《新課標(biāo)》高三數(shù)學(xué)(人教版)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第17講 算法案例

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書—數(shù)學(xué)[人教版]高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案（講座17）—算法案例一．課標(biāo)要求：通過閱讀中國古代數(shù)學(xué)中的算法案例，體會中國古代數(shù)學(xué)對世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)。二．命題走向算法是高中數(shù)學(xué)新課程中的新增內(nèi)容，本講的重點是幾種重要的算法案例思想，復(fù)習(xí)時重算法的思想輕算法和程序的構(gòu)造。預(yù)測2007年高考隊本講的考察是：以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，分值在5分左右，考察的熱點是算法實例和傳統(tǒng)數(shù)學(xué)知識的結(jié)合題目。三．要點精講1．求最大公約數(shù)（1）短除法求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的步驟：先用兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商是兩個互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來。（2）窮舉法（也叫枚舉法）窮舉法求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的解題步驟：從兩個數(shù)中較小數(shù)開始由大到小列舉，直到找到公約數(shù)立即中斷列舉，得到的公約數(shù)便是最大公約數(shù)。（3）輾轉(zhuǎn)相除法輾轉(zhuǎn)相除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，其算法可以描述如下：①輸入兩個正整數(shù)m和n；②求余數(shù)r：計算m除以n，將所得余數(shù)存放到變量r中；③更新被除數(shù)和余數(shù)：m=n，n=r；④判斷余數(shù)r是否為0。若余數(shù)為0，則輸出結(jié)果；否則轉(zhuǎn)向第②步繼續(xù)循環(huán)執(zhí)行。如此循環(huán)，直到得到結(jié)果為止。（4）更相減損術(shù)我國早期也有解決求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術(shù)。在《九章算術(shù)》中記載了更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟：可半者半之，不可半者，副置分母?子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。步驟：Ⅰ．任意給出兩個正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步。Ⅱ．以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。2．秦九韶算法秦九韶算法的一般規(guī)則：秦九韶算法適用一般的多項式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值問題。用秦九韶算法求一般多項式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0當(dāng)x=x0時的函數(shù)值，可把n次多項式的求值問題轉(zhuǎn)化成求n個一次多項式的值的問題，即求v0=anv1=anx+an－1v2=v1x+an－2v3=v2x+an－3……..vn=vn－1x+a0觀察秦九韶算法的數(shù)學(xué)模型，計算vk時要用到vk－1的值，若令v0=an。我們可以得到下面的遞推公式：v0=anvk=vk－1+an－k(k=1,2,…n)這是一個在秦九韶算法中反復(fù)執(zhí)行的步驟，可以用循環(huán)結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)。3.排序排序的算法很多，課本主要介紹里兩種排序方法：直接插入排序和冒泡排序（1）直接插入排序在日常生活中，經(jīng)常碰到這樣一類排序問題：把新的數(shù)據(jù)插入到已經(jīng)排好順序的數(shù)據(jù)列中。例如：一組從小到大排好順序的數(shù)據(jù)列{1，3，5，7，9，11，13}，通常稱之為有序列，我們用序號1，2，3，……表示數(shù)據(jù)的位置，欲把一個新的數(shù)據(jù)8插入到上述序列中。