2025年新高考數(shù)學一輪復習：離散型隨機變量及其分布列、數(shù)字特征【七大題型】解析版

離散型隨機變量及其分布列、數(shù)字特征【七大題型】

?熱點題型歸納

【題型1離散型隨機變量的判斷】..............................................................3

【題型2分布列的性質】.......................................................................5

【題型3分布列的求法】.......................................................................7

【題型4離散型隨機變量的均值】..............................................................11

【題型5離散型隨機變量的方差】..............................................................14

【題型6均值與方差中的決策問題】...........................................................17

【題型7離散型隨機變量與其他知識綜合】.....................................................22

?考情分析

1、離散型隨機變量及其分布列、數(shù)字特征

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

2023年新高考I卷：第21題，

12分

從近幾年的高考情況來看，本節(jié)是

2023年全國甲卷（理數(shù)）：

⑴理解取有限個值的離高考的重點、熱點內(nèi)容，主要考查離散

第19題，12分

散型隨機變量及其分布列型隨機變量的分布列、期望與方差等，

2023年北京卷：第18題，13

的概念主要以解答題的形式考查，有時會與概

分

⑵理解并會求離散型隨率、統(tǒng)計、獨立性檢驗等結合考查，難

2024年新高考II卷:第18題，

機變量的數(shù)字特征度中等，復習時需要加強這方面的練習，

17分

靈活求解.

2024年北京卷：第18題,13

分

?知識梳理

【知識點1離散型隨機變量及其分布列】

1.隨機變量與離散型隨機變量

⑴隨機變量

①定義：一般地，對于隨機試驗樣本空間。中的每個樣本點都有唯一的實數(shù)X（。）與之對應，我們

稱X為隨機變量^

②表示：通常用大寫英文字母表示隨機變量，用小寫英文字母表示隨機變量的取值.

2.離散型隨機變量的分布列

(1)定義

一般地，設離散型隨機變量X的可能取值為七,XV…，％,我們稱X取每一個值%的概率P?%)=

Pi，z-L2,…，”為X的概率分布列，簡稱分布列.

(2)分布列的表格表示

X修

PP\P2Pn

分布列也可以用等式形式表示為P(X=Xi)=Pi,i=\,2,…，n,還可以用圖形表示.

⑶離散型隨機變量分布列具有的兩個性質

①pt^0,z=l,2,…，n；

@p,+p2+---+p?=l.

3.離散型隨機變量分布列的性質的應用

⑴利用“概率之和為1”可以求相關參數(shù)的值.

(2)利用“在某個范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求某些特定事件的概率.

(3)可以根據(jù)性質判斷所得分布列結果是否正確.

4.離散型隨機變量分布列的求解步驟

第一步，明取值：明確隨機變量的可能取值有哪些，且每一個取值所表示的意義；

第二步，求概率：要弄清楚隨機變量的概率類型，利用相關公式求出變量所對應的概率；

第三步，畫表格：按規(guī)范要求形式寫出分布列；

第四步，做檢驗：利用分布列的性質檢驗分布列是否正確.

【知識點2離散型隨機變量的數(shù)字特征】

1.離散型隨機變量的均值

⑴定義

一般地，若離散型隨機變量X的分布列如下表所示:

X工2

PP\P2Pn

則稱E(X)=XlPl+x2p2+-+XiPi+-+xn”,為離散型隨機變量X的均值或數(shù)學期望，數(shù)學期望簡稱

期望，它反映了隨機變量取值的平均水平

⑵對均值(期望)的理解

求離散型隨機變量的期望應注意

①期望是算術平均值概念的推廣是概率意義下的平均

②E(X)是一個實數(shù),由X的分布列唯一確定,即作為隨機變量，X是可變的，可取不同值，而E⑶是

不變的，它描述X取值的平均狀態(tài)

③均值與隨機變量有相同的單位.

2.離散型隨機變量的方差、標準差

(1)定義

設離散型隨機變量X的分布列為

XX1%2Xi

PPiP2PiPn

則稱。(田=(西一E(X)y一E(X))2n+…+(x“一E(X))2—E(X))2“為隨機變量X

的方差，并稱，。(方)為隨機變量X的標準差，記為＜7(X).

(2)意義

隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取值的離散程

度.方差或標準差越小，隨機變量的取值越集中，方差或標準差越大，隨機變量的取值越分散.

3.均值與方差的性質

(1)均值的性質

若離散型隨機變量X的均值為￡(X),Y=aX+b,其中a,6為常數(shù)，則丫也是一個離散型隨機變量，且

E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.

特別地，當a=0時,E(b)=b；

當a=\時，E(X+b)=E(X)+b；

當6=0時，E(aX)=aE(X).

