2025年中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：圓中的新定義問題（解析版）

劇中的新定義問題

(■1m

熊例題精講

【例1】.如圖，ZkASC是正三角形，曲線CDEF…叫做“正三角形的漸開線”，其中弧。、

弧。區(qū)弧EF的圓心依次按A、B、C…循環(huán)，它們依次相連接.若A8=l,則曲線CDEF

的長是4TC.

解：:△ABC是正三角形，

AZCAD=ZDBE=ZECF=12Q°,

又「ABn,

；.AC=1,BD=2,CE=3,

：.CD弧的長度=120X兀X1=2上;

1803

?E弧的長度=120X兀義2=空;

1803

所弧的長度=12°X兀X3=2m

180

所以曲線CDEF的長為22L+里L(fēng)+2n=4n.

33

故答案為：4ir.

A變式訓(xùn)練

【變1T].對(duì)于平面圖形A,如果存在一個(gè)圓，使圖形A上的任意一點(diǎn)到圓心的距離都不

大于這個(gè)圓的半徑，則稱圓形A被這個(gè)圓“覆蓋”.例如圖中的三角形被一個(gè)圓“覆蓋”.如

果邊長為1的正六邊形被一個(gè)半徑長為R的圓“覆蓋”，那么R的取值范圍為RN1.

解：...正六邊形的邊長等于它的外接圓半徑，

邊長為1的正六邊形被一個(gè)半徑長為R的圓“覆蓋”，那么R的取值范圍為：R2L

故答案為：R2L

【變1-2].在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)PQ,b)和正實(shí)數(shù)k,給出如下定義：當(dāng)

版2+匕>。時(shí)，以點(diǎn)尸為圓心，心2+6為半徑的圓，稱為點(diǎn)尸的“七倍雅圓”

例如，在圖1中，點(diǎn)P(l,1)的“1倍雅圓”是以點(diǎn)P為圓心，2為半徑的圓.

(1)在點(diǎn)Pi(3,1),P2(1,-2)中，存在“1倍雅圓”的點(diǎn)是Pi.該點(diǎn)的“1

倍雅圓”的半徑為10.

(2)如圖2,點(diǎn)M是y軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N在第一象限內(nèi)，且滿足NMON=

30°,試判斷直線ON與點(diǎn)M的“2倍雅圓”的位置關(guān)系，并證明；

(3)如圖3,已知點(diǎn)A(0,3),2(-1,0),將直線AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到

直線I.

①當(dāng)點(diǎn)C在直線/上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若始終存在點(diǎn)C的“4倍雅圓”，求左的取值范圍；

②點(diǎn)D是直線AB上一點(diǎn)，點(diǎn)D的'q倍雅圓”的半徑為R,是否存在以點(diǎn)。為圓心,秒^

為半徑的圓與直線/有且只有1個(gè)交點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明

解：(1)對(duì)于Pi(3,1),圓的半徑為g2+6=1X32+1=10>0,故符合題意;

對(duì)于尸2(1,-2),圓的半徑為履2+6=1x12-2=-1<0,故不符合題意；

故答案為P,10；

(2)如圖1,過點(diǎn)M作于點(diǎn)Q,

圖1

則點(diǎn)M(0,m)(m>0),則圓的半徑r=2X0+m=m

則RtAM。。中，NMOQ=/MON=30°,

直線ON與點(diǎn)M的“2倍雅圓”的位置關(guān)系為相交;

(3)①過點(diǎn)8作BE,直線/于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)G,交過點(diǎn)A與x

軸的平行線于點(diǎn)F,

將直線繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到直線/,則NE42=45°,故EA=EB,

"：ZFEA+ZFAE=90°,NGEB+/FEA=9Q°,

:.NFAE=NGEB,

VZAFE=ZEGB=90°,EA=EB,

：.AAFE^AEGB(44S),

：.EF=BG,EG=FA,BP3-y=-1-x,y=-x,

解得：x=-2,y=2,故點(diǎn)￡(-2,2)；

設(shè)直線/的表達(dá)式為y=fcc+6,貝4b=3，解得,3節(jié),

12=-2k+bR-Q

故直線/的表達(dá)式為產(chǎn)?3,

設(shè)點(diǎn)c（X,工x+3）,

2

:始終存在點(diǎn)C的“左倍雅圓”時(shí)，則圓的半徑7=小+工.計(jì)3>0恒成立,

；/>0且AVO成立，即左>0且4=(?1)2-4X3左<0,

2

②存在，理由：

如圖2,過點(diǎn)。作?！癠于點(diǎn)”，

由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)同理可得，直線A8的表達(dá)式為y=3x+3,

設(shè)點(diǎn)D（x,3x+3）,

由點(diǎn)A、。的坐標(biāo)得（x-0）2+（3x+3-3）2=百5kl，則HD=^~.

貝IjR=A/+b=3/+3x+3=3（x+2）2,貝ijJ型R=V^|X+2],

假設(shè)存在以點(diǎn)。為圓心，、2R為半徑的圓與直線/有且只有1個(gè)交點(diǎn),

解得：x=-1,

故點(diǎn)。的坐標(biāo)為：（-1,0）.

