2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：函數(shù)模型及其應(yīng)用（五大題型）（練習(xí)）（學(xué)生版+解析）

第08講函數(shù)模型及其應(yīng)用

目錄

模擬基礎(chǔ)練.....................................................................2

題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型............................................................2

題型二：對勾函數(shù)模型..........................................................................3

題型三：指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)'幕函數(shù)模型...................................................4

題型四：已知函數(shù)模型的實(shí)際問題................................................................5

題型五：構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問題................................................................6

重難創(chuàng)新練.....................................................................7

真題實(shí)戰(zhàn)練....................................................................11

題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型

1.（2024?高三?四川巴中?期末）已知甲、乙兩個城市相距120千米，小王開汽車以100千米/時勻速從甲城

市駛往乙城市，到達(dá)乙城市后停留1小時，再以80千米/時勻速返回甲城市.汽車從甲城市出發(fā)時，時間x

（小時）記為0,在這輛汽車從甲城市出發(fā)至返回到甲城市的這段時間內(nèi)，該汽車離甲城市的距離y（千米）

表示成時間x（小時）的函數(shù)為（）

[100x,0<x<1.2

A..y=<

[80x,x>1.2

[l00x,0<x<1.2

B.y=\

[120-80x,x>1.2

100x,0<x<1.2

C.y=<120,1^<x<2.2

120-80%,2.2<%W3.7

100x,0<x<1.2

D.y=<120,1.2<x<2.2

296-80x,2.2<x<3.7

2.汽車在行駛中，由于慣性，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止，一般稱這段距離為“剎車距離”.

剎車距離是分析交通事故的一個重要依據(jù).在一個限速為40km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)

情況不對，同時剎車，但還是相碰了.事后現(xiàn)場勘查，測得甲車的剎車距離略超過6m,乙車的剎車距離略超

過10m.已知甲車的剎車距離sm與車速vkm/h之間的關(guān)系為$甲=焉/-，乙車的剎車距離?與車速

vkm/h之間的關(guān)系為電=工丫2-4丫.請判斷甲、乙兩車哪輛車有超速現(xiàn)象（）

20020

A.甲、乙兩車均超速B.甲車超速但乙車未超速

C.乙車超速但甲車未超速D.甲、乙兩車均未超速

3.（2024?高三?浙江?開學(xué)考試）某地區(qū)居民生活用電分高峰和低谷兩個時段進(jìn)行分時計(jì)價.

高峰時間段用電價格表：

高峰月用電量（單位：千瓦時）高峰電價（單位：元/千瓦時）

50及以下的部分0.568

超過50至200的部分0.598

超過200的部分0.668

低谷時間段用電價格表:

低谷月用電量（單位：千瓦時）低谷電價（單位：元/千瓦時）

50及以下的部分0.288

超過50至200的部分0.318

超過200的部分0.388

若某家庭7月份的高峰時間段用電量為250千瓦時，低谷時間段用電量為150千瓦時，則該家庭本月應(yīng)付

電費(fèi)為（）元

A.200.7B.207.7C.190.7D.197.7

題型二：對勾函數(shù)模型

4.如圖，有一張單欄的豎向張貼的海報(bào)，它的印刷面積為72dm2（圖中陰影部分），上下空白各寬2dm,

左右空白各寬1dm,則四周空白部分面積的最小值是（）dm2.

C.120D.88

5.一家金店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金.一位顧客到店內(nèi)購買20g黃金，店員先將10g的祛碼放在

天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中，使天平平衡；再將10g的祛碼放在天平右盤中，再取出一些黃

金放在天平左盤中，使得天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.記顧客實(shí)際購得的黃金為xg,則x與

20的大小關(guān)系為（）

A.x<20B.x>20

C.20D.無法確定

6.（2024.內(nèi)蒙古呼和浩特.一模）小明在春節(jié)期間，預(yù)約了正月初五上午去美術(shù)館欣賞油畫，其中有一幅

畫吸引了眾多游客駐足觀賞，為保證觀賞時可以有最大視角，警衛(wèi)處的同志需要將警戒線控制在距墻多遠(yuǎn)

處最合適呢？（單位：米，精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）己知該畫掛在墻上，其上沿在觀賞者眼睛平視的上方3

米處，其下沿在觀賞者眼睛平視的上方1米處.（）

A.1.73B.1.41C.2.24D.2.45

7.某廠計(jì)劃建造一個容積為8m3,深為2m的長方體無蓋水池.若池底的造價為120元每平方米，池壁的造價

為100元每平方米，則這個水池的最低造價為元.

