中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)提升專項(xiàng)知識(shí)分式(練習(xí))含答案及解析

第一章數(shù)與式第03講分式TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01分式有、無(wú)意義的條件??題型02分式值為0的條件??題型03求使分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的值??題型04分式基本性質(zhì)的運(yùn)用??題型05約分??題型06分式運(yùn)算??題型07判斷分式運(yùn)算的錯(cuò)誤步驟??題型08分式化簡(jiǎn)求值??題型09分式運(yùn)算的應(yīng)用??題型10分式的規(guī)律探究問(wèn)題??題型11與分式運(yùn)算有關(guān)的新定義問(wèn)題??題型01分式有、無(wú)意義的條件1．（2024·湖北恩施·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)y=x+3x?2的自變量的取值范圍是（A．x≤?3 B．x≥?3且x≠2C．x≤?3且x≠2 D．x≥?32．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在函數(shù)y=?3x?2?x+13．（2024·江西吉安·模擬預(yù)測(cè)）已知分式2x+ax?b（a，b為常數(shù)）當(dāng)x=2時(shí)，分式無(wú)意義，當(dāng)x=0.5時(shí)分式的值為0，則ba4．（2024·河北邢臺(tái)·模擬預(yù)測(cè)）已知分式3x?5x+m（m為常數(shù)）滿足如下表格中的信息，則m=，p=x的取值3p分式無(wú)意義值為75．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）先化簡(jiǎn)，再求值：a2+4a+4a2?4??題型02分式值為0的條件1．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如果分式x2?2xxA．0或2 B．2 C．0 D．不存在2．（2024·江蘇泰州·一模）對(duì)于分式1?m21?mA．不可能為0 B．比1大 C．可能為2 D．比m大3．（2024·貴州黔東南·一模）若分式x?2x+2值為0，則x的取值范圍是（A．x=?2 B．x=2 C．x≠?2 D．x=±24（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)x=3時(shí)，分式x?ax+4的值為0，則a的值為5．（2024·遼寧鐵嶺·二模）（1）?2?（2）先化簡(jiǎn)，再求值：3?x2x2?4x÷5x?2??題型03求使分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的值1．（2024·江蘇揚(yáng)州·三模）能使分式6x+212x?3值為整數(shù)的整數(shù)x有2．（2023·河北石家莊·模擬預(yù)測(cè)）代數(shù)式x?2x2?4x+4÷1x+6的值為A．0個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè)3．（2024·河北秦皇島·模擬預(yù)測(cè)）已知A=6a+6a2?2a+1，B=2a?1，計(jì)算A÷1+B=4．（2023·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知兩個(gè)多項(xiàng)式A=x2+3x+3，B=x2①若A+B=14，則x=±2；②若A?B?8+A?B+4=12③若A×B=0，則關(guān)于x的方程無(wú)實(shí)數(shù)根；④若x為整數(shù)x≠1，且A?7B?1的值為整數(shù)，則xA．4 B．3 C．2 D．15（2023·山西大同·三模）閱讀與思考下面是小宇同學(xué)課外閱讀的一則數(shù)學(xué)材料，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．“真分式”與“假分式”我們知道，假分?jǐn)?shù)可以化為整數(shù)與真分?jǐn)?shù)的和的形式，例如：32=1+12．在分式中，對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為假分式；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為真分式．如x+1x?1，x例如：將分式x?2x+3x?2x+3將分式x2方法1：x2+4x?5x+3方法2：由于分母為x+3，可設(shè)x2+4x?5=(x+3)(x+a)+b（a，∵(x+3)(x+a)+b=x2+ax+3x+3a+b∴x∴a+3=43a+b=?5∴x∴x2+4x?5這樣，分式x2任務(wù)：(1)分式2x+3是__________分式（填“真”或“假”）；將假分式2x+3(2)請(qǐng)將x2(3)若分式x2+2x?14x?3??題型04分式基本性質(zhì)的運(yùn)用1．（2023·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．代數(shù)式x+4π是分式B．分式xyx?y中x，C．分式x+1x2+1是最簡(jiǎn)分式2．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）將分式x2y2x+y中x，A．?dāng)U大10倍 B．?dāng)U大100倍 C．?dāng)U大100倍 D．?dāng)U大1000倍3．（2023·河北石家莊·二模）下列各式的計(jì)算結(jié)果與baA．ba+b?ab?a B．a(chǎn)b?4．（2023·河北衡水·二模）已知a>b>c>0，M=ba，N=bΔcA．若“Δ”代表的是“＋”，則M<N B．若“Δ”代表的是“－”，則M<NC．若“Δ”代表的是“×”，則M<N D．若“Δ”代表的是“÷”，則M<N??題型05約分1．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測(cè)）化簡(jiǎn)：2x2?2xyA．6xy B．3y C．3x D．3xy2．（2023·山西陽(yáng)泉·一模）如圖是徐同學(xué)的答卷，他的得分應(yīng)是（）

A．25分 B．50分 C．75分 D．100分3．（2024·寧夏銀川·三模）若ab=3，則分式24．（2024·廣東·二模）已知a=0.3，b=0.1，則6ab+9a25．（2024·浙江寧波·一模）代數(shù)式4ab+6ac+12bca2+4??題型06分式運(yùn)算1．（2024·河北邢臺(tái)·模擬預(yù)測(cè)）化簡(jiǎn)(?y2xA．?y4x2 B．y4x2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算32m?n?2m?n3．（2024·四川廣安·模擬預(yù)測(cè)）已知a2?3a+1=0，則4a4．（2024·河北保定·三模）圖1中陰影部分的面積為S1（邊長(zhǎng)為a的大正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形）．圖2中陰影部分的面積為S2（邊長(zhǎng)為a的大正方形中有一個(gè)長(zhǎng)為a、寬為b的小長(zhǎng)方形），a>b>0，設(shè)k=S1S5．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）根據(jù)如圖所示的程序，求輸出D的化簡(jiǎn)結(jié)果．??題型07判斷分式運(yùn)算的錯(cuò)誤步驟1．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）下面是某同學(xué)化簡(jiǎn)分式2x?1解：原式=2=2?x?1=1?x=1?x上面的運(yùn)算過(guò)程中第步出現(xiàn)錯(cuò)誤，請(qǐng)你寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．2．（2024·寧夏銀川·一模）先化簡(jiǎn)2a?4a2?1小陳同學(xué)在進(jìn)行分式化簡(jiǎn)時(shí)，過(guò)程如下：解：原式＝2a?2＝2a?2＝2a?2……(1)上述過(guò)程中，從第步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是．(2)請(qǐng)完成正確的完整解題過(guò)程．3．（2024·吉林·二模）請(qǐng)你閱讀下列解題過(guò)程，并回答所提出的問(wèn)題．計(jì)算：x+1x解：原式=x+1=x+1=x+1?4x+1=?3x?3第四步(1)上述計(jì)算過(guò)程中，從哪一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤______；(2)從第二步到第三步是否正確？______，同分母分式相加減，分母______，分子______；(3)正確的結(jié)果是______．4．（2024·寧夏·一模）在數(shù)學(xué)課上，老師出了一道題，讓甲、乙、丙、丁四位同學(xué)進(jìn)行“接力游戲”．規(guī)則如下：每位同學(xué)可以完成化簡(jiǎn)分式的一步變形，即前一位同學(xué)完成一步后，后一個(gè)同學(xué)接著前一個(gè)同學(xué)的步驟進(jìn)行下一步化簡(jiǎn)變形，直至將該分式化簡(jiǎn)完畢．請(qǐng)根據(jù)如表的“接力游戲”回答問(wèn)題：接力游戲老師：化簡(jiǎn)：1?甲同學(xué)：原式=乙同學(xué)：原式=丙同學(xué)：原式=丁同學(xué)：原式=?4x(1)：①在“接力游戲”中，丁同學(xué)是依據(jù)______進(jìn)行變形的．A.等式的基本性質(zhì)