【例2].我們把一個(gè)半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與

“蛋圓”只有一個(gè)交點(diǎn)，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線.如圖，點(diǎn)A,B,C,D分

別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，已知點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,-3）,為半圓的直徑，半圓

圓心M的坐標(biāo)為（1,0）,半圓半徑為2.開動(dòng)腦筋想一想，經(jīng)過點(diǎn)。的“蛋圓”切線

的解析式為___________

解：因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)。的“蛋圓”切線過。（0,-3）點(diǎn)，所以設(shè)它的解析式為y=fcv-3,

為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標(biāo)為（1,0）,半圓半徑為2,

AA（-1,0）,B（3,0）,

.拋物線過點(diǎn)A、B,

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(尤-3),

又；拋物線過點(diǎn)D(0,-3),

-3),即。=1,

-2尤-3.

又'.,拋物線y—x2-lx-3與直線y—kx-3相切，

.?.X2-2x-3=fcc-3,即％2-(2+左)x=0只有一個(gè)解，

/.△=(2+左)2-4X0=0,

：.k=-2即經(jīng)過點(diǎn)。的“蛋圓”切線的解析式為＞=-2x-3.

A變式訓(xùn)練

【變2-1].已知定點(diǎn)尸(a,b),且動(dòng)點(diǎn)Q(x,y)到點(diǎn)尸的距離等于定長r,根據(jù)平面內(nèi)

兩點(diǎn)間距離公式可得(x-fl)2+(y-b)2=/,這就是到定點(diǎn)尸的距離等于定長廠圓的

方程.已知一次函數(shù)的y=-2無+10的圖象交y軸于點(diǎn)A,交尤軸于點(diǎn)2,C是線段A8

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)以O(shè)C為半徑的OC的面積最小時(shí)，GC的方程為(尤-4)2+(y

-2)2=(2A/S)2.

解：?.,一次函數(shù)的y=-2x+10的圖象交y軸于點(diǎn)A,交x軸于點(diǎn)8,

AA(0,10),B(5,0),

AOA=10,OB=5,

AB=VOA2-K)B2=V102+52=5炳,

,/以oc為半徑的oc的面積最小，

OCLAB,

'：S^ABO=—AB-OC=^OA'OB,

22

...oc=緲。殳=.10/=2V5，

AB5辰

設(shè)CG,-2r+10),

則0c2=a+(-2/+10)2=(275)2,

解得：九=/2=4,

：.C(4,2),

...以O(shè)C為半徑的0c的oc的方程為（尤-4）2+（J-2）2=（2而）2,

故答案為：（尤-4）2+（y-2）2=（2泥）2.

【變2-2].

【定義】從一個(gè)已知圖形的外一點(diǎn)引兩條射線分別經(jīng)過該已知圖形的兩點(diǎn)，則這兩條射線所

成的最大角稱為該點(diǎn)對(duì)已知圖形的視角，如圖①，NAPB是點(diǎn)尸對(duì)線段的視角.

④⑤

【應(yīng)用】

（1）如圖②，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2,我），B（2,273）,C（3,?。?則

原點(diǎn)O對(duì)三角形ABC的視角為30。；

（2）如圖③，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O,半徑為2畫圓以原點(diǎn)。半徑為4畫

圓。2,證明：圓。2上任意一點(diǎn)尸對(duì)圓。1的視角是定值；

【拓展應(yīng)用】

（3）很多攝影愛好者喜歡在天橋上對(duì)城市的標(biāo)志性建筑拍照，如圖④.現(xiàn)在有一條筆直

的天橋，標(biāo)志性建筑外延呈正方形，攝影師想在天橋上找到對(duì)建筑視角為45°的位置拍

攝.現(xiàn)以建筑的中心為原點(diǎn)建立如圖⑤的坐標(biāo)系，此時(shí)天橋所在的直線的表達(dá)式為尤=-

5,正方形建筑的邊長為4,請(qǐng)直接寫出直線上滿足條件的位置坐標(biāo).

解：（1）延長54交尤軸于點(diǎn)。，過點(diǎn)C作CELx軸于點(diǎn)E,

?.?點(diǎn)A(2,M),B(2,273),C(3,M),

：.AB//y^A,CE=V3-0E=3,

?*.AB±x軸，

???BD=2a，0D=2,

：,tanNBOD=^r=V3，tanNCOE=^~二零，

UUUEo

：.ZBOD=60°,ZCOE=30°,

???ZBOC=ZBOD-NCOE=30°,

即原點(diǎn)。對(duì)三角形ABC的視角為30°過答案為：30°(2)證明：如圖，過圓02上任

一點(diǎn)尸作圓01的兩條切線交圓01于4B,連接。4,OB,0P,則有04,出，OBL

???NOB4=30°,

同理可求得：N0尸3=30°,

1?NA尸5=60°,

即圓。2上任意一點(diǎn)P對(duì)圓01的視角是60°,

?,?圓。2上任意一點(diǎn)P對(duì)圓01的視角是定值.

(3)當(dāng)在直線A3與直線CO之間時(shí)，視角是NAP。，此時(shí)以E(-4,0)為圓心，EA

半徑畫圓，交直線于尸3,尸6,

VZDP3B>ZDP3A=45°,ZAP6OZ￡>P6C=45°,

不符合視角的定義，尸3,P6舍去.