8.某景區(qū)的平面圖如圖所示，其中43,AC為兩條公路，ZBAC=135°,尸為景點(diǎn)，AP=W,AP±AC,

現(xiàn)需要修建一條經(jīng)過景點(diǎn)尸的觀光路線肱V,M,N分別為43,AC上的點(diǎn)，貝！1AAM面積的最小值

為.

題型三：指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、募函數(shù)模型

9.某食品的保鮮時間V（單位：小時）與儲存溫度》（單位：。C）滿足函數(shù)關(guān)系>=*+〃（e=2.718…為

自然對數(shù)的底數(shù)，k、b為常數(shù)）.若該食品在0℃的保鮮時間設(shè)計(jì)192小時，在22。。的保鮮時間是48小時，

則該食品在33。。的保鮮時間是小時.

10.考古學(xué)家對四川廣漢“三星堆古墓”進(jìn)行考古發(fā)據(jù)，科學(xué)家通過古生物中某種放射性元素的存量來估算古

生物的年代，已知某放射性元素的半衰期約為4200年（即：每經(jīng)過4200年，該元素的存量為原來的一半），

已知古生物中該元素的初始存量為a,經(jīng)檢測古生物中該元素現(xiàn)在的存量為告，請推算古生物距今大約—

年（參考數(shù)據(jù)：1g2ko.3）.

11.某醫(yī)院開展某種病毒的檢測工作，第〃天時每個檢測對象從接受檢測到檢測報(bào)告生成平均耗時“〃）（單

—<N。

7n

位：小時），*九）=.（%，N。為常數(shù)）.已知第16天檢測過程平均耗時為16小時，第64天和

［~啊r=,^2N°

第67天檢測過程平均耗時均為8小時，那么可得到第49天檢測過程平均耗時為小時.（精確到1小

時）

12.測量地震級別常用里氏級，它是地震強(qiáng)度（即地震釋放的能量）的常用對數(shù)值.如日本1923年地震是

8.9級，舊金山1906年地震是8.3級，問日本1923年地震強(qiáng)度是舊金山1906年地震強(qiáng)度的

倍.（坨2。0.3）

題型四：已知函數(shù)模型的實(shí)際問題

13.（2024?浙江紹興?模擬預(yù)測）人類已進(jìn)入大數(shù)據(jù)時代.目前，數(shù)據(jù)量已經(jīng)從TB（1TB=1O24GB）級別躍升

到PB（1PB=1024TB）,EB（1EB=1024PB）乃至ZB0ZB=1024EB）級別.國際數(shù)據(jù)公司（IDC）的研究結(jié)果表明,

2008年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為0.500ZB,2010年增長到1.125ZB.若從2008年起，全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量產(chǎn)與年份

f的關(guān)系為「=穌儲一20%其中穌,“均是正的常數(shù)，則2023年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量是2022年的倍.

14.科學(xué)家在研究物體的熱輻射能力時定義了一個理想模型叫“黑體”，即一種能完全吸收照在其表面的電磁

波（光）的物體.然后，黑體根據(jù)其本身特性再向周邊輻射電磁波，科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)單位面積的黑體向空間

輻射的電磁波的功率B與該黑體的絕對溫度T的4次方成正比，即3=6〃，b為玻爾茲曼常數(shù).而我們在

做實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的過程中，往往不用基礎(chǔ)變量作為橫縱坐標(biāo)，以本實(shí)驗(yàn)結(jié)果為例，2為縱坐標(biāo)，以〃為橫

坐標(biāo)，則能夠近似得到（曲線形狀），那么如果繼續(xù)研究該實(shí)驗(yàn)，若實(shí)驗(yàn)結(jié)果的曲線如圖所示，試寫

出其可能的橫縱坐標(biāo)的變量形式.

