專題07 全等三角形的判定和性質(zhì) 帶解析

2022-2023學(xué)年湘教版八年級數(shù)學(xué)下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題07全等三角形的判定和性質(zhì)姓名：___________班級：___________考號：___________評卷人得分一、選擇題(每題2分，共20分)1．(本題2分)（2022春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）某節(jié)數(shù)學(xué)課中，老師請同學(xué)自行證明等腰三角形一條性質(zhì)：等腰三角形的兩底角相等，下面三位同學(xué)的證明過程正確的有（

）個．小明：如圖1，已知AB＝AC，取BC的中點D，連接AD，可證明△ABD≌△ACD，則∠B＝∠C，性質(zhì)得證．小花：選取某一等腰三角形，通過折疊的方法，可以將兩底角重合，故兩底角相等，性質(zhì)得證．小帥：如圖2，分別過點B，C作AB，AC的垂線，垂足分別為點M，N，因為AB＝AC，而△ABC面積不變，所以CM＝BN，可證明Rt△BNC≌Rt△CMB，則∠ABC＝∠ACB，性質(zhì)得證．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【思路點撥】利用全等三角形的判定與性質(zhì)進行判斷即可．【規(guī)范解答】解：小明證明過程正確，利用SSS證明△ABD≌△ACD，可得結(jié)論；小明的證明過程正確，如圖1∵折疊，∴∠BAD=∠CAD，再利用SAS證明△BAD≌△CAD，可得∠B=∠C，小帥的證明過程正確，∵AB×CM=AC×BN，AB=AC，∴CM=BN，∵BC=BC，∴Rt△BNC≌Rt△CMB（HL），∴∠ABC=∠ACB，故選：D．【考點評析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．(本題2分)（2022·遼寧葫蘆島·八年級校考期中）如圖，CA⊥AB，垂足為點A，AB＝12米，AC＝6米，射線BM⊥AB，垂足為點B，動點E從A點出發(fā)以2米/秒沿射線AN運動，點D為射線BM上一動點，隨著E點運動而運動，且始終保持ED＝CB，當(dāng)點E經(jīng)過t秒時，由點D、E、B組成的三角形與△BCA全等．請問t有幾種情況？（）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【答案】D【思路點撥】首先分兩種情況：當(dāng)E在線段AB上和當(dāng)E在BN上，然后再分成兩種情況：AC＝BE和AB＝EB，分別進行計算，即可得出結(jié)果．【規(guī)范解答】解：①當(dāng)E在線段AB上，AC＝BE時，△ACB≌△BED，∵AC＝6米，∴BE＝6米，∴AE＝12﹣6＝6米，∴點E的運動時間為6÷2＝3（秒）；②當(dāng)E在BN上，AC＝BE時，△ACB≌△BED，∵AC＝6米，∴BE＝6米，∴AE＝12+6＝18米，∴點E的運動時間為18÷2＝9（秒）；③當(dāng)E在線段AB上，AB＝EB時，△ACB≌△BDE，這時E在A點未動，因此時間為0秒；④當(dāng)E在BN上，AB＝EB時，△ACB≌△BDE，∵AB＝12米，∴BE＝12米，∴AE＝12+12＝24米，∴點E的運動時間為24÷2＝12（秒），綜上所述t的值為：0，3，9，12．共4中情況．故選D．【考點評析】本題考查了全等三角形的綜合問題，解本題的關(guān)鍵在找到所有符合題意的情況．3．(本題2分)（2022·全國·八年級專題練習(xí)）在中，D，E分別是AC、BC上的點，過點D作，，垂足分別是點F，G，連接DE，若，，則下面三個結(jié)論：①；②；③．其中正確的是（

）A．①③ B．②③ C．①② D．①②③【答案】C【思路點撥】連接BD，根據(jù)垂直定義可得，再根據(jù)HL證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，即可判斷①，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，即可判斷②，最后根據(jù)，即可判斷③．【規(guī)范解答】連接BD，，，，，，，，故①正確；，，，，，，故②正確；，，，和不全等，故③不正確；所以，上面三個結(jié)論，其中正確的是①②，故選：C．【考點評析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．(本題2分)（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，在中，，，于點D，平分交于點E，交于點G，過點A作于點，交于點，下列結(jié)論：①；②；③；其中正確的有（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①③【答案】D【思路點撥】根據(jù)平分，,根據(jù)等角的余角相等，對頂角相等即可判斷①，證明，得出，由，則，即可判斷②，證明，得出，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出，，進而判斷④．