專題05 全等模型-對角互補(bǔ)模型

專題05全等模型-對角互補(bǔ)模型全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就對角互補(bǔ)模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。對角互補(bǔ)模型概念：對角互補(bǔ)模型特指四邊形中，存在一對對角互補(bǔ)，而且有一組鄰邊相等的幾何模型。思想方法：解決此類問題常用的輔助線畫法主要有兩種：①過頂點(diǎn)做雙垂線，構(gòu)造全等三角形；②進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的構(gòu)造，構(gòu)造手拉手全等。常見的對角互補(bǔ)模型含90°-90°對角互補(bǔ)模型、120°-60°對角互補(bǔ)模型、2α-（180°-2α）對角互補(bǔ)模型。模型1、旋轉(zhuǎn)中的對角互補(bǔ)模型（90°--全等型）1）“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（異側(cè)型）條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②.2）“斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（同側(cè)型）條件：如圖，已知∠DCE的一邊與AO的延長線交于點(diǎn)D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②.例1.（2022·綿陽市·八年級期中）如圖，正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別是AB，BC上的點(diǎn)，連接EF．若AE＝4，CF＝3，OE⊥OF，求EF的長．例2.如圖，，，，，垂足為．（1）求證：；（2）求的度數(shù)；（3）求證：．例3、在中，，，將一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊的中點(diǎn)處，將此三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線、于點(diǎn)、點(diǎn)，圖①，②，③是旋轉(zhuǎn)得到的三種圖形．（1）觀察線段和之間有怎樣的大小關(guān)系？并以圖②為例，并加以證明；（2）觀察線段、和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并以圖③為例，并加以證明；例4．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)．（1）如圖1，E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，且BE＝AF、求證：△DEF是等腰直角三角形經(jīng)過分析已知條件AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)．容易聯(lián)想等腰三角形三線合一的性質(zhì)，因此，連結(jié)AD（如圖2），以下是某同學(xué)由已知條件開始，逐步按層次推出結(jié)論的流程圖．請幫助該同學(xué)補(bǔ)充完整流程圖．補(bǔ)全流程圖：①，②∠EDF＝（2）如果E、F分別為AB、CA延長線上的點(diǎn)，仍有BE＝AF，其他條件不變，試猜想△DEF是否仍為等腰直角三角形？請?jiān)趥溆脠D中補(bǔ)全圖形、先作出判斷，然后給予證明．模型2、旋轉(zhuǎn)中的對角互補(bǔ)模型（60°或120°--全等型）1）“等邊三角形對120°模型”（1）條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC2）“等邊三角形對120°模型”（2）條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一邊與BO的延長線交于點(diǎn)D，結(jié)論：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，.例1．已知OP平分∠AOB，∠DCE的頂點(diǎn)C在射線OP上，射線CD交射線OA于點(diǎn)F，射線CE交射線OB于點(diǎn)G．（1）如圖1，若CD⊥OA，CE⊥OB，請直接寫出線段CF與CG的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，若∠AOB=120o，∠DCE=∠AOC，試判斷線段CF與CG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．