(2)方差的有關性質

當a,6均為常數(shù)時，隨機變量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=a2D(X).

特別地，當a=0時,D(b)=0；當a=\時,D(X+b)=D(X)；

當6=0時，D(aX)=a2D(X).

4.求離散型隨機變量。的均值與方差的步驟

(1)理解。的意義，寫出?？赡艿娜恐?

(2)求。取每個值的概率.

(3)寫出忑的分布列.

(4)由均值的定義求￡(今

(5)由方差的定義求。?.

【方法技巧與總結】

1.E(k)=k,D⑻=0,其中左為常數(shù).

2.E(XI+X2)=E(XI)+E(X2).

3.。⑶=風相)-(E(X))2.

4.若X”必相互獨立，則夙石氏尸夙乂)?E(%).

?舉一反三

【題型1離散型隨機變量的判斷】

【例1】(23-24高二下?重慶?期中)下面給出的四個隨機變量中是離散型隨機變量的是()

①某食堂在中午半小時內(nèi)進的人數(shù)Zi；②某元件的測量誤差Z2；

③小明在一天中瀏覽網(wǎng)頁的時間Z3;④高一2班參加運動會的人數(shù)Z4;

A.①②B,③④C,①③D.①④

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用離散型隨機變量的定義分析各命題，再判斷作答.

【解答過程】對于①，某食堂在中午半小時內(nèi)進的人數(shù)Zi可以一一列舉出來，故①是離散型隨機變量；對

于②，某元件的測量誤差Z2不能一一列舉出來，故②不是離散型隨機變量；

對于③，小明在一天中瀏覽網(wǎng)頁的時間Z3不能一一列舉出來，故③不是離散型隨機變量；對于④，高一2

班參加運動會的人數(shù)Z4可以一一列舉出來，故④是離散型隨機變量；

故選：D.

【變式1-1](23-24高二下?江蘇?課前預習)下列隨機變量是離散型隨機變量的個數(shù)是()

①擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)；

②投籃一次的結果；

③某同學在12：00至12：30到校的時間；

④從含有50件合格品、10件次品的產(chǎn)品中任取3件，其中合格品的件數(shù).

A.1B.2

C.3D.4

【解題思路】根據(jù)離散型隨機變量的定義逐個分析即可.

【解答過程】①中骰子出現(xiàn)的點數(shù)為1,2,3,4,5,6,可以一一列舉出來.

②中投籃一次有兩種情況，若用1表示投中，0表示不中，

則也可以一一列舉出來.

④中所取3件產(chǎn)品的合格品數(shù)可能為0,1,2,3,共4種情況，

可以一一列舉出來.

③中學生到校時間可以是12：00到12：30中的任意時刻，

不能一一列舉出來，因此③不是離散型隨機變量，

故只有①②④滿足.

故選：C.

【變式1-2]（23-24高二下?福建福州?期中）下列敘述中，是離散型隨機變量的是（）

A.某電子元件的壽命

B.高速公路上某收費站在一小時內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)

C.某人早晨在車站等出租車的時間

D.測量某零件的長度產(chǎn)生的測量誤差

【解題思路】根據(jù)離散型隨機變量的定義直接求解.

【解答過程】某電子元件的壽命可為任意值，不能一一列舉出來，不是離散型隨機變量；

一小時內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)可以一一列舉出來，是離散型隨機變量；

等出租車的時間是隨機變量，但無法一一列出，不是離散型隨機變量；

測量誤差不能一一列出，不是離散型隨機變量.

故選：B.

【變式1-3]（23-24高二下?河南周口?期中）下面給出四個隨機變量：

①一高速公路上某收費站在十分鐘內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)f;

②一個沿x軸進行隨機運動的質點，它在x軸上的位置5

③某派出所一天內(nèi)接到的報警電話次數(shù)X；

④某同學上學路上離開家的距離「

其中是離散型隨機變量的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】根據(jù)離散型隨機變量的定義判斷即可.

【解答過程】對于①，十分鐘內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)可以一一列舉出來，①是離散型隨機變量；

對于②，沿x軸進行隨機運動的質點，質點在直線上的位置不能一一列舉出來，②不是離散型隨機變量；

對于③，一天內(nèi)接到的報警電話次數(shù)可以一一列舉出來，③是離散型隨機變量；

對于④，某同學上學路上離開家的距離可為某一區(qū)間內(nèi)的任意值，不能一一列舉出來，④不是離散型隨機

變量，

所以給定的隨機變量是離散型隨機變量的有①③.

故選:B.