完成這個工作要考慮兩個問題：（1）確定數(shù)據(jù)“8”在原有序列中應(yīng)該占有的位置序號。數(shù)據(jù)“8”所處的位置應(yīng)滿足小于或等于原有序列右邊所有的數(shù)據(jù)，大于其左邊位置上所有的數(shù)據(jù)。（2）將這個位置空出來，將數(shù)據(jù)“8”插進(jìn)去。對于一列無序的數(shù)據(jù)列，例如：{49，38，65，97，76，13，27，49}，如何使用這種方法進(jìn)行排序呢？基本思想很簡單，即反復(fù)使用上述方法排序，由序列的長度不斷增加，一直到完成整個無序列就有序了。首先，{49}是有序列，我們將38插入到有序列{49}中，得到兩個數(shù)據(jù)的有序列：{38，49}，然后，將第三個數(shù)據(jù)65插入到上述序列中，得到有序列：{38，49，65}…………按照這種方法，直到將最后一個數(shù)據(jù)65插入到上述有序列中，得到{13，27，38，49，49，65，76，97}這樣，就完成了整個數(shù)據(jù)列的排序工作。注意到無序列“插入排序算法”成為了解決這類問題的平臺。（2）冒泡法排序所謂冒泡法排序，形象地說，就是將一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列時，小的數(shù)據(jù)視為質(zhì)量輕的，大的數(shù)據(jù)視為質(zhì)量沉的。一個小的數(shù)據(jù)就好比水中的氣泡，往上移動，一個較大的數(shù)據(jù)就好比石頭，往下移動。顯然最終會沉到水底，最輕的會浮到頂，反復(fù)進(jìn)行，直到數(shù)據(jù)列排成為有序列。以上過程反映了這種排序方法的基本思路。我們先對一組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。設(shè)待排序的數(shù)據(jù)為：{49，38，65，97，76，13，27，49}排序的具體操作步驟如下：1．將第1個數(shù)與右邊相鄰的數(shù)38進(jìn)行比較，因為38<49，49應(yīng)下沉，即向右移動，所以交換他們的位置，得到新的數(shù)據(jù)列：{38，49，65，97，76，13，27，49}2．將新數(shù)據(jù)列中的第2個數(shù)49與右邊相鄰的數(shù)65進(jìn)行比較，因為65>49，所以順序不變，得到新的數(shù)據(jù)列：{38，49，65，97，76，13，27，49}3．將新數(shù)據(jù)列中的第3個數(shù)65與右邊相鄰的數(shù)97進(jìn)行比較，因為97>65，所以順序不變，得到新的數(shù)據(jù)列：{38，49，65，97，76，13，27，49}4．將新數(shù)據(jù)列中的第4個數(shù)97與右邊相鄰的數(shù)76進(jìn)行比較，因為76<97，97應(yīng)下沉，所以順序不變，得到新的數(shù)據(jù)列：{38，49，65，76，97，13，27，49}5．將新數(shù)據(jù)列中的第5個數(shù)97與右邊相鄰的數(shù)13進(jìn)行比較，因為13<97，97應(yīng)下沉，所以順序改變，得到新的數(shù)據(jù)列：{38，49，65，76，13，97，27，49}6．將新數(shù)據(jù)列中的第6個數(shù)97與右邊相鄰的數(shù)27進(jìn)行比較，因為27<97，97應(yīng)下沉，所以順序改變，得到新的數(shù)據(jù)列：{38，49，65，76，13，97，27，49}7．將新數(shù)據(jù)列中的第7個數(shù)97與右邊相鄰的數(shù)49進(jìn)行比較，因為49<97，97應(yīng)下沉，所以順序改變，得到新的數(shù)據(jù)列：{38，49，65，76，13，97，49，27}我們把上述過程稱為一趟排序。其基本特征是最大的數(shù)據(jù)沉到底，即排在最左邊位置上的數(shù)據(jù)是數(shù)組中最大的數(shù)據(jù)。反復(fù)執(zhí)行上面的步驟，就能完成排序工作，排序過程不會超過7趟。這種排序的方法稱為冒泡排序。上面的分析具有一般性，如果數(shù)據(jù)列有n個數(shù)據(jù)組成，至多經(jīng)過n－1趟排序，就能完成整個排序過程。4．進(jìn)位制（1）概念進(jìn)位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值。可使用數(shù)字符號的個數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為n，即可稱n進(jìn)位制，簡稱n進(jìn)制?，F(xiàn)在最常用的是十進(jìn)制，通常使用10個阿拉伯?dāng)?shù)字0—9進(jìn)行記數(shù)。對于任何一個數(shù)，我們可以用不同的進(jìn)位制來表示。比如：十進(jìn)數(shù)57，可以用二進(jìn)制表示為111001，也可以用八進(jìn)制表示為71、用十六進(jìn)制表示為39，它們所代表的數(shù)值都是一樣的。