北京市石景山區(qū)高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)答案

石景山區(qū)2024—2025學(xué)年第一學(xué)期高三期末數(shù)學(xué)試卷答案及評分參考一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）A （2）A （3）B （4）C （5）D（6）D （7）D （8）C （9）B （10）B二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11） （12）（13） （14），（15）①②④三、解答題（共6小題，共85分）（16）(本小題滿分13分)解：（Ⅰ）在中，由正弦定理得，．由知，且，即，得，因為，所以．……6分 （Ⅱ）選①據(jù)題意，，由余弦定理得，整理得，．……13分選②在中，因為，所以，由正弦定理得，，即，解得；因為，所以，．……13分選③根據(jù)余弦定理，整理得，所以方程有兩個不相等的正實數(shù)根，三角形不唯一確定．（17）(本小題滿分13分)解：（Ⅰ）設(shè)事件“抽到的是甲區(qū)且綠化達標”，因為該城市試點區(qū)的所有居民小區(qū)共有個，甲區(qū)且綠化達標的居民小區(qū)共有個，，所以，抽到的是“甲區(qū)且綠化達標”的概率為．………4分（Ⅱ）的所有取值集合為，依題意，從甲區(qū)中隨機抽取一個居民小區(qū)，它是“垃圾分類達標”小區(qū)的概率為，從乙區(qū)中隨機抽取一個居民小區(qū)，它是“垃圾分類達標”小區(qū)的概率為，，，，所以的分布列為：數(shù)學(xué)期望為：．………11分（Ⅲ）．………13分18(本小題滿分14分)解：（Ⅰ）證明：連接，設(shè)，連接，因為在四棱錐中，四邊形是正方形，所以為的中點，因為為的中點所以在中，，又,所以．………4分（Ⅱ）法1：，，所以．因為四邊形是正方形，所以，，因為，，所以．法2：因為平面，平面，平面，所以．又四邊形為正方形，，以為坐標原點，分別為軸如圖建立空間直角坐標系．設(shè)，由題意得，，，，，所以，，因為，所以．………9分（Ⅲ）因為平面，平面，平面，所以．因為四邊形為正方形，所以，以為坐標原點，分別為軸如圖建立空間直角坐標系．設(shè)，平面的法向量為，則，所以，即令，則，，，設(shè)直線與平面所成的角為，解得，或，所以或．………14分（19）(本小題滿分15分)解：（Ⅰ）由題意知，，．又，解得，，，故橢圓的標準方程為：．………5分（Ⅱ）因為，由題意可知，直線的斜率存在，且不為．所以直線的方程為．聯(lián)立消去，得，解得或，因為點與點不同，所以，因為直線的方程為．因為所以直線．聯(lián)立，解得所以．因為垂直于直線所以．在直角和直角中，所以即．因為代入得，化簡得解得因為，所以的值為．………15分（20）(本小題滿分15分)（Ⅰ）時，，.又，則.所以曲線在點處的切線方程為，即；………4分（Ⅱ）的定義域為.，因為當時，，此時的增區(qū)間為，無減區(qū)間.當時，解得，時，在上單調(diào)遞增；時，在上單調(diào)遞減；時，在上單調(diào)遞增.綜上：當時，的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當時，，的增區(qū)間為和，減區(qū)間為.………10分（Ⅲ）因為存在兩個極值點，所以方程，即在上有兩個不等實根.所以，解得.則要證不等式即證，即，不妨設(shè)，即證，令，，則，所以在上遞增，則，所以成立，所以.………15分（21）(本小題滿分15分)（Ⅰ）不是一個滿足“絕對值關(guān)聯(lián)”的5階數(shù)列，因為．是一個滿足“絕對值關(guān)聯(lián)”的5階數(shù)列，因為,且，滿足兩個性質(zhì)…4分（Ⅱ）因為數(shù)列為一個滿足“絕對值關(guān)聯(lián)”的階數(shù)列，所以，即．又，所以，同時，所以解得.又數(shù)列是一個滿足“絕對值關(guān)聯(lián)”的6階數(shù)列，所以的最小值為.………9分（Ⅲ）數(shù)列為一個滿足“絕對值關(guān)聯(lián)”的階數(shù)列,所以，且不妨設(shè)，，其中，記，不妨設(shè)（否則用代替即可），，所以．因為，，所以且，即不小于和中的最大者，當或時，和中的最大者均為，所以，當或時，或者，