15.（2024?北京朝陽?二模）假設(shè)某飛行器在空中高速飛行時所受的阻力/滿足公式f=^pCSv2,其中夕

是空氣密度，S是該飛行器的迎風(fēng)面積，"是該飛行器相對于空氣的速度，C是空氣阻力系數(shù)（其大小取

決于多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物理量為功率尸=戶.當(dāng)不變，V比原來

提高10%時，下列說法正確的是（）

A.若C不變，則P比原來提高不超過30%

B.若C不變，則P比原來提高超過40%

C.為使尸不變，則C比原來降低不超過30%

D.為使P不變，則C比原來降低超過40%

16.小微企業(yè)是推進(jìn)創(chuàng)業(yè)富民、恢復(fù)市場活力、引領(lǐng)科技創(chuàng)新的主力軍，一直以來，融資難、融資貴制約

著小微企業(yè)的發(fā)展活力.某銀行根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立了小微企業(yè)實(shí)際還款比例尸與小微企業(yè)的年收入無（單

-0.968+Ax

位：萬元）的關(guān)系為尸［體eR）.已知小微企業(yè)的年收入為80萬元時，其實(shí)際還款比例為50%,

若銀行希望實(shí)際還款比例為40%,則小微企業(yè)的年收入約為（參考數(shù)據(jù)：ln3?1.0986,ln2?0.6931）（）

A.46.49萬元B.53.56萬元C.64.43萬元D.71.12萬元

題型五：構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問題

17.（2024?江西?二模）茶文化起源于中國，中國飲茶據(jù)說始于神農(nóng)時代.現(xiàn)代研究結(jié)果顯示，飲茶溫度最

好不要超過60℃一杯茶泡好后置于室內(nèi)，1分鐘、2分鐘后測得這杯茶的溫度分別為80℃,68℃,給出

三個茶溫7（單位：。C）關(guān)于茶泡好后置于室內(nèi)時間f（單位：分鐘）的函數(shù)模型：①T=0+6（a<O）；②

T=log/+b（0<a<l）；?T=20+b-a\b>0,0<a<V）.根據(jù)生活常識，從這三個函數(shù)模型中選擇一個，模

擬茶溫T（單位：。C）關(guān)于茶泡好后置于室內(nèi)時間f（單位：分鐘）的關(guān)系，并依此計(jì)算該杯茶泡好后到飲

用至少需要等待的時間為（參考數(shù)據(jù)1g2“0.301,1g3。0.477）（）

A.2.72分鐘B.2.82分鐘

C.2.92分鐘D.3.02分鐘

18.（2024?福建?模擬預(yù)測）視力檢測結(jié)果有兩種記錄方式，分別是小數(shù)記錄與五分記錄，其部分?jǐn)?shù)據(jù)如下

表：

小數(shù)記錄入0.10.120.15L11.21.52.0

五分記錄y4.04.14.2L55.15.25.3

現(xiàn)有如下函數(shù)模型：①y=5+lgx,②y=5+《lgLX表示小數(shù)記錄數(shù)據(jù)，y表示五分記錄數(shù)據(jù)，請選擇

10x

最合適的模型解決如下問題：小明同學(xué)檢測視力時，醫(yī)生告訴他的視力為4.7,則小明同學(xué)的小數(shù)記錄數(shù)據(jù)

為（附10°-3=2,5《”=0.7,10?,=0.8）（）

A.0.3B.0.5C.0.7D.0.8

19.（2024.高三.云南?期中）在一段時間內(nèi)，某地的野兔快速繁殖，野兔總只數(shù)的倍增期（增加一倍所需的

時間）為21個月，則100只野兔增長到100萬只野兔需要（）個月.（記。=lg2,b=log212）

8484

A.84aB.——C.848D.—

ab

20.（2024?云南昆明?模擬預(yù)測）飲酒駕車、醉酒駕車是嚴(yán)重危害《道路交通安全法》的違法行為，將受到

法律處罰.檢測標(biāo)準(zhǔn)：“飲酒駕車：車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100ml,小于

80mg/100ml的駕駛行為;醉酒駕車:車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或者等于80mg/100ml的駕駛行為

據(jù)統(tǒng)計(jì)，停止飲酒后，血液中的酒精含量平均每小時比上一小時降低20%.某人飲酒后測得血液中的酒精含

量為lOOmg/lOOml,若經(jīng)過〃（〃eN*）小時，該人血液中的酒精含量小于20mg/100ml,則”的最小值為（參

考數(shù)據(jù)：1g2。0.3010）（）

A.7B.8C.9D.10

21.（2024?山西朔州?模擬預(yù)測）為研究每平方米平均建筑費(fèi)用與樓層數(shù)的關(guān)系，某開發(fā)商收集了一棟住宅

樓在建筑過程中，建筑費(fèi)用的相關(guān)信息，將總樓層數(shù)尤與每平米平均建筑成本y（單位：萬元）的數(shù)據(jù)整理

成如圖所示的散點(diǎn)圖：

每平米平均建筑成本/萬元

20

15

10

5

°10203040樓層數(shù)/層

則下面四個回歸方程類型中最適宜作為每平米平均建筑費(fèi)用y和樓層數(shù)x的回歸方程類型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+bW