B.不等式的基本性質(zhì)

C.分式的基本性質(zhì)

D.乘法分配律②在“接力游戲”中，從_______同學(xué)開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是______．(2)：請(qǐng)你寫(xiě)出該分式化簡(jiǎn)的正確結(jié)果______．5．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）小明的作業(yè)如下：解：a=a?a?b=?a?b．（第二步）(1)指出小明的作業(yè)是從哪一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的，請(qǐng)更正過(guò)來(lái)，并計(jì)算出正確結(jié)果；(2)若a，b是不等式組2x>0x?3<0的整數(shù)解（a<b??題型08分式化簡(jiǎn)求值1．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，若a=6b，則1a?ba?2ab?A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段2．（2024·四川德陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知x2?x?1=0，計(jì)算A．2 B．?2 C．1 D．?13．（2024·山東聊城·二模）若1+1x?1÷2xxA．x為自然數(shù) B．x為大于1的奇數(shù)C．x為大于0的偶數(shù) D．x為正整數(shù)4．（2024·黑龍江綏化·模擬預(yù)測(cè)）化簡(jiǎn)m?1m2?6m+95．（2024·黑龍江綏化·模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)x=y+2023時(shí)，代數(shù)式1x?y?6．（2024·山東濱州·模擬預(yù)測(cè)）先化簡(jiǎn)，再求值：x2?2x+1x7．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）先化簡(jiǎn)，再求值1?1x?1÷x2??題型09分式運(yùn)算的應(yīng)用1．（2023·河北廊坊·二模）a克糖放入水中，得到b克糖水，此時(shí)糖水的濃度為是ab(1)再往杯中加入mm>0(2)請(qǐng)證明（1）中的數(shù)學(xué)關(guān)系式．2．（2023·福建福州·一模）福州市的市花是茉莉花．“飄香1號(hào)”茉莉花實(shí)驗(yàn)種植基地是邊長(zhǎng)為ama>1的正方形去掉一塊邊長(zhǎng)為1m的正方形蓄水池后余下的部分，“飄香2號(hào)”茉莉花實(shí)驗(yàn)種植基他是邊長(zhǎng)為a?13．（2024·寧夏銀川·一模）現(xiàn)在汽車已成為人們出行的交通工具．小李和小王元旦那天相約一起到某加油站加油，當(dāng)天95號(hào)汽油的單價(jià)為m元/升，他倆加油的情況如圖所示．半個(gè)月后的某天，他倆再次相約到同一加油站加油，此時(shí)95號(hào)汽油的單價(jià)下調(diào)為n元/升，他倆加油的情況與上次相同，請(qǐng)運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)計(jì)算小李、小王兩次加油誰(shuí)的平均單價(jià)更低？4．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知p=k方方說(shuō)：“p一定大于q”．以下是方方的解答過(guò)程．解：p?q=k因?yàn)閗>0，所以p?q>0，即p一定大于q．你覺(jué)得方方說(shuō)法正確嗎？為什么？??題型10分式的規(guī)律探究問(wèn)題1．（2022·廣西賀州·一模）對(duì)于正數(shù)x，規(guī)定fx=x1+x，例如：f3=32．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）觀察下面的一列數(shù)：a1=12，a2(1)嘗試：a2?a1=(2)歸納：an+1(3)推理：運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，推理說(shuō)明你歸納的結(jié)論是正確的．3．（2024·四川內(nèi)江·二模）已知，若a，b為非零實(shí)數(shù)，則b?aab(1)觀察下列各式并補(bǔ)充完整：11×212×313×4…1nn+1=11×2+1(2)計(jì)算：11×3(3)設(shè)an=n+1n24．（2022·安徽合肥·二模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：73×(2?3第3個(gè)等式：1911×(2?3按照以上規(guī)律，解答下列問(wèn)題：(1)寫(xiě)出第5個(gè)等式：；(2)寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式：（用含n的等式表示），并證明．??題型11與分式運(yùn)算有關(guān)的新定義問(wèn)題1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于實(shí)數(shù)a、b，定義運(yùn)算：①m⊕n=1m+n例如①3⊕5=13+5=182．（2023·浙江寧波·三模）定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)x，y，x?y=x2a?y2b3．（2024·四川廣元·二模）定義一種新運(yùn)算：n?n+1=1nn+1，如1?2=11×2，4．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）定義：不大于實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)部分，記作x．例如：2=1，?2.6=?3，按此規(guī)定，若a=336，b=?A．13 B．19 C．1365．（2022·河北·二模）對(duì)于代數(shù)式a，b，c，d規(guī)定一種運(yùn)算：abcd=aA．x2 B．x+1x C．x+11．（2022·浙江杭州·中考真題）照相機(jī)成像應(yīng)用了一個(gè)重要原理，用公式1f=1u+1vv≠f表示，其中f表示照相機(jī)鏡頭的焦距，u表示物體到鏡頭的距離，v表示膠片（像）到鏡頭的距離．已知A．fvf?v B．f?vfv C．fvv?f2．（2024·四川眉山·中考真題）已知a1=x+1（x≠0且x≠?1），a2=13．（2023·廣東廣州·中考真題）已知a>3，代數(shù)式：A=2a2?8，B=3(1)因式分解A；(2)在A，B，C中任選兩個(gè)代數(shù)式，分別作為分子、分母，組成一個(gè)分式，并化簡(jiǎn)該分式．4．（2023·江蘇鹽城·中考真題）課堂上，老師提出了下面的問(wèn)題：已知3a>b>0，M=ab，N=a+1b+3，試比較小華：整式的大小比較可采用“作差法”.老師：比較x2+1與小華：∵x2∴x2老師：分式的大小比較能用“作差法”嗎？…(1)請(qǐng)用“作差法”完成老師提出的問(wèn)題．(2)比較大?。?368__________2265．（填“>”“=”或“一、單選題1．（2024·山東淄博·中考真題）下列運(yùn)算結(jié)果是正數(shù)的是（