一般地，若k是一個大于一的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進(jìn)制可以表示為：，而表示各種進(jìn)位制數(shù)一般在數(shù)字右下腳加注來表示,如111001(2)表示二進(jìn)制數(shù),34(5)表示5進(jìn)制數(shù)。（2）進(jìn)位制間的轉(zhuǎn)換關(guān)于進(jìn)位制的轉(zhuǎn)換，教科書上以十進(jìn)制和二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換為例講解，并推廣到十進(jìn)制和其它進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換。這樣做的原因是，計算機(jī)是以二進(jìn)制的形式進(jìn)行存儲和計算數(shù)據(jù)的，而一般我們傳輸給計算機(jī)的數(shù)據(jù)是十進(jìn)制數(shù)據(jù)，因此計算機(jī)必須先將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，再處理，顯然運算后首次得到的結(jié)果為二進(jìn)制數(shù)，同時計算機(jī)又把運算結(jié)果由二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)輸出。非十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)比較簡單，只要計算下面的式子值即可：第一步：從左到右依次取出k進(jìn)制數(shù)各位上的數(shù)字，乘以相應(yīng)的k的冪，k的冪從n開始取值，每次遞減1，遞減到0，即；第二步：把所得到的乘積加起來，所得的結(jié)果就是相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成非十進(jìn)制數(shù)把十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，教科書上提供了“除2取余法”，我們可以類比得到十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成k進(jìn)制數(shù)的算法“除k取余法”。非十進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換一個自然的想法是利用十進(jìn)制作為橋梁。教科書上提供了一個二進(jìn)制數(shù)據(jù)與16進(jìn)制數(shù)據(jù)之間的互化的方法，也就是先有二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)，再由十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化成為16進(jìn)制數(shù)。四．典例解析題型1：求最大公約數(shù)例1．（1）用輾轉(zhuǎn)相除法求123和48的最大公約數(shù)？（2）用更相減損來求80和36的最大公約數(shù)？解析：（1）輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的過程如下：（建立帶余除式）123＝2×48＋2748＝1×27＋2127＝1×21＋621＝3×6＋36＝2×3+0最后6能被3整除，得123和48的最大公約數(shù)為3。（2）分析：我們將80作為大數(shù)，36作為小數(shù)，執(zhí)行更相減損術(shù)來求兩數(shù)的最大公約數(shù)。執(zhí)行結(jié)束的準(zhǔn)則是減數(shù)和差相等。更相減損術(shù)：因為80和36都是偶數(shù)，要去公因數(shù)2。80÷2=40，36÷2=18；40和18都是偶數(shù)，要去公因數(shù)2。40÷2=20，18÷2=9下面來求20與9的最大公約數(shù)，20－9=1111－9=29－2=77－2=55－2=33－2=12－1=1可得80和36的最大公約數(shù)為22×1=4。點評：對比兩種方法控制好算法的結(jié)束，輾轉(zhuǎn)相除法是到達(dá)余數(shù)為0，更相減損術(shù)是到達(dá)減數(shù)和差相等。例2．設(shè)計一個算法，求出840與1764的最大公因數(shù)。解析：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過了對自然數(shù)的素因數(shù)分解的方法，下面的算法就是在此基礎(chǔ)上設(shè)計的。解題思路如下：首先對兩個數(shù)進(jìn)行素因數(shù)分解：840=23×3×5×7，1764=22×32×72，其次，確定兩個數(shù)的公共素因數(shù)：2，3，7。