2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：三角形及其性質(zhì)（解析版）

考點(diǎn)三三角形及其性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)整合

一、三角形的基礎(chǔ)知識(shí)

1.三角形的概念

由三條線段首尾順次相接組成的圖形，叫做三角形.

2.三角形的三邊關(guān)系

（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊.

推論：三角形的兩邊之差小于第三邊.

（2-）三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：

①判斷三條已知線段能否組成三角形；②當(dāng)已知兩邊時(shí)，可確定第三邊的范圍；③證明

線段不等關(guān)系.

3.三角形的內(nèi)角和定理及推論

三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180。.

推論：①直角三角形的兩個(gè)銳角互余；②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角

的和；③三角形的?一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.

4.三角形中的重要線段

（1）三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫做

三角形的角平分線.

（2）在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線.

（3）從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線

（簡(jiǎn)稱三角形的高）.

（4）連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線，三角形的中位線平行于第三邊,

且等于第三邊的一半.

考向一三角形的三邊關(guān)系

在判斷三條線段能否組成一個(gè)三角形時(shí)，可以根據(jù)兩條較短線段的長(zhǎng)度之和是否大于第三

條線段的長(zhǎng)度來判斷.

典例引領(lǐng)

1.等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5cm和2cm,則它的周長(zhǎng)是（）

A.12cmB.9cmC.12cm和9cmD.以上都不正確

【答案】A

【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的

題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解

答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵.

由于未說明兩邊哪個(gè)是腰哪個(gè)是底，故需分情況討論，從而得到其周長(zhǎng).

【詳解】解：當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?cm,底為2cm時(shí)，

E5+2>5

05cm,5cm,2cm能夠組成三角形,

此時(shí)周長(zhǎng)為5+5+2=12cm；

當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?cm,底為5cm時(shí)，

02+2=4<5,

02cm,2cm,5cm不能夠組成三角形.

則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是12cm.

故選：A.

2.下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形的是（）

A.2,3,6B.4,4,8C.4,7,11D.5,8,12

【答案】D

【分析】本題考查了能夠組成三角形三邊的條件：用兩條較短的線段相加，如果大于最長(zhǎng)

的那條線段就能夠組成三角形.根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分析判斷.

【詳解】解：根據(jù)三角形任意兩邊的和大于第三邊，得

A、2+3=5<6,不能組成三角形；

B、4+4=8,不能組成三角形；

C、4+7=11,不能組成三角形；

D、5+8=13>12,能夠組成三角形.

故選：D.

3.下列木棒中，能與3cm和7cm的兩根木棒圍成一個(gè)三角形的是（）

A.7cmB.4cmC.3cmD.10cm

【答案】A

【分析】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，掌握三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三

邊、兩邊之差小于第三邊成為解題的關(guān)鍵.

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得第三邊的取值范圍，然后結(jié)合選項(xiàng)即可解答.

【詳解】解：設(shè)第三邊為c,則3+7>c>7-3,即10>c>4.

結(jié)合選項(xiàng)可知，僅有A選項(xiàng)符合要求.

故選A.

4.在,ABC中，AB=AC,AC邊上的中線8。把ABC的周長(zhǎng)分為21和27的兩部分，則

BC的長(zhǎng)為（）

A.12B.12或20C.18D.18或20

【答案】B

【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，題中給出了周長(zhǎng)關(guān)系，要求底邊長(zhǎng)，

首先應(yīng)先想到等腰三角形的兩腰相等，尋找問題中的等量關(guān)系，列方程求解，然后結(jié)合三

角形三邊關(guān)系驗(yàn)證答案，根據(jù)題意畫出圖形，列出關(guān)于尤、丫的方程組是解答此題的關(guān)鍵.

【詳解】設(shè)等腰三角形的底邊BC長(zhǎng)為x,腰長(zhǎng)為y,則根據(jù)題意，

B

x+)=21x+)=27

2

得2或＜

y+?=27y+」=21

:22

%=12lx=20

解得)=18或1y=14

經(jīng)檢驗(yàn)，這兩組解均能構(gòu)成三角形，所以底邊長(zhǎng)為12或20

故選：B.

5.下面不能組成三角形的三條線段是（）

A.a=b=10cm,c=1cmB.a=b=c=6cm

C.a=3cm,b=4cm,c=7cmD.a=2cm,b=4cm,c=5cm

【答案】c

【分析】本題主要考查了構(gòu)成三角形的條件，三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩

邊之差小于第三邊，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：A、131+10>10,

團(tuán)三條長(zhǎng)分別為10cm,10cm,1cm的線段能構(gòu)成三角形，不符合題意；

B、06+6>6,

國(guó)三條長(zhǎng)分別為6cm,6cm,6cm的線段能構(gòu)成三角形，不符合題意；

C、囪3+4=7,

團(tuán)三條長(zhǎng)分別為3cm,4cm,7cm的線段不能構(gòu)成三角形，符合題意；

D、02+4>5,

回三條長(zhǎng)分別為2cm,4cm,5cm的線段能構(gòu)成三角形，不符合題意；

故選；C.

