中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)提升專項(xiàng)知識(shí)正方形的性質(zhì)與判定(講義1考點(diǎn)+1命題點(diǎn)21種題型(含3種解題技巧))含答案及解析

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第五章四邊形第26講正方形的性質(zhì)與判定（思維導(dǎo)圖+1考點(diǎn)+1命題點(diǎn)21種題型（含3種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)正方形04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)正方形的性質(zhì)與判定?題型01利用正方形的性質(zhì)求角度?題型02利用正方形的性質(zhì)求線段長?題型03利用正方形的性質(zhì)求周長?題型04利用正方形的性質(zhì)求面積?題型05根據(jù)正方形的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)?題型06利用正方形的性質(zhì)證明?題型07正方形的折疊問題?題型08求正方形重疊部分面積?題型09添加一個(gè)條件使四邊形是正方形?題型10證明四邊形是正方形?題型11根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求角度?題型12根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求線段長?題型13根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求面積?題型14根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題?題型15與正方形有關(guān)的規(guī)律探究問題?題型16正方形有關(guān)的新定義問題?題型17與正方形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題?題型18與正方形有關(guān)的最值問題?題型19正方形與函數(shù)綜合?題型20與正方形有關(guān)的存在性問題?題型21與正方形有關(guān)的材料閱讀類問題試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁

01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航中考考點(diǎn)考查頻率新課標(biāo)要求正方形的有關(guān)證明與計(jì)算★★理解正方形的概念；探索并證明菱形的性質(zhì)定理及其判定定理；理解矩形、菱形、正方形之間的包含關(guān)系.【考情分析】正方形是最特殊的四邊形，它具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì)，對于正方形的考查多數(shù)是考查其性質(zhì)，即在正方形的背景下考查全等三角形、相似三角形、圓等內(nèi)容，試題形式多樣，難度不等.【命題預(yù)測】正方形是特殊平行四邊形中比較重要的圖形，也是幾何圖形中難度比較大的幾個(gè)圖形之一，年年都會(huì)考查，預(yù)計(jì)2025年各地中考還將出現(xiàn).其中，正方還經(jīng)常成為綜合壓軸題的問題背景來考察，而正方其他出題類型還有選擇、填空題的壓軸題，難度都比較大，需要加以重視.解答題中考查正方形的性質(zhì)和判定，45°半角模型，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函數(shù)、動(dòng)態(tài)問題綜合應(yīng)用的可能性比較大．02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一正方形1.正方形的定義：有一組鄰邊相等且只有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形.2.正方形的性質(zhì)：1）正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等，對邊平行.2）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角.【補(bǔ)充】1）正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì).

2）一條對角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，對角線與邊的夾角是45°.

3）兩條對角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.4）正方形的面積是邊長的平方，也可表示為對角線長平方的一半.3.正方形的對稱性：1）正方形是軸對稱圖形，它有四條對稱軸，分別是對邊中點(diǎn)所在的直線和兩條對角線所在的直線.2）正方形是中心對稱圖形，對角線的交點(diǎn)是對稱中心.4.正方形的判定：定義法平行四邊形+一組鄰邊相等+一個(gè)角為直角有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形判定定理矩形+一組鄰邊相等有一組鄰邊相等的矩形是正方形矩形+對角線互相垂直對角線互相垂直的矩形是正方形菱形+一個(gè)角是直角有一個(gè)角是直角的菱形是正方形菱形+對角線相等對角線相等的菱形是正方形1．（2021·黑龍江·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個(gè)條件，使矩形ABCD是正方形．2．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，四邊形ABCD為正方形，△ADE為等邊三角形，EF⊥AB于點(diǎn)F，若AD=4，則EF=．3．（2024·新疆·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，若面積S矩形AEOH=12，周長C矩形4．（2024·福建·中考真題）如圖，正方形ABCD的面積為4，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的面積為．

5．（2023·湖南懷化·中考真題）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對角線AC上的一點(diǎn)，PE⊥AD于點(diǎn)E，PE=3．則點(diǎn)P到直線AB的距離為．

04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一正方形的性質(zhì)與判定?題型01利用正方形的性質(zhì)求角度1．（2023·重慶·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，連接AE，AF，EF，∠EAF=45°．若∠BAE=α，則∠FEC一定等于（）

A．2α B．90°?2α C．45°?α D．90°?α2．（2021·重慶·中考真題）如圖，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN=30°，直角頂點(diǎn)P在正方形ABCD的對角線BD上，點(diǎn)M，N分別在AB和CD邊上，MN與BD交于點(diǎn)O，且點(diǎn)O為MN的中點(diǎn)，則∠AMP的度數(shù)為（

）A．60° B．65° C．75° D．80°3．（2023·山東·中考真題）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，將△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△CBF．若∠ABE=55°，則∠EGC=度．

4．（2024·寧夏·中考真題）如圖，在正五邊形ABCDE的內(nèi)部，以CD邊為邊作正方形CDFH，連接BH，則∠BHC=°．QUOTEQUOTEQUOTE?題型02利用正方形的性質(zhì)求線段長在正方形問題中，一般可以通過證三角形全等來證兩條線段相等，也可以利用正方形的角是直角來構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解題.在正方形中，也常用對角線互相垂直平分證明線段相等.5．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，正方形ABCD中，AB=3，點(diǎn)E在邊AD上，DE=2AE,F是BE的中點(diǎn)，點(diǎn)H在CD邊上，∠EFH=45°，則FH的長為（