同理，當(dāng)在直線A8上方時(shí)，視角是/BPD,

此時(shí)以A(-2,2)為圓心，A8半徑畫圓，交直線于p,P5,尸5不滿足；

過點(diǎn)尸1作交ZM延長線于點(diǎn)則APi=4,PiM=5-2=3,

斕小口/4叫=77，

：.p(-5,2+小)當(dāng)在直線CD下方時(shí)，視角是/APC,

此時(shí)以。(-2,-2)為圓心，Z5C半徑畫圓，交直線于P2,P4,P4不滿足；

同理得：F>2(-5,-2-V7);

綜上所述，直線上滿足條件的位置坐標(biāo)P](-5,2+近)或P?G5,-2-V7)-

n實(shí)戰(zhàn)演練

1.如圖，六邊形A8CDEE是正六邊形，曲線尸KiK2K3K4K5K6K7…叫做“正六邊形的漸開線”，

其中引，KZIL,…的圓心依次按點(diǎn)A，B,C,D,

E,方循環(huán)，其弧長分別記為/l,h,13,/4,/5,/6,….當(dāng)A8=l時(shí)，/2011等于()

&

A2011幾口2011K「2011兀62011兀

2346

解：…=三

1803

60幾X2_2九

,-180~3~

f60兀X3—3兀

~180~3~

〃60兀X44兀

1803

按照這種規(guī)律可以得到：

.,_20U7T

?」2011=--------------.

3

故選：B.

2.已知線段AB,OM經(jīng)過A、8兩點(diǎn)，若90°WNAMBW12O。，則稱點(diǎn)M是線段AB的

“好心”；0M上的點(diǎn)稱作線段AB的“閃光點(diǎn)”.已知A(2,0),B(6,0).

①點(diǎn)M(4,2)是線段AB的“好心”；

②若反比例函數(shù)y=K上存在線段AB的“好心”，則國返WLW8；

x3

③線段的“閃光點(diǎn)”組成的圖形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形；

④若直線y=x+6上存在線段AB的“閃光點(diǎn)”，則-10W6W2.

上述說法中正確的有()

A.①②③④B.①③④C.①③D.①②

解：①如圖1,

：.AM=BM,AC=CM=BC=2,ZACM=90°,

.?.圓M經(jīng)過4、2兩點(diǎn)，且NAMB=90°,

.?.點(diǎn)M(4,2)是線段A3的“好心”,

故①正確；

②若反比例函數(shù)y=K上存在線段的“好心”，

x

z)點(diǎn)/在x軸上方時(shí)，當(dāng)NAM2=90°時(shí)，如圖1,此時(shí)點(diǎn)M(4,2),即M在反比例

函數(shù)》=上圖象上，

X

.??％=2X4=8；

當(dāng)NAMB=120°時(shí)，如圖2,過點(diǎn)〃作MC_LA8于C,

Ay

6-

5-

4-

3-

/-M

???A5^

-2-\O123456-r

一1-

—21圖2

9：AM=MB,

：.ZBAM^30°,

\'AC=2,

V33

：.M（4,

3

在反比例函數(shù)y=K圖象上，

X

:.k=4乂囚工=對(duì)工,

33

...J2Z1_W%W8；

3

z7）點(diǎn)M在x軸的下方時(shí)，同理可得-8WZ-蟲1_,

3

故②不正確;

③線段AB的閃光點(diǎn)組成的圖形如圖3所示：

所以線段的“閃光點(diǎn)”組成的圖形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形;

故③正確；

④當(dāng)直線＞=/6與上述兩個(gè)大圓相切時(shí)屬于臨界狀態(tài)，在兩條切線范圍內(nèi)存在“閃光點(diǎn)”,

設(shè)直線y=&+b與圓M相切于點(diǎn)尸，則MP與之垂直，且線段是直徑，

VB(6,0),M(4,2),

：.P(2,4),

代入y=x+b得，2+b=4,

:.b=2；

設(shè)直線y=fcv+6與圓M'相切于點(diǎn)"，則〃與之垂直，且線段4H是直徑，

VA(2,0),M'(4,-2),

：.P(6,-4),

代入y=x+，得,6+b'=-4,

:.b'=-10；

綜上可知，b的取值范圍是-10W/?W2,

故④正確；

所以上述說法中正確的有①③④.

故選：B.