-b

C.y=a+—D.y=a+bx2

x

1.（2024?北京.三模）2024年1月17日我國自行研制的天舟七號貨運(yùn)飛船在發(fā)射3小時后成功對接于空間

站天和核心艙后向端口，創(chuàng)造了自動交會對接的記錄.某學(xué)校的航天科技活動小組為了探索運(yùn)動物體追蹤技

術(shù)，設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn)：目標(biāo)尸在地面軌道上做勻速直線運(yùn)動；在地面上相距7m的A,B兩點(diǎn)各放置一個傳

感器，分別實(shí)時記錄A,8兩點(diǎn)與物體P的距離.科技小組的同學(xué)根據(jù)傳感器的數(shù)據(jù)，繪制了“距離-時間”函

數(shù)圖像，分別如曲線。，6所示4和三分別是兩個函數(shù)的極小值點(diǎn).曲線。經(jīng)過（0,%）,（%在）和&，%），曲線6

經(jīng)過色，幻.已知咐=巾2，4=4m/2=4s,并且從1=0時刻到/時刻P的運(yùn)動軌跡與線段AB相交.分析曲

線數(shù)據(jù)可知，P的運(yùn)動軌跡與直線所成夾角的正弦值以及尸的速度大小分別為（）

A.士巫m/sB.2巫m/s

7472

C.2,延m/sD.2,邁m/s

7472

2.（2024?湖南益陽?三模）二手汽車價位受多方因素影響，交易市場常用年限折舊法計(jì)算車價位，即按照

同款新車裸車價格，第一年汽車貶值20%,從第二年開始每年貶值10%.剛參加工作的小明打算買一輛約5

年的二手車，價格不超過8萬元.根據(jù)年限折舊法，設(shè)小明可以考慮的同款新車裸車最高價位是根（MEN）萬,

則機(jī)=（）

A.13B.14C.15D.16

3.（2024?重慶?模擬預(yù)測）物理學(xué)家本?福特提出的定律：在6進(jìn)制的大量隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以W開頭的數(shù)出現(xiàn)

的概率為片（〃）=log,二，應(yīng)用此定律可以檢測某些經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)是否存在造假或錯誤.根據(jù)此定

n

律，在十進(jìn)制的大量隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率大約是以9開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率的（）倍（參

考數(shù)據(jù)：lg2=0.301,lg3=0.477）

A.5.5B.6C.6.5D.7

4.（2024?北京通州.二模）某池塘里原有一塊浮萍，浮萍蔓延后的面積S（單位：平方米）與時間t（單位：

月）的關(guān)系式為（。＞0,且4W1）,圖象如圖所示.則下列結(jié)論正確的個數(shù)為（）

①浮萍每個月增長的面積都相等；

②浮萍蔓延4個月后，面積超過30平方米；

③浮萍面積每個月的增長率均為50%；

④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所經(jīng)過的時間分別是%則乙+%=/3.

5.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）2023年10月31日，國務(wù)院新聞辦舉行“權(quán)威部門話開局”系列主題新聞發(fā)

布會的第28場發(fā)布會.會上提出蒙古國、中國，包括東北亞的日本、韓國，都是沙漠化的受害者，所以防沙治

沙、植樹造林符合本地區(qū)各國和人民當(dāng)前及長遠(yuǎn)利益.根據(jù)對中國國家整理的中國沙塵暴資料的分析，發(fā)現(xiàn)持

續(xù)時間大于/的沙塵暴次數(shù)N滿足N=A?10-仍，目前經(jīng)測驗(yàn)A地情況氣象局發(fā)現(xiàn)，7=300時，次數(shù)

N=5,f=600時，次數(shù)N=3,據(jù)此計(jì)算N=4時對應(yīng)的持續(xù)時間f約為（）

（參考數(shù)據(jù)：lg2?0.301,lg3?0.477）

A.389B.358C.423D.431

6.（2024?貴州遵義.一模）近年來，中國成為外來物種入侵最嚴(yán)重的國家之一，物種入侵對中國生物多樣

性、農(nóng)牧業(yè)生產(chǎn)等構(gòu)成巨大威脅.某地的一種外來動物數(shù)量快速增長，不加控制情況下總數(shù)量每經(jīng)過7個

