北師大版八年級數(shù)學上冊《三角形內(nèi)角和定理》平行線的證明 課件 第1課時

第七章平行線的證明7.5三角形內(nèi)角和定理第1課時1.會用平行線的性質(zhì)與平角的定義證明三角形內(nèi)角和定理.2.能運用三角形內(nèi)角和定理解決簡單的問題.3.在一題多解、一題多變中，積累解決幾何問題的經(jīng)驗，提升解決問題的能力.4.經(jīng)歷探索與證明的過程，進一步發(fā)展推理運算的能力.學習重點：會用平行線的性質(zhì)與平角的定義證明三角形內(nèi)角和定理.學習難點：能運用三角形內(nèi)角和定理解決簡單的問題.三角形的內(nèi)角和是多少度?你還記得這個結論的探索過程嗎?48°72°60°60°＋48°＋72°＝180°測量法剪拼法(撕拼法)ABC21還有其他的方法嗎？三角形的內(nèi)角和是多少度?你還記得這個結論的探索過程嗎?ACB

若只把∠A移到∠1的位置，需要先證明直線a與直線b平行，再利用平行線的性質(zhì)證明∠B=∠2，同樣可以得到∠A+∠B+∠ACB=180°ab(1)如圖，如果我們只把∠A移到∠1的位置，你能說明三角形內(nèi)角和等于180°嗎?如果不移動∠A，那么你還有什么方法可以達到同樣的效果?學生活動一

【一起探究】(1)如圖，如果我們只把∠A移到∠1的位置，你能說明三角形內(nèi)角和等于180°嗎?如果不移動∠A，那么你還有什么方法可以達到同樣的效果?ACBEDACB12輔助線輔助線如果不移動∠A，則需畫出直線AB的平行線作為輔助線.輔助線通常畫成虛線!

作出輔助線，利用平行線的性質(zhì)：內(nèi)錯角相等、同位角相等，將三角形的三個內(nèi)角湊成一個平角，從而證明出三角形的內(nèi)角和是180°.EDACB12(2)根據(jù)前面給出的基本事實和定理，你能用自己的語言說說這一結論的證明思路嗎？

分析：延長BC到D，過點C作射線CE∥AB，這樣就相當于把∠A移到了∠1的位置，把∠B移到了∠2的位置.ED12已知：如圖，△ABC.求證：∠A+∠B+∠ACB=180°.ACBEDACB12證明：延長BC到D，過點C作射線CE//BA，則

∠1=∠A(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)，

∠2=∠B(兩直線平行，同位角相等).∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定義)，∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代換).

三角形的內(nèi)角和等于180°.即在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.常見變形：∠A=180°–(∠B+∠C).∠B+∠C=180°-∠A.∠B=180°–(∠A+∠C).∠A+∠C=180°-∠B.∠C=180°–(∠A+∠B).∠A+∠B=180°-∠C.ABC三角形內(nèi)角和定理

在證明三角形內(nèi)角和定理時，小明的想法是把三個角“湊”到A處，他過點A作直線PQ∥BC(如圖)，他的想法可行嗎?如果可行，你能寫出證明過程嗎?與同伴進行交流.PQACB123規(guī)范作圖學生活動二

【探究定理】

求證：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.證明：過點A作PQ∥BC，∴∠B=∠1(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∠C=∠2(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∵∠2+∠1+∠BAC=180°(平角的定義)，∴∠B+∠C+∠BAC=180°(等量代換).12PQ

如圖，在△ABC中，如果BC不動，把點A“壓”向BC，那么當點A越來越接近BC時，∠A就越來越大(越來越接近180°)，而∠B和∠C則越來越小(越來越接近0°).由此你能想到什么?CBA

CBA

如果BC不動，把點A“拉”離BC，那么當A越來越遠離BC時，∠A就越來越小(越來越接近0°)，而∠B和∠C則越來越大，它們的和越來越接近180°，當把點A拉到無窮遠時，便有AB∥AC，∠B和∠C成為同旁內(nèi)角，它們的和等于180°.由此你能想到什么?一些數(shù)學結論可以通過運動變化的觀點理解和認識.例

如圖，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù).學生活動三

【應用定理】

由于三角形的內(nèi)角和是180°，那么在一個三角形中已知兩個角可以求出第三個角的度數(shù)；

因此，由已知可以先求出∠BAC的度數(shù)，再利用角平分線的定義，求出∠BAD

的度數(shù)，在△ABD中，再次利用三角形內(nèi)角和定理，可以求出∠ADB的度數(shù).

解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形內(nèi)角和定理).∵∠B=38°，∠C=62°(已知)，∴∠BAC=180°-38°-62°=80°(等式的性質(zhì)).∵AD平分∠BAC(已知)，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×80°=40°(角平分線的定義).

在△ADB中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形內(nèi)角和定理).∵∠B=38°(已知)，∠BAD=40°(已證)，∴∠ADB=180°-38°-40°=102°(等式的性質(zhì)).

ABCDABCDEA1A2A3A4A5A6An四邊形的內(nèi)角和為：2×180°=360°五邊形的內(nèi)角和為：3×180°=540°n邊形的內(nèi)角和為

(n-2)×180°三角形的內(nèi)角和是180°，那么n邊形的內(nèi)角和又是多少呢？1.在△ABC中，∠A＝∠B＋∠C，則下列對△ABC形狀的判斷正確的是()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形

D．等邊三角形B2.已知：如圖，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°，點D，E分別在AB和AC上，且DE∥BC.求∠ADE的度數(shù).ABCDE解：在△ABC中，∵∠A=60°，∠C=70°(已知)，∴∠B=180°-∠A-∠C=50°(三角形內(nèi)角和定理).又∵

DE∥BC(已知)，∴∠ADE=∠B(兩直線平行，同位角相等).∴∠ADE=∠B=50°(等量代換).3.已知：如圖，AB∥CD，∠BEF，∠EFD的平分線相交于點G.求證：EG⊥FG.BDACGEF證明：∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠EFD＝180°.

∵EG，F(xiàn)G分別平分∠BEF，∠EFD，

∴∠GEF＝∠BEG，∠EFG＝∠GFD.

∴∠GEF＋∠EFG＝

∠BEG＋∠GFD＝90°.

∴∠G＝180°－(∠GEF＋∠EFG)＝180°－90°＝90°，即EG⊥FG.BDACGEF三角形內(nèi)角和定理的常見變形：三角形內(nèi)角和定理∠A=180°–(∠B+∠C).∠B+∠C=180°-∠A.∠B=180°–(∠A+∠C).∠A+∠C=180°-∠B.∠C