6.已知一個(gè)三角形有兩條邊相等，一邊長(zhǎng)為4cm,另一邊長(zhǎng)為7cm,則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)

為（）

A.15cmB.18cmC.不能確定D.15cm或18cm

【答案】D

【分析】本題主要考查三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用三角形的三邊關(guān)系確定第三

邊的長(zhǎng)度.分情況考慮，當(dāng)相等的兩邊是4cm時(shí)或當(dāng)相等的兩邊是7cm時(shí)，根據(jù)三角形的

三邊關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證，然后求出三角形的周長(zhǎng)即可得答案.

【詳解】解：回一個(gè)三角形有兩條邊相等，一邊長(zhǎng)為4cm,另一邊長(zhǎng)為7cm,

回①當(dāng)相等的兩邊是4cm時(shí)，三邊長(zhǎng)為：4、4、7,

04+4>7,符合三角形三邊關(guān)系，

團(tuán)這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為15?！ǎ?/p>

②當(dāng)相等的兩邊是7cm時(shí)，三邊長(zhǎng)為：4、7、7,

回4+7>7,符合三角形三邊關(guān)系，

團(tuán)這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為18?n,

綜上所述：這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為15cm或18cm,

故選：D.

變式拓展

7.已知.、b、c是“ABC的三邊，a=3,b=7,c為整數(shù)，則c的最小值為.

【答案】5

【分析】本題考查三角形三邊關(guān)系.已知三角形的兩邊，則第三邊的范圍是：大于已知的

兩邊的差，而小于兩邊的和.掌握三角形三邊的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)已知的兩邊確定第三邊的取值范圍，再根據(jù)c為整數(shù)，即可得出答案.

【詳解】解：團(tuán)。、b、，是_>1￡(7的三邊，?=3,b=7,

EI7-3<c<7+3,^4<c<10,

又回c為整數(shù)，

回c的最小值為5,

故答案為：5.

8.在..ABC中，AB=8,BC=4,則AC邊上的中線5□長(zhǎng)x的取值范圍是.

【答案】2<x<6

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊之間的關(guān)系，構(gòu)造全等三

角形是解題的關(guān)鍵.延長(zhǎng)8。到E,使?！?班),連接AE,證明二四一CDB,再利用

三邊關(guān)系即可得到答案.

【詳解】解：延長(zhǎng)8。到E,使DE=BD,連接AE,

在VADE與.CDE中，

BD=DE

<ZADE=ZCDE,

AD=CD

ADEMCDB(SAS),

:.AE=BC,

在,ABE中，AB-AE<BE<AB+AE,

即4<23D<12,

:.2<x<6,

故答案為：2cx<6.

三、解答題

9.已知占，巧是關(guān)于x的一元二次方程-4(m+1卜+/+3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

⑴若&一2乂馬-2)=5,求m的值；

(2)已知咫ABC的斜邊長(zhǎng)為瓦，而且毛，超恰好是ABC另外兩條直角邊的長(zhǎng)，求這個(gè)

RtABC的周長(zhǎng).

【答案】(1)9

(2)4+回

【分析】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，勾股定理，以及三角形三邊關(guān)系，熟練掌握各自的

性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵；

(1)利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩根之和與兩根之積，已知等式變形后，代入計(jì)算即可求

出m的值;

(2)根據(jù)題意得到+依此得到關(guān)于的方程求出機(jī)的值，進(jìn)而代入原方

程求出解，進(jìn)而求出周長(zhǎng)即可，

【詳解】(1)「公，X?是關(guān)于尤的一元二次方程4X2-4(〃Z+1)X+*+3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)

根，

△=[-40〃+1)]~-4x40/+3)=32/71-32>0,BPm>7

-4(m+l),m2+3

xl+x2=------------=m+l,xxx2=---,

(石-2)-2)=5,

整理得：%/-2(%=1,

代入得：加；3一2(一+1)=1,BPm2-8m-9=0,

(m-9)(m+1)=0,

解得：叫=9,m2=-l,

m>7,

機(jī)2=1不符合題意，舍去，

的值為9；

（2）RfABC的斜邊長(zhǎng)為質(zhì)，而且A，巧恰好是.ABC另外兩條直角邊的長(zhǎng)，

考=（可『=10,

x1+x2=m+l,.尤2="；3,且（xi+zJ-Z%%=10,

./,、2cnr+3

??（m+1）-2x---=10,

整理得：加+4〃Z-21=0,

解得：/=3或?=-7,

m>l,

；?嗎=-7不符合題意，舍去，

此時(shí)已知方程為4fT6x+12=0即X2-4X+3=0

解得：X]=1,x2=3,

;.1+3+麗=4+而，

故這個(gè)RtAABC的周長(zhǎng)為4+而.