例2．如圖，已知∠DCE與∠AOB，OC平分∠AOB．（1）如圖1，∠DCE與∠AOB的兩邊分別相交于點(diǎn)D、E，∠AOB＝∠DCE＝90°，試判斷線段CD與CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．以下是小宇同學(xué)給出如下正確的解法：解：CD＝CE．理由如下：如圖1，過點(diǎn)C作CF⊥OC，交OB于點(diǎn)F，則∠OCF＝90°，…請根據(jù)小宇同學(xué)的證明思路，寫出該證明的剩余部分．（2）你有與小宇不同的思考方法嗎？請寫出你的證明過程．（3）若∠AOB＝120°，∠DCE＝60°．①如圖3，∠DCE與∠AOB的兩邊分別相交于點(diǎn)D、E時(shí)，（1）中的結(jié)論成立嗎？為什么？線段OD、OE、OC有什么數(shù)量關(guān)系？說明理由．②如圖4，∠DCE的一邊與AO的延長線相交時(shí)，請回答（1）中的結(jié)論是否成立，并請直接寫出線段OD、OE、OC有什么數(shù)量關(guān)系；如圖5，∠DCE的一邊與BO的延長線相交時(shí)，請回答（1）中的結(jié)論是否成立，并請直接寫出線段OD、OE、OC有什么數(shù)量關(guān)系．例3．（2023·山東·九年級專題練習(xí)）如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，∠EDF=120°，把∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使∠EDF的兩邊分別與線段AB、AC交于點(diǎn)E、F．（1）當(dāng)DF⊥AC時(shí)，求證：BE=CF；（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，BE+CF是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請說明理由例4．四邊形是由等邊和頂角為的等腰排成，將一個(gè)角頂點(diǎn)放在處，將角繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，該交兩邊分別交直線、于、，交直線于、兩點(diǎn)．（1）當(dāng)、都在線段上時(shí)（如圖1），請證明：；（2）當(dāng)點(diǎn)在邊的延長線上時(shí)（如圖2），請你寫出線段，和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在（1）的條件下，若，，請直接寫出的長為．模型3、旋轉(zhuǎn)中的對角互補(bǔ)模型（2α或180°-2α--全等型）1）“2α對180°-2α模型”條件：四邊形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=180°結(jié)論：OP平分∠AOB注意：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三個(gè)條件可知二推一。2）“蝴蝶型對角互補(bǔ)模型”條件：AP=BP,∠AOB=∠APB結(jié)論：OP平分∠AOB的外角。例1．（2023秋·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，BN為∠MBC的平分線，P為BN上一點(diǎn)，且PD⊥BC于點(diǎn)D，∠APC+∠ABC＝180°，給出下列結(jié)論：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四邊形BAPC的面積是△PBD面積的2倍，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)例2.（2023·浙江金華·校考三模）如圖，點(diǎn)P為定角∠AOB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且∠MPN與∠AOB互補(bǔ)，若∠MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM﹣ON的值不變；（3）△OMN的周長不變；（4）四邊形PMON的面積不變，其中正確的序號為_____．例3.（2022·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，已知四邊形的對角互補(bǔ)，且，，．過頂點(diǎn)C作于E，則的值為（