【題型2分布列的性質】

【例2】(23-24高二下?云南保山?階段練習)隨機變量f的分布列如下表所示，且2機+n=1.2,則m—n=

()

0123

P0.1mn0.1

A.-0.2B.0.4C.0.2D.0

【解題思路】根據(jù)分布列的性質即可求解.

【解答過程】由分布列的性質可得，0.1+m+ri+0.1=1,即m+n=0.8,=1.2,m=n=0.4,

■,-m—n=0,

故選：D.

【變式2-1](23-24高二下?重慶長壽?期末)設實數(shù)a>0,隨機變量f的分布列是：

A.1B.—2C.—3D.—6

【解題思路】利用分布列中，概率之和為1求解.

【解答過程】解：因為1+5+(=1,

所以。=1,

故選：A.

【變式2-2](2024?安徽滁州?模擬預測)泊松分布是統(tǒng)計學里常見的離散型概率分布，由法國數(shù)學家泊松

首次提出，泊松分布的概率分布列為P(X=k)=杳eT(k=0,l,2,-“)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，4是泊松分

布的均值.已知某線路每個公交車站臺的乘客候車相互獨立，且每個站臺候車人數(shù)X服從參數(shù)為4(4>0)的泊

松分布，若該線路某站臺的候車人數(shù)為2和3的概率相等，則該線路公交車兩個站臺各有1個乘客候車的

概率為()

1499

A?彘B./C.而D.最

【解題思路】根據(jù)候車人數(shù)為2和3的概率相等求出參數(shù)，再利用泊松分布的概率分布列即可得出答案.

【解答過程】由題意可知P(X=2)=P(X=3),即緊t=普e-“解得2=3,

所以P(X=k)=親—也=0,1,2,-),

從而p(x=1)=*-3=2,

故該線路公交車兩個站臺各有1個乘客候車的概率為p=(I)2=

故選：D.

【變式2-31(23-24高二下?全國?期末)離散型隨機變量X的分布列中部分數(shù)據(jù)丟失,丟失數(shù)據(jù)以x,y{x,yGN)

代替，分布列如下：貝iJP(|<X</)=()

X=i123456

P(X=o0.210.200.10。.加0.10

A.0.35B.0.45C.0.55D.0.65

【解題思路】根據(jù)概率之和為1得到方程組，求出*=2,y=4,得到答案.

【解答過程】由題意得l+0+5+0+y+0=10,解得y=4,

2+2+x+l+l+l=9,解得x=2,

故P(|<X<9=0.20+0.25=0.45.

故選：B.

【題型3分布列的求法】

【例3】(2024?湖北黃岡?二模)某校高三年級擬派出甲、乙、丙三人去參加校運動會100m跑項目.比賽分為

初賽和決賽，其中初賽有兩輪，只有兩輪都獲勝才能進入決賽.已知甲在每輪比賽中獲勝的概率均為;；乙在

第一輪和第二輪比賽中獲勝的概率分別為I和*丙在第一輪和第二輪獲勝的概率分別為P和l—p,其中3

3

<P<4

(1)甲、乙、丙三人中，誰進入決賽的可能性最大；

(2)若甲、乙、丙三人中恰有兩人進入決賽的概率為,，求P的值；

(3)在(2)的條件下，設進入決賽的人數(shù)為f,求f的分布列.

【解題思路】(1)利用相互獨立事件的概率公式分別求出甲乙丙進入決賽的概率，再比較大小即可.

(2)利用互斥事件的加法公式及相互獨立事件的概率公式，列式解方程即得.

(3)利用(2)的結論，求出f的可能值及對應的概率列出分布列.

【解答過程】⑴甲進入決賽的概率為P1=《Q)2=卷Q乙進入決賽的概率為P2=■7|><??=也1

丙進入決賽的概率為P3=p(1—p)=—3一|)2+是而，p<%則,<、3<|，

所以甲進入決賽的可能性最大.

(2)甲、乙、丙三人中恰有兩人進入決賽的概率為

2一P(|—P)]+?(1—)P(|—P)+(1一金=H'

__1o2

整理可得18P2—27p+10=0,而5Vp<力所以P=￡.

N4D

(3)依題意，甲、乙、丙進入決賽的概率分別為

隨機變量f的可能取值有0,1,2,3,

、、、

C,oC)=-7x-1x-4=-7,P(^C2)=-29,P(f-c3)=-9x-1x-5=-5,

P(f=1)=2?(1"),(1一》+(1一得",(1一|)+(1-書?(1")[=

所以隨機變量f的分布列為：

0123

711295

P

72327232

【變式3-1](2024?浙江?模擬預測)現(xiàn)有一拋硬幣游戲機制：假設拋中正、反面可能性均為去若拋中的是

正面，則收益80%的手中金額；否則虧損50%的手中金額.甲同學按此規(guī)則進行多組模擬，拋硬幣100次，發(fā)

現(xiàn)最終虧損的次數(shù)多于盈利的次數(shù).假設初始金額為100元，記》為拋硬幣次數(shù)，y為經(jīng)歷x次拋硬幣后手中的

金額.

