浙江省強基聯(lián)盟2024-2025學年高一上12月聯(lián)考數(shù)學試題

浙江強基聯(lián)盟2024年12月高一聯(lián)考數(shù)學試題浙江強基聯(lián)盟研究院命制考生注意：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用交集運算求解即可.【詳解】集合，，所以..故選：B.2.已知角，那么的終邊在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】應用終邊相同的角化簡判斷象限即可.【詳解】∵，∴與的終邊相同，在第二象限.故選:B.3.設命題：，，則的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】利用含有一個量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】解：命題：，的否定是，.故選：C4.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可得答案.【詳解】因為是開口向下、對稱軸為的拋物線，且是增函數(shù)，由復合函數(shù)的單調(diào)性判斷可知，，解得，故選：A.5.命題“，恒成立”的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分和兩種情況討論求出的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】因為，恒成立，當時，，解得，不合題意；當時，，解得，所以，所以“，恒成立”的一個充分不必要條件應為集合的真子集，而是的真子集，所以命題“，恒成立”的一個充分不必要條件是.故選：D.6.設，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小.【詳解】，，，所以.故選：C7.已知，，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式“1”的代換求解的最小值，然后利用恒成立法則轉(zhuǎn)化為，解一元二次不等式即可得解.【詳解】因為，，，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以由恒成立，得，所以.故選：D.8.若對任意的，恒成立，則的最大值為（）A.32 B.8 C.35 D.7【答案】A【解析】【分析】將不等式化為，得到函數(shù)與，若對任意的，恒成立，則直線夾在函數(shù)與之間，可在平面直角坐標系中作出兩函數(shù)圖象，由圖象可知若最大，則恒過點且與曲線相切；聯(lián)立與，利用求出切線斜率，即為的值，從而求出的最大值.【詳解】∵，恒成立，∴，直線夾在函數(shù)與之間，直線剛好過點，即，且直線與曲線相切，有，.由此得，，，故選：A.【點睛】本題考查恒成立問題的求解，關(guān)鍵是能夠?qū)⒉坏仁睫D(zhuǎn)化為三個函數(shù)之間的位置關(guān)系，通過數(shù)形結(jié)合的方式找到最大值取得的情況，利用切線的求解方法求得切線斜率，從而得到所求最值.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性判斷A，根據(jù)特例法判斷B，根據(jù)不等式性質(zhì)判斷CD.【詳解】為單調(diào)遞增函數(shù)，A顯然成立；，時，B顯然不成立；，兩邊同可得，成立；若，則，D成立.故選：ACD.10.已知關(guān)于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（）A. B.的解集為C. D.的解集為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)的解集為或，得到然后逐項判斷.【詳解】對A，∵的解集為或，∴解得故選項A成立；對B，可化為，即，故的解集為，故選項B不成立；對C，，故選項C不成立；對D，可化為，即，其解集為，故選項D成立.故選：AD.11.已知函數(shù)，的定義域為，且，，，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)已知結(jié)合對稱軸，對稱中心定義及周期定義分別判斷各個選項即可.【詳解】由，可得，再代入，可得，則，即，因此對稱中心為，因此C選項成立；因為，則，B選項成立；由，得，可得，則，，所以，則周期為2，，故A選項不成立；而，，因此，D選項成立，故選：BCD.【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)的對稱性與周期性：（1）若，則函數(shù)關(guān)于中心對稱；（2）若，則函數(shù)關(guān)于對稱；（3）若，則函數(shù)的周期為2a；（4）若，則函數(shù)的周期為2a.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)定義域代入計算可得答案.【詳解】因為，所以.故答案為：.13.冪函數(shù)，若在單調(diào)遞增，則______.【答案】2【解析】【分析】利用冪函數(shù)定義求出，進而利用單調(diào)性求解即可.【詳解】∵為冪函數(shù)，∴，因此，又因在單調(diào)遞增，所以.故答案：214.函數(shù)，若，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】依題意可得，即可得到，再由基本不等式計算可得.【詳解】函數(shù)的定義域為，又，則，因為，所以，所以，當且僅當，即，時取等號.