月就增長1倍.假設(shè)不加控制，則該動物數(shù)量由入侵的100只增長到1億只大約需要（1g2。0.3010）（）

A.8年B.B年C.12年D.20年

7.（2024?四川.模擬預(yù)測）2023年6月22日，由中國幫助印尼修建的雅萬高鐵測試成功，高鐵實(shí)現(xiàn)時速350km

自動駕駛，不僅速度比普通列車快，而且車內(nèi)噪聲更小.如果用聲強(qiáng)/（單位：W/n?）表示聲音在傳播

途徑中每平方米上的聲能流密度，聲強(qiáng)級L（單位：dB）與聲強(qiáng)/的函數(shù)關(guān)系式為L=41g（。/）,其中％為

基準(zhǔn)聲強(qiáng)級，”為常數(shù)，當(dāng)聲強(qiáng)/=電時，聲強(qiáng)級L=20dB.下表為不同列車聲源在距離20m處的聲強(qiáng)級:

聲源與聲源的距離（單位：m）聲強(qiáng)級范圍

內(nèi)燃列車20[50,80]

電力列車20[20,50]

高速列車20{10}

設(shè)在離內(nèi)燃列車、電力列車、高速列車20m處測得的實(shí)際聲強(qiáng)分別為4/，4,則下列結(jié)論正確的是（）

A.Lo=3OB.It>I2C.Z2>10Z3D.A<100/2

8.（2024?陜西商洛.三模）近年來商洛為了打造康養(yǎng)之都，引進(jìn)了先進(jìn)的污水、雨水過濾系統(tǒng).已知過濾

過程中廢水的污染物數(shù)量N（mg/L）與時間f（小時）的關(guān)系為"=乂6常（做為最初的污染物數(shù)量）.如

果前3小時消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%還需要（）

A.2.6小時B.6小時C.3小時D.4小時

9.（多選題）（2024.遼寧?二模）半導(dǎo)體的摩爾定律認(rèn)為，集成電路芯片上的晶體管數(shù)量的倍增期是兩年，

用/⑺表示從/=0開始，晶體管數(shù)量隨時間f變化的函數(shù)，若/（0）=1000,則下面選項(xiàng)中，符合摩爾定律公

式的是（）

A.若f是以月為單位，貝=1000+甯/

B.若f是以年為單位，貝1/（。=1000x（四）'

C.若才是以月為單位，貝打g/（f）=3+號f

D.若f是以年為單位，則?汗Ig/'+lJ

lg/（r）=3+^^—乙

10.（多選題）（2024?安徽蚌埠?模擬預(yù)測）科學(xué)研究表明，物體在空氣中冷卻的溫度變化是有規(guī)律的.如

果物體的初始溫度為仇℃,空氣溫度％。C保持不變，貝卜分鐘后物體的溫度。（單位：°C）滿足：

e=%+（4—若空氣溫度為10P,該物體溫度從4℃（90<^<100）下降到30y，大約所需的

時間為八，若該物體溫度從7（TC,5（FC下降到30。。，大約所需的時間分別為則（）（參考數(shù)據(jù)：

ln2?0.7,ln3-l.l)

A.Z2=20B,28<<30C.tx>2t3D.

11.（多選題）（2024.全國?模擬預(yù)測）小菲在學(xué)校選修課中了解了艾賓浩斯遺忘曲線.為了解自己記憶一

組單詞的情況，她記錄了隨后一個月的有關(guān)數(shù)據(jù)，繪制圖象，擬合了記憶保持量y與時間x（單位：天）之

.則下列說法中正確的是（)

A.隨著時間的增加：小菲的單詞記憶保持量降低

B.第一天小菲的單詞記憶保持量下降最多

C.9天后，小菲的單詞記憶保持量不低于40%

D.26天后，小菲的單詞記憶保持量不足20%

12.（多選題）（2024?河南?模擬預(yù)測）1889年瑞典的阿倫尼烏斯提出了阿倫尼烏斯公式：k=Ae^（R和

A均為大于。的常數(shù)），k為反應(yīng)速率常數(shù)（與反應(yīng)速率成正比），T為熱力學(xué)溫度（T＞0）,在同一個

化學(xué)反應(yīng)過程中均為大于0的定值.已知對于某一化學(xué)反應(yīng)，若熱力學(xué)溫度分別為刀和。時，反應(yīng)速率常數(shù)

