專項(xiàng)08 特殊平行四邊形的解題技巧

專項(xiàng)08特殊平行四邊形的解題技巧技巧一在菱形中巧添對角線轉(zhuǎn)化為三角形問題解讀(1)在菱形中，通過連結(jié)一條對角線，可得到兩個等腰三角形，再借助等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)可求解；(2)在菱形中，連結(jié)兩條對角線，根據(jù)菱形對角線互相垂直平分，得到直角三角形，再借助勾股定理求解；(3)特殊情形：含60°角的菱形，可通過連結(jié)對角線，構(gòu)造等邊三角形求解.1.如圖，菱形ABCD的邊長為13，對角線AC=24，點(diǎn)E、F分別是邊CD、BC的中點(diǎn)，連結(jié)EF并延長與AB的延長線相交于點(diǎn)G，求EG的長.2.如圖，在菱形ABCD中，AC是對角線，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD的中點(diǎn)，連結(jié)EF，交AC于點(diǎn)G.(1)求證：EF⊥AC；(2)若∠DAC=30°，AB=2，求EF的長.3.在菱形ABCD中，P、Q分別是邊BC、CD的中點(diǎn)，連結(jié)AP、AQ.(1)如圖1，求證：AP=AQ；(2)如圖2，連結(jié)PQ，若AP⊥BC，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中所有等于30°的角. 圖1 圖2技巧二借助軸對稱求最值解讀在正方形中，要求兩條線段長度和的最小值，只需借助軸對稱，將兩線段長度和轉(zhuǎn)化為一條線段的長度求解.4.如圖，正方形ABCD的邊長為8，M在CD上，且DM=2，N是AC上的一個動點(diǎn)，則DN+MN的最小值為()A.6 B.8 C.10 D.825.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)在對角線AC上，AC=12，若點(diǎn)E，F(xiàn)是AC的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P在正方形ABCD的邊上從點(diǎn)A開始按逆時針方向運(yùn)動一周，直至返回點(diǎn)A，則在此過程中PE+PF的最小值為.

技巧三巧作垂直證明線段的和差關(guān)系解讀通過作垂線，將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題求解.6.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD，垂足為E.求證：AE+BE=AD.技巧四利用平移求解解讀根據(jù)平移的性質(zhì)，得出線段平行或相等，判定四邊形是平行四邊形，再利用特殊平行四邊形的判定求解.7.如圖，△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8.將△ABC沿射線BC方向平移10個單位長度，得到△DEF，A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別是D，E，F(xiàn)，連結(jié)AD.求證：四邊形ACFD是菱形.8.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，將△ABE沿BC方向平移，使點(diǎn)B落到點(diǎn)C處，點(diǎn)E落到點(diǎn)F處.(1)求證：四邊形AEFD是矩形；(2)若BF=8，DF=4，求AB的長.

專項(xiàng)08特殊平行四邊形的解題技巧答案全解全析1.解析如圖，連結(jié)BD交AC于O，∵點(diǎn)E、F分別是邊CD、BC的中點(diǎn)，∴EF是△BCD的中位線，∴EF=12BD，EF∥BD∵四邊形ABCD是菱形，∴AO=12AC=12，AC⊥BD，BD=2BO，CD∥AB，∴∠AOB=90°由勾股定理得，BO=AB2-AO∴BD=2BO=10，∵EF∥BD，DE∥BG，∴四邊形BDEG是平行四邊形，∴EG=BD=10.2.解析(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=AB，∠DAC=∠BAC，∵E為邊AB的中點(diǎn)，∴AE=12同理AF=12AD，∴AE=AF∵AE=AF，∠DAC=∠BAC，∴AC⊥EF.(2)如圖，連結(jié)BD，∵∠DAC=30°，四邊形ABCD是菱形，∴∠DAB=60°，AD=AB，∴△ABD是等邊三角形，∴BD=AB=2，∵E，F(xiàn)分別為邊AB，AD的中點(diǎn)，∴EF=123.解析(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D，∵P、Q分別是邊BC、CD的中點(diǎn)，∴BP=DQ，在△ABP和△ADQ中，AB=AD,∴△ABP≌△ADQ(SAS)，∴AP=AQ.(2)如圖，連結(jié)AC.∵BP=PC，AP⊥BC，∴AB=AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，∠B=∠D，∴AB=BC=AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠D=60°，∵∠APB=90°，∴∠BAP=30°，∵△ABP≌△ADQ，∴∠DAQ=∠BAP=30°，∵AB∥CD，∴∠PCQ=180°-∠B=120°，易知CP=CQ，∴∠CPQ=∠CQP=30°，∴∠BAP=∠DAQ=∠CPQ=∠CQP=30°.4.C如圖，連結(jié)BN，BM，∵四邊形ABCD是正方形，∴對角線AC所在直線是其一條對稱軸，∴BN=DN，∴DN+MN=BN+MN≥BM，∴DN+MN的最小值為BM的長，在Rt△BCM中，BC=8，CM=CD-DM=8-2=6，∴BM=BC2+CM即DN+MN的最小值為10.故選C.5.答案45解析∵點(diǎn)E，F(xiàn)是AC的三等分點(diǎn)，∴點(diǎn)P在正方形ABCD的任何一條邊上情況相同，不妨設(shè)點(diǎn)P在邊AD上，如圖，作點(diǎn)E關(guān)于AD的對稱點(diǎn)E'，連結(jié)E'F，交AD于點(diǎn)P，此時PE+PF的值最小.過點(diǎn)F作FO⊥E'E的延長線于點(diǎn)O，∵正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)將對角線AC三等分，且AC=12，∴AE=EF=FC=4，易知E'O∥AB，∴∠FEO=∠CAB=45°，∵FO⊥E'E，∴△OEF為等腰直角三角形，∴OE=OF=22，設(shè)EE'交AD于G，易證△OEF≌△GEA，∴GE=OE=GE'，∴E'O=62，根據(jù)勾股定理，得E'F=OF2+E'O2∴PE+PF的最小值為45.6.證明如圖，作CF⊥BE于F，∴∠BFC=∠CFE=90°.∵BE⊥AD，∴∠AEB=∠BED=90°.∴∠ABE+∠A=90°，又∵∠ABC=∠ABE+∠FBC=90°，∴∠A=∠FBC.又∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF(AAS)，∴BE=CF.在四邊形FEDC中，∠BED=∠CFE=∠CDE=90°，∴四邊形FEDC是矩形，∴CF=DE.又∵BE=CF，∴BE=DE.∵AD=AE+ED，∴AD=AE+BE.7.證明由平移變換的性質(zhì)，得AD∥CF，AD=CF=10，∴四邊形ACFD是平行四邊形.∵∠B=90°，AB=6，BC=8，∴AC=AB∴AC=CF，∴?ACFD是菱形.8.解析(1)證明：由平移的性質(zhì)得AE∥DF，AE=DF，∴四邊形AEFD是平行四