專(zhuān)項(xiàng)03 巧借中點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線

專(zhuān)項(xiàng)03巧借中點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線技巧一連接兩點(diǎn),構(gòu)造三角形1(2023廣西中考)如圖,在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中,E,F分別是BC,CD上的動(dòng)點(diǎn),M,N分別是EF,AF的中點(diǎn),則MN的最大值為.

技巧二連接兩點(diǎn),構(gòu)造中位線2.(2023江蘇揚(yáng)州月考)如圖,已知△ABC的中線BD、CE相交于點(diǎn)O,M、N分別為OB、OC的中點(diǎn).(1)求證:MD和NE互相平分;(2)若BD⊥AC,OC2=32,OD+CD=7,求△OBC的面積.技巧三取中點(diǎn),構(gòu)造三角形+中位線3.如圖,四邊形ABCD中,E,F分別是邊AB,CD的中點(diǎn),則AD,BC和EF之間的數(shù)量關(guān)系是()A.AD+BC>2EF B.AD+BC≥2EF C.AD+BC<2EF D.AD+BC≤2EF技巧四延長(zhǎng)線段證中點(diǎn),構(gòu)造中位線4.(2023湖北襄陽(yáng)樊城期中)如圖,△ABC中,AD是角平分線,AE是中線,CP⊥AD于P,AB=6,AC=4,則PE的長(zhǎng)為.

技巧五倍長(zhǎng)線段得中點(diǎn),構(gòu)造中位線5.如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC,△BEF為等腰直角三角形,∠BEF=90°,M為AF的中點(diǎn).求證:ME=12

專(zhuān)項(xiàng)03巧借中點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線答案全解全析1.答案8解析如圖所示,連接AE,∵M(jìn),N分別是EF,AF的中點(diǎn),∴MN是△AEF的中位線,∴MN=12∵四邊形ABCD是正方形,∴∠B=90°,∴AE2=AB2+BE2=4+BE2,∴當(dāng)BE最大時(shí),AE最大,此時(shí)MN最大,∵點(diǎn)E是BC上的動(dòng)點(diǎn),∴當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí),BE最大,即BC的長(zhǎng)度,∴此時(shí)AE2=4+22=8,∴AE最大=8,∴MN最大=12AE=12×8=822.解析(1)證明:連接ED、MN,如圖所示.∵BD、CE是△ABC的中線,∴E、D分別是AB、AC的中點(diǎn),∴ED∥BC,ED=12∵M(jìn)、N分別為OB、OC的中點(diǎn),∴MN∥BC,MN=12∴四邊形DEMN是平行四邊形,∴MD和NE互相平分.(2)∵BD⊥AC,∴∠BDC=90°,∴△ODC為直角三角形,∴OD2+CD2=OC2=32,∵OD+CD=7,∴(OD+CD)2=OD2+2OD·CD+CD2=49,∴2OD·CD=49-32=17,∴OD·CD=172∴S△OCD=12OD·CD=17∴S△OBC=2S△ODC=1723.B連接AC,取AC的中點(diǎn)G,連接EG,GF,∵E,F分別是邊AB,CD的中點(diǎn),∴EG,GF分別是△ABC和△ACD的中位線,∴EG=12BC,GF=1如圖1,在△EGF中,由三角形三邊關(guān)系得EG+GF>EF,即12BC+1∴AD+BC>2EF,如圖2,當(dāng)AD∥BC時(shí),點(diǎn)E、F、G在同一條直線上,∴AD+BC=2EF,∴AD,BC和EF之間的數(shù)量關(guān)系是AD+BC≥2EF.故選B.圖1圖24.答案1解析如圖所示,延長(zhǎng)CP交AB于點(diǎn)F,∵△ABC中,AD是角平分線,∴∠CAP=∠FAP,∵CP⊥AD,∴∠APC=∠APF=90°,又∵AP=AP,∴△APC≌△APF(ASA),∴PC=PF,AC=AF=4,則FB=AB-AF=2,∵AE是△ABC的中線,∴EC=EB,∴PE是△BCF的中位線,∴PE=125.證明如圖,延長(zhǎng)FE至N,使EN=EF,連接BN,AN,則ME=12∵EF=EN,∠BEF=90°,∴BE垂直平分FN.∴BF=BN.∴∠BNF=∠BFN.∵△BEF為等腰直角三角形,∠BEF=90°,∴∠BFN=45°.∴∠BNF=45°.∴∠FBN=90°,即∠FBA+∠ABN