10.在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為：A（-3,2）,B（^,-3）,C（-1,-1）,

⑴若△ABC與..ABC關(guān)于〉軸對(duì)稱，請(qǐng)寫出點(diǎn)4,4c的坐標(biāo)（直接寫答案）：A_；

（2）ABC的面積為二

⑶在y軸上畫出點(diǎn)P,使尸3+PC最小.

【答案】⑴（3,2）,（4,-3）,（1,-1）

(2)6.5

⑶見解析

【分析】本題考查了平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的對(duì)稱變換、三角形的三邊關(guān)系，理解掌

握點(diǎn)的坐標(biāo)的對(duì)稱變換是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的性質(zhì)"橫坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，縱坐標(biāo)不變"即可得；

(2)三角形面積=矩形面積減去周圍的三個(gè)三角形面積即可；

(3)由題意可得y軸是線段B用的垂直平分線，則尸3=尸耳，因此尸3+PC=P4+PC；

又根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得P4+PC>8。，所以當(dāng)尸、C、旦三點(diǎn)共線時(shí)，P3+PC最

小，且最小值為C4.

【詳解】(1)解：根據(jù)點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的性質(zhì)得：A(3,2),r(4,-3),G(1,7),

故答案為：A⑶2),男(4,-3)6(1,-1)；

(2)如圖可知，

—

則^AABC=3X5—-xlx5—x3x2——x2x3=6.5,

故答案為：6.5；

(3)解：由題意可得y軸是線段B片的垂直平分線，則尸3=尸片,

因止匕尸8+PC=P4+PC,

由三角形的三邊關(guān)系得PB,+PC>B.C,

故當(dāng)尸、C、四三點(diǎn)共線時(shí)，P3+PC最小，且最小值為C8-

連接eg,與y軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P(如圖所示).

11.已知，，b,c是三角形的三邊長(zhǎng).

(1)化簡(jiǎn)：+卜_0_〃1+卜_.一4；

(2)若a=10,b=8,c=6,求(1)中式子的值.

【答案】⑴a+b+c

⑵24

【分析】本題考查了三角形三邊關(guān)系定理，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，求代數(shù)式的值

(1)根據(jù)。，b,。是三角形的三邊長(zhǎng)，得b+c>a,a+c>b,a+b>c,化簡(jiǎn)計(jì)算即可.

(2)根據(jù)。=10,b=8,c=6,代入化簡(jiǎn)式計(jì)算即可.

【詳解】(1)回"，b,。是三角形的三邊長(zhǎng)，^b+c>a,a+c>b,a+b>c,

國(guó)—h—c|+|Z?—c—tz|+|c—a—Z?|

=b+c—a+a+c—b+a+b—c=a+b+c.

(2)當(dāng)a=10,/?=8,c=6時(shí)，

原式=a+Z?+c=10+8+6=24.

12.已知。，瓦。是三角形的三邊長(zhǎng).

⑴化簡(jiǎn)：+3]a+c-@；

⑵。，匕滿足卜-7|+0-2)2=0,且三角形的周長(zhǎng)是16,判斷此三角形的形狀，并說明理

由.

【答案】(l)2a-2b+4c

(2)此三角形是等腰三角形，詳見解析

【分析】本題考查了三角形三邊關(guān)系定理，化簡(jiǎn)絕對(duì)值及絕對(duì)值的非負(fù)性，熟練掌握三角

形三邊關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理可得。+。-6>0,再去絕對(duì)值符號(hào)即可；

（2）根據(jù)+2）2=0及三角形的周長(zhǎng)是16求得a,b,c的值即可判斷三角形的形

狀.

【詳解】（1）解：。，8c是三角形的三邊長(zhǎng)，

:.b+c>a,a+c>b.

:.a-b-c<0,a-^-c-b>0.

|tz—h—c|+31<2+c—Z?|

=（Z?+c-〃）+3（a+c—Z?）

=b+c-a+3a+3c-3b

=2a-2b-\-4c.

（2）此三角形是等腰三角形.

理由如下：

:.a—7=0,Z?—2=0.

/.a=Q,b=2.

「三角形的周長(zhǎng)是16,

.“=16—7—2=7.

:.a=c,

?二此三角形是等腰三角形.

13.如圖，在4ABe中（AB>3C）,AC=2BC,8c邊上的中線AD把ABC的周長(zhǎng)分成

50和35兩部分，求AC和AB的長(zhǎng).