V八

100------------------------

----------------------1—I——I----------------------------->

0123x

(1)若久=2,求y的分布列；

(2)如圖，橫坐標表示x,縱坐標表示y,在圖中描出所有可能取值對應的(%,y),并求出當x=0、1、2、3時

盈利的概率；

(3)綜合(1)(2)數(shù)據(jù)，簡要說明形成甲同學的實驗現(xiàn)象的原因(直接寫結論).

【解題思路】(1)根據(jù)條件知y的可能取值為25,90,324,再求出相應的概率，即可求出結果；

(2)通過取一些特殊值，即可得到部分圖象，再根據(jù)條件，即可求出x=0、1、2、3時盈利的概率;

(3)根據(jù)題設條件，即可寫出結果.

【解答過程】(1)易知y的可能取值為25,90,324,

P(y=25)=|X|=iP(y=90)=X|X|=I，

P(y=324)=jx1=p

所以y的分布列為

y2590324

111

p

424

(2)當x=0時，y=100,當尤=1時，丫=50或丫=180,

當x=2時，y的可能取值為25,90,324,…，所以圖象如下圖

h?

100------?-------------

方比一

易知P(x=0)=0,P(x=1)=I，P(x=2)=|x|=p=3)=|X|X|+C3X|X|X|=1.

(3)x越大，最終手中金額大于初始金額的概率會越小，則最終虧損的可能性越大，最后虧損的組數(shù)多于

盈利的組數(shù)，即甲同學實驗現(xiàn)象(答案不唯一).

【變式3-2](2024?河南?二模)盒中裝有大小相同的7個小球，其中2個黑球，3個紅球，2個白球.規(guī)定:

取到1個黑球得0分，取到1個紅球得1分，取到1個白球得2分.現(xiàn)一次性從盒中任取3個小球.

(1)求取出的3個小球中至少有2個紅球的概率；

(2)用隨機變量X表示取出的3個小球得分之和，求X的分布列.

【解題思路】(1)根據(jù)古典概型的概率公式可得N=35,即可利用超幾何分布的概率公式求解；

(2)利用超幾何分布的概率公式求解概率，即可得分布列.

【解答過程】（1）共有0=35種不同的取法，事件2表示取出3個小球中至少有2個紅球，包含兩種

◎+C禺_13_

P⑷G—35；

（2）隨機變量X的可能取值為1,2,3,4,5,

P(X=D=嚕M

P(X=2)=鎏浮8

,

L735

禺禺禺十/.

P(X=3)6—35?

P(X=4)=生泮8

,

L735

P(X=5)=譬

L<7

則隨機變量X的分布列為:

X12345

381383

P

3535353535

【變式3-3］（2024?遼寧?一模）在統(tǒng)計學的實際應用中，除了中位數(shù)外，經(jīng)常使用的是25%分位數(shù)（簡稱

為第一四分位數(shù)）與75%分位數(shù)（簡稱為第三四分位數(shù)），四分位數(shù)應用于統(tǒng)計學的箱型圖繪制，是統(tǒng)計

學中分位數(shù)的一種，即把所有數(shù)值由小到大排列，并分成四等份，處于三個分割點的數(shù)值就是四分位數(shù)，

箱型圖中，，箱體，，的下底邊對應數(shù)據(jù)為第一四分位數(shù)，上底邊對應數(shù)據(jù)為第三四分位數(shù)，中間的線對應中位數(shù),

已知甲、乙兩班人數(shù)相同，在一次測試中兩班成績箱型圖如圖所示.

（1）由此圖估計甲、乙兩班平均分較高的班級是哪個？（直接給出結論即可，不用說明理由）

（2）若在兩班中隨機抽取一人，發(fā)現(xiàn)他的分數(shù)小于128分，則求該同學來自甲班和乙班的概率分別是多少？

（3）據(jù)統(tǒng)計兩班中高于140分共10人，其中甲班6人，乙班4人，從中抽取了3人作學習經(jīng)驗交流，3人中

來自乙班的人數(shù)為X,求X的分布列.

【解題思路】（1）根據(jù)甲乙兩班成績箱型圖中的中位數(shù)，第三四分位數(shù)和第一四分位數(shù)的位置可以判斷結

果；

(2)依題知這是條件概率問題，分別設出從兩班中隨機抽取一人，“該同學來自甲班為事件4',“該同學分

數(shù)低于128分為事件B”，則需要求PQ4|B)和P0B),而這需要先求P(B|A)和P(B|Z),再根據(jù)全概率公式

求出P(B),最后用貝葉斯公式求解即得；

(3)先求出X的所有可能的值，再利用古典概型概率公式求出每個值對應的概率，即得X的分布列.