）A．3?1 B．?32 C．?2．（2024·廣東廣州·中考真題）若a≠0，則下列運(yùn)算正確的是（

）A．a(chǎn)2+aC．2a?33．（2024·上海·中考真題）函數(shù)f(x)=2?xx?3的定義域是（A．x=2 B．x≠2 C．x=3 D．x≠34．（2023·浙江湖州·中考真題）若分式x?13x+1的值為0，則x的值是（

A．1 B．0 C．?1 D．?35．（2023·四川綿陽(yáng)·中考真題）使代數(shù)式1x+3+4?3x有意義的整數(shù)xA．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)6．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）化簡(jiǎn)4x+2+x?2的結(jié)果是（A．1 B．x2x2?4 C．7．（2023·山東聊城·中考真題）?20230的值為（

A．0 B．1 C．?1 D．?8．（2023·湖北宜昌·中考真題）下列運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)是（

）．①|(zhì)2023|=2023；②20230=1；③2023?1=A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題9．（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）要使分式6x?19有意義，則x需滿足的條件是10．（2023·上?！ぶ锌颊骖}）化簡(jiǎn)：21?x?2x11．（2024·廣東·中考真題）計(jì)算：aa?3?12．（2024·綏化市·中考真題）計(jì)算：x?yx÷三、解答題13．（2024·甘肅蘭州·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：1+a+7a+1÷14．（2024·四川廣元·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：aa?b÷a2?b215．（2023·遼寧盤(pán)錦·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：1x+1+116．（2023·吉林·中考真題）下面是一道例題及其解答過(guò)程的一部分，其中M是單項(xiàng)式．請(qǐng)寫(xiě)出單項(xiàng)式M，并將該例題的解答過(guò)程補(bǔ)充完整．例