【答案】AC=40,AB=25

【分析】本題主要考查了三角形中線的性質(zhì)和三邊的關(guān)系，先根據(jù)AC=2BC和三角形的

中線列出方程求解，分類討論①AC+CD=50,?AC+CD=35,注意答案是否滿足條

件，即是否滿足題目給出的條件、是否滿足三角形三邊的關(guān)系.解題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)

系，列出方程.

【詳解】解:T^BD=CD=X,則AC=23C=4X,

BC邊上的中線AD把二ABC的周長(zhǎng)分成50和35兩部分，AB>BC,

①當(dāng)AC+CD=50,Afi+3￡>=35時(shí)，

4x+x=50,

解得：兀=10,

.?.AC=4X=4X10=40,

BD=CD=\O,

.\AB=35-BD=35-10=25f

:.AB=25>BC=20f滿足條件；

BC+=20+25=45>AC=40,滿足三邊關(guān)系，

/.AC=40,AB=25；

②當(dāng)AC+CD=35,AB+8D=50時(shí)，

4x+x=35，

解得：x=7,

AC=4x=4x7=28,

：.BD=CD=19

AB=50-BD=50-7=43,

AC+5C=28+14=42<43=AB,

?二不滿足三角形的三邊關(guān)系，

「?不合題意，舍去，

綜上：AC=40,AB=25.

14.已知關(guān)于x的一元二次方程尤(機(jī)-2)%+2%-8=0.

(1)求證：不論相為何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

(2)若方程有一個(gè)根是負(fù)整數(shù)，求正整數(shù)m的值；

⑶若等腰三角形的其中一邊為4,列兩邊是這個(gè)方程的兩根，求相的值.

【答案】⑴見解析

(2)1或2或3

(3)8

【分析】本題考查了一元二次方程及根的判別式、求根公式，等腰三角形定義及三角形三

邊關(guān)系.

(1)先計(jì)算根的判別式的值得到D=(九-6『？0,然后根據(jù)根的判別式的意義得到結(jié)論；

(2)利用求根公式得到玉=利-4,%=2,則m-4<0,從而得到正整數(shù)機(jī)的值.

(2)分4為腰與4為底兩種情況，求出方程的解，再驗(yàn)證是否能構(gòu)成三角形，即可求解.

【詳解】(1)證明：0A=(m-2)2-4(2m-8)

=m2—12/72+36

=(m-6)220,

團(tuán)方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

2a2

回石=加-4,x2=2,

回方程有一個(gè)根是負(fù)整數(shù)，

0m—4<0,

團(tuán)正整數(shù)m的值為1或2或3.

(3)解：由(2)知％=加一4,X2=2,

①當(dāng)4為底邊時(shí)，機(jī)-4=2,

02+2=4,

國(guó)等腰三角形不存在，舍去；

②當(dāng)4為腰時(shí)，m—4=4,即7〃=8,

02+4>4,

團(tuán)等腰三角形存在，

綜上所述，機(jī)的值為8.

考向二三角形的內(nèi)角和外角

在同一個(gè)三角形中：等角對(duì)等邊；等邊對(duì)等角；大角對(duì)大邊；大邊對(duì)大角.

典例引領(lǐng)

1.如圖，絲八4￡也，點(diǎn)。在邊BC上，NE4c=40。，則N3等于()

A.50°B.60°C.70°D.80°

【答案】C

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到

AB=AD,NBAC=NDAE,再證明N54O=NE4c=40。，然后利用等腰三角形的性質(zhì)和

三角形內(nèi)角和計(jì)算-3的度數(shù).

【詳解】解：團(tuán)△ABC也△ADE,

BAB=AD,ZBAC=ZDAE,

^ZBAD+ZDAC=ZDAC+ZEAC,

即/區(qū)M>=NEAC=40°,

HIAB=AD，

團(tuán)N8=ZADB=1(180°-ZBAD)=1x(180°-40°)=70°.

故選：C.

2.如圖，等腰三角形ABC中，AB^AC,ZA=24°,線段48的垂直平分線交AB于點(diǎn)

D,交AC于點(diǎn)E,連接8E,則/CBE等于()

【答案】C

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、線段垂直平分線的性質(zhì)，由

等邊對(duì)等角結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得出=78°,由線段垂直平分線的性質(zhì)可得

AE=BE,從而得出NAB石=NA=24。，再由=1即可得解.

【詳解】解：等腰三角形A3C中，AB=AC,NA=24。,

180°-ZA1800-24°

...ZABC=NC==78。，

22

線段A5的垂直平分線交A5于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)石，連接班,

/.AE=BE，

\1ABE?A24?,

\1CBE1ABC1ABE78?24?54?,

故選：C.