【解答過程】(1)由兩班成績箱型圖可以看出，甲班成績得中位數(shù)為128,而乙班的第三四分位數(shù)使128,

同時，甲班的第一四分位數(shù)明顯高于乙班，由此估計甲班平均分較高.

(2)由圖可知，甲班中有［的學生分數(shù)低于128分；

乙班中有油學生分數(shù)低于128分

設從兩班中隨機抽取一人，“該同學來自甲班為事件4',“該同學分數(shù)低于128分為事件B”,

則PQ4)=5P(B\A)=l，P(B區(qū))=|，

___11315

：?P(B)=PQ48)+P(麗=P(B\A)-+P(B\A)-=-x-+-x-=-

ZZ4Zo

11

P⑷3)=迪=鋁"納-2X2_2

一5一5

8

13

P(川p(砧)=p(z)p?z).2X4?3

1

1)P(B)P(B)~5-5

8

所以，該同學來自甲乙兩班的概率分別為:

(3)依題X的所有可能取值為0,1,2,3

P(X=0)=警=P(X=1)=警1

^106。102

P(X=2)=^=而，P(X=3)=常1

30

所以X的分布列為:

X0123

1131

p

62To30

【題型4離散型隨機變量的均值】

【例4】(2024?全國?模擬預測)從1-20中隨機抽取3個數(shù)，記隨機變量f為這3個數(shù)中相鄰數(shù)組(a,a+1)

的個數(shù).如當這三個數(shù)為11,12,14時，f=l；當這三個數(shù)為7,8,9時，f=2.則E(f)的值為()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

【解題思路】隨機變量f的取值為0,1,2,結合變量對應的事件寫出概率，算出期望.

【解答過程】隨機變量f的取值為0,1,2,

當，=1時，所取的三個數(shù)中僅兩個數(shù)相鄰，其中取1,2和19,20,對應取法為17種，其余17情況取法為16

種，

2x17+17x16306

；?P（f=1）=京=M40'

當f=2時，即所取的三個數(shù)中兩兩相鄰，取法有18種，.?.P&=2）=段=馬*，

所以當f=0時，即所取的三個數(shù)彼此不相鄰，取法有1140—18—306=798種，

?."低=。）=鬻

???E⑹=。*鬻+1義普+2X瑞=0.3.

故選：B.

【變式4-1]（2024?全國?模擬預測）已知某多選題給出的四個選項中會有多個選項符合題目要求，全部選

對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.若選項中有i（其中i=2,3,4）個選項符合題目要求,

記隨機作答該題時（至少選擇一個選項）所得的分數(shù)為隨機變量§々=2,3,4）,則（）

A.2E&）〉鉆&）〉E（n）

B.4E&）＞E（打）＞2E&）

C-2E&）＞僅n）＞4E&）

D-4E（f2）＞2E（G）＞E（n）

【解題思路】由題意可知：當至少選擇一個選項時，共有24-1=15（種）可能，根據(jù)期望的定義分別求

E&），/&*&），進而分析判斷.

【解答過程】由題意可知：當至少選擇一個選項時，共有24—1=15（種）可能，

因為七可取0，2,5,

11+121+24

且P(f2=5)=云,片2=2)=方=-,P(G=0)=1--=?

所以￡&)=譽=(

又因為心可取0,2,5,

且P&=5)=白P(f3=2)=誓="(&=0)=1—詈=W

所以僅f3)=詈=￡?

-1-1-1A

而已可取2,5,且P(64=5)=記，則P(§4=2)=1_云=正

所以即4)=鬻*;

即4E&)=y,2￡(f3)=葛所以4E&)>2E&)>5(n)，故D正確.

故選：D.

【變式4-2](2024?貴州?模擬預測)某學校舉行數(shù)學學科知識競賽，第一輪選拔共設有4B,C,D,E五

道題，規(guī)則為每位參賽者依次回答這五道題，每答對一題加20分，答錯一題減10分；若連續(xù)答錯兩道題

或五道題全部答完，則第一輪選拔結束.假設參賽者甲同學答對4B,C,D,E的概率分別為|

且各題回答正確與否相互之間沒有影響.

(1)記X為甲同學本輪答題比賽結束時已答題的個數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望;

(2)第一輪比賽結束后，若參賽者在第一輪出現(xiàn)過連續(xù)答對三道題或總分不低于70分，則可進入下一輪選拔,

求甲同學能進入下一輪的概率.

