2025年中考數(shù)學復習：利用“點圓”“線圓”解決線段最值問題

利用"點圓""線圓”解決線段最值問題

一階方法突破練

L如圖，一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸，y軸分別交于A,B兩點,OO的半徑為VX點C是一次函數(shù)y=

x+3圖象上一點，點D是。0上一點，求CD長的最小值.

2.如圖，拋物線yax2+bx+4(a<0)與以A為圓心，AO長為半徑的圓交y軸于點C,與。A的另一個交

點為B(-1，5),,且圓心A在拋物線上，求拋物線的解析式.

3如圖，拋物線y=久2—3%-4與x軸的正半軸交于點A,與y軸交于點B,點C(0,l),以C為圓心,1為半徑畫

圓，點P在。C上，連接AB,AP,BP,求A48P面積的最小值

第3題圖

二階設問進階練

例如圖，拋物線y=-必—3x+4與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C.

⑴若以點C為圓心，1為半徑的圓上有一動點P,連接BP,點Q為線段BP上一點，且BQ=例P,求線段0

Q的最大值；

例題圖①

(2)若點D為拋物線上一點且橫坐標為-3點E為y軸上一點，點F在以點A為圓心，2為半徑的圓上，求DE

+EF的最小值；

例題圖②

⑶若以點B為圓心，3為半徑作圓，與x軸的正半軸交于點H,點M是。B上的一動點，連接AM,以AM

為直角邊向下作等腰Rt△MAN,且乙MAN=90°,,連接NH,求線段NH長度的取值范圍.

例題圖③

綜合強化練

1.如圖，已知拋物線y=aY+法+c與x軸交于A(-l,0),B(3,0)兩點，與y軸交于點C(0,3).

⑴求拋物線的解析式；

(2)OM是△4BC的外接圓，求。M的半徑和圓心M的坐標；

(3)若點P是x軸上的動點，拋物線與。M的另一個交點為點D,當PD+PM的值最小時，求PD+PM的最小

值和P點的坐標.

作圖區(qū)答題區(qū)

第1題圖

備用圖①

備用圖②

2.如圖，拋物線y=ax2+bx與x軸交于點A(4,0),頂點B的坐標為((2,-2),,連接AB作直線OC〃AB交拋

物線于點C.

⑴求拋物線的解析式；

⑵求點C的坐標；

(3)若點D是拋物線上對稱軸右側(cè)的一個動點，以點D為圓心，以四個單位長度為半徑作OD,當。D與直線

OC相切時，求點D坐標.

備用圖①

備用圖②

3.如圖①，在平面直角坐標系中，拋物線y-ax2-2ax+a+2(a力0)與x軸交于X(-l>0),B兩點

⑴求a的值；

⑵點M是第四象限內(nèi)拋物線上的一點，過點B作.BN〃/1M,連接MN交x軸于點C,若SACM:SBCN=9:4,求

直線MN的解析式；

⑶如圖②，過點P(0--習作x軸的平行線交拋物線于H,R兩點.在拋物線上存在一點E，使得以點E為圓心的

OE過點P,R,且與直線y=d相切.求。E的半徑和d的值.

圖①

備用圖

一階方法突破練

1.解：：一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸、V軸分別交于A,B兩點

令x=0,解得y=3,

令y=0,解得x=-3,

.-.A(-3,0),B(0,3),

.■.AO=3,OB=3,

AB=3V2.

作圓心到直線的垂線.

如解圖，過點0作OC」AB于點C',交。0于點D',則當點C在C處點D在D處時,CD最小，為CD'.

11'

-SAOB=-AO-BO=-AB-COt

「'c3^2

???C。=—,

2

：.CD=CO-DO=--=—,

22

..CD長的最小值為當

2.解：；拋物線y^ax2+bx+4(a<0)與以A為圓心,AO長為半徑的圓交y軸于點C,，C(0,4)」OC=4,如解

圖，連接AO,AB,AC,

1?以A為圓心，以A0的長為半徑的圓恰好經(jīng)過點B,C,

，AO=AB=AC,

?■.MOC是等腰三角形，

??.A點在線段OC的垂直平分線上，

..點A的縱坐標為2,設點A的坐標為(x,2),

.■AB=AC,B(-1,5),

&B2=AC彳即(x+i)Q_5)2=x2+Q—4聲解得x=-3,

.?.A(-3,2),

f=_5

a

把B(-l,5),A(-3,2)分別代入y=a/+bx+4得f=5解得.一一］

19。-30+4=2(__

I=-6

3.解:如解圖，過點C作CD±AB于點D,交。C于點P',連接P，APBj"拄P'AB的面積最小，當x=0時,y=-4,二.