分別為左和心（此過程中A,R與心的值保持不變），則（）

A.若工＞工，則勺＞&

B.若工＞七，則&＜《

Ek3

C.若n=3工，,貝=

Ek.2,

D.若豈=37],~±=M,貝|ln子=可"

RI]k23

13.（2024.河南洛陽?模擬預(yù)測）在高度為3.6m的豎直墻壁面上有一電子眼A,已知A到天花板的距離為2.1m,

電子眼A的最大可視半徑為0.5m.某人從電子眼正上方的天花板處貼墻面自由釋放一個長度為0.2m的木

棒（木棒豎直下落且保持與地面垂直），則電子眼A記錄到木棒通過的時間為s.（注意：位移與時間

的函數(shù)關(guān)系為s=gg/，重力加速度g取lOm/s?）

14.（2024?上海長寧?二模）甲、乙、丙三輛出租車2023年運(yùn)營的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：

甲乙丙

接單量r（單）783182258338

油費(fèi)S（元）107150110264110376

④若與＞肥，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利?

Yo\a

其中所有正確結(jié)論的序號是.

1.（2015年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（北京卷））某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表

記錄了該車相鄰兩次加油時的情況.

加油時間加油量（升）加油時的累計(jì)里程（千米）

2015年5月1日1235000

2015年5月15日4835600

注：“累計(jì)里程”指汽車從出廠開始累計(jì)行駛的路程

在這段時間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為（）

A.6升B.8升C.10升D.12升

2.（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（北京卷））加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加

工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”，在特定條件下，可食用率p與加工時間t（單位：分鐘）滿足函數(shù)關(guān)系

p=at2+bt+c（a,b,c是常數(shù)），如圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最

佳加工時間為

0.5

O345/

A.3.50分鐘B.3.75分鐘C.4.00分鐘D.4.25分鐘

3.（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)II））在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷

售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴

躍報(bào)名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過1600份的概率為

0.05,志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于

0.95,則至少需要志愿者（）

A.10名B.18名C.24名D.32名

4.（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（湖南卷））某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加.第一

年的增長率為"，第二年的增長率為4,則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為

.p+q（p+D（q+DT

A.-----nD.---------------------

22

C.VwD.J（p+l）（q+l）-l

5.（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（北京卷））顧客請一位工藝師把A、8兩件玉石原

料各制成一件工藝品，工藝師帶一位徒弟完成這

項(xiàng)任務(wù)，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工藝師進(jìn)行精加工完成制作，兩件工藝品都

完成后交付顧客，兩件原料每道工序所需時間（單位：工作日）如下：

工序

時間粗加工精加工

原料

原料A915

原料8621

則最短交貨期為____________________工作日.

6.（2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（浙江卷））我國古代數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中記載百

雞問題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一，凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛

%+y+z=100,

各幾何？”設(shè)雞翁，雞母，雞雛個數(shù)分別為X,y,z,貝IJ1…當(dāng)z=81時，X=_________，

5x+3y+y=100,

y=.

7.（2019年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科））李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、

京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對這四種水果

進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價達(dá)到120元，顧客就少付尤元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到

支付款的80%.

①當(dāng)x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則尤的最大值為

第08講函數(shù)模型及其應(yīng)用

目錄

模擬基礎(chǔ)練.....................................................................2

題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型............................................................2

題型二：對勾函數(shù)模型..........................................................................3

題型三：指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)'黑函數(shù)模型...................................................4

題型四：已知函數(shù)模型的實(shí)際問題................................................................5

題型五：構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問題................................................................6

重難創(chuàng)新練.....................................................................7

真題實(shí)戰(zhàn)練....................................................................11