【解題思路】(1)根據(jù)題意列出甲同學本輪答題比賽結束時已答題的個數(shù)X的可能取值，然后分別算出其

概率，即可得出X的分布列和數(shù)學期望;

(2)依據(jù)題意，列舉甲同學能進入下一輪的情況，然后利用相互獨立事件的概率公式分別算出其概率，即

可得出答案.

【解答過程】(1)由題可得X可能取值為：2,3,4,5

111

=2)=-x-=—

i74312

3111

^=3)=ix-x-=-

?/、

^n=4)=3-x2-x1-x1-+,1-x2-x1-x1-=-1

111155

P(X=5)=-

,)1286248

X的分布列如下:

X2345

1115

P

12868

所以E(X)=2x0+3X9+4X：+5X||=^

(2)設4B,C,D,E分別代表第1,2,3,4,5個問題,

用=1,2,3,4,5)表示甲同學第i個問題回答正確；

用=1,2,3,4,5)表示甲同學第i個問題回答錯誤；

,27111

由題意得P(M1)=*P(M2)=-,P(M3)=1,P(M4)=-,P(M5)=I，

記甲同學能進入下一輪為事件K

則P(K)=P(%M2M3M4M5)+P(M1M2M3M4國+尸(M1M2M3%M5)+尸(M1M2M3m4m5)

+P(M1M2M3M4M5)+P(Mi祈2M3M4M5)+P(欣2M3M4M5)+P(M1M2M3M4M5)

-3211131111,121111211137

=5x-x-x-x-x-+-x-x-x-x-+-x-x-x-x-+-x-x-x-x-=—.

4322243222432224322296

【變式4-3](2024?海南?模擬預測)某自助餐廳為了鼓勵消費，設置了一個抽獎箱、箱中放有8折、8.5折、

9折、9.5折的獎券各3張，每張獎券的形狀都相同，每位顧客可以從中任取3張獎券，最終餐廳將在結賬

時按照3張獎券中最優(yōu)惠的折扣進行結算.

(1)求一位顧客抽到的3張獎券的折扣均不相同的概率；

(2)若自助餐的原價為100元/位，記一位顧客最終結算時的價格為X,求X的分布列及數(shù)學期望E(X).

【解題思路】(1)利用古典概型概率公式可求解；

(2)X的所有取值為80,85,90,95,利用古典概型概率公式可求分布列，進而可求期望.

【解答過程】(1)從12張中任選3張有C%=220種方法，

取到的折扣均不相同的取法有第禺的最=108,

所以一位顧客抽到的3張獎券的折扣均不相同的概率券=||；

(2)X的所有取值為80,85,90,95,

prv_am-1組—184-34P(Y-AR-纖髭二+雷6416

-80)-1--1---P(X-85)-C3222055,

P(x=90)=Cc黨HC=蒜P(X=95)

Cj2~220’

所以X的分布列為

X80859095

3416191

P

5555220220

伙X)=80x葭+85xIf+90x蒜+95x嬴=181253625

22044,

【題型5離散型隨機變量的方差】

【例5】(2024?陜西西安?模擬預測)已知某隨機變量X的分布列如圖表，則隨機變量X的方差D(X)=

()

X02040

Pm2mm

A.120B.160C.200D.260

【解題思路】根據(jù)概率和為L求得m,再根據(jù)分布列求E(X),再求D(X)即可.

【解答過程】由題可知：m+2m+m=1,解得m=：,貝UE(X)=0Xm+40m+40nl=80m=20；

故。(X)=；(0-20)2+1(20-20產(chǎn)+l(4o_20)2=100+0+100=200.

故選：C.

【變式5-11(2024?廣東廣州?二模)設104%1<冷<-3<X4<%5450,隨機變量取值久3/4,久5的

概率均為0.2,隨機變量&取值空空警■，竽至尹的概率也均為0.2,若記。記1)刀代2)分別為狗六2的

方差，貝U()

A.0(G)<0?2)

B-。&)=

C.

D.。(打)與。(。)的大小關系與犯，*2,尤3,血,%5的取值有關

【解題思路】根據(jù)期望的公式推出E(fi)=E($2),再根據(jù)方差的計算公式可得D(fi),D($2)的表達式，結合

基本不等式，即可判斷。(右)浦(§2)的大小，即得答案.