先化簡(jiǎn)，再求值：Ma+1?1解：原式=……

第一章數(shù)與式第03講分式TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01分式有、無(wú)意義的條件??題型02分式值為0的條件??題型03求使分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的值??題型04分式基本性質(zhì)的運(yùn)用??題型05約分??題型06分式運(yùn)算??題型07判斷分式運(yùn)算的錯(cuò)誤步驟??題型08分式化簡(jiǎn)求值??題型09分式運(yùn)算的應(yīng)用??題型10分式的規(guī)律探究問(wèn)題??題型11與分式運(yùn)算有關(guān)的新定義問(wèn)題??題型01分式有、無(wú)意義的條件1．（2024·湖北恩施·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)y=x+3x?2的自變量的取值范圍是（A．x≤?3 B．x≥?3且x≠2C．x≤?3且x≠2 D．x≥?3【答案】B【分析】本題考查的是函數(shù)自變量的取值范圍的確定，掌握二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0列出不等式組，解不等式組得到答案．【詳解】解：由題意得：x+3≥0且x?2≠0，解得：x≥?3且x≠2，故選：B．2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在函數(shù)y=?3x?2?x+1【答案】x≥?1且x≠2【分析】根據(jù)分式的分母不為零、二次根式的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)求解可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，得：x?2≠0且x+1?0，解得x??1且x≠2，故答案為：x??1且x≠2．3．（2024·江西吉安·模擬預(yù)測(cè)）已知分式2x+ax?b（a，b為常數(shù)）當(dāng)x=2時(shí)，分式無(wú)意義，當(dāng)x=0.5時(shí)分式的值為0，則ba【答案】12【分析】本題主要考查分式，負(fù)整指數(shù)冪，根據(jù)當(dāng)x=2時(shí)，分式無(wú)意義，即分母為0，求出b值；當(dāng)x=0.5時(shí)，分式的值為0，求出a值，掌握分式無(wú)意義的條件與分式的值為0的條件，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意知：當(dāng)x=2時(shí)，分式無(wú)意義，∴2?b=0，∴b=2，當(dāng)x=0.5時(shí)，分式的值為0，∴2x+a解得：a=?1，∴b故答案為：124．（2024·河北邢臺(tái)·模擬預(yù)測(cè)）已知分式3x?5x+m（m為常數(shù)）滿足如下表格中的信息，則m=，p=x的取值3p分式無(wú)意義值為7【答案】?34【分析】本題考查了分式無(wú)意義的條件和解分式方程，由x=3時(shí)，分式無(wú)意義，可得3+m=0，即可求出m=?3，進(jìn)而得出分式，再把x=p代入分式，得到分式方程3p?5p?3【詳解】解：由表格可知，當(dāng)x=3時(shí)，分式無(wú)意義，∴3+m=0，∴m=?3，∴分式為3x?5x?3又由表格知，當(dāng)x=p時(shí)，3p?5p?3即3p?5=7p?3解得p=4，經(jīng)檢驗(yàn)，p=4是原方程的解，∴p=4，故答案為：?3，4．5．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）先化簡(jiǎn)，再求值：a2+4a+4a2?4【答案】1a+1，當(dāng)a=1時(shí)，原式【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值、分式有意義的條件，先根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，再根據(jù)分式有意義的條件得出a=1，代入計(jì)算即可得解．【詳解】解：a====1∵a2?4≠0，a2∴a≠0，?2，2，?1，∴a=1，∴當(dāng)a=1時(shí)，原式=1??題型02分式值為0的條件1．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如果分式x2?2xxA．0或2 B．2 C．0 D．不存在【答案】B【分析】本題考查分式的值為零的條件，掌握當(dāng)分式的分子為零且分母不為零時(shí)，分式的值為零是解題關(guān)鍵．根據(jù)分式值為零的條件進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵分式x2∴x2?2x=0且∴x=2．故選：B．2．（2024·江蘇泰州·一模）對(duì)于分式1?m21?mA．不可能為0 B．比1大 C．可能為2 D．比m大【答案】D【分析】本題考查了分式的性質(zhì)，根據(jù)分式的性質(zhì)，分式的值為零逐項(xiàng)判斷即可，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的性質(zhì)．【詳解】A、當(dāng)1?m21?m=1+mB、1?m21?mC、當(dāng)1?m21?mD、1?m21?m故選：D．3．（2024·貴州黔東南·一模）若分式x?2x+2值為0，則x的取值范圍是（A．x=?2 B．x=2 C．x≠?2 D．x=±2【答案】B【分析】本題考查了分式的值為零的條件．根據(jù)分子為零分母不為零分式的值為零，可得答案．【詳解】解：由分式x?2|x|?2=0且x+2≠0．解得x=2，故選：B．4（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)x=3時(shí)，分式x?ax+4的值為0，則a的值為【答案】3【分析】本題主要考查了分式值為零的知識(shí)，熟練掌握分式為零的特征是解題關(guān)鍵．若分式值為0，則有分母不為0，分子為0，據(jù)此即可獲得答案．【詳解】解：當(dāng)x=3時(shí)，若分式x?ax+4則有x+4=3+4=7≠0，x?a=3?a=0，解得a=3．故答案為：3．5．（2024·遼寧鐵嶺·二模）（1）?2?（2）先化簡(jiǎn)，再求值：3?x2x2?4x÷5x?2【答案】（1）4+3；（2）12x(3+x)【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值、實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、分式的化簡(jiǎn)求值、分式的值等于零等．熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值和實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可；（2）相加分式的混合運(yùn)算化簡(jiǎn)原式，再求出使分式x2?4x?2值為0【詳解】解：?2=2?1+4?2×=2?1+4?=4+3（2）3?x====1∵分式x2?4x?2即x2?4=0且解得：x=?2；當(dāng)x=?2時(shí)，原式=1??題型03求使分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的值1．（2024·江蘇揚(yáng)州·三模）能使分式6x+212x?3值為整數(shù)的整數(shù)x有【答案】8【分析】此題主要考查了分式的值，正確化簡(jiǎn)分式是解題關(guān)鍵．將6x+212x?3轉(zhuǎn)化為3+【詳解】解：6x+212x?3∵分式的值為整數(shù)，∴302x?3∴2x?3=±1,±2,±3,±5,±6,±10,±15,±30，∵x也是整數(shù)，∴2x?3=±1,±3,±5,±15，解得：x=2,x=1,x=3,x=0,x=4,x=?1,x=9,x=?6；∴能使分式6x+212x?3值為整數(shù)的整數(shù)x有8故答案為：8．2．（2023·河北石家莊·模擬預(yù)測(cè)）代數(shù)式x?2x2?4x+4÷1x+6的值為A．0個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè)【答案】B【分析】先將分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)題意確定F為整數(shù)的x的值，即可確定F的值的個(gè)數(shù)．