2022年北京市初三一模數(shù)學(xué)試題匯編：解直角三角形及其應(yīng)用

第1頁/共1頁2022北京初三一模數(shù)學(xué)匯編解直角三角形及其應(yīng)用一、單選題1．（2022·北京石景山·一模）如圖，△ABC中，，D，E分別為CB，AB上的點，，，若，則DE的長為（

）A． B．2 C． D．12．（2022·北京房山·一模）將寬為2cm的長方形紙條折疊成如圖所示的形狀，那么折痕AB的長是()A．cm B．2cm C．4cm D．cm二、填空題3．（2022·北京門頭溝·一模）京西某游樂園的摩天輪采用了國內(nèi)首創(chuàng)的橫梁結(jié)構(gòu)，是市民周末休閑的好去處．如圖，如果該摩天輪的直徑為88米，最高點距地面100米，勻速運行一圈所需的時間是18分鐘．但受周邊建筑物影響，如果乘客與地面距離不低于34米時為最佳觀景期，那么在摩天輪運行的一圈中最佳觀景的時長為________分鐘．

三、解答題4．（2022·北京石景山·一模）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上兩點，=，連接AC，BC，AD，BD，過點D作DE//AB交CB的延長線于點E．(1)求證：直線DE是⊙O的切線；(2)若AB=10，BC=6，求AD，BE的長．5．（2022·北京大興·一模）如圖，A是上一點，BC是的直徑，BA的延長線與的切線CD相交于點D，E為CD的中點，AE的延長線與BC的延長線交于點P．(1)求證：AP是的切線；(2)若，，求CD的長．6．（2022·北京西城·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點F在弧BC上，AF與CD交于點G，點H在DC的延長線上，且HG=HF，延長HF交AB的延長線于點M．(1)求證：HF是⊙O的切線；(2)若，BM=1，求AF的長．7．（2022·北京豐臺·一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠DCB＝90°，ADBC，點E在BC上，ABDE，AE平分∠BAD．(1)求證：四邊形ABED為菱形；(2)連接BD，交AE于點O．若AE＝6，sin∠DBE＝，求CD的長．8．（2022·北京門頭溝·一模）我們規(guī)定：在平面直角坐標(biāo)系中，如果點到原點的距離為，點到點的距離是的整數(shù)倍，那么點就是點的倍關(guān)聯(lián)點．(1)當(dāng)點的坐標(biāo)為時，①如果點的2倍關(guān)聯(lián)點在軸上，那么點的坐標(biāo)是；②如果點是點的倍關(guān)聯(lián)點，且滿足，．那么的最大值為________；(2)如果點的坐標(biāo)為，且在函數(shù)的圖象上存在的2倍關(guān)聯(lián)點，求的取值范圍．9．（2022·北京房山·一模）如圖1，⊙I與直線a相離，過圓心I作直線a的垂線，垂足為H，且交⊙I于P，Q兩點（Q在P，H之間）．我們把點P稱為⊙I關(guān)于直線a的“遠點”，把PQ·PH的值稱為⊙I關(guān)于直線a的“特征數(shù)”．(1)如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點E的坐標(biāo)為（0，4），半徑為1的⊙O與兩坐標(biāo)軸交于點A，B，C，D．①過點E作垂直于y軸的直線m﹐則⊙O關(guān)于直線m的“遠點”是點__________________（填“A”，“B”，“C”或“D”），⊙O關(guān)于直線m的“特征數(shù)”為_____________；②若直線n的函數(shù)表達式為，求⊙O關(guān)于直線n的“特征數(shù)”；(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy、中，直線l經(jīng)過點M（1，4），點F是坐標(biāo)平面內(nèi)一點，以F為圓心，為半徑作⊙F．若⊙F與直線l相離，點N（–1，0）是⊙F關(guān)于直線l的“遠點”，且⊙F關(guān)于直線l的“特征數(shù)”是，直接寫出直線l的函數(shù)解析式．10．（2022·北京平谷·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過C作⊙O的切線交AB的延長線于點D，連接AC、BC，過O作OF∥AC，交BC于G，交DC于F．(1)求證：∠DCB＝∠DOF；(2)若tan∠A＝，BC＝4，求OF、DF的長．11．（2022·北京朝陽·一模）如圖，為的直徑，C為上一點，和過點C的切線互相垂直，垂足為D．(1)求證：平分；(2)若，，求的長．12．（2022·北京朝陽·一模）如圖，在矩形中，，相交于點O，，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求四邊形的面積．