）A． B．9 C．6 D．7．2例4.如圖，四邊形ABCD中，∠ABC+∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD．試說明：（1）△CBE≌△CDF；（2）AB+DF＝AF．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．如圖，為等邊三角形，以為邊向外作，使，再以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心把旋轉(zhuǎn)到，則給出下列結(jié)論：①D，A，E三點(diǎn)共線；②平分；③；④．其中正確的有（

）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2023·廣東·八年級專題練習(xí)）如圖所示，為等邊三角形，邊長為4，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，，其兩邊分別交和的延長線于，，求的值.3．（2023·廣西·八年級專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求證：∠A+∠C=180°．4．五邊形ABCDE中，，，，求證：AD平分∠CDE．5．（2023?西城區(qū)校級期中）已知，如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，試說明AD＝DC．6. 在等邊△ABC中，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，∠EDF＝120o，射線DE與線段AB相交于點(diǎn)E，射線DF與線段AC（或AC的延長線）相交于點(diǎn)F.（1）如圖1，若DF⊥AC，直接寫出DE與AB的位置關(guān)系；（2）如圖2，將（1）中的∠EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，DF仍與線段AC相交于點(diǎn)F，求證：DE＝DF；（3）在∠EDF繞D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，直接用等式表示線段BE、CF、AB之間的數(shù)量關(guān)系.7. 如圖，在正方形ABCD中，AC是對角線，今有較大的直角三角板，一邊始終經(jīng)過點(diǎn)B，直角頂點(diǎn)P在射線AC上移動，另一邊交DC于Q.（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)Q在DC邊上，猜想并寫出PB與PQ所滿足的數(shù)量關(guān)系，并加以說明；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q落在DC延長線上時(shí)，猜想并寫出PB與PQ滿足的數(shù)量關(guān)系，請證明你的猜想.8. 如圖所示，一副三角板按如圖放置，等腰直角三角形固定不動，另一個(gè)的直角頂點(diǎn)放在等腰三角形的斜邊中點(diǎn)D處，且可以繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，兩直角邊與AB、CB的交點(diǎn)為點(diǎn)G、H.（1）當(dāng)三角板DEF旋轉(zhuǎn)至圖1所示時(shí)，探究BG與CH的大小關(guān)系，并說明理由；（2）若在旋轉(zhuǎn)過程中，兩直角邊的交點(diǎn)G、H始終在邊AB、BC上，AB＝BC＝4，在旋轉(zhuǎn)過程中四邊形GBHD的面積是否不變，若不變，求出它的值，若改變，求出它的取值范圍；（3）當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)至如圖2所示時(shí)，三角板DEF與AB、BC邊所在的直線相交于點(diǎn)G、H時(shí)，（1）中的結(jié)論仍成立嗎？并說明理由.9.如圖1，在正方形ABCD中，P是對角線BD上的點(diǎn)，點(diǎn)E在AB上，且PA＝PE．（1）求證：PC＝PE；（2）求∠CPE的度數(shù)；（3）如圖2，把正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，試探究∠CPE與∠ABC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．10．（2022·湖北武漢·八年級?？计谀┮阎谒倪呅沃?，，.(1)如圖1．連接，若，求證：.(2)如圖2，點(diǎn)分別在線段上，滿足，求證：;(3)若點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)在的延長線上，如圖3所示，仍然滿足，請寫出與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過程．11．（2023·山東青島·八年級統(tǒng)考期中）[問題]如圖①，點(diǎn)是的角平分線上一點(diǎn)，連接，，若與互補(bǔ)，則線段與有什么數(shù)量關(guān)系？[探究]探究一：如圖②，若，則，即，，又因?yàn)槠椒?，所以，理由是：_______．探究二：若，請借助圖①，探究與的數(shù)量關(guān)系并說明理由．[結(jié)論]點(diǎn)是的角平分線上一點(diǎn)，連接，，若與互補(bǔ)，則線段與的數(shù)量關(guān)系是______．[拓展]已知：如圖③，在中，，，平分．求證：．

12．問題：如圖(1)，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．【發(fā)現(xiàn)證明】小聰把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD,請你利用圖（1）證明上述結(jié)論．【類比引申】如圖(2)，四邊形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上,則當(dāng)∠EAF與∠BAD滿足關(guān)系時(shí)，仍有EF=BE+FD．【探究應(yīng)用】如圖(3)，在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分別有景點(diǎn)E、F，且AE⊥AD，DF=40（﹣1）米，現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路，求這條道路EF的長（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：=1.41，=1.73）13、在等邊中，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在延長線上，點(diǎn)E在射線上，．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，則與的數(shù)量關(guān)系是_________；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請結(jié)合圖2說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在的延長線上時(shí)，，請直接寫出的長．14、已知：如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，∠DOE＝120°，∠DOE繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，角的兩邊與AB相交于點(diǎn)D，與AC相交于點(diǎn)E．(1)若OD，OE都在BC的上方，如圖1，求證：OD＝OE．(2)在圖1中，BD，CE與BC的數(shù)量關(guān)系是．(3)若點(diǎn)D在AB的延長線上，點(diǎn)E在線段AC上，如圖2，直接寫出BD，CE與BC的數(shù)量關(guān)系是．15.如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，且與點(diǎn)B，C不重合，連接AD．作以∠FAD為直角的等腰直角△ADF．(1)若AB＝AC，∠BAC＝90°①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，試探討CF與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，如圖2，①中的結(jié)論是否仍然成立，請說明理由；(2)若AB≠AC，∠BAC≠90°，點(diǎn)D在線段BC．上，且CF⊥BD時(shí)，如圖3，試求∠BCA的度數(shù)．16．已知點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，連接AD，BD，CD，．(1)【特例體驗(yàn)】如圖1，AB＝BC，α＝60°，則∠ADB的度數(shù)為；(2)【類比探究】如圖2，AB＝BC，求證：∠ADB＝∠BDC；(3)【拓展遷移】如圖3，α＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于點(diǎn)E，AC＝kDE，直接寫出的值（用k的代數(shù)式表示）．17．（2022山西省呂梁市八年級期末）如圖，已知與，平分．

(1)如圖1，與的兩邊分別相交于