題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型

1.（2024?高三?四川巴中?期末）已知甲、乙兩個城市相距120千米，小王開汽車以100千米/時勻速從甲城

市駛往乙城市，到達(dá)乙城市后停留1小時，再以80千米/時勻速返回甲城市.汽車從甲城市出發(fā)時，時間x

（小時）記為0,在這輛汽車從甲城市出發(fā)至返回到甲城市的這段時間內(nèi)，該汽車離甲城市的距離y（千米）

表示成時間x（小時）的函數(shù)為（）

[100x,0<x<1.2

A..y=〈

[80x,x>1.2

[100x,0<x<1.2

B.y=\

[120-80x,x>1.2

100x,0<x<1.2

C.y420,1.22.2

120-80%,2.2<%W3.7

100x,0<x<1.2

D.y=<120,1.2<x<2.2

296-80x,2.2<xW3.7

【答案】c

【解析】當(dāng)04x4同=1.2時，y=100x,

當(dāng)1.2<xW2.2時，y=120,

當(dāng)2.2<xW2.2+就=3.7時，y=120-80（x-2.2）=296-80%,

100x,0<x<1.2

綜上：y=120,1.2<x<2.2

296-80x,2.2<x<3.7

故選：D.

2.汽車在行駛中，由于慣性，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止，一般稱這段距離為“剎車距離”.

剎車距離是分析交通事故的一個重要依據(jù).在一個限速為40km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)

情況不對，同時剎車，但還是相碰了.事后現(xiàn)場勘查，測得甲車的剎車距離略超過6m,乙車的剎車距離略超

過10m.已知甲車的剎車距離sm與車速vkm/h之間的關(guān)系為5甲=焉記乙車的剎車距離與車速

vkm/h之間的關(guān)系為s乙=5丫2-卷丫.請判斷甲、乙兩車哪輛車有超速現(xiàn)象（）

A.甲、乙兩車均超速B,甲車超速但乙車未超速

C.乙車超速但甲車未超速D.甲、乙兩車均未超速

【答案】A

【解析】對于甲車，令焉‘一$丫"6,BPv2-10v-600^0

解得20km/h（舍）或VQ30km/h,所以甲未超速；

對于甲車，令白，一tjvaio,即y—101，_2000=0

解得vaTOkm/h（舍）或v=50km/h,所以乙超速；

故選:C.

3.（2024?高三.浙江?開學(xué)考試）某地區(qū)居民生活用電分高峰和低谷兩個時段進(jìn)行分時計(jì)價.

高峰時間段用電價格表：

高峰月用電量（單位：千瓦時）高峰電價（單位：元/千瓦時）

50及以下的部分0.568

超過50至200的部分0.598

超過200的部分0.668

低谷時間段用電價格表:

低谷月用電量（單位：千瓦時）低谷電價（單位：元/千瓦時）

50及以下的部分0.288

超過50至200的部分0.318

超過200的部分0.388

若某家庭7月份的高峰時間段用電量為250千瓦時，低谷時間段用電量為150千瓦時，則該家庭本月應(yīng)付

電費(fèi)為（）元

A.200.7B.207.7C.190.7D.197.7

【答案】C

【解析】高峰時段電費(fèi)為50x0.568+150x0.598+50x0.668=151.5元，

低谷時段電費(fèi)為50x0.288+100x0.318=46.2元，

共計(jì)151.5+46.2=197.7元.

故選：D

題型二：對勾函數(shù)模型

4.如圖，有一張單欄的豎向張貼的海報(bào)，它的印刷面積為72dm2（圖中陰影部分），上下空白各寬2dm,

左右空白各寬1dm,則四周空白部分面積的最小值是（）dm2.

C.120D.88

【答案】B

【解析】設(shè)陰影部分的長為xdm,則寬為L72dm,四周空白部分的面積是ydn?.

x

_<72（144、I144144

由題思得：y=（x+4）l—+2j-72=8+21x+——I>8+2x2Jx-——=56,當(dāng)且僅當(dāng)％=---,即x=12時等號成立.

故選：A

5.一家金店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金.一位顧客到店內(nèi)購買20g黃金，店員先將10g的祛碼放在

天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中，使天平平衡；再將10g的祛碼放在天平右盤中，再取出一些黃

金放在天平左盤中，使得天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.記顧客實(shí)際購得的黃金為空，則x與

20的大小關(guān)系為（）

A.x<20B.x>20

C.x=20D.無法確定

【答案】B

【解析】設(shè)天平左臂長為加，右臂長為〃，根,〃>0且加左盤放的黃金為巧克，右盤放的黃金為巧克，

10m=nx10n10m

2解得石,為

mx1=10nmn

10n10m_llOn10m

x=%!+x?-------1-------22J-----?--=--2--0,當(dāng)且僅當(dāng)爪="時，取到等號,

mn\mn

由于機(jī)H”，所以x>20.

