黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)20242025學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.[1，4]【答案】A【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合，再利用交集定義即可求得.【詳解】故故選：A2.已知向量，滿足，其中是單位向量，則在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由模的平方得數(shù)量積與的關(guān)系，再代入投影向量公式可得.【詳解】因?yàn)槠椒降茫?又，則化簡(jiǎn)得，故在方向上的投影向量是.故選：D．3.已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)在上單調(diào)遞增等價(jià)條件，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，解得，充分性，當(dāng)“”時(shí)，函數(shù)在上不一定單調(diào)遞增，故充分性不成立，必要性，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故必要性成立，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的必要不充分條件.故選：B4.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題給條件求得的值，進(jìn)而求得的值.【詳解】由，可得，則，則，則，故故選：C5.已知圓和，若動(dòng)圓與這兩圓一個(gè)內(nèi)切一個(gè)外切，記該動(dòng)圓圓心的軌跡為，則的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用橢圓定義得到該動(dòng)圓圓心的軌跡為橢圓，進(jìn)而得到的方程.【詳解】圓，圓心，半徑，圓，圓心，半徑，因?yàn)樗詧A在圓內(nèi)，所以動(dòng)圓與圓內(nèi)切與圓外切，設(shè)動(dòng)圓半徑為r，圓心，則，，故，所以動(dòng)點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓.由，解得，所以，又因?yàn)樵摍E圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，所以的方程為.故選：C6.如圖，三棱柱中，E，F(xiàn)分別是AB、AC中點(diǎn)，平面將三棱柱分成體積為（左為，右為）兩部分，則（）A.5:6 B.3:4 C.1:2 D.5:7【答案】D【解析】【分析】設(shè)面積為，和的面積為，三棱柱高為；；；總體積為：，根據(jù)棱臺(tái)體積公式求；以及面積關(guān)系，求出體積之比．【詳解】由題：設(shè)面積為，和的面積為，三棱柱高為；；；總體積：計(jì)算體積：①②③由題意可知，④根據(jù)①②③④解方程可得：，；則.故選：D．7.專家表示，海水倒灌原因是太陽(yáng)、月亮等星體的共同作用下，海水的自然漲落，如果天氣因素造成的漲水現(xiàn)象趕上潮汐高潮的時(shí)候，這個(gè)時(shí)候水位就會(huì)異常的高.某地發(fā)生海水倒灌，未來(lái)24h需要排水減少損失，因此需要緊急抽調(diào)抽水機(jī).經(jīng)測(cè)算，需要調(diào)用20臺(tái)某型號(hào)抽水機(jī)，每臺(tái)抽水機(jī)需要平均工作24h.而目前只有一臺(tái)抽水車可立即投入施工，其余抽水機(jī)需要從其他施工現(xiàn)場(chǎng)抽調(diào).若抽調(diào)的抽水機(jī)每隔20min才有一臺(tái)到達(dá)施工現(xiàn)場(chǎng)投入工作，要在24h內(nèi)完成排水任務(wù)，指揮部至少共需要抽調(diào)這種型號(hào)的抽水機(jī)（）A.25臺(tái) B.24臺(tái) C.23臺(tái) D.22臺(tái)【答案】B【解析】【分析】設(shè)至少需要臺(tái)抽水機(jī)，記一臺(tái)抽水機(jī)20min完成的任務(wù)為單位1，臺(tái)抽水機(jī)完成的任務(wù)依次為，，是公差為的等差數(shù)列，解不等式即可得．不等式數(shù)字較大，引入二次函數(shù)后，利用函數(shù)的性質(zhì)確定結(jié)論．【詳解】設(shè)至少需要臺(tái)抽水機(jī)，記一臺(tái)抽水機(jī)20min完成的任務(wù)為單位1，這臺(tái)抽水機(jī)完成的任務(wù)依次為，（）依題意，，是公差為的等差數(shù)列，，要完成所有任務(wù)，則，，記，在上是減函數(shù)，，，所以時(shí)，，所以最小值需要24臺(tái)抽水機(jī)，故選：B．8.已知函數(shù)，若，當(dāng)時(shí)，恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.[0,8]【答案】D【解析】【分析】將化為，由此令，則，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞增，繼而結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求解．【詳解】不妨設(shè)，因?yàn)閷?duì)一切都成立，所以對(duì)一切都成立，令，則．定義域?yàn)椋瑒t原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞增；，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，需在上恒成立，即在上恒成立，對(duì)于圖象過(guò)定點(diǎn)，對(duì)稱軸為，故要使得在上恒成立，需滿足a>0且，解得，綜合可得，即的取值范圍為,．故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：遇到雙變量函數(shù)不等式，需要集中變量轉(zhuǎn)化為函數(shù)值大小關(guān)系，從而構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為新函數(shù)單調(diào)性判斷問(wèn)題，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性即可得所求.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且．則下列說(shuō)法中正確的是（）A. B.離心率為C.的面積為6 D.的面積為12【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出，再由題意及橢圓定義列出方程求解可判斷A，根據(jù)離心率定義判斷B，根據(jù)A可知三角形為直角三角形，求面積可判斷CD.【詳解】由，得，則，因?yàn)槭菣E圓上一點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，，故A正確；對(duì)于B，離心率為，故B正確；對(duì)于CD，因?yàn)?，所以為直角三角形，，所以，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：ABC10.