3.如圖，點(diǎn)。，E為ABC的邊上的點(diǎn)，且滿足EA=EC,若28=30。,

ZC=40°,則ZZME的度數(shù)為（）

【答案】C

【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，根據(jù)

NDAE=ZBAC—NBAD-NCAE,只要求出ZBAC,NDAB,NG4E即可解決問題.

【詳解】解：0ZB=3O°,ZC=40°,

ElZBAC=180°-30°-40°=110°,

團(tuán)DA=DB,EA—EC,

團(tuán)NB=ND4B=30。，ZC=ZEAC=40°,

0ZDAE=ZBAC-ZBAD-ZCAE=110°-30°-40°=40°,

故選：c.

4.如圖，已知ABC中，ZABC=50°,P為..ABC內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線MN分別交

AB、BC于點(diǎn)M、N,若/在外的垂直平分線上，N在尸C的垂直平分線上，則/ARC的

度數(shù)為（）

A

A.100°B.105°C.115°D.無法確定

【答案】C

【分析】本題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握線段的

垂直平分線的性質(zhì)及利用等腰三角形的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理找出各角之間的等量關(guān)系

是解題的關(guān)鍵.根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到N8MN+NBM1=13O。，根據(jù)線段的垂直平分線

的性質(zhì)得到=PN=CN,由等腰三角形的性質(zhì)得到

ZMAP^ZMPA,NCPN=/PCN,由“三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和"

得ZBMN=AMAP+ZMPA,ZBNM=ZCPN+ZPCN,可得

ZMPA=-ZBMN,ZCPN=-ZBNM,推出/MR4+NCPN=65。，從而由平角定義得到

22

結(jié)論.

【詳解】解：0ZABC=5O°,

團(tuán)ZBMN+ZBNM=130°.

回M在上4的垂直平分線上，N在PC的垂直平分線上，

SAM^PM,PN=CN.

S\ZMAP=ZMPA,NCPN=NPCN.

ENBMN=ZMAP+NMPA,NBNM=ZCPN+NPCN,

團(tuán)ZMPA=-NBMN,ZCPN=-NBNM.

22

0ZMPA+ZCPN=1(ZBMN+NBNM)=：x130°=65°.

EINAPC=180°-65°=115°.

故選：C.

5.如圖，在ASC中，AB=AC,邊AC的垂直平分線MN分別交AB,AC于點(diǎn)M,N,

點(diǎn)。是邊3c的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是跖V上任意一點(diǎn)，連接尸￡>,PC,若NA=(z,ZCPD=/3,

當(dāng)一尸CD周長(zhǎng)取到最小值時(shí)，a,夕之間的數(shù)量關(guān)系是()

A.a=/3B.a+/3=9Q°C.?+^=180°D.以上都不正確

【答案】A

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，軸對(duì)稱一最短路徑，三

角形外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，找到,PCD周長(zhǎng)取到最小值時(shí)P點(diǎn)所在的位置是解題的關(guān)

鍵.連接AD與交于點(diǎn)P,則此時(shí)周長(zhǎng)取到最小值時(shí)PCD周長(zhǎng)取到最小值，則根據(jù)等

腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)果.

【詳解】解：團(tuán)AC的垂直平分線MN分別交AB,AC于點(diǎn)，M,N,

EL4,C關(guān)于對(duì)稱，

連接AD與MN交于點(diǎn)P,則此時(shí)周長(zhǎng)取到最小值時(shí).PCD周長(zhǎng)取到最小值，

SAB=AC,點(diǎn)D是5c的中點(diǎn)，

0ZBAD=ZCAD=-ZBAC=-a,

22

團(tuán)MN垂直平分AC,點(diǎn)P是MN上的點(diǎn),

0PA=PC,

^\ZPAC=ZPCA=-a,

2

0ZCPD=ZPAC+ZPCA=?=/7,

Ela=￡,

故選：A

變式拓展

6.如圖，RtaABC中，ZC=90°,/B4c=70。，點(diǎn)。是2c邊上的一點(diǎn)，連接AD,將

A8沿4。折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，當(dāng)是直角三角形時(shí)，/。⑦的度數(shù)

為.

【答案】35。或45。

【分析】本題考查折疊的性質(zhì)，分兩種情況：當(dāng)/血＞=90。時(shí)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可

得NC4D=35。，當(dāng)/班見=90。時(shí)，即E在2\4。3外時(shí)，由折疊可得：NE4c=90。，

ZADC=ZADE=45°,AD平分NG4E,即NG4D=45。，解本題要注意分類討論.熟練

掌握折疊的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和等基本知識(shí)點(diǎn).