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點.（1）求，的值；（2）求的值.【答案】（1），.（2）3【解析】【分析】（1）直接根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得解；（2）根據(jù)誘導公式將（1）中的結(jié)論代入即可.【小問1詳解】由三角函數(shù)定義，得，.【小問2詳解】由誘導公式，得原式.16.已知命題：關(guān)于的方程有實數(shù)根，命題：.（1）若命題是真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)命題為真即方程有解，利用判別式法列不等式求解即可.（2）根據(jù)必要不充分條件的定義列不等式求解即可.【小問1詳解】命題為真命題，：關(guān)于的方程有實數(shù)根，則，解得，故實數(shù)的取值范圍為.【小問2詳解】：，：.是的必要不充分條件，則，解得.故取值范圍為.17.臨近新年，車厘子、榴梿等高檔水果受到人們青睞.老張水果店瞄準商機，準備新進一大批車厘子來滿足市場需求，同時為提高銷售量，老張水果店特準備舉辦一場車厘子促銷活動.據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當每斤車厘子的售價定為元時，銷售量為斤.現(xiàn)批發(fā)商為配合老張水果店的活動，將供貨價格分為固定價格與浮動價格兩部分，即：供貨價格＝固定價格＋浮動價格，其中固定價格為50元/斤，浮動價格（單位：元）與銷售量（單位：斤）成反比，比例系數(shù)為20.（1）試將總利潤表示成關(guān)于的函數(shù)；（2）當每斤車厘子售價定為多少時，總利潤最大，為多少？【答案】（1）（）.（2）100元，1980元.【解析】【分析】（1）由每斤車厘子的售價定為元時，銷售量為斤和供貨價格＝固定價格＋浮動價格求解；（2）由（1）的結(jié)論，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【小問1詳解】解：設每斤車厘子的售價定為元時，總利潤為，由得，（）【小問2詳解】總利潤，，所以當售價元時，總利潤達到最大；總利潤元，即每斤車厘子售價定為100元時，車厘子總利潤最大，為1980元.18.已知對任意實數(shù)，，函數(shù)恒有，且當時，，.（1）求的值，判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性，同時求出在區(qū)間上的最大值；（3）若對所有的及，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），奇函數(shù)，證明見解析（2）在上減函數(shù)，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）令，得到，再令，利用奇偶性的定義求解；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明單調(diào)性，再求最值；（3）將問題轉(zhuǎn)化為對所有的恒成立，由求解.【小問1詳解】解：令，則，∴，令，則，∴，∴，∴是奇函數(shù).【小問2詳解】在上是減函數(shù)，證明如下：，，，則，∴，即，∴在上是減函數(shù).∴在上的最大值為，∴在上的最大值為2.【小問3詳解】在上的最大值為2，∴對所有的恒成立，∴∴或，∴實數(shù)的取值范圍是.19.已知函數(shù)（）是定義在上的奇函數(shù).（1）求的值，并判斷函數(shù)的單調(diào)性（不證明）；（2）若，且在上有兩個不同的零點，求的取值范圍.【答案】（1），在上為增函數(shù).（2）.【解析】【分析】（1）先根據(jù)函數(shù)是上的奇函數(shù)得出即可求參，再代入檢驗符合題意，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷單調(diào)性；（2）先計算求值得出，再換元令得出再把兩個不同的零點轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系計算求解.【小問1詳解】∵是定義在上的奇函數(shù)，∴，得，經(jīng)檢驗是定義在上的奇函數(shù)符合題意.因為，且，所以在上為增函數(shù).【小問2詳解】∵，∴，解得..令，為增函數(shù)，∵，∴，令，因為函數(shù)要在上有兩個不同的零點，即函數(shù)要在上有兩個不同的零點.∴，.綜上所述，的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題第二問的關(guān)鍵是換元令把要在上有兩個不同的零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)要在上有兩個不同的零點列式求解即可.20.已知集合，為的一個子集，記為集合中的最大元素，為集合中的最小元素，若的子集滿足以下三個條件：①；②；③，則稱是的一個“強集”.（1）若，（Ⅰ）寫出的一個“強集”；（Ⅱ）求的“強集”個數(shù).（2）若有“強集”，且的“強集”都沒有“強集”，求的最大值.【答案】（1）（Ⅰ）；（Ⅱ）（2）1896.【解析】【分析】（1）（Ⅰ）根據(jù)“強集”的定義寫出的一個“強集”即可；（Ⅱ）根據(jù)“強集”的定義，分別求出，時的強集個數(shù)即可求得總數(shù)；（2）設，存在強集，則，從而可得，利用基本不等式可求得取最大值時的取值，此時的強集無強集，從而得解.【小問1詳解】由題意知，（Ⅰ）P的一個強集