已知函數(shù)滿足，若在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則（）A.的最小正周期是 B.C.的最小值為 D.的最大值為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的周期與對(duì)稱性可得的值，從而得函數(shù)解析式，利用正弦型函數(shù)的最小周期、最值、零點(diǎn)逐項(xiàng)判斷即可得結(jié)論.【詳解】由題意可知，的最小正周期，故A不正確；因?yàn)?，由，可知為的一條對(duì)稱軸，所以，故B正確；因?yàn)闉榈囊粭l對(duì)稱軸，所以，則，又因?yàn)?，所以，故，?dāng)時(shí)，，若在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則，解得，所以的最小值為，無(wú)最大值，故C正確，D不正確.故選：BC.11.在中，為內(nèi)的一點(diǎn)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若為的重心，則 B.若為的外心，則C.若為垂心，則 D.若為的內(nèi)心，則【答案】BCD【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，對(duì)于A、C、D：先求出三角形各種心的坐標(biāo)，然后代入坐標(biāo)列方程求解；對(duì)于B：利用展開計(jì)算即可．【詳解】在中，，，為內(nèi)的一點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，對(duì)于選項(xiàng)A：若為的重心，則，，則，所以，若，由平面向量基本定理可得：，解得，所以，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若為的外心，其必在直線上，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若為的垂心，其必在上，設(shè)，則，解得，此時(shí)，若，由平面向量基本定理可得：，解得，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若為的內(nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，得，則，此時(shí)，若，由平面向量基本定理可得：，解得，所以，即選項(xiàng)D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值是______.【答案】##【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)模的幾何意義求解.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，則，即，則點(diǎn)的軌跡為圓心在，半徑為的圓，，其表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，其最大值為到圓心的距離加上半徑，即，故答案為：.13.邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC的內(nèi)心為，過(guò)的直線與邊AB，AC交于P、Q，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，與平行的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，從而得直線，方程，設(shè)直線為，利用直線相交得坐標(biāo)，從而可得的表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得最值.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，與平行的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，所以直線方程為，直線方程為，過(guò)的直線與邊AB，AC交于P、Q，設(shè)直線為，且，所以，，則，故，因?yàn)椋十?dāng)時(shí)，取到最大值為.故答案為：1814.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，函數(shù)定義域?yàn)镽，對(duì)任意都有，若，則的值為______.【答案】##0.5【解析】【分析】利用確定數(shù)列的遞推關(guān)系，從而求得通項(xiàng)公式，利用可確定函數(shù)是周期函數(shù)且得出周期，由二項(xiàng)展開式確定除以4所得余數(shù)，由求得，最后利用周期性得結(jié)論．【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，，則，所以，所以是等比數(shù)列，公比為，，所以，，則，所以，即是周期函數(shù)，且周期為4，，則，，上述展開式中，從第二項(xiàng)開始每一項(xiàng)都是8的倍數(shù)，也是4的倍數(shù)，所以，故答案為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在已知數(shù)列的項(xiàng)與前項(xiàng)和關(guān)系時(shí)，一般利用確定數(shù)列的前后項(xiàng)之間的關(guān)系，從而求得通項(xiàng)公式，解題時(shí)要注意的情形是否對(duì)也適用．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答題應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.記銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）求；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件利用正弦定理及和角公式可得，再結(jié)合的范圍，即可得到；（2）由正弦定理邊角轉(zhuǎn)化，結(jié)合三角恒等變換可得，根據(jù)角的范圍可得的范圍，進(jìn)而得到答案．【小問(wèn)1詳解】由正弦定理可得：，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，即；【小?wèn)2詳解】由正弦定理得，所以，則，由于為銳角三角形，故，所以，從而，則，所以，因此的取值范圍是．16.為了了解高中學(xué)生課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間（分鐘/每天）和他們的數(shù)學(xué)成績(jī)（分）的關(guān)系，某實(shí)驗(yàn)小組做了調(diào)查，得到一些數(shù)據(jù)（表一）.表一：編號(hào)12345學(xué)習(xí)時(shí)間3040506070數(shù)學(xué)成績(jī)65788599108（1）請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說(shuō)明該組數(shù)據(jù)中變量與變量之間的關(guān)系可以用線性回歸模型擬合（結(jié)果精確到0.001）；（2）求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并由此預(yù)測(cè)每天課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間為100分鐘時(shí)的數(shù)學(xué)成績(jī)；（3）基于上述調(diào)查，某校提倡學(xué)生周六在校自主學(xué)習(xí).