【規(guī)范解答】解：∵平分，∴,∵，，∴，∴，又，∴，故①正確，∵在中，，，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴，由①可知，∴，∵，∴，故②不正確；∵，在與中，，∴，∴，∴，∵，∴,∴，∴，∵，∴，∴，故③正確，故選D．【考點評析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角內(nèi)角和定理與三角形外角的性質(zhì)，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．5．(本題2分)（2022秋·天津·八年級天津二十中?？计谥校┤鐖D，在中，，，為邊上的中線，于，交于，過點作的垂線交于．現(xiàn)有下列結(jié)論：①；②；③；④為中點．其中結(jié)論正確的為(

)A．①② B．②③ C．③④ D．①③【答案】D【思路點撥】①由條件可知，可得，再結(jié)合條件即可證明；②為邊上的中線，得到，則，求得；③，結(jié)合條件可證明，則有，可得；④由③可得，而，故F不可能為中點．【規(guī)范解答】解：∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，故①正確；∵為邊上的中線，∴，∵，∴，∴，∴，故②不正確；∵，且D為中點，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴，故③正確；∵，∴，在中，，∴，∴F不是的中點，故④不正確；綜上可知正確的有①③．故選：D．【考點評析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方（和）．6．(本題2分)（2021秋·陜西漢中·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在和中，，，，過A作，垂足為F，過A作，垂足為H，交的延長線于點G，連接．四邊形的面積為12，，則的長是(

)A．2 B．2.5 C．3 D．【答案】C【思路點撥】先證明得到，再證明，，得到，設(shè)，則根據(jù)四邊形的面積為12得到即可得到答案．【規(guī)范解答】解；∵，，，∴，∵，，∴，又∵，，∴，，∴，設(shè)，則，∵四邊形的面積為12，∴，∴，∴，∴，故選C．【考點評析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．7．(本題2分)（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，在四邊形中，，平分，，，，分別是，上的動點，當(dāng)取得最小值時，的長是（

）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【思路點撥】作點Q關(guān)于的對稱點，得到，進而得到，可知當(dāng)C、P、三點共線，且時，有最小值，再利用“”證明，得到，最后根據(jù)30度角所對的直角邊等于斜邊一半即可求出的長．【規(guī)范解答】解：作點Q關(guān)于的對稱點，，，當(dāng)C、P、三點共線，且時，有最小值，此時，在和中，，，，，，，，，故選C．【考點評析】本題考查了對稱軸—最短問題，垂線段最短，全等三角形的判定和性質(zhì)，30度角所對的直角邊等于斜邊一半，解題關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線．8．(本題2分)（2022秋·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）用三角尺可以畫角平分線：如圖所示，在已知的兩邊上分別取點，，使，再過點畫的垂線，過點畫的垂線，兩垂線交于點，畫射線．可以得到，所以．那么射線就是的平分線．的依據(jù)是（

）A．SAS B．ASA C．HL D．SSS【答案】C【思路點撥】根據(jù)作圖過程可以證明RtRt（HL），進而可得結(jié)論．【規(guī)范解答】∵，在Rt和Rt中，，∴RtRt（HL），∴，∴射線就是的平分線故選：C【考點評析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．9．(本題2分)（2023秋·山西大同·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在和中，，，，，三點在同一直線上，添加下列條件，不能判定的是（

）A． B． C． D．【答案】B【思路點撥】根據(jù)全等三角形的判定的方法，即可得到答案．【規(guī)范解答】解：，A、，滿足的條件，能證明，不符合題意；B、，不滿足證明三角形全等的條件，符合題意；C、，得到，滿足，能證明，不符合題意；D、，得到，滿足，能證明，不符合題意，故選：B．【考點評析】本題考查了全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握證明三角形全等的幾種方法：．10．(本題2分)（2022秋·河北邯鄲·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，，．則為（