3.我們知道沿直線前進(jìn)的自行車車輪上的點(diǎn)既隨著自行車做向前的直線運(yùn)動(dòng)，又以車軸為

圓心做圓周運(yùn)動(dòng)，如果我們仔細(xì)觀察這個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)點(diǎn)在我們眼前劃出

了一道道優(yōu)美的弧線.其實(shí)，很早以前人們就對(duì)沿直線前進(jìn)的馬車車輪上的點(diǎn)的軌跡產(chǎn)

生了濃厚的研究興趣，有人認(rèn)為這個(gè)軌跡是一段段周而復(fù)始的圓弧，也有人認(rèn)為這個(gè)軌

跡是一段段的拋物線.你認(rèn)為呢？擺線(Cycloid)：當(dāng)一個(gè)圓沿一條定直線做無滑動(dòng)的滾

動(dòng)時(shí)，動(dòng)圓圓周上一個(gè)定點(diǎn)的軌跡叫做擺線.定直線稱為基線，動(dòng)圓稱為母圓，該定點(diǎn)

稱為擺點(diǎn)：

現(xiàn)做一個(gè)小實(shí)驗(yàn)，取兩枚相同的硬幣并排排列，如果我們讓右側(cè)的硬幣繞左側(cè)硬幣做無

滑動(dòng)的滾動(dòng)，那么：

(1)當(dāng)右側(cè)硬幣上接觸點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡大致是什么形狀？

(2)當(dāng)右側(cè)硬幣轉(zhuǎn)到左側(cè)時(shí)，硬幣面上的圖案向還是向下？

(3)當(dāng)右側(cè)硬幣轉(zhuǎn)回原地時(shí)，硬幣自身轉(zhuǎn)動(dòng)了幾圈？()

B.一條擺線；向上；1圈

C.一條圍繞于硬幣的封閉曲線；向上；2圈

D.一條擺線；向下；2圈

解：(1)根據(jù)題意中的表述，可知其運(yùn)動(dòng)軌跡是一條圍繞于硬幣的封閉曲線；

(2)當(dāng)右側(cè)硬幣轉(zhuǎn)到左側(cè)時(shí)，硬幣自身轉(zhuǎn)動(dòng)了1圈，故硬幣面上的圖案向上；

(3)分析可得：當(dāng)右側(cè)硬幣轉(zhuǎn)回原地時(shí)，硬幣自身轉(zhuǎn)動(dòng)2圈.

故選：C.

4.定義：如果P是圓。所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，。是射線。尸上一點(diǎn)，且線段OP、。。的比例

中項(xiàng)等于圓。的半徑，那么我們稱點(diǎn)P與點(diǎn)。為這個(gè)圓的一對(duì)反演點(diǎn).已知點(diǎn)〃、N為

圓。的一對(duì)反演點(diǎn)，且點(diǎn)〃、N到圓心。的距離分別為4和9,那么圓0上任意一點(diǎn)到

點(diǎn)、M、N的距離之比細(xì)=—.

AN一

解：由題意。。的半徑J=4X9=36,

Vr>0,

r—6,

當(dāng)點(diǎn)A在N。的延長線上時(shí)，AM=6+4=10,AN=6+9=15,

.AM=22=_2

"AN"153'

當(dāng)點(diǎn)A"是ON與OO的交點(diǎn)時(shí)，A"M=2,A"N=3,

.A"M2

,?A”N

當(dāng)點(diǎn)A'是OO上異與A,A"兩點(diǎn)時(shí)，易證△OA'MsAONA',

.A7M_QAy_6_2

"A7NON?百，

綜上所述，

AN3

故答案為：2

3

5.如圖，在△ABC中，D,E分別是△ABC兩邊的中點(diǎn)，如果DE(可以是劣弧、優(yōu)弧或半

圓)上的所有點(diǎn)都在△ABC的內(nèi)部或邊上，則稱宙為△ABC的中內(nèi)弧，例如，圖中立是

△ABC其中的某一條中內(nèi)弧.若在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)尸(0,4),O(0,0),H

(4,0),在中，M,N分別是尸0,M的中點(diǎn)，的中內(nèi)弧誦所在圓的圓

心P的縱坐標(biāo)m的取值范圍是〃W1或〃z22.

解：如圖，連接MN,

由垂徑定理可知，圓心尸一定在線段MN的垂直平分線上，

作MN的垂直平分線QP,

'：M,N分別是尸O,尸H的中點(diǎn)，且尸(0,4),O(0,0),H(4,0),

：.M(0,2),N(2,2),Q(1,2),

若圓心在線段MN上方時(shí)，

設(shè)P(l,m)由三角形中內(nèi)弧定義可知，圓心尸在線段上方射線QP上均可，

當(dāng)圓心在線段MN下方時(shí)，

"：OF=OH,ZFOH=90°

：.ZFHO=A5°,

'：MN//OH,

:"FNM=/FHO=45°,

作NG±FH交直線QP于G,QG=NQ=1,

根據(jù)三角形中內(nèi)弧的定義可知，圓心在點(diǎn)G的下方(含點(diǎn)G)的直線。尸上時(shí)也符合要

求；

綜上所述，"zWl或初22,

故答案為加W1或根，2.

6.如圖（1）,ZVIBC是正三角形，曲線。ALBICI…叫做"正三角形ABC的漸開線”，其中

,耳面7瓦陶，…依次連接，它們的圓心依次按A，B,C循環(huán)?則曲線CA1B1C1

叫做正△ABC的1重漸開線，曲線CA1B1C1A2B2C2叫做正△ABC的2重漸開線，…，曲

線CAiBiC也…4山,心叫做正△ABC的w重漸開線.如圖（2）,四邊形A8CD是正方形，

曲線CA181C1D1…叫做‘正方形ABCD的漸開線"，其中X1,工1]，B^C-[,可…

依次連接，它們的圓心依次按A,B,C,。循環(huán).則曲線D41B1C1O1叫做正方形A8CD

的1重漸開線，…，曲線。42心￡）也“必出，（：血,叫做正方形43?！辏┑摹爸貪u開線.依

次下去，可得正力形的w重漸開線（〃23）.