13．（2022·北京順義·一模）如圖，在四邊形ABCD中，，，垂足為O，過點D作BD的垂線交BC的延長線于點E．(1)求證：四邊形ACED是平行四邊形；(2)若AC=4，AD=2，，求BC的長．14．（2022·北京順義·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為2．對于直線和線段BC，給出如下定義：若將線段BC沿直線l翻折可以得到的弦（，分別是B，C的對應(yīng)點），則稱線段BC是以直線l為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”．例如：在圖1中，線段BC的是以直線l為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”．(1)如圖2，點，，，，，的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．在線段，，中，以直線l為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”是______；(2)△ABC是邊長為a的等邊三角形，點，若BC是以直線l為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”，求a的值；(3)如果經(jīng)過點的直線上存在以直線l為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出這條直線與y軸交點的縱坐標(biāo)m的取值范圍．15．（2022·北京海淀·一模）如圖，是的外接圓，AB是的直徑，點D為的中點，的切線DE交OC延長線于點E．(1)求證：；(2)連接BD交AC于點P，若，，求DE和BP的長．

參考答案1．D【分析】先根據(jù)三邊長判斷各角的度數(shù)，然后利用等腰三角形“三線合一”求出，再，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出DE的長．【詳解】解：△ABC中，，，，，，，，，，，，，，，又，，，故選：D．【點睛】本題考查了直角三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)特殊三角函數(shù)值求解度，三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)三角形三邊確定三角形各角的度數(shù)是解本題的關(guān)鍵．2．A【分析】由圖中條件可知紙片重疊部分的三角形ABO是等邊三角形，此三角形的高是AM=2，求邊長，利用銳角三角函數(shù)可求．【詳解】解：如圖，作AM⊥OB，BN⊥OA，垂足為M、N，∵長方形紙條的寬為2cm，∴AM=BN=2cm，∴OB=OA，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等邊三角形，在Rt△ABN中，AB===cm．故選A．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，等邊三角形的判定及解直角三角形的運用．關(guān)鍵是由已知推出等邊三角形ABO，有一定難度．3．12【分析】先計算出圓的底端距離地面的距離為12，從而得到圓的底部到弦的距離為22，從而計算出弦所對的圓心角，用弧長公式計算劣弧的長，周長減去劣弧的長得到最佳觀賞路徑長，除以運動速度即可．【詳解】解：如下圖所示，根據(jù)題意，得OC=44，CD=AD-AC=100-88=12，ED=34，∴CE=ED-CD=34-12=22，∴OE=OC-CE=44-22=22，在直角三角形OEF中，sin∠OFE==，∴∠OFE=30°，∴∠FOE=60°，∴∠FOB=120°，∴，∵圓轉(zhuǎn)動的速度為，∴最佳觀賞時長為÷=12（分鐘），故答案為：12．【點睛】本題考查了垂徑定理，弧長公式，特殊角的三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握弧長公式，靈活運用特殊角的三角函數(shù)．4．(1)見解析(2)AD=5，BE=．