【詳解】解：x?2====1+8∵代數(shù)式x?2x2?4x+4÷1∴8x?2為整數(shù)，且∴x?2的值為：1,8,4,?1,?8,?2,?4∴對(duì)應(yīng)的F值有7個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】題目主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式的化簡(jiǎn)求值及分式有意義的條件是解題關(guān)鍵．3．（2024·河北秦皇島·模擬預(yù)測(cè)）已知A=6a+6a2?2a+1，B=2a?1，計(jì)算A÷1+B=【答案】6a?1【分析】本題考查的是分式的混合運(yùn)算，分式的值為整數(shù)，根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則求得A÷1+B=6a?1，再根據(jù)【詳解】解：由題意可得：A÷===6∵A÷1+B的值為正整數(shù)，a∴a?1=1或2或3或6，∴符合題意的a=2，3，4，7，∴滿足條件的所有整數(shù)a的和為2+3+4+7=16，故答案為：6a?14．（2023·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知兩個(gè)多項(xiàng)式A=x2+3x+3，B=x2①若A+B=14，則x=±2；②若A?B?8+A?B+4=12③若A×B=0，則關(guān)于x的方程無(wú)實(shí)數(shù)根；④若x為整數(shù)x≠1，且A?7B?1的值為整數(shù)，則xA．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】①直接列方程求解即可；②列絕對(duì)值方程即可直接求解，③由A×B=0，可得x2+3x+3=0或【詳解】解：①∵A+B=12，∴x2解得：x=±3∴①不正確；②∵A?B?8+∴x2∴6x?8+當(dāng)x<?23時(shí)，解得x=當(dāng)?23≤x≤當(dāng)x>43時(shí)，解得x=4∴②正確；③∵A×B=0，∴x2∴x2+3x+3=0或當(dāng)x2+3x+3=0時(shí)，當(dāng)x2?3x+3=0時(shí)，∴若A×B=0，關(guān)于x的方程無(wú)實(shí)數(shù)根，∴③正確；④∵A?7====1+6∵x為整數(shù)，且A?7B?1∴x?2=±1，±2，±3，±6又∵x≠1∴x的取值個(gè)數(shù)為7個(gè)，∴④不正確．正確的個(gè)數(shù)是2故選：C．5（2023·山西大同·三模）閱讀與思考下面是小宇同學(xué)課外閱讀的一則數(shù)學(xué)材料，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．“真分式”與“假分式”我們知道，假分?jǐn)?shù)可以化為整數(shù)與真分?jǐn)?shù)的和的形式，例如：32=1+12．在分式中，對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為假分式；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為真分式．如x+1x?1，x例如：將分式x?2x+3x?2x+3將分式x2方法1：x2+4x?5x+3方法2：由于分母為x+3，可設(shè)x2+4x?5=(x+3)(x+a)+b（a，∵(x+3)(x+a)+b=x2+ax+3x+3a+b∴x∴a+3=43a+b=?5∴x∴x2+4x?5這樣，分式x2任務(wù)：(1)分式2x+3是__________分式（填“真”或“假”）；將假分式2x+3(2)請(qǐng)將x2(3)若分式x2+2x?14x?3【答案】(1)真；2+(2)x+5+(3)x=2或x=4【分析】（1）根據(jù)定義，例題，化為一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和的形式；（2）根據(jù)方法一、化為一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和的形式；（3）根據(jù)題意可得1x?3【詳解】（1）解：根據(jù)定義，當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為真分式，∴2x+32x+3x故答案為：真；2+3（2）解：∵x====x+5+（3）解：由（2）可得x2+2x?14∵x2∴1x?3∴x?3=±1∴x=2或x=4．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減運(yùn)算，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解答此題的關(guān)鍵．??題型04分式基本性質(zhì)的運(yùn)用1．（2023·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．代數(shù)式x+4π是分式B．分式xyx?y中x，C．分式x+1x2+1是最簡(jiǎn)分式【答案】C【分析】此題主要考查分式的定義、性質(zhì)、最簡(jiǎn)分式以及分式有意義的條件．根據(jù)分式的定義及性質(zhì)依次判斷即可求解．【詳解】解：A、代數(shù)式x+4πB、分式xyx?y中x，y都擴(kuò)大3倍后為3x?3yC、分式x+1xD、當(dāng)x≠1時(shí)，分式x+1x?1故選：C．2．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）將分式x2y2x+y中x，A．?dāng)U大10倍 B．?dāng)U大100倍 C．?dāng)U大100倍 D．?dāng)U大1000倍【答案】D【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì)．解題關(guān)鍵是抓住分子、分母變化的倍數(shù)，解此類題首先把子母變化后的值代入式子中，然后約分，再與原式比較，最終得出結(jié)論．將原式中的x,y分別用10x,10y代替，化簡(jiǎn)后與原分式進(jìn)行比較即可得到答案．【詳解】解：將分式x2y2則原式變?yōu)?0x2∴分式的值擴(kuò)大1000倍，故選：D．3．（2023·河北石家莊·二模）下列各式的計(jì)算結(jié)果與baA．ba+b?ab?a B．a(chǎn)b?【答案】A【分析】根據(jù)分式混合運(yùn)算化簡(jiǎn)后，結(jié)合倒數(shù)定義驗(yàn)證即可得到答案．【詳解】解：b===a+b∴ba?aA、ba+bB、abC、1aD、ab?a故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查分式混合運(yùn)算，熟記分式運(yùn)算法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．4．（2023·河北衡水·二模）已知a>b>c>0，M=ba，N=bΔcA．若“Δ”代表的是“＋”，則M<N B．若“Δ”代表的是“－”，則M<NC．若“Δ”代表的是“×”，則M<N D．若“Δ”代表的是“÷”，則M<N【答案】A【分析】當(dāng)“Δ”代表的是“＋”時(shí)，得出N=b+ca+c，計(jì)算M?N的值的符號(hào)，即可得出M與N的大小關(guān)系，可判斷A；當(dāng)“Δ”代表的是“－”，得出N=b?ca?c，與A同理，可判斷B；當(dāng)“【詳解】解：若“Δ”代表的是“＋”，則N=b∴M?N=b∵a>b>c>0，∴b?a<0，a+c>0，∴M?N=c∴M<N，故A正確，符合題意；若“Δ”代表的是“－”，則N=b∴M?N=b∵a>b>c>0，∴a?b>0，a?c>0，∴M?N=c∴M>N，故B錯(cuò)誤，不符合題意；若“Δ”代表的是“×”，則N=b∵a>b>c>0，∴N=b若“Δ”代表的是“÷”，則N=b∵a>b>c>0，∴N=b故選A．【點(diǎn)睛】本題考查分式的基本性質(zhì)和分式的混合運(yùn)算．掌握分式的分子和分母同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為0的整式，分式的值不變和分式的混合運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．??題型05約分1．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測(cè)）化簡(jiǎn)：2x2?2xyA．6xy B．3y C．3x D．3xy【答案】D【分析】本題考查了分式的約分，把分子分解因式，然后約分即可．【詳解】解：∵2x∴括號(hào)內(nèi)應(yīng)填3xy．故選D．2．（2023·山西陽(yáng)泉·一模）如圖是徐同學(xué)的答卷，他的得分應(yīng)是（）