若AB=1,則正方形的2重漸開線的長為18m若正〃邊形的邊長為1,則該正〃邊形的

〃重漸開線的長為n（力2+1）n.

則該正，，邊形的第一重漸開線長=誓,二重=筌+不

第〃重漸開線的長誓+程彩

,+...+902L2Sn

180

這是四邊形，如果是a邊形,

則內(nèi)角和是(〃-2)X1804-/2,

所以正〃邊形的邊長為1,

則該正n邊形的n重漸開線的長為2n/n(1+2H■…+W)+2TT/”[("+1)+(〃+2)H---!■(〃+“)]+…

+2n/n{[(n-1)n+l]+[(n-1)n+2]4■…+[(n-1)n+ri\=n(n2+l)IT.

7.一個(gè)玻璃球體近似半圓0,AB為直徑.半圓。上點(diǎn)C處有個(gè)吊燈EREF//AB,COL

AB,跖的中點(diǎn)為。，OA=4.

(1)如圖①，CM為一條拉線，/在上，OM=1.6,DF=0.8,求CD的長度.

(2)如圖②，一個(gè)玻璃鏡與圓。相切，H為切點(diǎn),/為上一點(diǎn)，為入射光線,

N”為反射光線，ZOHM=ZOHN=45°,tanZCOH=^-,求ON的長度.

4

(3)如圖③，M是線段08上的動(dòng)點(diǎn)，為入射光線，ZHOM=50°,"N為反射光

線交圓。于點(diǎn)N,在M從。運(yùn)動(dòng)到B的過程中，求N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長.

解：(1)'：OM=1.6,DF=O.S,EF//AB,

DF是△COM的中位線，

點(diǎn)。是OC的中點(diǎn)，

,?OC=OA=4,

：.CD=2；

(2)如圖②，過點(diǎn)N作于點(diǎn)D,

AOMB

VZOHN=45°,

/.ANHD是等腰直角三角形,

：.ND=HD,

：tanNCOH=3,ZNDO=90°,

4

?.?-N---D_-3-,

OD4

設(shè)ND=3x=HD,則0D=4x,

，：OH=OA=4,

.?.OH=3x+4x=4,

?x=4

7

；.ND=-X3=—,0D=—X4=—,

7777

ON=VOD2+ND2=-y-；

(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)。重合時(shí)，點(diǎn)N也與點(diǎn)O重合，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)2時(shí)，點(diǎn)N

運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)T,故點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)路徑長為04+舒的長，

：.ZOHB=ZOBH=65°,

VZOHM=ZOHT,OH=OT,

：.ZOTH=ZOHT=65°,

：.ZTOH=5Q°,

AZAOT=180°-50°-50°=80°,

???舒的長=8QXnx16

IT,

180T

點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)路徑長=4+」旦TT.

9

8.我們不妨定義：有兩邊之比為1：?的三角形叫敬“勤業(yè)三角形”.

（1）下列各三角形中，一定是“勤業(yè)三角形”的是③④；（填序號(hào)）

①等邊三角形；②等腰直角三角形；③含30°角的直角三角形；④含120°角的等腰三

角形.

（2）如圖1,△ABC是。。的內(nèi)接三角形，AC為直徑，。為AB上一點(diǎn)，且

作DELOA,交線段。4于點(diǎn)F,交O。于點(diǎn)E,連接BE交AC于點(diǎn)G.試判斷△AED

并求出毀的值；如果不是，請(qǐng)

和AABE是否是“勤業(yè)三角形”？如果是，請(qǐng)給出證明,

BE

說明理由;

(3)如圖2,在(2)的條件下，當(dāng)AF：FG=2：3時(shí)，求NB即的余弦值.

解：①等邊三角形各邊的比值為1,故等邊三角形不是“勤業(yè)三角形"；

②等腰直角三角形兩直角邊的比值為1，直角邊與斜邊的比為1：故等腰直角三角

形不是“勤業(yè)三角形”；

③設(shè)含30角的直角三角形的最短邊長為a,則斜邊長為2m另一條直角邊長為正a,a：

V3?=l：?，故含30°角的直角三角形是“勤業(yè)三角形"；

④如圖：/XABC中，AB=AC,Za=120°,過點(diǎn)A作AD_LBC于點(diǎn)￡),

.,.ZB=ZC=30°,

設(shè)A￡)=a,貝i」A8=AC=2a,BD=DC=Ma,

***BC=/2y]~^cir

：.AB：BC=AC-.8c=1：M，

.?.含120。角的等腰三角形是“勤業(yè)三角形”，

故答案為：③④；

(2)解：ZXA即和△ABE都是“勤業(yè)三角形”,

證明如下：

如圖：連接。E,設(shè)/A2E=a,

ZAOE^2ZABE^2a,

'：OA=OE,

：.ZOAE=^-(180°-ZAOE)=A(180°-2a)=90°-a,

22

XVDEXAC,

AZAED+ZOAE=90°,即NAED+90。-a=90°,

/AED=NABE=a,

又；/EAD=NBAE,

：.AADESAAEB,

.AEADDE

"AB"AE"EB'

AE2^AD-AB,

'：BD=2AD,

：.AD=—AB,

3

???AE21AB2,A￡2=3AD2,

o

.AE1AD1

ABV3AEV3

...△AED和aABE都是“勤業(yè)三角形"，

.DE_AE_1^V3.