【分析】（1）連接OD，根據(jù)圓周角定理得到∠AOD=∠AOB=90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ODE=90°，于是得到結(jié)論；（2）連接CD，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=∠ACB=90°，推出△ABD是等腰直角三角形，得到AB=10，解直角三角形得到AC=8，求得∠CAD=∠DBE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BDE=∠OBD=45°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接OD，∵AB為⊙O的直徑，點D是半圓AB的中點，∴∠AOD=∠AOB=90°，∵DE∥AB，∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∴直線DE是⊙O的切線；（2）解：連接CD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=∠ACB=90°，∵=，∴DB=AD，∴△ABD是等腰直角三角形，∵AB=10，∴AD=10sin∠ABD=10sin45°=10×=5，∵AB=10，BC=6，∴AC==8，∵四邊形ACBD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠CAD+∠CBD=180°，∵∠DBE+∠CBD=180°，∴∠CAD=∠DBE，由（1）知∠AOD=90°，∠OBD=45°，∴∠ACD=45°，∵DE∥AB，∴∠BDE=∠OBD=45°，∴∠ACD=∠BDE，∴△ACD∽△BDE，∴，∴，解得：BE=．【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，特殊角的三角函數(shù)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．5．(1)見解析(2)【分析】（1）先由圓周角定理得出，再由斜邊上的中線性質(zhì)得出，由是切線得出，即可得出，周長結(jié)論；（2）先證明是等邊三角形，得出，再在和中，運用銳角三角函數(shù)即可得出結(jié)果．（1）證明：連接，；如圖所示：是的直徑，，，是的中點，，，，，是的切線，，，，，是上一點，是的切線；（2）解：由（1）知．在中，，，即，；，，，是等邊三角形，，在中，，，，，又在中，，，．【點睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的運用；解題的關(guān)鍵是熟練掌握切線的判定與性質(zhì)并結(jié)合銳角三角函數(shù)進行計算．6．(1)見解析(2)【分析】（1）連接OF，根據(jù)CD⊥AB，可得∠A+∠AGE=90°，再由HG=HF，可得∠HFG=∠AGE，然后根據(jù)OA=OF，可得∠A=∠OFA，即可求證；（2）連接BF，先證得△BFM∽△FAM，可得，再由，可得OM=5，AM=9，AB=8，F(xiàn)M=3，從而得到，然后由勾股定理，即可求解．（1）證明：連接OF，∵CD⊥AB，∴∠AEG=90°，∴∠A+∠AGE=90°，∵HG=HF，∴∠HFG=∠HGF，∵∠HGF=∠AGE，∴∠HFG=∠AGE，∵OA=OF，∴∠A=∠OFA，∴∠OFA+∠HFG=90°，即∠OFH=90°，∴HF是⊙O的切線；（2）解：如圖，連接BF，由（1）得：∠OFM=90°，∴∠BFO+∠BFM=90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AFB=90°，∴∠A+∠ABF=90°，∵OB=OF，∴∠ABF=∠BFO，∴∠BFM=∠A，∵∠M=∠M，∴△BFM∽△FAM，∴，∵，∴，∵BM=1，OB=OF，∴，解得：OF=4，∴OM=5，AM=9，AB=8，∴FM=，∴，∴，∵，∴，解得：．【點睛】本題主要考查了圓的綜合題，熟練掌握切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，理解銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．7．(1)見解析(2)【分析】（1）先證明四邊形ABED為平行四邊形，再證一組鄰邊相等，可得結(jié)論；（2）先根據(jù)菱形的性質(zhì)及解直角三角形求得BE及BD的長，再通過面積法求得CD的長．（1）證明：∵ADBC，ABDE，∴四邊形ABED為平行四邊形，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE．∵ADBC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴?ABED是菱形；（2）解：如圖，連接BD，∵四邊形ABED是菱形，∴AE⊥BD，AO=OE==3，OB=OD，∴sin∠DBE==，∴BE=5，∴，∴BD=2OB=8，∵∠DCB＝90°，∴，∴∴．【點睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，掌握菱形的面積等于對角線積的一半是解題的關(guān)鍵．8．