專(zhuān)項(xiàng)06 利用平行四邊形的性質(zhì)和判定解題

專(zhuān)項(xiàng)06利用平行四邊形的性質(zhì)和判定解題類(lèi)型一證明線段相等或平行1.(2023四川自貢中考)如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M，N分別在邊AB，CD上，且AM=CN.求證：DM=BN.2.如圖，BD是△ABC的中線，E是BD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線BF，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連結(jié)AF.求證：AF∥BD.類(lèi)型二證明垂直3.如圖，在?ABCD中，∠BAD的平分線恰好經(jīng)過(guò)邊CD的中點(diǎn)F，且與邊BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.(1)若AB=6，求BE的長(zhǎng)；(2)連結(jié)BF，求證：BF⊥AE.類(lèi)型三求角的度數(shù)4.(2023湖南長(zhǎng)沙市長(zhǎng)沙縣二模節(jié)選)如圖，在平行四邊形ABCD中，DE、BF分別平分∠ADC和∠CBA，分別交AB、CD于點(diǎn)E、F.若∠DAB=60°，求∠DFB的度數(shù).類(lèi)型四求線段的長(zhǎng)度5.如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在OB和OD上，且BE=DF.(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；(2)若∠AEB=90°，OE=3，且∠EAF=45°，求線段AC的長(zhǎng).6.如圖，在四邊形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，延長(zhǎng)DE、BF，分別交AB于點(diǎn)H，交CD于點(diǎn)G，AD∥BC，AE=CF.(1)求證：四邊形ABCD為平行四邊形；(2)若∠DAH=∠GBA，GF=2，CF=4，求AD的長(zhǎng).類(lèi)型五證明兩條線段互相平分7.(2023浙江紹興建功中學(xué)期中)如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，EF與BD相交于點(diǎn)O，AE=CF.求證：BD、EF互相平分.8.如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于點(diǎn)O.求證：AD與BE互相平分.

專(zhuān)項(xiàng)06利用平行四邊形的性質(zhì)和判定解題答案全解全析1.證明∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，∵AM=CN，∴AB-AM=CD-CN，即BM=DN，又∵BM∥DN，∴四邊形MBND是平行四邊形，∴DM=BN.2.證明∵AC∥BF，∴∠ECD=∠EFB，在△ECD和△EFB中，∠ECD=∠EFB,∴△ECD≌△EFB(AAS)，∴CD=BF，∵CD=AD，∴BF=AD，∵AD∥BF，∴四邊形AFBD為平行四邊形，∴AF∥BD.3.解析(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAF=∠E，∵AE是∠BAD的平分線，∴∠DAF=∠BAE，∴∠BAE=∠E，∴BE=AB=6，即BE的長(zhǎng)為6.(2)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAF=∠E，∵F是CD的中點(diǎn)，∴DF=CF，在△ADF和△ECF中，∠DAF=∠E,∴△ADF≌△ECF(AAS)，∴AF=EF，由(1)可知，BE=AB，∴BF⊥AE.4.解析∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ABC=180°-∠DAB=180°-60°=120°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=12∠ABC=60°∴∠DFB=180°-∠ABF=180°-60°=120°.5.解析(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，∵BE=DF，∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF，∴四邊形AECF是平行四邊形.(2)∵∠AEB=90°，∴∠AEF=90°，又∵∠EAF=45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∵OE=OF=3，∴EA=EF=2OE=6，在Rt△OAE中，AE=6，OE=3，∴OA=AE2+OE2=626.解析(1)證明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AED=∠CFB=90°，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠BCF，在△DAE和△BCF中，∠DEA=∠BFC=90°,∴△DAE≌△BCF(ASA)，∴AD=CB，∵AD∥BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形.(2)∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠DAH=∠BCG，AB∥CD，∴∠CGB=∠GBA，∵∠DAH=∠GBA，∴∠CGB=∠BCG，∴BG=BC，在Rt△CFB中，∵BF=BG-FG=BC-2，CF=4，BC2=BF2+CF2，∴BC2=(BC-2)2+42，∴BC=5.∴AD=BC=5.7.證明連結(jié)BE、DF，如圖所示，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC，又∵AE=CF，∴DE=BF，∴四邊形EBFD為平行四邊形，∴BD、EF互相平分.8.證明如圖，連結(jié)BD、AE，∵FB=CE，∴BC=EF，∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