A．25分 B．50分 C．75分 D．100分【答案】C【分析】根據(jù)分式有意義的條件，分式的化簡(jiǎn)，逐一判斷即可解答．【詳解】解：若1x?1則x?1≠0，即x≠1，故1正確，徐同學(xué)回答正確；若x+1x?2的值為0則x+1=0，即x=?1，故2錯(cuò)誤，徐同學(xué)回答錯(cuò)誤；n2故3正確，徐同學(xué)回答正確；3xy故4正確，徐同學(xué)回答正確；那么最后得分為：25×3=75(分)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查分式的運(yùn)算及性質(zhì)，此為基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．3．（2024·寧夏銀川·三模）若ab=3，則分式2【答案】2【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值．先把分子分母因式分解，再約分化簡(jiǎn)，然后整體代值即可得出答案．【詳解】解：∵ab∴2==2a故答案為：234．（2024·廣東·二模）已知a=0.3，b=0.1，則6ab+9a2【答案】1【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值．先把分子因式分解，再約分化簡(jiǎn)，代入數(shù)據(jù)即可求解．【詳解】解：6ab+9==3a+b；當(dāng)a=0.3，b=0.1時(shí)，原式=3×0.3+0.1=0.9+0.1=1．故答案為：1．5．（2024·浙江寧波·一模）代數(shù)式4ab+6ac+12bca2+4【答案】2【分析】該題主要考查了分式的化簡(jiǎn)以及完全平方公式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行變形；先運(yùn)用完全平方公式確定a2+4b2≥4ab【詳解】解：∵a?2b2=a∴a2+4b∴4ab+6ac+12bc≤a∴4ab+6ac+12bc故答案為：2．??題型06分式運(yùn)算1．（2024·河北邢臺(tái)·模擬預(yù)測(cè)）化簡(jiǎn)(?y2xA．?y4x2 B．y4x【答案】D【分析】本題考查了分式的乘除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵；先計(jì)算乘方運(yùn)算，在計(jì)算乘除運(yùn)算即可得到結(jié)果．【詳解】(?==y故選：D．2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算32m?n?2m?n【答案】22m?n/【分析】本題主要考查了分式的加減運(yùn)算．先把兩個(gè)分式通分，然后按照同分母的分式相減，再把分子分解因式，進(jìn)行約分即可．【詳解】解：3=====2故答案為：22m?n3．（2024·四川廣安·模擬預(yù)測(cè)）已知a2?3a+1=0，則4a【答案】3【分析】本題主要考查求分式的值，其解題的關(guān)鍵是合理的變形及整體代入；由a2?3a+1=0變形得【詳解】解：∵a∴a∴4=4(=?4+3a?2+=3a?6+====3．故答案為：3.4．（2024·河北保定·三模）圖1中陰影部分的面積為S1（邊長(zhǎng)為a的大正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形）．圖2中陰影部分的面積為S2（邊長(zhǎng)為a的大正方形中有一個(gè)長(zhǎng)為a、寬為b的小長(zhǎng)方形），a>b>0，設(shè)k=S1S【答案】1<k<2【分析】本題主要考查了列代數(shù)式、因式分解的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意得到k=1+ba是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得S1=a2?b2，S2=【詳解】解：由題意得，S1=a∵a>b>0，∴a?b≠0，∴k=S∵a>b>0，∴0<b∴1<1+b即1<k<2，故答案為：1<k<2．5．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）根據(jù)如圖所示的程序，求輸出D的化簡(jiǎn)結(jié)果．【答案】x【分析】根據(jù)題意列式[(x+2【詳解】解：依題意：[(=[=[=[==x(x?2)=x∴輸出D的化簡(jiǎn)結(jié)果為x??題型07判斷分式運(yùn)算的錯(cuò)誤步驟1．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）下面是某同學(xué)化簡(jiǎn)分式2x?1解：原式=2=2?x?1=1?x=1?x上面的運(yùn)算過(guò)程中第步出現(xiàn)錯(cuò)誤，請(qǐng)你寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．【答案】二，解答過(guò)程見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握分式的混合運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．逐一檢查每一步，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則計(jì)算即可．【詳解】第二步出現(xiàn)錯(cuò)誤，原因是分子相減時(shí)未變號(hào)，2====12．（2024·寧夏銀川·一模）先化簡(jiǎn)2a?4a2?1小陳同學(xué)在進(jìn)行分式化簡(jiǎn)時(shí)，過(guò)程如下：解：原式＝2a?2＝2a?2＝2a?2……(1)上述過(guò)程中，從第步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是．(2)請(qǐng)完成正確的完整解題過(guò)程．【答案】(1)②，除法沒(méi)有分配律；(2)解題過(guò)程見(jiàn)解析，當(dāng)a=0時(shí)，原式=2．【分析】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值、分式有意義的條件，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)分式的除法法則判斷；（2）根據(jù)分式的除法法則、減法法則把原式化簡(jiǎn)，根據(jù)分式有意義的條件確定a的值，代入計(jì)算得到答案．【詳解】（1）解：上述過(guò)程中，從第②步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，因?yàn)槌](méi)有分配律，故答案為：②，除法沒(méi)有分配律；（2）（2）原式====2由題意得：a≠2、±1，當(dāng)a=0時(shí)，原式=23．（2024·吉林·二模）請(qǐng)你閱讀下列解題過(guò)程，并回答所提出的問(wèn)題．計(jì)算：x+1x解：原式=x+1=x+1=x+1?4x+1=?3x?3第四步(1)上述計(jì)算過(guò)程中，從哪一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤______；(2)從第二步到第三步是否正確？______，同分母分式相加減，分母______，分子______；(3)正確的結(jié)果是______．【答案】(1)第一步(2)不正確，不變，相加減(3)5【分析】本題考查了分式的混合運(yùn)算，先算分式的除法，再算減法，即可解答．（1）根據(jù)題意可得出第一步出現(xiàn)錯(cuò)誤；（2）根據(jù)分式的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)分式的混合運(yùn)算即可得出結(jié)論【詳解】（1）第一步（2）不正確，不變，相加減（3）解：原式=x+1=1=4．（2024·寧夏·一模）在數(shù)學(xué)課上，老師出了一道題，讓甲、乙、丙、丁四位同學(xué)進(jìn)行“接力游戲”．規(guī)則如下：每位同學(xué)可以完成化簡(jiǎn)分式的一步變形，即前一位同學(xué)完成一步后，后一個(gè)同學(xué)接著前一個(gè)同學(xué)的步驟進(jìn)行下一步化簡(jiǎn)變形，直至將該分式化簡(jiǎn)完畢．請(qǐng)根據(jù)如表的“接力游戲”回答問(wèn)題：接力游戲老師：化簡(jiǎn)：1?甲同學(xué)：原式=乙同學(xué)：原式=丙同學(xué)：原式=丁同學(xué)：原式=?4x(1)：①在“接力游戲”中，丁同學(xué)是依據(jù)______進(jìn)行變形的．A.等式的基本性質(zhì)