(1)①（1.5，0）或（﹣4.5，0），②3(2)1－≤b≤1＋【分析】（1）①根據(jù)點的坐標(biāo)為，點的2倍關(guān)聯(lián)點在軸上，利用關(guān)聯(lián)點的定義即可求解；②根據(jù)點是點的倍關(guān)聯(lián)點，且滿足，，列出不等式，即可求解；（2）根據(jù)當(dāng)直線與⊙相切時，即直線和，b分別取最大值b1和最小值b2，分兩種情況解答即可．（1）解：①∵點的坐標(biāo)為，∴點到原點的距離為1.5，∴a＝1.5，∵點的2倍關(guān)聯(lián)點在軸上∴2a＝3∴點M的橫坐標(biāo)為-1.5＋3＝1.5或﹣1.5－3＝﹣4.5∴點M的坐標(biāo)是（1.5，0）或（﹣4.5，0）故答案為：（1.5，0）或（﹣4.5，0）②∵點是點的倍關(guān)聯(lián)點，且滿足，∴a＝1.5∴點M的坐標(biāo)是（-1.5，1.5k）當(dāng)時，即，解得，當(dāng)時，即，解得，∴k的取值范圍為，∵k是整數(shù)，∴k的最大值是3故答案為：3（2）解：∵點的坐標(biāo)為∴a＝1，∴的2倍關(guān)聯(lián)點在以點為圓心，半徑為2的圓上∵在函數(shù)的圖象上存在的2倍關(guān)聯(lián)點，∴當(dāng)直線與⊙相切時，即直線和，b分別取最大值b1和最小值b2，如圖所示，在Rt△AB中，∠AB＝90°，∠AB＝45°，A＝2∴sin∠AB＝∴∴點B的坐標(biāo)是（1＋，0）代入得﹣（1＋）＋b1＝0解得b1＝1＋∴直線AB為在Rt△CD中，∠DC＝90°，∠DC＝45°，D＝2∴sin∠DC＝∴∴點C的坐標(biāo)是（1－，0）代入得﹣（1－）＋b2＝0解得b2＝1－∴直線CD為∴1－≤b≤1＋【點睛】本題主要考查了坐標(biāo)系中的點之間的距離，一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，圓的切線、解直角三角形等知識，數(shù)形結(jié)合是解決此題的關(guān)鍵．9．(1)①D；10；②⊙O關(guān)于直線n的“特征數(shù)”為6；(2)或【分析】（1）①根據(jù)題干中“遠點”及“特征數(shù)”的定義直接作答即可；②過圓心O作OH⊥直線n，垂足為點H，交⊙O于點P、Q，首先判斷直線n也經(jīng)過點E（0，4），在中，利用三角函數(shù)求出∠EFO=60°，進而求出PH的長，再根據(jù)“特征數(shù)”的定義計算即可；（2）連接NF并延長，設(shè)直線l的解析式為y=kx+b1,用待定系數(shù)法得到，再根據(jù)兩條直線互相垂直，兩個一次函數(shù)解析式的系數(shù)k互為負倒數(shù)的關(guān)系可設(shè)直線NF的解析式為y=x+b2,用待定系數(shù)法同理可得，消去b1和b2，得到關(guān)于m、n的方程組；根據(jù)⊙F關(guān)于直線l的“特征數(shù)”是，得出NA=，再利用兩點之間的距離公式列出方程(m+1)2+n2=，把代入，求出k的值，便得到m、n的值即點A的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求直線l的函數(shù)表達式．注意有兩種情況，不要遺漏．（1）解：（1）①⊙O關(guān)于直線m的“遠點”是點D，⊙O關(guān)于直線m的“特征數(shù)”為=2×5=10；②如下圖：過圓心O作OH⊥直線n，垂足為點H，交⊙O于點P、Q，∵直線n的函數(shù)表達式為，當(dāng)x=0時，y=4；當(dāng)y=0時，x=，∴直線n經(jīng)過點E（0，4），點F（，0），在中，∵===，∴∠FEO=30°，∴∠EFO=60°，在中，∵，∴HO=·FO=2，∴PH=HO+OP=3，∴PQ·PH=2×3=6，∴⊙O關(guān)于直線n的“特征數(shù)”為6；（2）如下圖，∵點F是圓心，點是“遠點”，∴連接NF并延長，則直線NF⊥直線l，設(shè)NF與直線l的交點為點A（m，n），設(shè)直線l的解析式為y=kx+b1（k≠0）,將點與A（m，n）代入y=kx+b1中，②-①得：n-4=mk-k，③又∵直線NF⊥直線l，∴設(shè)直線NF的解析式為y=x+b2（k≠0）,將點與A（m，n）代入y=x+b2中，④-⑤得：-n=+，⑥聯(lián)立方程③與方程⑥，得：解得：，∴點A的坐標(biāo)為（，）；又∵⊙F關(guān)于直線l的“特征數(shù)”是，⊙F的半徑為，∴NB·NA=，即2·NA=，解得：NA=，∴[m-(-1)]2+(n-0)2=()2，即(m+1)2+n2=18，把代入，解得k=-1或k=；當(dāng)k=-1時，m=2，n=3，∴點A的坐標(biāo)為（2，3），把點A（2，3）與點代入y=kx+b1中，解得直線l的解析式為；當(dāng)k=時，m=，n=，∴點A的坐標(biāo)為（，），把點A（，）與點代入y=kx+b1中，解得直線l的解析式為．