【解答過程】由題意得E(fi)=0.2(%1+x2+X3+%4+久5)，

E(f2)=。2x=62(X1+x2+x3+必+&)，

故E?)=E⑤)，

記匹=E?)=E&)

222

則。(打)=0.2[(xt-%)+(x2-x)++(x5-x)]

=0.2[(%1+必4---1■點+5%2)—2(%1+%2+%3+%4+%5)用I

=0.2(%i+。+…+蛙—5x2)

同理D(f2)=0.2[(空)2+(弩[+…+(空)2_5-2]

因為1OWX1<X2<X3<X4<X5W5O,貝I](誓)2(弩1,…，(誓<雪，

故(空)2+(空?+”?+(誓￥<妊+石+…+痣

即得D&)>。任2)，。(0)與。(。)的大小關系與打占2/3，孫，出的取值無關，

故選：C.

【變式5-2](2024?河南鄭州?模擬預測)某公司擬通過摸球中獎的方式對員工發(fā)放節(jié)日紅包.在一個不透

明的袋子中裝有幾個形狀大小相同的標有面值的球，每位員工從球袋中一次性隨機摸取僅個球(mWm，摸

完后全部放回袋中，球上所標的面值之和為該員工所獲得的紅包數(shù)額.

(1)若n=4,m=2,當袋中的球中有2個所標面值為40元，1個為50元，1個為60元時，在員工所獲得的紅

包數(shù)額不低于90元的條件下，求取到面值為60元的球的概率；

(2)若n=5,m=4,當袋中的球中有1個所標面值為10元，2個為20元，1個為30元，1個為40元時，求

員工所獲得紅包數(shù)額的數(shù)學期望與方差.

【解題思路】(1)記事件4員工所獲得的紅包數(shù)額不低于90元，事件B：取到面值為60元的球，根據(jù)條

件先求PQ4),PQ42),再利用條件概率公式，即可求解；

(2)由題知X可能取值為80,90,100,110,再求出對應的概率，利用期望和方差的計算公式，即可求解.

【解答過程】(1)記事件4員工所獲得的紅包數(shù)額不低于90元，事件B：取到面值為60元的球，

因為球中有2個所標面值為40元，1個為50元，1個為60元，且

40+50>90,40+60>90,50+60>90,所以P(O)=?喟最=\

C46

又PG4B)W=|=T，所以P(BM)=制=g=|.

(2)設X為員工取得的紅包數(shù)額，貝吠可能取值為80,90,100,110,

1111

所以P(X=80)=^4=-,P(X=90)=

2211

P(X=100)=^4=-,P(X=110)=^4=-,

1121

所以E(X)=80x-+90x-+100x-+110x--96,

1171

D(X)=(80-96)2X-+(90-96)2X-+(100-96)2x-+(110-96)2x-=104.

【變式5-3](2024?湖南長沙?三模)開展中小學生課后服務，是促進學生健康成長、幫助家長解決接送學

生困難的重要舉措是進一步增強教育服務能力、使人民群眾具有更多獲得感和幸福感的民生工程.某校為

確保學生課后服務工作順利開展，制定了兩套工作方案，為了解學生對這兩個方案的支持情況，對學生進

行簡單隨機抽樣，獲得數(shù)據(jù)如表:

男女

支持方案一2416

支持方案二2535

假設用頻率估計概率，且所有學生對活動方案是否支持相互獨立.

(1)從該校支持方案一和支持方案二的學生中各隨機抽取1人，設X為抽出兩人中女生的個數(shù)，求X的分布列

與數(shù)學期望；

(2)在(1)中丫表示抽出兩人中男生的個數(shù)，試判斷方差0(X)與D(y)的大小.

【解題思路】(1)記從方案一中抽取到女生為事件4從方案二中抽取到女生為事件氏根據(jù)已知條件求出

PQ4),P(B),X的可能取值為0,1,2,求出相應的概率，從而可求得X的分布列與數(shù)學期望；

(2)根據(jù)方差的性質判斷即可.

【解答過程】(1)記從方案一中抽取到女生為事件4從方案二中抽取到女生為事件8.

rt/c/4、162c/c、357

人J⑷=24+16=3P⑻=25+35=12，

則X的可能取值為0、1、2.

所以尸(X=0)=(1—x(1—卷)=

P(X=1)=(1-|)x^+|x(1-^)=|i,

P(X=2)=|x《=(,

所以X的分布列為:

(2)依題意可得y=2—X,

所以。(丫)=。(2—X)=(―1)2D(X)=D(X),

即D(r)=o(x).

【題型6均值與方差中的決策問題】

【例6】(2025?甘肅張掖?模擬預測)為增加學生對于籃球運動的興趣，學校舉辦趣味投籃比賽，第一輪比

賽的規(guī)則為：選手需要在距離罰球線1米，2米，3米的4B,C三個位置分別投籃一次.在三個位置均投進得

10分；在C處投進，且在4B兩處至少有一處未投進得7分；其余情況(包括4、B、C三處均不投進)保底得4

分.已知小王在三處的投籃命中率分別為看*，且在三處的投籃相互獨立.