B.不等式的基本性質(zhì)

C.分式的基本性質(zhì)

D.乘法分配律②在“接力游戲”中，從_______同學(xué)開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是______．(2)：請(qǐng)你寫(xiě)出該分式化簡(jiǎn)的正確結(jié)果______．【答案】(1)①C②乙，去括號(hào)時(shí)，沒(méi)有改變符號(hào)(2)4【分析】（1）：①根據(jù)分式的基本性質(zhì)解答即可．②從乙同學(xué)開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是去括號(hào)時(shí)，沒(méi)有變號(hào)．（2）根據(jù)分式的化簡(jiǎn)，正確計(jì)算即可，本題考查了分式的化簡(jiǎn)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)，化簡(jiǎn)的基本技能是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）①根據(jù)分式的基本性質(zhì)得故選C，故答案為：C．②從乙同學(xué)開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是去括號(hào)時(shí)，沒(méi)有變號(hào)，故答案為：乙，去括號(hào)時(shí)，沒(méi)有變號(hào)．（2）：1?原式====4故答案為：42?x5．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）小明的作業(yè)如下：解：a=a?a?b=?a?b．（第二步）(1)指出小明的作業(yè)是從哪一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的，請(qǐng)更正過(guò)來(lái)，并計(jì)算出正確結(jié)果；(2)若a，b是不等式組2x>0x?3<0的整數(shù)解（a<b【答案】(1)小明的作業(yè)是從第一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的，正確結(jié)果為a+b；(2)3．【分析】（1）根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則可判斷正誤及結(jié)果；（2）先求出不等式組解集0<x<3，再根據(jù)題意得出a、b的值，然后代入計(jì)算即可；本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，解一元一次不等式組，求一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）小明的作業(yè)是從第一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的，正確過(guò)程如下：a====a+b；（2）由2x>0得x>0，由x?3<0得x<3，∴不等式組的解集為0<x<3，∴x整數(shù)解為1，2，∵a<b，∴a=1，b=2，∴原式=a+b=1+2=3．??題型08分式化簡(jiǎn)求值1．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，若a=6b，則1a?ba?2ab?A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段【答案】D【分析】本題考查了分式的值．把a(bǔ)=6b代入即可求出分式的值，再看值的點(diǎn)落在的位置．【詳解】解：1===a?b∵a=6b，∴原式=6b?b∵34∴1a?ba?2ab?故選：D．2．（2024·四川德陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知x2?x?1=0，計(jì)算A．2 B．?2 C．1 D．?1【答案】B【分析】此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的減法，再計(jì)算除法，得到化簡(jiǎn)結(jié)果，把已知等式變形后整體代入即可.【詳解】解：2===?∵x∴x2∴原式=?=?=?2故選：B3．（2024·山東聊城·二模）若1+1x?1÷2xxA．x為自然數(shù) B．x為大于1的奇數(shù)C．x為大于0的偶數(shù) D．x為正整數(shù)【答案】B【分析】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)，掌握分式的混合運(yùn)算法則成為解題的關(guān)鍵．先根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，然后再根據(jù)結(jié)果為正整數(shù)即可解答．【詳解】解：1+1=x?1==x?1∵結(jié)果為正整數(shù)，∴x為大于1的奇數(shù)．故選B．4．（2024·黑龍江綏化·模擬預(yù)測(cè)）化簡(jiǎn)m?1m2?6m+9【答案】1【分析】本題主要考查了分式的混合運(yùn)算，完全平方公式分解因式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．按照分式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：m?1====1故答案為：1m?35．（2024·黑龍江綏化·模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)x=y+2023時(shí)，代數(shù)式1x?y?【答案】2023【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，括號(hào)內(nèi)先通分，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，約分即可化簡(jiǎn)，整體代入x=y+2023計(jì)算即可得出答案，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵x=y+2023，∴1===?=x?y=y+2023?y=2023，故答案為：2023．6．（2024·山東濱州·模擬預(yù)測(cè)）先化簡(jiǎn)，再求值：x2?2x+1x【答案】x2【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，0指數(shù)冪等知識(shí)．先將分式進(jìn)行計(jì)算，再把x化簡(jiǎn)，代入即可求解．【詳解】x====x∵x==2?1+3=4∴原式=x7．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）先化簡(jiǎn)，再求值1?1x?1÷x2【答案】xx?2【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)計(jì)算：先把分式化簡(jiǎn)后，再把分式中未知數(shù)對(duì)應(yīng)的值代入求出分式的值．先把括號(hào)內(nèi)通分和除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，再約分得到原式=xx?2，然后根據(jù)分式有意義的條件在4個(gè)數(shù)中確定x只能取3，最后把【詳解】解：原式===x∵x?1≠0且x≠0且x?2≠0，∴x可以取3，當(dāng)x=3時(shí)，原式=3??題型09分式運(yùn)算的應(yīng)用1．（2023·河北廊坊·二模）a克糖放入水中，得到b克糖水，此時(shí)糖水的濃度為是ab(1)再往杯中加入mm>0(2)請(qǐng)證明（1）中的數(shù)學(xué)關(guān)系式．【答案】(1)m+a(2)見(jiàn)解析【分析】（1）先表示出入mm>0克糖后，糖水的濃度為：m+am+b，根據(jù)糖水變甜，濃度變大，得出（2）理由作差法進(jìn)行證明即可．【詳解】（1）解：再往杯中加入mm>0克糖后，糖水的濃度為：m+a∵糖水變甜了，即糖水的濃度變大了，∴m+am+b故答案為：m+am+b（2）證明：m+a===m∵b>a>0，m>0，∴mb?a>0，∴mb?a∴m+am+b【點(diǎn)睛】本題主要考查了列代數(shù)式，分式加減的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式混合運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．2．（2023·福建福州·一模）福州市的市花是茉莉花．“飄香1號(hào)”茉莉花實(shí)驗(yàn)種植基地是邊長(zhǎng)為ama>1的正方形去掉一塊邊長(zhǎng)為1m的正方形蓄水池后余下的部分，“飄香2號(hào)”茉莉花實(shí)驗(yàn)種植基他是邊長(zhǎng)為a?1【答案】“飄香2號(hào)”小麥的單位面積產(chǎn)量高，理由見(jiàn)解析【分析】根據(jù)題意分別表示出飄香1號(hào)和2號(hào)的單位面積產(chǎn)量，比較即可．【詳解】解：“飄香1號(hào)”小麥的試驗(yàn)田面積是a2?1m“飄香2號(hào)”小麥的試驗(yàn)田面積是a?12m2∵a>1，即a?1>0，∴a?12∴a?12又由a>1可得a?12>0，∴500a∴“飄香2號(hào)”小麥的單位面積產(chǎn)量高．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的實(shí)際應(yīng)用，依題意求出兩塊試驗(yàn)田的單位面積產(chǎn)量是解題關(guān)鍵．3．（2024·寧夏銀川·一模）現(xiàn)在汽車已成為人們出行的交通工具．小李和小王元旦那天相約一起到某加油站加油，當(dāng)天95號(hào)汽油的單價(jià)為m元/升，他倆加油的情況如圖所示．半個(gè)月后的某天，他倆再次相約到同一加油站加油，此時(shí)95號(hào)汽油的單價(jià)下調(diào)為n元/升，他倆加油的情況與上次相同，請(qǐng)運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)計(jì)算小李、小王兩次加油誰(shuí)的平均單價(jià)更低？【答案】小李兩次加油的平均單價(jià)更低【分析】本題考查列代數(shù)式、分式的加減，正確列出代數(shù)式是解答的關(guān)鍵．先求解小李兩次加油每次300元的平均單價(jià)，再求得小王兩次加油30升的平均單價(jià)，然后作差比較大小即可得出結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)題意，小李兩次加油每次300元的平均單價(jià)為300+300300小王兩次加油30升的平均單價(jià)為30m+30n30+30∴m+n==m?n∵m≠n，∴m?n22m+n故小李兩次加油的平均單價(jià)更低．4．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知p=k方方說(shuō)：“p一定大于q”．以下是方方的解答過(guò)程．解：p?q=k因?yàn)閗>0，所以p?q>0，即p一定大于q．你覺(jué)得方方說(shuō)法正確嗎？為什么？【答案】不正確，理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了分式加減運(yùn)算，根據(jù)分式加減運(yùn)算法則求出p?q=k【詳解】解：方方說(shuō)法不正確，理由：∵p?q===k而方方在解答過(guò)程中將分母去掉了，∴方方說(shuō)法不正確．正確的解法為：∵p?q===k∵k>0，當(dāng)m>0時(shí)，mm+1∴p?q>0，∴p大于q；∵k>0，當(dāng)m<?1時(shí)，mm+1∴p?q>0，∴p大于q；∵k>0，當(dāng)?1<m<0時(shí)，mm+1∴p?q<0，∴p小于q．