∴直線l的解析式為或．【點睛】本題是一次函數(shù)與圓的綜合題，考查了直線與圓的位置關(guān)系、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、解直角三角形等，理解“遠點”和“特征數(shù)”的意義，熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、兩點之間距離公式、兩條直線互相垂直的兩個一次函數(shù)解析式中系數(shù)k互為負倒數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．(1)見解析(2)，【分析】（1）如圖所示，連接OC，先證明∠DCB=∠OCA，由OC=OA，可證∠OAC=∠OCA=∠DCB，再由，可證∠DOF=∠OAC，即可證明∠DOF=∠DCB；（2）先證△OBG∽△ABC，∠BGO=∠ACB=90°得到，則CG=2，再由∠BCD=∠OAC，，求出，則，，即可得到，可證△OFD∽△ACD，得到，則．（1）解：如圖所示，連接OC，∵CD是圓O的切線，AB是圓O的直徑，∴∠OCD=∠ACB=90°，∴∠DCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB，∴∠DCB=∠OCA，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA=∠DCB，∵，∴∠DOF=∠OAC，∴∠DOF=∠DCB；（2）解：設(shè)OF與BC交于點G，∵，∴△OBG∽△ABC，∠BGO=∠ACB=90°∴，∠CGF=90°∴，∴CG=2，∵∠BCD=∠OAC，，∴，∴，∴，，∴，同理可證△OFD∽△ACD，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了圓切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直角等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．11．(1)證明見詳解(2)【分析】（1）連接OC，可證明，推導(dǎo)出，又因為，可得，即可證明，即平分；（2）連接BC，由為的直徑可證明，由（1）可知，利用三角函數(shù)分別解、，解得AC、AD長度，再由勾股定理計算CD的長即可．【詳解】（1）證明：如圖1，連接OC，∵CD為切線，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即平分；（2）解：如圖2，連接BC，∵為的直徑，∴，∵，∴，即，解得，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、三角函數(shù)解直角三角形以及勾股定理等知識，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．12．(1)見解析(2)【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得出OA=OB，進而利用菱形的判定解答即可；(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)及面積公式，解直角三角形即可求得．（1）證明：，四邊形AEBO是平行四邊形又四邊形ABCD是矩形，，四邊形AEBO是菱形（2）解：如圖：連接EO，交AB于點F四邊形ABCD是矩形，，又是等邊三角形，四邊形AEBO是菱形，四邊形的面積為：【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．13．(1)證明見解析(2)BC的長為【分析】（1）先判定，再根據(jù)題中所給的條件即可利用平行四邊形判定定理證出；（2）根據(jù)三角函數(shù)值設(shè)，，利用平行四邊形性質(zhì)得到平行及線段相等，從而根據(jù)確定的相似比代值求解即可．（1）證明：，，，，在四邊形ABCD中，，四邊形ACED是平行四邊形；（2）解：在中，，設(shè)，，在中，，，，，，即，解得（舍棄）或，．【點睛】本題考查了平行線的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)定義等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．(1)，，(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)定義作關(guān)于的對稱點，若線段是的弦，則再次對稱（依題意定義）即為的弦，據(jù)此求解即可；（2）根據(jù)（1）的方法，根據(jù)等邊三角形的對稱性，可知軸，設(shè)交軸于點，交于點，解進而求得的長，即的值；（3）