【詳解】解：分兩種情況：如圖：

由折疊可得NAED=NC=90。，ZCAD^ZEAD,

ABED=90°,

.-.AE、3三點(diǎn)在同一條直線上，

ZCAD=-ZBAC=35°；

2

如圖，當(dāng)/瓦見=90。時(shí)，即E在ZkACB外部時(shí),

ZC=ZAED=ZEDB=90°,

:.ZEDC=90°,

ZEAC=360°-ZC-ZE-ZEDB=90°,

ZCAD=-ZEAC=45°,

2

故答案為：35。或45。.

7.如圖，A3C中，AB.AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)￡、F.若NE4尸=110。，則

ZBAC=.

【答案】145。/145度

【分析】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)等知

識(shí)點(diǎn)，掌握垂直平分線的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵.

由根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE=3E,AF=FC,然后根據(jù)等邊對(duì)等角可得

ZBAE=ZB,ZCAF=ZC;再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得N3+NC=35。，即

ZBAE+ZCAF=35°,最后根據(jù)角的和差即可解答.

【詳解】解:回AB、AC的垂直平分線分別交5c于點(diǎn)￡、F,

SAE=BE,AF=FC,

ENBAE=ZB,NCAF=ZC,

EIZB+ZC+ZBAC=180o

SZB+ZC+ZBAE+ZCAF+ZEAF^180°,即2（N3+NC）+NEAF=180°,

0ZE4F=11O°

EZB+ZC=35°,即NBAE+NC4F=35°,

0ABAC=NEAF+ZBAE+ZCAF=110°+35°=145°.

故答案為：145。.

8.如圖，ABC是等邊三角形，AD//BC,CDA.AD.若AD=2cm,則AB=

cm.

【答案】4

【分析】本題考查平行線性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)，垂直的定義，三角形內(nèi)角和定理，含

30。角的三角形三邊關(guān)系等.根據(jù)題意可得ZACB=NCW=60。，?D90?,利用三角形內(nèi)

角和定理可得ZACD=30。，利用含30。角的三角形三邊關(guān)系可得AC=4cm,再根據(jù)等邊三

角形性質(zhì)可得本題答案.

【詳解】解：0AD/7BC,一ABC是等邊三角形，CDLAD,

團(tuán)NACB=NC4D=60。，?D90?,

團(tuán)NACD=30。，

回AD=2cm,

回AB-AC=4cm,

故答案為：4.

9.如圖，已知等邊三角形ABC紙片，點(diǎn)￡在AC邊上，點(diǎn)尸在A8邊上，沿石尸折疊，使

點(diǎn)A落在3C邊上的點(diǎn)。的位置，且則/EED的度數(shù)為.

【答案】45。/45度

【分析】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，由折疊性質(zhì)可

知ZAFE=NEFD,通過等邊三角形的性質(zhì)可得/3=60。，ZC=60°,ZA=ZEDF=60°,由

得到4nB=30。，再利用三角形的外角性質(zhì)即可求出NEFD=45。，熟練掌握邊三

角形和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】由翻折性質(zhì)可知：ZAFE=ZEFD,

團(tuán)一ABC為等邊三角形，

0/3=60°,ZC=60°,ZA=ZEDF=60°,

0￡D±BC,

團(tuán)△EDC為直角三角形，

aZFDB=30°,

0ZAFE是4BFD的外角,

0ZAFD=ZB+ZFDB=6O°+3OO=9O°,

0△EFD是由△AEF翻折得到,

0ZEFD=-x9O°=450,

2

故答案為：45°.

10.如圖，NM4N=120。，點(diǎn)B,C分別是射線AM,AN上的動(dòng)點(diǎn)，/ACB的平分線和

NMBC的平分線所在直線相交于點(diǎn)D,則NBOC的大小為.

【答案】60。/60度

【分析】本題考查三角形外角性質(zhì)和角平分線定義的應(yīng)用，根據(jù)角平分線定義得出

ZACB=2ZDCB,ZMBC=2ZCBE,根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出

2ZD+ZACB^ZA+ZACB,求出/4=2ND,即可求出答案.掌握角平分線的定義及三

角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：回CO平分/ACS,BE平分/MBC,

EZACB=2NDCB,ZMBC=2ZCBE,

EZMBC=2ZCBE=ZA+ZACB,NCBE=ZD+ZDCB,

E2ZCBE=2ND+2Z.DCB,

0ZMBC=2ZD+ZACB,

S2ZD+ZACB=ZA+ZACB,

EZA=2ZD,

BZMAN=120°,

回"=60°,

回/加（7的大小為60°.

故答案為：60°.

三、解答題

11.如圖，ABC是一張紙片，AD是BC邊上的高線，把沿著AD折疊，點(diǎn)3落在

BC邊上的8處.