(1)設J為小王同學在第一輪比賽的得分，求f的分布列和期望；

(2)若第二輪比賽中設置兩種參賽方法.方法1：按第一輪比賽規(guī)則進行比賽；方法2：選手可以選擇在C處

縮短投籃距離0.5米，但得分會減少a(lWaW3)分.選手可以任選一種規(guī)則參加比賽.若小王在C處縮短

投籃距離0.5米后，投籃命中率會增加6(0<b<鄉(xiāng).請你根據(jù)統(tǒng)計知識，幫助小王同學選擇采用哪種方法

參加比賽更好.

【解題思路】(1)根據(jù)相互獨立事件概率乘法公式求f的分布列，利用公式求得數(shù)學期望；

(2)先求選取方法2參加比賽，則小王同學得分〃的數(shù)學期望，再進行比較.

【解答過程】(1)§的可能取值為4,7,10,

4313

^=10)=?xzx-=-

=7)=|xix|+|xix|+|x|x|=1,P(^=4)=|

所以分別列為:

11222

所以E?=4x^+7*三+10*元=予

(2)如果選取方法2參加比賽，則小王同學得分〃的可能取值為4—a,7—a,10—a,

3

/(77=10-a)=^Xjxg+/?)=^+y,

PS=7—a)=(X；X0+b)+gx；x0+3+打PG+b)=(+|b,

W="a)=l-七+3—("令方再

所以E(〃)=(4—d)X+(7—a)x(1+y)+(10—a)x(^+y)=。+爭—a,

當E8)<EG)時，即政+gb—a<.,即a>gb時,選擇方法1,

當E(〃)>E?時,即告+gb—a>.,即a<gb時,選擇方法2,

當E8)=E(f)時,即油+爭一a=|,即a=3時，選擇兩種方法都一樣.

【變式6-1](23-24高二下?福建泉州?階段練習)2024年九省聯(lián)考后很多省份宣布高考數(shù)學采用新的結構,

多選題由4道減少到3道，分值變?yōu)橐活}6分，多選題每個小題給出的四個選項中有兩項或三項是正確的，全

部選對得6分，有錯選或全不選的得0分.若正確答案是“兩項”的，則選對1個得3分；若正確答案是“三項”的,

則選對1個得2分，選對2個得4分.某數(shù)學興趣小組研究答案規(guī)律發(fā)現(xiàn)，多選題正確答案是兩個選項的概率為p,

正確答案是三個選項的概率為1—P(其中0<p<1).

(1)在一次模擬考試中，學生甲對某個多選題完全不會，決定隨機選擇一個選項，若「=求學生甲該題

得2分的概率；

(2)針對某道多選題，學生甲完全不會，此時他有三種答題方案：

I：隨機選一個選項；II：隨機選兩個選項；III：隨機選三個選項.

①若p=且學生甲選擇方案I,求本題得分的數(shù)學期望；

②以本題得分的數(shù)學期望為決策依據(jù)，p的取值在什么范圍內(nèi)唯獨選擇方案I最好？

【解題思路】(1)由全概率公式求解即可；

(2)①記X為“從四個選項中隨機選擇一個選項的得分”，求出X的可能取值及其概率，即可求出X的分布列，

再由期望公式求出；

②記xyz分別為“從四個選項中隨機選擇一個選項、兩個選項和三個選項的得分“，求出xyz的數(shù)學威望,

[2-P<|

由題意可得J|(l—p)<|,解不等式即可得出答案.

I0<p<1

【解答過程】(1)記事件4為“正確答案選兩個選項”，事件B為“學生甲得2分”.

P(B)=P(A)P(B\A)+P(A)P(B\A)=(x0+1x曰=；,

即學生甲該題得2分的概率為今

(2)①記X為“從四個選項中隨機選擇一個選項的得分”，貝吠可以取0,2,3,

1211a11cl3

P(X=0)=-XET+-X^=-,P(X=2)=-XO+-XZ|=-,

P(X^3)=|xf+1xO=i

所以X的分布列為

X023

331

P

884

則數(shù)學期望E(X)=0x1+2x|+3xi=|.

②記X為“從四個選項中隨機選擇一個選項的得分”，

則P(X=O)=px^+(l—p)x^=苧，

P(X=2)=px0+(l—p)x^=-(1—p),

P(X=3)=px+(1-p)x0=

所以E(X)=0x與+2x：(l_p)+3x]=|；

記丫為“從四個選項中隨機選擇兩個選項的得分”，

則P(y=0)=px+(1-p)x=|p+1，

P(y=4)=pX0+(1—p)XW=-(1_p),

11

P(Y=6)=px曰+(1—p)x0=%P，

所以