綜上，p不一定大于q．??題型10分式的規(guī)律探究問(wèn)題1．（2022·廣西賀州·一模）對(duì)于正數(shù)x，規(guī)定fx=x1+x，例如：f3=3【答案】2021.5【分析】由題意可得：f1x=【詳解】解：由題意得：f1∴fx∴f12022+f2022=1f1∵x為正數(shù)，∴原式=f=1×2021+1故答案為：2021.5．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的規(guī)律，分式的化簡(jiǎn)求值，掌握分式的化簡(jiǎn)和找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）觀察下面的一列數(shù)：a1=12，a2(1)嘗試：a2?a1=(2)歸納：an+1(3)推理：運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，推理說(shuō)明你歸納的結(jié)論是正確的．【答案】(1)12；(2)1(3)見(jiàn)解析【分析】此題考查了分式的加減混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握以上運(yùn)算法則．（1）根據(jù)題意代數(shù)求解即可；（2）根據(jù)（1）的規(guī)律求解即可．（3）首先根據(jù)分式的加減運(yùn)算求出an+1=n+12，【詳解】（1）a3a4（2）an+1（3）a===a===∴an+13．（2024·四川內(nèi)江·二模）已知，若a，b為非零實(shí)數(shù)，則b?aab(1)觀察下列各式并補(bǔ)充完整：11×212×313×4…1nn+1=11×2+1(2)計(jì)算：11×3(3)設(shè)an=n+1n2【答案】(1)1n?(2)49(3)見(jiàn)解析【分析】本題考查了分式的加減運(yùn)算，分式的規(guī)律探究．熟練掌握運(yùn)算法則并推導(dǎo)一般性規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）由題意知，1nn+1=1n（2）根據(jù)11×3+1（3）由題意得an=n+1n2【詳解】（1）解：由題意知，1n∴1=1?=1?=n故答案為：1n?1（2）解：由題意知，11×3====49∴11×3+1（3）證明：∵an∴a==1∵n為正整數(shù)，∴1n+1∴?1∴14∴a14．（2022·安徽合肥·二模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：73×(2?3第3個(gè)等式：1911×(2?3按照以上規(guī)律，解答下列問(wèn)題：(1)寫(xiě)出第5個(gè)等式：；(2)寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式：（用含n的等式表示），并證明．【答案】(1)31(2)7+6(n?1)3+4(n?1)【分析】（1）根據(jù)題目中前4個(gè)等式，可以發(fā)現(xiàn)式子的變化特點(diǎn)，從而可以寫(xiě)出第5個(gè)等式；（2）把上面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用字母n表示出來(lái)，并運(yùn)用分式的混合運(yùn)算法則計(jì)算等號(hào)的右邊的值，進(jìn)而得到左右相等便可．【詳解】（1）第五個(gè)等式為：3119故答案為：3119（2）根據(jù)（1）所得到的規(guī)律，猜想：7+6(n?1)3+4(n?1)證明：7+6(n?1)===3?23?即：右邊=左邊，故猜想成立，故答案為：7+6(n?1)【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)式子的變化特點(diǎn)，寫(xiě)出相應(yīng)的等式，并證明猜想的正確性．??題型11與分式運(yùn)算有關(guān)的新定義問(wèn)題1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于實(shí)數(shù)a、b，定義運(yùn)算：①m⊕n=1m+n例如①3⊕5=13+5=18【答案】x=3【分析】本題考查了新定義，解一元二次方程，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)題意列出方程，再去分母，轉(zhuǎn)化為解一元二次方程，最后需要注意分母不為0．【詳解】解：由題意得，2xx2x?x?2xx?3x+2解得：x=3或x=?2，當(dāng)x=?2時(shí)，2+x=0，不符合題意，∴原方程的解為：x=3，故答案為：x=3．2．（2023·浙江寧波·三模）定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)x，y，x?y=x2a?y2b【答案】?3【分析】本題考查了求分式的值；根據(jù)新定義以及已知條件，可得1a【詳解】解：∵x?y=x2∴4a即1∴1?2=故答案為：?3．3．（2024·四川廣元·二模）定義一種新運(yùn)算：n?n+1=1nn+1，如1?2=11×2，【答案】2023【分析】本題考查新定義運(yùn)算，分式的簡(jiǎn)便運(yùn)算，利用新定義將等式左邊變形為11×2+1【詳解】解：1?2+2?3+3?4+?+m?==1?=1?=m∴mm+1解得m=2023．故答案為：2023．4．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）定義：不大于實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)部分，記作x．例如：2=1，?2.6=?3，按此規(guī)定，若a=336，b=?A．13 B．19 C．136【答案】B【分析】本題主要考查了無(wú)理數(shù)的大小估算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的計(jì)算，先根據(jù)新定義以及無(wú)理數(shù)的估算得出a，b的值，然后再計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的計(jì)算．【詳解】解：∵3∴3<∴a=3∵?4∴?2<?∴b=?∴a故選B．5．（2022·河北·二模）對(duì)于代數(shù)式a，b，c，d規(guī)定一種運(yùn)算：abcd=aA．x2 B．x+1x C．x+1【答案】D【分析】根據(jù)題目規(guī)定的運(yùn)算法則來(lái)進(jìn)行計(jì)算，然后化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：∵∴故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，充分理解題目規(guī)定的運(yùn)算法則來(lái)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．1．（2022·浙江杭州·中考真題）照相機(jī)成像應(yīng)用了一個(gè)重要原理，用公式1f=1u+1vv≠f表示，其中f表示照相機(jī)鏡頭的焦距，u表示物體到鏡頭的距離，v表示膠片（像）到鏡頭的距離．已知A．fvf?v B．f?vfv C．fvv?f【答案】C【分析】利用分式的基本性質(zhì)，把等式1f=1u+1v【詳解】解：∵1f∴1∴1u∴u=fν故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查分式的加、減法運(yùn)算，關(guān)鍵是異分母通分，掌握通分法則．2．（2024·四川眉山·中考真題）已知a1=x+1（x≠0且x≠?1），a2=1【答案】?【分析】此題考查了分式的混合運(yùn)算，利用分式的運(yùn)算法則計(jì)算得到每三個(gè)為一個(gè)循環(huán)，分別為x+1，?1x，xx+1【詳解】解：∵a∴aa3∴a∴aa6……，由上可得，每三個(gè)為一個(gè)循環(huán)，∵2024÷3=674×3+2，∴a故答案為：?13．（2023·廣東廣州·中考真題）已知a>3，代數(shù)式：A=2a2?8，B=3(1)因式分解A；(2)在A，B，C中任選兩個(gè)代數(shù)式，分別作為分子、分母，組成一個(gè)分式，并化簡(jiǎn)該分式．【答案】(1)2(2)見(jiàn)解析【分析】（1）先提取公因式，再根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解即可；（2）將選取的代數(shù)式組成分式，分子分母進(jìn)行因式分解，再約分即可．【詳解】（1）解：A=2a（2）解：①當(dāng)選擇A、B時(shí)：BAAB②當(dāng)選擇A、C時(shí)：CAAC③當(dāng)選擇B、C時(shí)：CBBC【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，分式的化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握因式分解的方法和步驟，以及分式化簡(jiǎn)的方法．4．（2023·江蘇鹽城·中考真題）課堂上，老師提出了下面的問(wèn)題：已知3a>b>0，M=ab，N=a+1b+3，試比較小華：整式的大小比較可采用“作差法”.老師：比較x2+1與小華：∵x2∴x2老師：分式的大小比較能用“作差法”嗎？…(1)請(qǐng)用“作差法”完成老師提出的問(wèn)題．(2)比較大?。?368__________2265．（填“>”“=”或“【答案】(1)M(2)<【分析】（1）根據(jù)作差法求M?N的值即可得出答案；（2）根據(jù)作差法求2368【詳解】（1）解：M?N=a∵3a>b>0，∴3a?b∴M>（2）解：∵23∴23故答案為：<．【點(diǎn)睛】本題考查分式運(yùn)算的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理解材料，通過(guò)作差法求解，掌握分式運(yùn)算的方法．一、單選題1．（2024·山東淄博·中考真題）下列運(yùn)算結(jié)果是正數(shù)的是（

）A．3?1 B．?32 C．?【答案】A【分析】題考查了正數(shù)的定義，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，乘方，算術(shù)平方根的意義，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正數(shù)的定義，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，乘方，算術(shù)平方根的意義計(jì)算選擇即可．【詳解】解：A、3?1B、?3C、??3D、?3故選：A．2．（2024·廣東廣州·中考真題）若a≠0，則下列運(yùn)算正確的是（

）A．a(chǎn)2+aC．2a?3【答案】B【分析】本題考查了分式的乘法，同底數(shù)冪乘法與除法，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．通分后變?yōu)橥帜阜謹(jǐn)?shù)相加，可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)分式乘法法則計(jì)算，可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)同底數(shù)冪除法，底數(shù)不變，指數(shù)相減，可判斷D選項(xiàng)．【詳解】解：A、a2B、a3C、2aD、a3故選：B．3．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）函數(shù)f(