A

BDB'C

⑴如果4=48。，ZC^ZCAB',求NC的度數(shù)；

⑵如果3￡>=4,BC=14,AD=5,求VAB'C的面積.

【答案】⑴NC=24。；

⑵15

【分析】本題考查了翻折變換（折疊問題），三角形的面積，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握

折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

⑴根據(jù)折疊的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)和三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）解：回把N3沿著AD折疊，

/.ZAB'B=ZB=48°,

ZAfi'B=ZC4B,+ZC,ZC=ZC4B',

ZC=-ZAB'B=24°；

2

（2）團(tuán)把—5沿著AD折疊，點(diǎn)5落在3c邊上的9處，

.?.DB'=DB=4,

BC=14,

:.CB，=BC—BD—B'D=6,

AD±BC,AD=5,

AB'C的面積=LB'C-AO=LX6X5=15.

22

12.如圖，已知點(diǎn)￡）、E是:IBC內(nèi)兩點(diǎn)，S.ZBAE=ZCAD,NABC=ZACB,

AD=AE.

A

爾

DE

8C

⑴求證：△ABD^AACE；

(2)延長(zhǎng)8。、CE交于點(diǎn)尸，若NB4C=86°,ZABD=20°,求NBFC的度數(shù).

【答案】⑴見解析

(2)126°

【分析】本題考查了等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)的應(yīng)

用

(1)根據(jù)NABC=NAC8得到AB=AC；根據(jù)=NCAD得到Za4D=NC4E,結(jié)合

4。=AE證明△ABD^AACE即可.

(2)連接AF,并延長(zhǎng)到點(diǎn)根據(jù)/跳m=N/?)+NR4F,

/CFM=ZACE+ZCAF,結(jié)合NBFC=ZBFM+Z.CFM,

ZBAC=ZBAF+ZCAF=86°,ZABD=ZACE=20°,計(jì)算即可.

【詳解】(1)0ZABC=ZAC8,

SAB=AC；

SZBAE=ZCAD,

BZBAD=ZCAE,

^\AD=AE,

0ABD^,ACE(SAS).

(2)連接AT,并延長(zhǎng)到點(diǎn)M,

EZBFM=ZABD+ZBAF,ZCFM=ZACE+ZCAF,

NBFC=NBFM+NCFM,

^BAC=ZBAF+ZCAF^86°,ZABD=ZACE=20°,

0NBFC=ABAC+ZABD+ZACE=86°+20°+20°=126°.

考向三三角形中的重要線段

三角形的高、中線、角平分線是三條線段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中線可

得線段之間的關(guān)系，由三角形的角平分線可得角之間的關(guān)系.另外，要注意區(qū)分三角形的中

線和中位線.中線：連接三角形一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段；中位線：連接三角形兩條邊

中點(diǎn)的線段.

典例引領(lǐng)

1.如圖，用三角板作ASC的邊上的高線，下列三角板的擺放位置正確的是（）

B

【答案】B

【分析】本題考查了作高線，根據(jù)利用三角板作高線的方法即可求解，熟練掌握作高線的

方法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由圖得，作，ABC的邊上的高線是

故選B.

2.如圖，CM是，ABC的中線，8c=8cm,若一BCM的周長(zhǎng)比△ACM的周長(zhǎng)大3曲,

則AC的長(zhǎng)為（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【答案】C

【分析】本題主要考查了三角形中線的知識(shí)，理解三角形中線的定義是解題關(guān)鍵.根據(jù)三

角形中線的定義可得期=3M,結(jié)合題意可得3C-AC=3cm,進(jìn)而獲得答案.

【詳解】解：回CM是,ABC的邊AB上的中線，

0BCM的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)大3cm,

^\(BC+BM+CM)-(AC+AM+CM)=3cm,

EIBC-AC=3cm,

128c=8cm,

EIAC=5cm.

故選：C.

3.如圖，BD,BE,跳'分別是.4?C的高、角平分線和中線，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是

()

A.AE=ECB.ZABE=-ZABCC.AC=2CFD.BDVCD

2

【答案】A

【分析】本題考查了三角形的的高、角平分線和中線，根據(jù)三角形的中線的定義，可得點(diǎn)

尸是AC的中點(diǎn)，即可判斷選項(xiàng)A、C,根據(jù)角平分線的定義，可得的平分即可

判斷選項(xiàng)B,再根據(jù)三角形高的定義，判斷選項(xiàng)D即可，解題關(guān)鍵是掌握三角形的的高、

角平分線和中線的定義.

【詳解】解：A、■是J1BC的中線，；.AF=RC,,AEWEC,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，符合

題意；

B、BE是ABC的角平分線，=故選項(xiàng)B正確，不符合題意；

2

C、所是一ABC的中線，，AC=2B,故選項(xiàng)C正確，不符合題意；

D、BZ）是4ABe的高，二BDLCD,故選項(xiàng)D正確，不符合題意；

故選：A.