B(0,-4),當y=0時,x=4或x=-l,

■:點A在x軸的正半軸上,，A(4,0).

??C(0,1)/.BC=5,AO=4,BO=4〃.AB=4V2.

?.zABO=zCBD,zAOB=zCDB=90°,

..△AOB^ACDB,

CDBCBCAO5V2

—=—,，CD=----=——,

AOBABA2

：.DP'=CD-CP=—-1,

2

：.S,=-ABPD=ix4V2xf--1)=10-2V2.

PAB22\2J

■,■AABP面積的最小值為10-2V2.

二階設問進階練

2

例解：(⑴令y=-x-3%+4=。，則Xi=l,x2=-4,.工(40)上(1,0),則AB=5,即OB=*8,令x=0廁y=4,

，C(0,4),如解圖①，連接AC,AP,CP,則AC=4V2,

?.NQBO=NPBA,且BQ=廁AABPSAOBQ,

.?.AB:OB=AP:OQ=BP:BQ=5：L當A,C,P三點共線，且點C在AP之間時,AP最大，此時OQ最大，

貝UOQ=\AP=：Q4C+1)=噌，

，線段OQ的最大值為噌；

(2)1?點D為拋物線上一點且橫坐標為-3,

，將x=-3代入拋物線解析式中得y=4,

..D(-3,4),

如解圖②，作點D關(guān)于y軸的對稱點G,連接AG交y軸于點E：交。A于點F',連接DE',DF',

.?.DE'=E'G,G(3,4),

DE'+EF'=FG,DE+EIV的最小值為F'G,

FG=AG-2=V65-2,

DE+EF的最小值為V65-2；

⑶如解圖③，將點B繞A點順時針旋轉(zhuǎn)90。到點B：連接AB',MB,B'N,

?.NB'AN+NBAN=90°/BAM+NBAN=90°,

.?.NB'AN=NBAM,

.AB=AB',NA=MA,

...△AB'N以ABM(SAS),

..BM=B'N,

.-.BM=B'N=3,

.■.N在以B'為圓心,3為半徑的圓上運動，

??B(l,0),A(-4,0),

BM=3,/.H(4,0),

BH=V89,

--NH的最大值為V89+3,,NH的最小值為V89-3,

，線段NH長度的取值范圍為V89-3<AZW<V89+3.

三階綜合強化練

1.解：(1)..拋物線與x軸交于A,B兩點與y軸交于點C(0,3),

拋物線的解析式為y=ax2+bx+3,

.?把A(-l,0),B(3,0)分別代入拋物線y=ax2+bx+3中,

得｛，a—b+3=0，.解得｛1二1

9a+3b+3=0"

，拋物線的解析式為y=-*+2x+3；

(2)【思路點撥】三角形外接圓的圓心為三角形三邊垂直平分線的交點，由圓的基本性質(zhì)可得CM=BM,再由

兩點間的距離公式求圓心M的坐標即可.

如解圖①，連接MC,MB,

.?,三角形外接圓的圓心為三角形三條邊垂直平分線的交點，

，設M(l,m),

VMB=MC,

—3)2+⑺—0)2=

J(1-0尸+(TH-3/,

解得m=l,

第1題解圖①

MB=J(3—+(0-=V5,

-.OM的半徑為迷，圓心M的坐標為(1,1)；

⑶【思路點撥】作點D(或點M)關(guān)于x軸的對稱點D：連接D'M交x軸于點P,此時PD+PM的值最小，為M

D’的長.