,?瓦而

(3)解：如圖：過點(diǎn)G作G/〃A8交。E于點(diǎn)/,

:.二FGIs^FAD,AEIGs^EDB,

.GI__IF^GF^3EG=GI「EI

AD"5F"AF"2'EB"BD'ED

:.GI=3AD,

2

"：BD=2AD,

?.G?I-3-11,

BD4

?EGGIEI.3

,?西而五X

設(shè)EG=3a,EB=4a,

由（2）知，旦

BE3

:.E1=SED=MCI,DI=ED-El=^ZLa_^a=^l-a

433

???3=凱半a，

DD

...￡F=EZ+/F=V3O+—a=-a,

55

在RtZ^EFG中，

即CGS/BED=^^~.

5

9.對(duì)于平面內(nèi)的兩點(diǎn)K、L,作出如下定義：若點(diǎn)。是點(diǎn)L繞點(diǎn)K旋轉(zhuǎn)所得到的點(diǎn)，則稱

點(diǎn)。是點(diǎn)L關(guān)于點(diǎn)K的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；若旋轉(zhuǎn)角小于90°,則稱點(diǎn)。是點(diǎn)L關(guān)于點(diǎn)K的銳角

旋轉(zhuǎn)點(diǎn).如圖1,點(diǎn)。是點(diǎn)L關(guān)于點(diǎn)K的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn).

(1)已知點(diǎn)A(4,0),在點(diǎn)。1(0,4),0(2,蓊)，23(-2,2V§)，。4(蓊，

-272)中，是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)。的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的是。2,。4.

(2)已知點(diǎn)2(5,0),點(diǎn)C在直線y=2尤+b上，若點(diǎn)C是點(diǎn)2關(guān)于點(diǎn)。的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，

求實(shí)數(shù)6的取值范圍.

(3)點(diǎn)。是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，D(/,0),E(r-3,0),點(diǎn)、F(m,n)是以。為圓心，3

為半徑的圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足“20.若直線y=2無+6上存在點(diǎn)尸關(guān)于點(diǎn)E的銳角旋轉(zhuǎn)

點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出f的取值范圍.

：.OA=OQi=4,ZAOQi=90°,

點(diǎn)Qi不是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；

：。2(2,，作。無軸于點(diǎn)R

2222

???0Q2=^OF+Q2F=V2+(2A/3)=4=04,

,?tanZQiOF==73，

.?./。2。/=60°,

???點(diǎn)。2是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)。的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn);

付

X

-N

：。3（-2,K回），作0GJ_X軸于點(diǎn)G,

則tan/QOG=^=唱飛，

???N。30G=60°,

——=4=OA,

cos60

VZAOQ3=180°-60°=120°,

???。3不是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；

Vg4（2V2，-2點(diǎn)），作。4HLi軸于點(diǎn)

則tanZ。4。"=----=外&=1,

OH2V2

???NQ40H=45°,

:0Q4=------------------=2"=4=04

cos/Q40Hcos45

；.。4是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；

綜上所述，在點(diǎn)。1,。2,。3,。4中，是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)0的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的是。2,。4,

故答案為：。2,。4.

(2)在y軸上取點(diǎn)P(0,5),當(dāng)直線y=2x+b經(jīng)過點(diǎn)尸時(shí)，可得6=5,

當(dāng)直線y=2x+b經(jīng)過點(diǎn)2時(shí)，則2X5+6=0,

解得：b=-10,

...當(dāng)-10<b<5時(shí)，。8繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)銳角時(shí)，點(diǎn)C一定可以落在某條直線y=2x+b

過點(diǎn)。作OGJ_直線y=2x+6,垂足G在第四象限時(shí)，如圖，

則OT=-b,OS=-」b,

2

5r=VoS2-K)T2(^-b)2+(-b)2=_零從

當(dāng)0G=5時(shí)，6取得最小值，

V5X(-叵b)=-bX(-lb),

22

：.b=-5遙，

-5?W6<5.

(3)根據(jù)題意，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)E的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)在半圓E上，設(shè)點(diǎn)P在半圓S上，點(diǎn)。在

半圓T上(將半圓。繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn))，如圖3(1),半圓掃過的區(qū)域?yàn)閳D3(1)中陰影部

分，

如圖3(2)中，陰影部分與直線y=2x+6相切于點(diǎn)G,tanNEMG=2,SG=3,過點(diǎn)G

作軸于點(diǎn)/,過點(diǎn)S作SJLG/于點(diǎn)J,

/.ZSGJ=ZEMG,

tanZSGJ=tanZEMG=2,

GI=GJ+JI=3+^^-，

5

MI=』G/=,

2210

：.OE=IE+MI-OM=S^--3,即XE=L3=^^--旦，

2222

解得/=舅￡+3,

22

如圖3(3)中，陰影部分與HK相切于點(diǎn)G,tanZOMK=tanZEMH=2,EH=6,則

MH=3,EM=3遙,

:?xE=t-3=-3-3^5?