）A． B． C． D．【答案】B【思路點撥】可過C作于E，因為，則可得，可過C作于E，依據(jù)題意可得，進而得到，得到，再利用等腰三角形的判定可得，即可求得．【規(guī)范解答】如圖，可過C作于E，可過C作于E．∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，且∴，∴，且∴，且，∴，∴，∴∴故選：B．【考點評析】本題主要考查了全等直角三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，能夠熟練運用其性質(zhì)進行解題是關(guān)鍵．評卷人得分二、填空題(每題2分，共20分)11．(本題2分)（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，在中，是高，，，在邊上取點，連接，，若，，則的長為___________．【答案】【思路點撥】過點作，交的延長線于，首先證明，再，得，，再根據(jù)高相等的兩個三角形面積比等于底之比解決問題．【規(guī)范解答】解：如圖，過點作，交的延長線于，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，，在和中，，∴，∴，，∵，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：．【考點評析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及三角形面積等知識．正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．12．(本題2分)（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，在中，，，，一條線段，，兩點分別在直線和的垂線上移動，點從點開始向左移動且移動的速度為，若以、、為頂點的三角形與以、、為頂點的三角形全等，則時間的值為_________.【答案】或【思路點撥】分情況討論：①，此時，可據(jù)此求出點的位置．②，此時，、重合．【規(guī)范解答】解：①當(dāng)時，，在與中，，，即時，，；②當(dāng)運動到與點重合時，即時，，在與中，，，即，，綜上所述，或．故答案為：或．【考點評析】本題考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性質(zhì)，由于本題沒有說明全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角，因此要分類討論，以免漏解．13．(本題2分)（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級校考期中）如圖，為內(nèi)一點，，連接，過點作于點，延長交于點F，，若，則線段的長是___________．【答案】【思路點撥】作于點，證明，進而證明，得出，根據(jù)已知條件設(shè)，則，根據(jù)建立方程，解方程即可求解．【規(guī)范解答】解：如圖所示，作于點，∴在中，∴∴，在中，，∴∴，∵，∴設(shè)，則∴，∵即解得：，∴故答案為：．【考點評析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，與三角形高相關(guān)的計算，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．14．(本題2分)（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，中，點為的中點，的平分線與的中垂線交于點，連接，過點分別作所在直線的垂線，垂足分別為，若，，則的長為_______．【答案】7.2【思路點撥】根據(jù)題意，連接AE、CE，利用DE垂直平分AC，BE平分∠MBC，推出Rt△AME≌Rt△CNE（HL），得出AM=CN，進而證明，通過等邊代換計算即可．【規(guī)范解答】連接AE、CE，如圖：∵DE垂直平分AC，∴AE=CE，AD=CD，又∵BE平分∠MBC，EM⊥BM，EN⊥BC，∴EM=EN，∠M=∠ENC=90°，∴Rt△AME≌Rt△CNE（HL），∴AM=CN=2，同理可證，，，，故答案為：7.2【考點評析】本題考查了HL判定直角三角形全等，三角形全等的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握HL判定直角三角形全等是解題的關(guān)鍵．15．(本題2分)（2022秋·河南洛陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于點H，連接CH，則∠CHE=_______．