接著確定公共素因數(shù)的指數(shù)：對于公共素因數(shù)2，840中為23，1764中為22，應(yīng)取較少的一個22，同理可得下面的因數(shù)為3和7。算法步驟：第一步：將840進(jìn)行素數(shù)分解23×3×5×7；第二步：將1764進(jìn)行素數(shù)分解22×32×72；第三步：確定它們的公共素因數(shù)：2，3，7；第四步：確定公共素因數(shù)2，3，7的指數(shù)分別是：2，1，1；第五步：最大公因數(shù)為22×31×71=84。點評：質(zhì)數(shù)是除１以外只能被１和本身整除的正整數(shù)，它應(yīng)該是無限多個，但是目前沒有一個規(guī)律來確定所有的質(zhì)數(shù)。題型2：秦九韶算法例3．（2005北京，14）已知n次多項式，如果在一種算法中，計算（k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，計算的值共需要9次運算（6次乘法，3次加法），那么計算的值共需要次運算。下面給出一種減少運算次數(shù)的算法：（k＝0，1，2，…，n－1）．利用該算法，計算的值共需要6次運算，計算的值共需要次運算。答案：65；20。點評：秦九韶算法適用一般的多項式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值問題。直接法乘法運算的次數(shù)最多可到達(dá)，加法最多n次。秦九韶算法通過轉(zhuǎn)化把乘法運算的次數(shù)減少到最多n次，加法最多n次。例4．已知多項式函數(shù)f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7，求當(dāng)x=5時的函數(shù)的值。解析：把多項式變形為：f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7=((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7計算的過程可以列表表示為：多項式x系數(shù)2－5－43－67運算運算所得的值10251055402670+變形后x的"系數(shù)"25211085342677*5最后的系數(shù)2677即為所求的值。算法過程：v0=2v1=2×5－5=5v2=5×5－4=21v3=21×5+3=108v4=108×5－6=534v5=534×5+7=2677點評：如果多項式函數(shù)中有缺項的話，要以系數(shù)為0的項補(bǔ)齊后再計算。題型三：排序例4．試用兩種排序方法將以下8個數(shù)：7,1,3,12,8,4,9,10。按照從大到小的順序進(jìn)行排序。解析：可以按照直接插入排序和冒泡排序這兩種方法的要求，結(jié)合圖形，分析寫出。直接插入法排序：[7]131284910[71]31284910[731]1284910[12731]84910[128731]4910[1287431]910[12987431]10[1210987431]冒泡排序7777777711333333331121212121212121218888888814444444419999999911010101010101010第一趟771212121231288910128791098491088491077791044441033333111111第2趟第3趟第4趟第5趟第6趟點評：直接插入法和冒泡法排序是常見的排序方法，通過該例，我們對比可以發(fā)現(xiàn)，直接插入排序比冒泡排序更有效一些，執(zhí)行的操作步驟更少一些。例6．給出以下四個數(shù)：6，－3，0，15，用直接插入法排序?qū)⑺鼈儼磸男〉酱蟮捻樞蚺帕?，用冒泡法將它們按從大到小的順序排列。分析：不論從大到小的順序還是按從大到小的順序，都可按兩種方法的步驟進(jìn)行排序。解析：直接插入排序法：[6]－3015[－36]015[－306]15[－30615]用冒泡排序法排序：6666666151515－3－3000151566600－3151500000151515－3－3－3－3－3－3－3題型4：進(jìn)位值例7．把十進(jìn)制數(shù)89化為三進(jìn)制數(shù)，并寫出程序語句.解析：具體的計算方法如下：89=3×29+229=3×9+29=3×3+03=3×1+01=3×0+1所以:89（10）=1011001(3)。點評：根據(jù)三進(jìn)制數(shù)滿三進(jìn)一的原則，可以用3連續(xù)去除89及其所的得的商，然后按倒序的先后順序取出余數(shù)組成數(shù)據(jù)即可。例8．將8進(jìn)制數(shù)314706（8）化為十進(jìn)制數(shù)，并編寫出一個實現(xiàn)算法的程序。解析：314706（8）=3×85+1×84+4×83+7×82+0×81+6×80=104902。所以，化為十進(jìn)制數(shù)是104902。