解得t=-3^/5，

觀察圖象可知，-3jMWf<3+曼豆+旦.

10.在平面直角坐標(biāo)系無0y中，正方形ABCZ)的頂點(diǎn)分別為A(0,1),B(-1,0),C(0,

-1),D(1,0).對(duì)于圖形給出如下定義：尸為圖形M上任意一點(diǎn)，。為正方形

ABC。邊上任意一點(diǎn)，如果P,Q兩點(diǎn)間

的距離有最大值，那么稱這個(gè)最大值為圖形M的“正方距”，記作d(M).

已知點(diǎn)E(3,0).

①直接寫出d(點(diǎn)E)的值；

②過點(diǎn)E畫直線y=kx-3k與y軸交于點(diǎn)F,當(dāng)d(線段EF)取最小值時(shí)，求k的取值

范圍；

③設(shè)T是直線y=-x+3上的一點(diǎn)，以T為圓心，加長為半徑作0T.若d（G）T）滿足d

備用圖

解：①；E（3,0）,B（-1,0）,

：.d（點(diǎn)E）=BE=4；

@'：d（線段EE）取最小值，

：.d（線段所）的最小值=d（點(diǎn)E）=4,

（點(diǎn)F）W4,

當(dāng)d（點(diǎn)/）=4時(shí)，F(xiàn)（0,3）或（0,-3）,

當(dāng)F（0,3）時(shí)，k=-1,

當(dāng)尸（0,-3）時(shí)，k=l,

：.-1WZW1；

③由②可知，d（點(diǎn)E）=d（點(diǎn)/）=4<3百5，

2

.?.￡）點(diǎn)T在第二象限或第四象限，

設(shè)T（x,-x+3）,

當(dāng)T點(diǎn)在第二象限時(shí)，TC=時(shí)，/+（-x+3+i）2=-9Q,

24

解得尤=2-運(yùn)或x=2+返（舍）；

22

當(dāng)T點(diǎn)在第四象限時(shí)，時(shí)，（x+i）2+（-x+3）2=毀

24

解得尤=1+返電或尤=1-返魚（舍）；

22

,:d（OD>^-V10+V2，

2

.?.尤或x<2-

與矩形一邊相切（切點(diǎn)不是頂點(diǎn)）且經(jīng)過矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做矩形的第I類圓；與

矩形兩邊相切（切點(diǎn)都不是頂點(diǎn)）且經(jīng)過矩形的一個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做矩形的第n類圓.

【初步理解】

（1）如圖①?③，四邊形是矩形，。。1和。。2都與邊A。相切，002與邊4B

相切，。。1和。。3都經(jīng)過點(diǎn)8,。。3經(jīng)過點(diǎn)。，3個(gè)圓都經(jīng)過點(diǎn)C.在這3個(gè)圓中，是

矩形ABCD的第I類圓的是①，是矩形ABC。的第II類圓的是②.

【計(jì)算求解】

（2）已知一個(gè)矩形的相鄰兩邊的長分別為4和6,直接寫出它的第I類圓和第H類圓的

半徑長.

【深入研究】

（3）如圖④，已知矩形ABCD,用直尺和圓規(guī)作圖.（保留作圖痕跡，并寫出必要的文

字說明）

①作它的1個(gè)第I類圓；

②作它的1個(gè)第II類圓.

解：(1)由定義可得，①的矩形有一條邊與。。1相切，點(diǎn)8、C在圓上，

①是第I類圓；

②的矩形有兩條邊AZXA8與。。2相切，點(diǎn)C在圓上，

②是第II類圓；

故答案為：①，②；

(2)如圖1,設(shè)A￡>=6,AB=4,切點(diǎn)為E,過點(diǎn)。作EF_LBC交BC于凡交于E,

連接BO,

設(shè)8。=〃則。E=r,OF—4-r,

由垂徑定理可得，BF=CF=3,

在RtZ\20/中，於=(4-r)2+32,

解得「=至；

8

如圖2,設(shè)AD=4,BC=6,切點(diǎn)為E,過點(diǎn)。作班交BC于R交AD于E,連

接8。，

設(shè)2。=廠，則OE=r,0F=6-r,

由垂徑定理可得，BF=CF=2,

在RtABO/中，，=(6-r)2+22,

解得「=獨(dú)；

3

綜上所述：第I類圓的半徑是至或蛇；

83

如圖3,AD=6,AB=4,過點(diǎn)。作MNLAD交于點(diǎn)交BC于點(diǎn)N,連接0C,

設(shè)AB邊與。。的切點(diǎn)為G,連接0G,

JGOLAB,

設(shè)OA1=r,貝!!OC=r,貝UON=4-r,

?.*OG=r,

:,BN=Y,

:,NC=6-r,

在RtZSOCN中，，=(4-r)2+(6-r)2,

解得r—10-4*\/3,

.?.第n類圓的半徑是io-473；

(3)①如圖4,

第一步，作線段AO的垂直平分線交于點(diǎn)片

第二步，連接EC,

第三步，作EC的垂直平分線交E尸于點(diǎn)O，

第四步，以。為圓心，EO為半徑作圓，

二。。即為所求第I類圓；

②如圖5,

第一步：作/BAO的平分線；

第二步：在角平分線上任取點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EFLA。，垂足為點(diǎn)B