故選：B

6.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特.一模）小明在春節(jié)期間，預(yù)約了正月初五上午去美術(shù)館欣賞油畫，其中有一幅

畫吸引了眾多游客駐足觀賞，為保證觀賞時可以有最大視角，警衛(wèi)處的同志需要將警戒線控制在距墻多遠(yuǎn)

處最合適呢？（單位：米，精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）已知該畫掛在墻上，其上沿在觀賞者眼睛平視的上方3

米處，其下沿在觀賞者眼睛平視的上方1米處.（）

如圖，設(shè)觀賞者的眼睛在點(diǎn)。處，油畫的上沿在點(diǎn)A處，下沿在點(diǎn)8處,

點(diǎn)C在線段A3延長線上，且保持與點(diǎn)。在同一水平線上，

則/AD3=6即觀賞時的視角.

依題意AB=2,3C=1,AC，DC,

不妨設(shè)OC=x,則=G+l,AD=&+9,

2—6卜4+6。2+9

在△ABD中,由余弦定理,cos6=

2&+>&+9VX4+10X*2+9

因x>°,則入口2回6,當(dāng)且僅當(dāng)人9時，即.省時等號成立,

OQ

由x2H--26可得f-I--+10216,

%x

n414

則3+2+1(/屋貝11cose=L>ji

/+乂+10-2，

x2X

因函數(shù)y=cosx在（0,馬上單調(diào)遞減，故得0V區(qū)工，

26

即最大視角為此時觀賞者距離油畫的直線距離為1.73.

6

故選：A.

7.某廠計(jì)劃建造一個容積為8m3,深為2m的長方體無蓋水池.若池底的造價為120元每平方米，池壁的造價

為100元每平方米，則這個水池的最低造價為元.

【答案】2080

【解析】因?yàn)樗氐娜莘e為8m3,深為2m,所以底面積為4m

/、4

設(shè)水池池底的一邊長為Am（x>0）,則另一邊長為

貝U總造價y=4xl20+100x（2x+2-3）x2

=480+400^%+-^

>480+400x2^7^=2080（元）.

4

當(dāng)且僅當(dāng)工=—,即x=2時，y取最小值為2080.

尤

所以水池的最低造價為2080元.

故答案為：2080.

8.某景區(qū)的平面圖如圖所示，其中A3,AC為兩條公路，ABAC=135°,P為景點(diǎn)，AP=1O,AP±AC,

現(xiàn)需要修建一條經(jīng)過景點(diǎn)P的觀光路線MN，M,N分別為AB,AC上的點(diǎn)，貝LAMN面積的最小值

為.

AMB

【答案】200

【解析】AM=a,AN=b,由$4”可+S/xAPM=S4AMN?

可得g4V?AP+；AM-APsin45°=gAM-4V-sinl35°,即10a+10同=a"

由10a+1006=）22JlOa-1006，解得abN400a，當(dāng)且僅當(dāng)。=20&，匕=20時，等號成立，此時取

得最小值.

故AAMN面積的最小值為:absinl35°=200.

故答案為：200.

題型三：指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、幕函數(shù)模型

9.某食品的保鮮時間'（單位：小時）與儲存溫度x（單位：。C）滿足函數(shù)關(guān)系>=冊+"（e=2.718…為

自然對數(shù)的底數(shù)，k、b為常數(shù)）.若該食品在0℃的保鮮時間設(shè)計(jì)192小時，在22。。的保鮮時間是48小時,

則該食品在33。。的保鮮時間是一小時.

【答案】24

]e』929以92

【解析】由題意得，即1,

e=4oe1R=—

I2

所以該食品在33℃的保鮮時間是:

故答案為：24.

10.考古學(xué)家對四川廣漢“三星堆古墓”進(jìn)行考古發(fā)據(jù)，科學(xué)家通過古生物中某種放射性元素的存量來估算古

生物的年代，已知某放射性元素的半衰期約為4200年（即：每經(jīng)過4200年，該元素的存量為原來的一半），

已知古生物中該元素的初始存量為經(jīng)檢測古生物中該元素現(xiàn)在的存量為g,請推算古生物距今大約―

年（參考數(shù)據(jù)：lg2Y）.3）.

【答案】5600

]

【解析】由半衰期的定義可知，每年古生物中該元素的存量是上一年該元素存量的13J200,

X

因此該元素