點評：利用把k進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的一般方法就可以把8進(jìn)制數(shù)314706（8）化為十進(jìn)制數(shù)，然后根據(jù)該算法，利用GET函數(shù)，應(yīng)用循環(huán)結(jié)構(gòu)可以設(shè)計程序。五．思維總結(jié)開始輸入：m,n開始輸入：m,nr=mMODnm=nn=rr=0?輸出：開始YN（1）輾轉(zhuǎn)相除法程序框圖與程序語句程序：INPUT“m，n=”;m,nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTEND（2）更相減損術(shù)更相減損術(shù)程序：INPUT“請輸入兩個不相等的正整數(shù)”；a，bi=0WHILEaMOD2=0ANDbMOD2=0a=a/2b=b/2i=i+1WENDDOIFb<aTHENt=aa=bb=tENDIFc=a－ba=bb=cLOOPUNTILa=bPRINTa^iEND對于兩個正整數(shù)如何選擇合適的方法求他們的最大公約數(shù)方法適用范圍及特點短除法適合兩個較小的正整數(shù)或兩個質(zhì)因數(shù)較少的正整數(shù)，簡便易操作。窮舉法適合計算機(jī)操作，但一一驗證過于繁瑣。輾轉(zhuǎn)相除法適用于兩個較大的正整數(shù)，以除法為主，輾轉(zhuǎn)相除法計算次數(shù)相對較少，特別當(dāng)兩個數(shù)字大小差別較大時計算次數(shù)較明顯。更相減損術(shù)適用于兩個較大的正整數(shù)，更相減損術(shù)以減法為主，計算次數(shù)上相對于輾轉(zhuǎn)相處法較多。2．我們以這個5次多項式函數(shù)為例加以說明，設(shè)：f（x）=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0首先，讓我們以5次多項式一步步地進(jìn)行改寫：f（x）=（a5x4+a4x3+a3x2+a2x+a1）x+a0=（（a5x3+a4x2+a3x+a2）x+a1）x+a0=（（（a5x2+a4x+a3）x+a2）x+a1）x+a0=（（（（a5x+a4）x+a3）x+a2）x+a1）x+a0上面的分層計算。只用了小括號，計算時，首先計算最內(nèi)層的括號，然后由里向外逐層計算，直到最外層的括號，然后加上常數(shù)項即可。開始開始輸入a1,a2,a3,a4,a5,x0n=1,v=v5n≤6?v=v×x0+a5－nn=n+1輸出v結(jié)束3．排序（1）直接插入排序插入排序的思想就是讀一個，排一個。將數(shù)組的第１個數(shù)據(jù)放入數(shù)組的第１個位置，以后讀入的數(shù)據(jù)與已存入數(shù)組的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，確定它按從大到?。◤男〉酱螅┑呐帕兄信旁谡_的位置。將該位置以及以后的元素向后推移一個位置，將讀入的新數(shù)填到空出的位置即可。（2）冒泡排序以從大到小為例：依次比較相鄰的兩個數(shù),把大的放前面,小的放后面。即首先比較第1個數(shù)和第2個數(shù),大數(shù)放前,小數(shù)放后；然后比較完成第2個數(shù)和第3個數(shù)；......；直到比較完了最后兩個數(shù)。第一趟排序結(jié)束,最小的一定沉到最后。重復(fù)上過程,仍從第1個數(shù)開始,到最后第2個數(shù)......由于在排序過程中總是大數(shù)往前,小數(shù)往后,相當(dāng)氣泡上升,所以叫冒泡排序。4．進(jìn)位值我們常見的數(shù)字都是十進(jìn)制數(shù),比如一般的數(shù)值計算，但是并不是生活中的每一種數(shù)字都是十進(jìn)制的。比如時間和角度的單位是六十進(jìn)制,電子計算機(jī)的指令用的是二進(jìn)制，早先的計算機(jī)的用的是十六進(jìn)制的。普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書—數(shù)學(xué)[人教版]高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案（講座19）—用樣本估計總體及線性相關(guān)關(guān)系一．課標(biāo)要求：1．