:拋物線y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

，拋物線的對稱軸為直線x=l,

；M(L1),點M到C,D的距離相等，

，點C,點D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,

.■.D(2,3),第1題解圖②

如解圖②，設點D關(guān)于x軸的對稱點為D',連接MD'交x軸于點P,則D1(2,-3),

PD+PM=PD+PM>MD；

?.當M,P,D'三點共線時,PD+PM有最小值，為MD',

MD'=J(1-2=+[1-(-3)F=V17,

設直線M6的解析式為y=kx+b(k/O),將MD兩點坐標代入得二,解得｛)二,

二直線MD，的解析式為y=-4x+5,

當y=0時,-4x+5=0,解得x=*

.?.P(|,0),PD+PM的最小值為V17.

2.解:⑴?；拋物線y=ax2+bx與x軸交于點A(4,0),頂點為B(2,-2),

.?把A(4,0),B(2,-2)分別代入y=ax^+bx,得點；：?=g,解得fa=P

14a+Zb=-2(b__2

，拋物線的解析式為y=步-2x；”~

(2)如解圖①，過點B作BMJ_x軸于點M,過點C作CN±x軸于點N,

?.A(4,0),B(2,-2),..BM=AM=OM=2,

..NOAB=NMBA=45°,

?.OCllAB,

.,.zCON=zOAB=45°,.,.CN=ON,?C(m,m)把C點坐標代入y——2久，得|m2-2m=zn,解得—0

(舍去),m2=6,.?.點C的坐標為(6,6)；

圖①圖②

第2題解圖

⑶設。D與直線0C相切于點E,如解圖②，當點D在直線0C下方時，連接DE,則DE±OC,DE=VX,過點D

作DF_LDE交x軸于點F,過點F作FQ±OC于點Q,則四邊形FQED是矩形，

FQ=DE=V2,

由⑵可知/COA=45°,

0Q=FQ=OF=2,

.?.F(2,0),

設直線0C的表達式為y=kx,

把C(6,6)代入得k=l,

，直線0C的表達式為y=x,

???FDllOC,

，設直線FD的表達式為y=x+n,

把F(2,0)代入y=x+n,得2+n=0,解得n=-2,

，直線FD的表達式為y=x-2,

聯(lián)立拋物線與直線FD的表達式得*-2x=久-2,解得=3+V5,%2=3-V5,

1?點D是拋物線上對稱軸右側(cè)的一個動點，

???￡)(3+V5-1+V5),

同理可得，當點D在直線0C上方時，點D的坐標為(3+V13-5+V13).

綜上所述，點D的坐標為(3+V5-1+岔)或(3+V13,5+V13).

3.解：(1),.拋物線y=ax2-2ax+a+2(aH0)與x軸交于A(-l,0),B兩點,

二將A點坐標代入拋物線解析式，得a+2a+a+2=0,解得a=的值為-|；

(2)【思路點撥】由面積比得出相似比，以M,N兩點坐標構(gòu)造相似三角形，分別聯(lián)立直線AM,BN和拋物

線的解析式得出M,N橫坐標之間的關(guān)系，代入到構(gòu)造的相似三角形比例關(guān)系中求解即可.

如解圖①，過點M,N分別作x軸的垂線,垂足分別為S,T,

?.AMIIBN/.MCM-ABCN.

?.?SAACM:SABCN=9:4,：.MC:NC=AC:BC=3:2.

由(1)得，拋物線的解析式為y=-”+x+1,當y=0時，解得x=-l或x=3,

.-.A(-l,0),B(3,0),

..AB=4,

?.AC:BC=3:2,

，AC:AB=3:5,故AC=弓

■.MSllTN,

.'.△MCS-△NCT,

..CS:CT=MC:NC=3:2,

??-(X-xy.(x一萬N)=3：2,

Mcc第3題解圖①

即(如一9：G一瓶)=3：2,

設直線AM的解析式為y=k(x+l),

聯(lián)立拋物線與直線AM的解析式并整理，

得x2+2(k-l)x+2k-3=0,

故xA+xM=2(1-k),

同理可得，直線BN的解析式為:y=k(x-3),xB+xN=2(1-k),

-,-xM-xN+xA-x