經(jīng)過(guò)一學(xué)期的實(shí)施后，抽樣調(diào)查了220位學(xué)生.按照是否參與周六在校自主學(xué)習(xí)以及成績(jī)是否有進(jìn)步統(tǒng)計(jì)，得到列聯(lián)表（表二）．依據(jù)表中數(shù)據(jù)及小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“周六在校自主學(xué)習(xí)與成績(jī)進(jìn)步”是否有關(guān).表二：沒有進(jìn)步有進(jìn)步合計(jì)參與周六在校自主學(xué)習(xí)35130165未參與周六不在校自主學(xué)習(xí)253055合計(jì)60160220（參考數(shù)據(jù)：的方差為的方差為230.8，）附：，.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）詳見解析；（2）分.（3）有關(guān)【解析】【分析】（1）依據(jù)公式計(jì)算即可求得相關(guān)系數(shù)；（2）利用最小二乘法求得回歸方程，再令即可得解；（3）根據(jù)公式求得，再對(duì)照臨界值表即可得解.【小問(wèn)1詳解】，又的方差為的方差為230.8，則r值非常接近于1，故變量與變量之間的關(guān)系可以用線性回歸模型擬合.【小問(wèn)2詳解】，，故，當(dāng)時(shí)，，故預(yù)測(cè)每天課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間為100分鐘時(shí)的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)榉?【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，所以依?jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為“周六在校自主學(xué)習(xí)與成績(jī)進(jìn)步”有關(guān).17.已知等差數(shù)列和等比數(shù)列，滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和為；（3）在（2）的條件下，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)于任意的時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），；（2）（3）．【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程組求得公差、公比后可得通項(xiàng)公式；（2）由錯(cuò)位相減求和；（3）用裂項(xiàng)相消法求得和，不等式轉(zhuǎn)化為，引入函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定的單調(diào)性后，可得出的最小值，從而得的范圍．【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則由得：，解得（舍去），所以，；【小問(wèn)2詳解】，，則，，所以；【小問(wèn)3詳解】由（2）,所以．恒成立，即，，設(shè)，則，由得，，因此,,記，即，時(shí)，，遞減，時(shí)，遞增，因此是的最小值，，，所以對(duì)任意的，的最小值是，所以．18.如圖，在三棱柱中，已知底面，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且為線段AD上的動(dòng)點(diǎn).（1）證明：；（2）若直線與所成角的余弦值為，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件證明平面，再由線面垂直的性質(zhì)得到；（2）由（2）取的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，將二面角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題求解．【小問(wèn)1詳解】證明：在三棱柱中，底面，所以三棱柱是直三棱柱，則，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，易知，則，因?yàn)?，所以，則，即，又，平面，所以平面，所以；【小問(wèn)2詳解】由（1）取的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，，，設(shè)，所以，因?yàn)橹本€與所成角的余弦值為，所以，解得，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，所以為平面的一個(gè)法向量，易知是平面的一個(gè)法向量，則，所以二面角的正弦值為．19.設(shè)是定義在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，若存在區(qū)間，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則稱為“含峰函數(shù)”，為“峰點(diǎn)”，稱為的一個(gè)“含峰區(qū)間”.（1）判斷下列函數(shù)是否為“含峰函數(shù)”？若是，請(qǐng)指出“峰點(diǎn)”；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由：（i）；（ii）.（2）已知是“含峰函數(shù)”，且是它的一個(gè)“含峰區(qū)間”，求的最大值；（3）設(shè)是“含峰函數(shù)”，是它的一個(gè)“含峰區(qū)間”，并記的最大值為.若，且，求的最小值.【答案】（1）（i）是“含峰函數(shù)”，“峰點(diǎn)”為（ii）不是“含峰函數(shù)”（2）（3）【解析】【分析】（1）結(jié)合所給定義，分別借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)與是否有極大值即可得；（2）結(jié)合所給定義，可得在上存在極大值點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)計(jì)算即可得的范圍，即可得其最值；（3）求導(dǎo)后可因式分解，由定義可得有兩不相等實(shí)根，再根據(jù)，結(jié)合單調(diào)性得到，根據(jù)，結(jié)合單調(diào)性得到，即有，即可結(jié)合韋達(dá)定理表示出，再由、代入計(jì)算可得出間的關(guān)系，即可分類討論最小值.【小問(wèn)1詳解】（i）由，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，故存在區(qū)間，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故是“含峰函數(shù)”，“峰點(diǎn)”為，（ii），，則在上是增函數(shù)，故不是“含峰函數(shù)”；【小問(wèn)2詳解】由題意在上存在極大值點(diǎn)，的定義域是，，因?yàn)?，令得，（舍去），?dāng)時(shí)，