4.下列說法正確的是（）

A.三條線段組成的圖形叫三角形B.三角形的角平分線是射線C.任何一個(gè)

三角形都有三條高、三條中線和三條角平分線D.三角形的高所在的

直線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)不在三角形內(nèi)就在三角形外

【答案】C

【分析】本題主要考查對(duì)三角形定義，三角形的角平分線、中線、高等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌

握，能熟練地運(yùn)用定義進(jìn)行說理是解此題的關(guān)鍵.根據(jù)三角形定義，三角形的角平分線、

中線、高的定義判斷即可.

【詳解】解：A、由不在同一條直線上的三條線段首尾順次連接作出的圖形叫三角形，故A

錯(cuò)誤；

B、三角形的角平分線是線段，故B錯(cuò)誤；

C、任何一個(gè)三角形都有三條高、三條中線、三條角平分線，故C正確；

D、三角形的高所在的直線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)可以是三角形的直角頂點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；

故選：C.

5.下列說法正確的有（）

①三角形的角平分線是射線；②三角形的三條高線都在三角形內(nèi)部；③三角形的三條角

平分線的交點(diǎn)叫做三角形的重心；④三角形的一條中線把該三角形分成面積相等的兩個(gè)三

角形.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【分析】本題考查對(duì)三角形的中線、角平分線、高的正確理解，熟練掌握三角形的中線、

角平分線、高的概念是解決本題的關(guān)鍵.根據(jù)三角形的三條中線都在三角形內(nèi)部；三角形

的三條角平分線都在三角形內(nèi)部；三角形三條高可以在內(nèi)部，也可以在外部，直角三角形

有兩條高在邊上即可作答.

【詳解】解：①三角形的角平分線是線段，故原說法錯(cuò)誤；

②銳角三角形的三條高線都在三角形內(nèi)部，故原說法錯(cuò)誤；

③三角形的三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心，故原說法錯(cuò)誤；

④三角形的一條中線把該三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形，故正確.

故選：A.

6.如圖，AD是的中線，E,尸分別是AD和AD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且DE=DF,連接

BF,CE.則下列說法：①CE=BF；②和ACD面積相等；③BF〃CE；④

△BDF名ACDE.其中正確的有（）

A

F

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】D

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等底等高的三角形的面積相等、平行

線的判定等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握三角形全等的判定方法并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)三角形中線的定義可得3D=CD，然后利用"SAS"證明VB/m和二CDE全等，根據(jù)全

等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得=全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得NF=/CED,再根據(jù)內(nèi)

錯(cuò)角相等，兩直線平行可得3產(chǎn)〃CE,最后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等判斷出②正

確.

【詳解】解：（BAD是一ABC的中線，

BBD=CD,

在V3Z邛和.CDE中，

BD=CD

<NBDF=ZCDE,

DE=DF

0BDF冬CDE（SAS）,故④正確；

0CE=BF,ZF=ZCED,故①正確，

SBF//CE,故③正確；

回3D=CD,點(diǎn)A到3D、CD的距離相等，

回△ABD和,ACD面積相等，故②正確，

綜上所述，正確的是①②③④，共4個(gè).

故選：D.

變式拓展

7-如圖‘在"C中‘M=AC'分別以點(diǎn)5和點(diǎn)C為圖心，以大于京。的長(zhǎng)為半徑作

弧，兩弧交于點(diǎn)D,作直線AD交BC于點(diǎn)E.若44￡=44。，則NR4C=度.

【分析】本題考查角平分線定義.根據(jù)題意可知AD為/A4c的平分線，利用角平分線定

義即可得到本題答案.

【詳解】解：BAB=AC,分別以點(diǎn)8和點(diǎn)C為圖心，以大于‘8C的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧

交于點(diǎn)O,作直線AD交BC于點(diǎn)E,

回AD為，5AC的平分線，ZBAE=44°,

SZBAE=ZCAE=44°,

0ZBAC=2x44°=88°,

故答案為：88.

8.如圖，AD是‘ABC中8C邊上的中線，旦P分別是AD,BE的中點(diǎn).若△麗的面積為

3,則.ABC的面積為.

【答案】24

【分析】本題考查了三角形的面積公式，由于產(chǎn)是班的中點(diǎn)，BF=EF,那么△口和

△3FD可看作等底同高的兩個(gè)三角形，根據(jù)三角形的面積公式，得出△砂D和△血?的

面積相等，進(jìn)而得出的面積等于△BED的面積的2倍，同理由于E是A。的中點(diǎn)，

得出,AD3的面等于面積2倍，由于AD是8C邊上的中線，得出J1BC的面積等于

△A