用樣本估計總體①通過實例體會分布的意義和作用，在表示樣本數(shù)據(jù)的過程中，學(xué)會列頻率分布表、畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會他們各自的特點；②通過實例理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，學(xué)會計算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差；③能根據(jù)實際問題的需求合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差），并作出合理的解釋；④在解決統(tǒng)計問題的過程中，進(jìn)一步體會用樣本估計總體的思想，會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征；初步體會樣本頻率分布和數(shù)字特征的隨機(jī)性；⑤會用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想，解決一些簡單的實際問題；能通過對數(shù)據(jù)的分析為合理的決策提供一些依據(jù)，認(rèn)識統(tǒng)計的作用，體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異；⑥形成對數(shù)據(jù)處理過程進(jìn)行初步評價的意識。2．變量的相關(guān)性①通過收集現(xiàn)實問題中兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點圖，并利用散點圖直觀認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系；②經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個變量線性相關(guān)的過程。知道最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程。二．命題走向“統(tǒng)計”是在初中“統(tǒng)計初步”基礎(chǔ)上的深化和擴(kuò)展，本講主要會用樣本的頻率分布估計總體的分布，并會用樣本的特征來估計總體的分布。預(yù)測2007年高考對本講的考察是：1．以基本題目（中、低檔題）為主，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，以實際問題為背景，綜合考察學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識、應(yīng)用基礎(chǔ)知識、解決實際問題的能力；2．熱點問題是頻率分布直方圖和用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征。三．要點精講1．用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征（1）眾數(shù)、中位數(shù)在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；將一組數(shù)據(jù)按照從大到小（或從小到大）排列，處在中間位置上的一個數(shù)據(jù)（或中間兩位數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（2）平均數(shù)與方差如果這n個數(shù)據(jù)是，那么叫做這n個數(shù)據(jù)平均數(shù)；如果這n個數(shù)據(jù)是，那么叫做這n個數(shù)據(jù)方差；同時叫做這n個數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。2．頻率分布直方圖、折線圖與莖葉圖樣本中所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻率和樣本容量的比，就是該數(shù)據(jù)的頻率。所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻率的分布變化規(guī)律叫做頻率分布，可以用頻率分布直方圖、折線圖、莖葉圖來表示。頻率分布直方圖：具體做法如下：（1）求極差（即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差）；（2）決定組距與組數(shù)；（3）將數(shù)據(jù)分組；（4）列頻率分布表；（5）畫頻率分布直方圖。注：頻率分布直方圖中小正方形的面積=組距×=頻率。折線圖：連接頻率分布直方圖中小長方形上端中點，就得到頻率分布折線圖。總體密度曲線：當(dāng)樣本容量足夠大，分組越多，折線越接近于一條光滑的曲線，此光滑曲線為總體密度曲線。3．線性回歸回歸分析：對于兩個變量，當(dāng)自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系或回歸關(guān)系?；貧w直線方程：設(shè)x與y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量，且相應(yīng)于n個觀測值的n個點大致分布在某一條直線的附近，就可以認(rèn)為y對x的回歸函數(shù)的類型為直線型：。其中，。我們稱這個方程為y對x的回歸直線方程。四．典例解析題型1：數(shù)字特征例1．為了檢查一批手榴彈的殺傷半徑，抽取了其中20顆做試驗，得到這20顆手榴彈的殺傷半徑，并列表如下：(1)在這個問題中，總體、個體、樣本和樣本容量各是什么？(2)求出這20顆手榴彈的殺傷半徑的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，并估計這批手榴彈的平均殺傷半徑．