第三步：以點(diǎn)E為圓心，E尸為半徑作圓E,交AC于點(diǎn)G,連接尸G；

第四步：過點(diǎn)C作C”〃/G,CH交AD于點(diǎn)H；

第五步：過點(diǎn)》作AO的垂線，交NR4。的平分線于點(diǎn)O;

第六步：以點(diǎn)。為圓心，0H為半徑的圓，。。即為所求第II類圓?

圖1

12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。。的半徑為1，已知點(diǎn)A,過點(diǎn)A作直線對(duì)于點(diǎn)A

和直線MN,給出如下定義：若將直線MN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直線MN與O。有兩個(gè)

交點(diǎn)時(shí)，則稱是。。的“雙關(guān)聯(lián)直線”，與O。有一個(gè)交點(diǎn)尸時(shí)，則稱是。。的

“單關(guān)聯(lián)直線”，AP是O。的“單關(guān)聯(lián)線段

(1)如圖1,A(0,4),當(dāng)MN與y軸重合時(shí)，設(shè)與。。交于C,。兩點(diǎn).則

是。。的“雙關(guān)聯(lián)直線”(填“雙”或“單”)；32的值為3或立；

AD-5一3一

(2)如圖2,點(diǎn)A為直線y=-3x+4上一動(dòng)點(diǎn)，AP是。。的“單關(guān)聯(lián)線段”.

①求OA的最小值；

②直接寫出△APO面積的最小值.

解：(1)當(dāng)與y軸重合時(shí)，

與O。交于C,D兩點(diǎn)，

根據(jù)。。的“雙關(guān)聯(lián)直線”的定義可知：是。。的“雙關(guān)聯(lián)直線”;

當(dāng)點(diǎn)C在y軸的正半軸時(shí)，AC=3,A￡>=5,

.AC_3

?,------;

AD5

當(dāng)點(diǎn)。在y軸的正半軸時(shí)，AO=3,AC=5,

?.?-A-C-,5

AD3

綜上，空■的值為：3或

AD53

故答案為：雙；旦或§；

53

(2)①過點(diǎn)O作OA垂直于直線y=-3x+4于點(diǎn)A,如圖，

設(shè)直線y=-3冗+4與y軸交于點(diǎn)與x軸交于點(diǎn)N,

令x=0,則y=4,

：.M(0,4),

.?.OM=4,

令y=0,貝卜3x+4=0,

?尸4

3

：.N(A,0),

3

：.0N=±,

3

MN=VOM2-K)N2=-

o

?,SA0MN4XOM-ON^kxOA-MN,

.\4XA=XOA,

33

.?.。4=①

5

②△AP。的面積最小值為H.理由：

10

尸是。。的“單關(guān)聯(lián)線段”，

尸與O。相切于點(diǎn)尸，貝UOPLOA,即△APO為直角三角形，

由于△AP。的一個(gè)直角邊為1,當(dāng)0A最小時(shí)，△APO的面積最小,

/.當(dāng)0A垂直于直線y=-3x+4于點(diǎn)A時(shí)，△AP。的面積最小.

連接。尸，如圖，

：.APLOP,

????尸=y0人2_0口2=隼＞,

.,.△APO的面積最小值為Lx運(yùn)■X1=H

2510

13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。。的半徑為1,A為任意一點(diǎn)，8為。。上任意一點(diǎn).給

出如下定義：記A,8兩點(diǎn)間的距離的最小值為p(規(guī)定：點(diǎn)A在。0上時(shí)，p=0),最

大值為分那么把號(hào)■的值稱為點(diǎn)A與。。的“關(guān)聯(lián)距離”，記作d(A,OO).

(1)如圖，點(diǎn)。，E,尸的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù).

①d(D,OO)=2；

②若點(diǎn)M在線段所上，求d(M,OO)的取值范圍；

(2)若點(diǎn)N在直線上，直接寫出d(N,OO)的取值范圍；

(3)正方形的邊長為若點(diǎn)尸在該正方形的邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足d(P,OO)的最小值

為1,最大值為JT5，直接寫出力的最小值和最大值.

y

r11111

111111

111111

L1_LJ2,111

111111

11?111

1?1111

L___L_>1111

「

r1「

111J111

111111

111111

1______1______1_________1______1_____1

111111

111111

1_____J------1------

解：(1)@'：D(0,2)到OO的距離的最小值p=l,最大值4=3,

：.d(￡>,OO)=上曳=2,

2

故答案為：2；

②當(dāng)M在點(diǎn)E處，d(E,(DO)=2,

當(dāng)Af在點(diǎn)尸處，d(F,OO)=2t殳=3,

2

CM,。。)W3；

(2)設(shè)ON=d,

??