【答案】65°【思路點撥】先判斷出，再判斷出即可得到平分，即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】解：如圖，，，在和中，；過點作于，于，，，在和中，，，在與中，，平分；，，，，，，故答案為：．【考點評析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．16．(本題2分)（2022秋·全國·八年級期中）如圖，ABC中，AC=BC，且點D在ABC外，D在AC的垂直平分線上，連接BD，若∠DBC=30°∠ACD=13°，則∠A=_________°【答案】73【思路點撥】過作，交的延長線于，過作于，證明和，得，求出的度數(shù)，則根據(jù)等腰三角形的內(nèi)角和，可求出的度數(shù)．【規(guī)范解答】解：如圖，過作，交的延長線于，過作于，點在的垂直平分線上，是的垂直平分線，，，，在中，，，，在和中，，，，，，，又，，故答案為：73．【考點評析】本題考查了三角形的全等，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和含角直角三角形的性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．(本題2分)（2020秋·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖，為的角平分線，且，為延長線上一點，，過作于，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的序號是_________．【答案】①②④【思路點撥】根據(jù)易證，可得，可得①正確，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得，即②正確，先判斷出，得出，進而判斷出，即可判斷出④正確．【規(guī)范解答】解：①為的角平分線，，又，，，，，即①正確；②在中，，，在中，，，，，，，，，為等腰三角形，，，，，即②正確；③根據(jù)已知條件，可得不一定成立，故③錯誤；④如圖，過作于點，是上的點，，在和中，，，，在和中，，，，，即④正確．故答案為：①②④．【考點評析】本題考查了全等三角形的判定，全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中熟練求證三角形全等和熟練運用全等三角形對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．(本題2分)（2022秋·青海西寧·八年級青海師大附中?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，過A作AEBC，且AE＝AB，AB上有一點F，連接EF．若EF＝AC，CD＝4BD，則＝_____．【答案】【思路點撥】在CD上取一點G，使GD=BD，連接AG，作EH⊥AB交BA的延長線于點H，先證明△AEH≌△GAD，得EH=AD，AH=GD，再證明Rt△EHF≌Rt△ADC，得FH=CD，于是得AF=GC，則，得S△AEF=S△GAC，設(shè)GD=BD=m，則CD=4BD=4m，所以CG=4m-m=3m，BC=4m+m=5m，則，，得，于是得到問題的答案．【規(guī)范解答】解：如圖，在CD上取一點G，使GD=BD，連接AG，作EH⊥AB交BA的延長線于點H，∵AD⊥BC于點D，∴AG=AB，∠H=∠ADG=90°∴∠AGD=∠B，∵AE//BC，∴∠EAH=∠B，∴∠EAH=∠AGD，∵AE=AB，∴AE=AG，在△AEH和△GAD中，，∴△AEH≌△GAD（AAS），∴EH=AD，AH=GD，在Rt△EHF和Rt△ADC中，，∴Rt△EHF≌Rt△ADC（HL），∴FH=CD，∴FH-AH=CD-GD，∴AF=GC，∴，∴S△AEF=S△GAC，設(shè)GD=BD=m，則CD=4BD=4m，∴CG=4m-m=3m，BC=4m+m=5m，∴，∴，故答案為：．【考點評析】此題考查平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、有關(guān)面積比問題的求解等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．19．(本題2分)（2021春·貴州貴陽·八年級貴陽市第十七中學(xué)?？计谥校┤鐖D，為等腰三角形，，，為的中點，點在上，，是等腰腰上的一點，若是以為腰的等腰三角形，則的大小為______．【答案】或或或【思路點撥】根據(jù)題意，分為點P在上和點P在上兩種情況，根據(jù)等腰三角形的定義，點P在上有兩種情況，點P在有兩種情況，一共四種情況，進行分類討論，即可求解．【規(guī)范解答】解：①當(dāng)點P在上，時，∵，，∵，∵，∴，∴；②當(dāng)點P在上，時，∵，，∵，∵，∴，∴；③當(dāng)點P在上，時，連接，過點D作于點M，于點N，∵，，∵，∵，∴，∴，