解析：(1)總體是要檢查的這批手榴彈的殺傷半徑的全體；個體是每一顆手榴彈的殺傷半徑；樣本是所抽取的20顆手榴彈的殺傷半徑；樣本容量是20。(2)在20個數(shù)據(jù)中，10出現(xiàn)了6次，次數(shù)最多，所以眾數(shù)是10（米）。20個數(shù)據(jù)從小到大排列，第10個和第11個數(shù)據(jù)是最中間的兩個數(shù)，分別為9（米）和10（米），所以中位數(shù)是（9+10）=9.5（米）。樣本平均數(shù)（米）所以，估計這批手榴彈的平均殺傷半徑約為9.4米。點評：(1)根據(jù)總體、個體、樣本、樣本容量的概念答題．要注意：總體、個體和樣本所說的考察對象是一種數(shù)量指標(biāo)，不能說成考察的對象是手榴彈，而應(yīng)說是手榴彈的殺傷半徑。(2)讀懂表格的意義，利用概念求眾數(shù)、中位數(shù)，用樣本平均數(shù)估計這批手榴彈的平均殺傷半徑．另外在這里要會簡便計算有多個重復(fù)數(shù)據(jù)的樣本的平均數(shù)。例2．為估計一次性木質(zhì)筷子的用量，1999年從某縣共600家高、中、低檔飯店抽取10家作樣本，這些飯店每天消耗的一次性筷子盒數(shù)分別為：0.63.72.21.52.81.71.22.13.21.0(1)通過對樣本的計算，估計該縣1999年消耗了多少盒一次性筷子（每年按350個營業(yè)日計算）；(2)2001年又對該縣一次性木質(zhì)筷子的用量以同樣的方式作了抽樣調(diào)查，調(diào)查的結(jié)果是10個樣本飯店，每個飯店平均每天使用一次性筷子2.42盒．求該縣2000年、2001年這兩年一次性木質(zhì)筷子用量平均每年增長的百分率（2001年該縣飯店數(shù)、全年營業(yè)天數(shù)均與1999年相同）；(3)在(2)的條件下，若生產(chǎn)一套學(xué)生桌椅需木材0.07m3，求該縣2001年使用一次性筷子的木材可以生產(chǎn)多少套學(xué)生桌椅。計算中需用的有關(guān)數(shù)據(jù)為：每盒筷子100雙，每雙筷子的質(zhì)量為5g，所用木材的密度為0.5×103kg(4)假如讓你統(tǒng)計你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用統(tǒng)計知識去做，簡要地用文字表述出來。解析：(1)所以,該縣1999年消耗一次性筷子為2×600×350=420000（盒）。(2)設(shè)平均每年增長的百分率為X，則2（1+X）2=2.42,解得X1=0.1=10%，X2=－2.1（不合題意，舍去）。所以,平均每年增長的百分率為10%；(3)可以生產(chǎn)學(xué)生桌椅套數(shù)為（套）。(4)先抽取若干個縣（或市、州）作樣本，再分別從這些縣（或市、州）中抽取若干家飯店作樣本，統(tǒng)計一次性筷子的用量．點評：本題是一道統(tǒng)計綜合題，涉及的知識點很多，需要靈活運用各種知識分析解決問題．對于第(1)小題，可先求得樣本平均數(shù)，再利用樣本估計總體的思想來求得問題的解．對于第(2)小題，實際是一個增長率問題的應(yīng)用題，可通過設(shè)未知數(shù)列方程的方法來解．對于第(3)小題，用到了物理公式m＝ρv，體現(xiàn)了各學(xué)科知識之間的聯(lián)系，讓學(xué)生觸類旁通，在解決實際問題時能綜合運用多種知識靈活地解決問題．第(4)小題只要能夠運用隨機(jī)抽樣方法，能體會到用樣本估計總體的統(tǒng)計思想就可解決，在文字表述上要注意簡潔、明了、正確。題型2：數(shù)字特征的應(yīng)用例3．（2002年全國高考天津文科卷(15)）甲、乙兩種冬小麥試驗品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t/hm2）品種第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8其中產(chǎn)量比較穩(wěn)定的小麥品種是甲。解析：eq\o\ac(x,ˉ)甲=eq\o(\s\up5(1),\s\do3(5))(9.8+9.9+10.1+10+10.2)=10.0，eq\o\ac(x,ˉ)乙=eq\o(\s\up5(1),\s\do3(5))(9.4+10.3+10.8+9.7+9.8)=10.0；seq\o(\s\up5(2),\s\do3(甲))=eq\o(\s\up5(1),\s\do3(5))(9.82+…+10.22)–102=0.02，seq\o(\s\up5(2),\s\do3(甲))=eq\o(\s\up5(1),\s\do3(5))(9.42+…+9.82)–102=0.244>0.02。點評：方差與平均數(shù)在反映樣本的特征上一定要區(qū)分開。例4．