量的改變?yōu)楦鶕?jù)動(dòng)量定理所以故礦砂作用在傳輸帶B上的力與豎直方向的夾角2-21質(zhì)量為M的平板車，在水平地面上無摩擦地運(yùn)動(dòng)。若有N個(gè)人，質(zhì)量均為m，站在車上。開始時(shí)車以速度向右運(yùn)動(dòng)，后來人相對(duì)于車以速度u向左快跑。試證明：(1)N個(gè)人一同跳離車以后，車速為(2)車上N個(gè)人均以相對(duì)于車的速度u向左相繼跳離，N個(gè)人均跳離后，車速為[證明](1)取車和人組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，以地面為參照系，系統(tǒng)的水平方向的動(dòng)量守恒。人相對(duì)于地面的速度為，則所以(2)設(shè)第個(gè)人跳離車后，車的速度為，第x個(gè)人跳離車后，車的速度為，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得所以此即車速的遞推關(guān)系式，取得……將上面所有的式子相加得此即為第N個(gè)人跳離車后的速度，即2-22求半圓形的均勻薄板的質(zhì)心。[解]設(shè)圓半徑為R，質(zhì)量為m，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)質(zhì)心坐標(biāo)為，取圖示面積元，則，由對(duì)稱性知：所以質(zhì)心的坐標(biāo)為2-23水分子的結(jié)構(gòu)如圖所示。兩個(gè)氫原子與氧原子的中心距離都是0.958?，它們與氧原子中心的連線的夾角為，求水分子的質(zhì)心。[解]建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)質(zhì)心坐標(biāo)為，則?所以水分子的質(zhì)心坐標(biāo)為(0，0.0648)2-24三個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)，其中=4kg，坐標(biāo)為(1，3)；=8kg，坐標(biāo)為(4，1)；=4kg，坐標(biāo)為(-2，2)(SI)。設(shè)它們分別受力=14N，沿x方向；=16N，沿y方向；＝6N，沿負(fù)x方向。質(zhì)點(diǎn)間無相互作用力。求：(1)各質(zhì)點(diǎn)的加速度；(2)開始時(shí)質(zhì)心的坐標(biāo)；(3)質(zhì)心的加速度。[解](1)各質(zhì)點(diǎn)的加速度(2)設(shè)開始時(shí)質(zhì)心的坐標(biāo)為，則(3)，和所組成的系統(tǒng)所受的合力所以質(zhì)心的加速度是2-25兩個(gè)質(zhì)量都是m的星球，保持在同一圓形軌道上運(yùn)行，軌道圓心位置上及軌道附近都沒有其它星球。已知軌道半徑為R，求：(1)每個(gè)星球所受到的合力；(2)每個(gè)星球的運(yùn)行周期。[解]因?yàn)閮蓚€(gè)星球在同一軌道上作圓周運(yùn)動(dòng)，因此，他們受到的合力必須指向圓形軌道的圓心，又因星球不受其他星球的作用，因此，只有這兩個(gè)星球間的萬有引力提供向心力。所以兩個(gè)星球必須分布在直徑的兩個(gè)端點(diǎn)上，且其運(yùn)行的速度周期均相同(1)每個(gè)星球所受的合力(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)周期為T聯(lián)立上述三式得所以，每個(gè)星球的運(yùn)行周期2-26如圖所示，浮吊的質(zhì)量M＝20t，從岸上吊起m=2t的重物后，再將吊桿與豎直方向的夾角由轉(zhuǎn)到，設(shè)桿長(zhǎng)l=8m，水的阻力與桿重略而不計(jì)，求浮吊在水平方向上移動(dòng)的距離。[解法一]取吊車和重物組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)所受的合外力為零，因此在由轉(zhuǎn)到時(shí)，質(zhì)心的位置不變。取質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示。設(shè)在在由轉(zhuǎn)到時(shí)吊車在水平方向上移動(dòng)的距離為x，重物在水平方向上移動(dòng)的距離為y，則=時(shí)Ma-mb=0a+b=lsin=時(shí)M(a-x)-m(b-y)=0(a-x)+(b-y)=lsin聯(lián)立上述四式得[解法二]以岸邊為參考系，選如圖坐標(biāo)系，因水的阻力不計(jì)，因此浮吊在x方向動(dòng)量守恒。該M以V向岸邊靠攏，m相對(duì)M以u(píng)向左運(yùn)動(dòng)，相對(duì)岸邊的速度為u-V。吊桿轉(zhuǎn)動(dòng)角度前后，在水平方向動(dòng)量守恒，即依題意，m在水平方向相對(duì)浮吊移動(dòng)的距離為經(jīng)歷時(shí)間在t時(shí)間內(nèi)，M在x方向移動(dòng)的距離為2-27某彈道火箭初始總質(zhì)量t，內(nèi)裝m＝9.0t的燃料，由靜止開始發(fā)射。發(fā)射時(shí)噴氣速率，噴氣流量為q＝125，二者都是常量。不計(jì)重力及空氣阻力，求火箭受到的反推力和它在燃料燒盡后的速度。[解]取dt時(shí)間內(nèi)噴出的氣體為研究對(duì)象，根據(jù)動(dòng)量定理所以火箭受到的反推力(1)設(shè)燃料燃燒盡后火箭的速度為v，根據(jù)動(dòng)量定理(2)燃料燃燒時(shí)間(3)聯(lián)立(1)、(2)兩式得(4)將上式積分得(5)聯(lián)立(3)、(5)兩式得2-28初始質(zhì)量為的火箭，在地面附近空間以相對(duì)于火箭的速率u垂直向下噴射高溫氣體，每秒鐘消耗的燃料