∵為的中點，，∴平分，∵，，∴，在和中，，∴，∴，在四邊形中，，∴，④當(dāng)點P在上，時，由③可得，，∴，故答案為：或或或．【考點評析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角定理，解題的關(guān)鍵是掌握“等邊對等角”，三角形的一個外角等于于它不相鄰的兩個內(nèi)角之和，三角形的內(nèi)角和為．20．(本題2分)（2022秋·湖北武漢·八年級校考期末）如圖，為的平分線，為上一點，且于點，，給出下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤四邊形的面積是面積的2倍，其中結(jié)論正確的個數(shù)有___________．【答案】3【思路點撥】過點作，垂足為點．證明、，最后利用全等三角形的性質(zhì)即可解答．【規(guī)范解答】解：過點作，垂足為點．∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，且，∴，∴，∵，∴故①錯誤，在△PAK和△PCD中，，∴△PAK≌△PCD（ASA），∴AK＝CD，PA＝PC，故②正確，∵∴，∵，∴，故③正確，∵，∴，∴．故④正確．故答案為3．【考點評析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識，正確添加常用輔助線、構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．評卷人得分三、解答題(共60分)21．(本題6分)（2022秋·四川瀘州·八年級校考期中）在中，，點是延長線上一點，點是線段上一點，連接．，．(1)求證：；(2)平分交于點，點是線段延長線上一點，連接，點是線段上一點，連接交于點，連接．①求的度數(shù)；②當(dāng)平分時，求證：＋．【答案】(1)見解析(2)①；②見解析【思路點撥】（1）證明即可得證；（2）①根據(jù)平分交于點，得出，根據(jù)對頂角相等得出，進而即可求解；②作平分交于點，證明，，即可得證．【規(guī)范解答】（1）證明：在和中，，（），；（2）①∵平分交于點，，，，，②證明：如圖：作平分交于點，平分，平分，，，，，在和中，，（），，，在和中，，（），，，．【考點評析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的性質(zhì)與判定．22．(本題6分)（2022秋·河北邢臺·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖1，在中，，作的垂直平分線，交于點，交于點．(1)當(dāng)時，直接寫出線段與的大小關(guān)系：______．(填“”、“”或“”)(2)若為任意銳角，則線段與的大小關(guān)系是(填“”、“”或“”)，請說明理由；由此得出結(jié)論：直角三角形一條直角邊的垂直平分線交斜邊于一點，這點到三個頂點之間的距離；(3)如圖2，是的邊上的一個動點，于點，于點，與交于點．當(dāng)點運動到某處時，與正好垂直，此時平分嗎？請說明理由．【答案】(1)(2)，理由見解析；相等(3)平分，理由見解析【思路點撥】（1）證明＝，＝，可得結(jié)論；（2）①同（1）的方法可得結(jié)論；（3）作的垂直平分線交于點，連接，．利用（2）的結(jié)論，以及全等三角形的性質(zhì)證明即可．【規(guī)范解答】（1），理由：垂直平分，，．，，，，．故答案為：．（2）理由：垂直平分，，．，，，，．②直角三角形一條直角邊的垂直平分線交斜邊于一點，這點到三個頂點之間的距離相等．故答案為：相等．（3）平分．理由：如圖，作的垂直平分線交于點，連接，．，，和都是直角三角形．由(2)中所證可知．作線段的垂直平分線也必經(jīng)過的中點，．又，．，，，又∵，，，即平分．【考點評析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)直角三角形一條直角邊的垂直平分線交斜邊于一點，這點到三個頂點之間的距離相等解決問題是解題的關(guān)鍵．23．(本題8分)（2023秋·重慶綦江·八年級統(tǒng)考期末）綜合與探究：如圖，在和中，，，，的延長線交于點．(1)求證：．(2)若，求的度數(shù)．(3)過點作于點，請?zhí)骄?、、三條線段的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見解析(2)(3)，證明見解析【思路點撥】（1）可利用證明結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，結(jié)合平角的定義可得，根據(jù)，可求得，即可求解；（3）連接，過點A作于點J．結(jié)合全等三角形的性質(zhì)利用證明，可得，，進而可證明結(jié)論．【規(guī)范解答】（1）證明：．．在和中，，；（2）解：，，．，，；（3）結(jié)論：證明：如圖，連接，過點作于點．，，，，．，．在和中，，，．在和中，，，，．【考點評析】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．24．(本題8分)（2022秋·山東日照·八年級校考期末）如圖：，，，為和的交點．(1)求證：(2)連接，求證：平分．