（2005江蘇7）在一次歌手大獎賽上，七位評委為歌手打出的分?jǐn)?shù)如下：9.48.49.49.99.69.49.7去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為（A）9.4,0.484（B）9.4,0.016（C）9.5,0.04（D）9.5,0.016答案：D；解析：7個數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后，余下的5個數(shù)為：9.4,9.4,9.6,9.4,9.5。則平均數(shù)為：，即。方差為：即，故選D。點評：一定要根據(jù)實際的題意解決問題，并還原實際情景。題型3：頻率分布直方圖與條形圖例5．為檢測,某種產(chǎn)品的質(zhì)量,抽取了一個容量為30的樣本,檢測結(jié)果為一級品5件,而極品8件,三級品13件,次品14件.（1）列出樣本頻率分布表;（2）畫出表示樣本頻率分布的條形圖;（3）根據(jù)上述結(jié)果,估計辭呈商品為二極品或三極品的概率約是多少解析：(1)樣本的頻率分布表為產(chǎn)品頻數(shù)頻率一級晶50．17二級晶80．27三級晶130．43次品40．13(3)此種產(chǎn)品為二極品或三極品的概率約為0.27+0.43=0.7。點評：條形圖中縱坐標(biāo)一般是頻數(shù)或頻率。例6．（2006重慶理，6）為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為17.5歲－１８歲的男生體重(kg),得到頻率分布直方圖如下：根據(jù)上圖可得這100名學(xué)生中體重在〔56.5,64.5〕的學(xué)生人數(shù)是(A)20(B)30(C)40（D）50答案：C；解析：根據(jù)運算的算式：體重在〔56.5,64.5〕學(xué)生的累積頻率為2×0.03＋2×0.05＋2×0.05＋2×0.07=0.4，則體重在〔56.5,64.5〕學(xué)生的人數(shù)為0.4×100=40。點評：熟悉頻率、頻數(shù)、組距間的關(guān)系式。例7．某中學(xué)對高三年級進(jìn)行身高統(tǒng)計，測量隨機(jī)抽取的40名學(xué)生的身高，其結(jié)果如下（單位：cm）分組［140，145）［145，150）［150，155）［155，160）［160，165）［165，170）［170，175）［175，180）合計人數(shù)12591363140（1）列出頻率分布表；（2）畫出頻率分布直方圖；（3）估計數(shù)據(jù)落在［150，170］范圍內(nèi)的概率。解析：（1）根據(jù)題意可列出頻率分布表：分值頻數(shù)頻率［140，145］10.025［145，150］20.050［150，155］50.125［155，160］90.225［160，165］130.325［165，170］60.15［170，175］30.075［175，180］10.025合計401.00（2）頻率分布直方圖如下：（3）數(shù)據(jù)落在［150，170］范圍內(nèi)的概率約為0.825。題型4：莖葉圖例8．觀看下面兩名選手全壘打數(shù)據(jù)的莖葉圖，對他們的表現(xiàn)進(jìn)行比較。1961年揚基隊外壘手馬利斯打破了魯斯的一個賽季打出60個全壘打的記錄。下面是揚基隊的歷年比賽中的魯斯和馬利斯每年擊出的全壘打的比較圖：魯斯馬利斯0813465223685433997661149445061解析：魯斯的成績相對集中，穩(wěn)定在46左右；馬利斯成績相對發(fā)散，成績穩(wěn)定在26左右。題型5：線性回歸方程例9．由施肥量x與水稻產(chǎn)量y試驗數(shù)據(jù)的關(guān)系，畫出散點圖，并指明相關(guān)性。解析：散點圖為：通過圖象可知是正相關(guān)。例10．在某種產(chǎn)品表面進(jìn)行腐蝕線實驗，得到腐蝕深度y與腐蝕時間t之間對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)：時間t(s)5101520304050607090120深度y(m)610101316171923252946(1)畫出散點圖；(2)試求腐蝕深度y對時間t的回歸直線方程。略解：（1）散點圖略，呈直線形。（2）經(jīng)計算可得=46.36，=19.45，=36750，=5442，=13910。B==0.3.A=－b=19.45－035.542。故所求的回歸直線方程為=0.3t+5.542。題型6：創(chuàng)新題例11．把容量為100的某個樣本數(shù)據(jù)分為10組，并填寫頻率分布表，若前七組的累積頻率為0.79，而剩下三組的頻數(shù)成公比大于2的整數(shù)等比數(shù)列，則剩下三組中頻數(shù)最高的一組的頻數(shù)為___________.答案：16點評：已知前七組的累積頻率為0.79，而要研究后三組的問題，因此應(yīng)先求出后三組的頻率之和為1－0.79=0.21，進(jìn)而求出后三組的共有頻數(shù)，或者先求前七組共有頻數(shù)后，再計算后三組的共有頻數(shù)。由已知知前七組的累積頻數(shù)為0.79×1