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【思路點撥】（1）先證明，再證明，即可作答；（2）過A點作于N點，過A點作于M點，根據(jù)（1）的結(jié)論可得，，即有，進而可得，再證明，即有，問題得解．【規(guī)范解答】（1）∵，∴，∴，又∵，，∴，∴；（2）過A點作于N點，過A點作于M點，如圖，在（1）已證明，，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，∵，，∴和是直角三角形，∴在和中，∴，∴，∴平分．【考點評析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的基礎(chǔ)，通過證明出，是解答本題的關(guān)鍵．25．(本題8分)（2022秋·天津東麗·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，點D在BC上點E是AC延長線上一點，且(1)求證：(2)若，求的度數(shù)【答案】(1)證明見解析；(2)【思路點撥】（1）根據(jù)“”證明；（2）由，求出，再求出，即可求解．【規(guī)范解答】（1）∵在與中∴（2）∵∴∵，∴∴∴∴【考點評析】本題考查直角三角形證明全等，全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題目的條件，求出相應(yīng)角的度數(shù)．26．(本題8分)（2022秋·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期中）（1）如圖1，在ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC邊上的中線，延長AD到點E使DE＝AD，連接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三邊關(guān)系可得AD的取值范圍是；（2）如圖2，在ABC中，AD是BC邊上的中線，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且DE⊥DF，求證：BE＋CF＞EF；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠A為鈍角，∠C為銳角，∠B＋∠ADC＝180°，DA＝DC，點E，F(xiàn)分別在BC，AB上，且∠EDF＝∠ADC，連接EF，試探索線段AF，EF，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】（1）1＜AD＜5；（2）見解析；（3）AF+EC=EF，見解析【思路點撥】（1）證明，推出CE=AB=4，在中，利用三角形的三邊關(guān)系解決問題即可．（2）如圖2中，延長ED到H，使得DH=DE，連接DH，F(xiàn)H．證明，推出BE=CH，再證明EF=FH，利用三角形的三邊關(guān)系即可解決問題．（3）結(jié)論：AF+EC=EF．延長BC到H，使得CH=AF．提供兩次全等證明AF=CE，EF=EH即可解決問題．【規(guī)范解答】（1）∵CD=BD，AD=DE，∠CDE=∠ADB，∴(SAS)，∴EC=AB=4，∵6﹣4＜AE＜6+4，∴2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，故答案為：1＜AD＜5；（2）如圖2中，延長ED到H，使得DH=DE，連接DH，F(xiàn)H．∵BD=DC，∠BDE=∠CDH，DE=DH，∴(SAS)，∴BE=CH，∵FD⊥EH，又DE=DH，∴EF=FH，在△CFH中，CH+CF＞FH，∵CH=BE，F(xiàn)H=EF，∴BE+CF＞EF；（3）結(jié)論：AF+EC=EF．理由：延長BC到H，使得CH=AF．∵∠B+∠ADC=180°，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCH+∠BCD=180°，∴∠A=∠DCH，∵AF=CH，AD=CD，∴(SAS)，∴DF=DH，∠ADF=∠CDH，∴∠ADC=∠FDH，∵∠EDF=∠ADC，∴∠EDF=∠FDH，∴∠EDF=∠EDH，∵DE=DE，∴(SAS)，∴EF=EH，∵EH=EC+CH=EC+AF，∴EF=AF+EC．【考點評析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中線的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會倍長中線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．27．(本題8分)（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）在等邊的兩邊所在直線上分別有兩點為外一點，且，，．探究：當(dāng)分別在直線上移動時，之間的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖，當(dāng)點