）．A．3104 B．352 C．6．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5．正方形DEFG的邊長為5，它的頂點(diǎn)D，E，G分別在△ABC的邊上，則BG的長為7．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，正方形ABCD的面積為50，以AB為腰作等腰△ABF，AB=AF，AE平分∠DAF交DC于點(diǎn)G，交BF的延長線于點(diǎn)E，連接DE．若BF=2，則DG=8．（2024·吉林·中考真題）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)F是OD上一點(diǎn)．連接EF．若∠FEO=45°，則EFBCの?題型03利用正方形的性質(zhì)求周長9．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，邊長為2的正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O．E是BC邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是BD上一點(diǎn)，連接DE,EF．若△DEF與△DEC關(guān)于直線DE對稱，則△BEF的周長是（

）

A．22 B．2+2 C．4?2210．（2024·江蘇連云港·中考真題）如圖，正方形中有一個(gè)由若干個(gè)長方形組成的對稱圖案，其中正方形邊長是80cm，則圖中陰影圖形的周長是（

A．440cm B．320cm C．280cm11．（2023·山東棗莊·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為BC上一點(diǎn)，CE=7，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，若△CEF的周長為32，則OF的長為．

12．（2022·江蘇南通·中考真題）如圖，點(diǎn)O是正方形ABCD的中心，AB=32．Rt△BEF中，∠BEF=90°,EF過點(diǎn)D，BE,BF分別交AD,CD于點(diǎn)G，M，連接OE,OM,EM．若BG=DF,tan∠ABG=13QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04利用正方形的性質(zhì)求面積13．（2023·廣東·中考真題）邊長分別為10，6，4的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為．

14．（2023·湖南·中考真題）七巧板是我國民間廣為流傳的一種益智玩具，某同學(xué)用邊長為4dm的正方形紙板制作了一副七巧板（如圖），由5個(gè)等腰直角三角形，1個(gè)正方形和1個(gè)平行四邊形組成．則圖中陰影部分的面積為dm3

15．（2023·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，△BPC是等邊三角形，則陰影部分的面積為．

16．（2023·浙江金華·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三邊為邊在AB的同側(cè)作三個(gè)正方形，點(diǎn)F在GH上，CG與EF交于點(diǎn)P，CM與BE交于點(diǎn)Q．若HF=FG，則S

A．14 B．15 C．31217．（2022·貴州黔西·中考真題）如圖，邊長為4的正方形ABCD的對角線交于點(diǎn)O，以O(shè)C為半徑的扇形的圓心角∠FOH=90°．則圖中陰影部分面積是．QUOTE?題型05根據(jù)正方形的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)18．（2024·河南·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的邊AB在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為?2，0，點(diǎn)E在邊CD上．將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處．若點(diǎn)F的坐標(biāo)為0，6，則點(diǎn)19．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于原點(diǎn)O．若點(diǎn)A的坐標(biāo)是2,1，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是．20．（2023·甘肅武威·中考真題）如圖1，正方形ABCD的邊長為4，E為CD邊的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB→BC勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x，線段PE的長為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

）

A．4,23 B．4,4 C．4,25 21．（2022·山東威海·中考真題）正方形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4）．若反比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，則k的值為22．（2021·浙江金華·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有一只用七巧板拼成的“貓”，三角形①的邊BC及四邊形②的邊CD都在x軸上，“貓”耳尖E在y軸上．若“貓”尾巴尖A的橫坐標(biāo)是1，則“貓”爪尖F的坐標(biāo)是．?題型06利用正方形的性質(zhì)證明23．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，對折邊長為2的正方形紙片ABCD，OM為折痕，以點(diǎn)O為圓心，OM為半徑作弧，分別交AD，BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則EF的長度為（結(jié)果保留π）．24．（2024·江蘇徐州·中考真題）已知：如圖，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E在BD的延長線上，連接EA、(1)求證：△EAB≌△ECB；(2)若∠AEC=45°，求證：DC=DE．25．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，BE=3，EC=6，CF=2．求證：△ABE∽26．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)M，N分別在AB，BC上，且BM=CN，AN與DM相交于點(diǎn)P．

(1)求證：△ABN≌△DAM；(2)求∠APM的大?。?7．（2022·貴州貴陽·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，連接BE，BE的垂直平分線交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，垂足為O，點(diǎn)F在DC上，且MF∥(1)求證：△ABE≌△FMN；(2)若AB=8，AE=6，求ON的長．?題型07正方形的折疊問題28．（2023·湖北·中考真題）如圖，將邊長為3的正方形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)M落在邊AD上（點(diǎn)M不與點(diǎn)A,D重合），點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P，折痕分別與邊AB，CD交于點(diǎn)E,F，連接BM．

(1)求證：∠AMB=∠BMP；(2)若DP=1，求MD的長．29．（2022·遼寧撫順·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為10，點(diǎn)G是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE，將△ABE沿BE翻折得到△FBE，連接GF．當(dāng)GF最小時(shí)，AE的長是．30．（2022·河南·中考真題）綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．(1)操作判斷操作一：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；操作二：在AD上選一點(diǎn)P，沿BP折疊，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接PM，BM．根據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，寫出圖1中一個(gè)30°的角：______．(2)遷移探究小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CD于點(diǎn)Q，連接BQ．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改變點(diǎn)P在AD上的位置（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合），如圖3，判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)拓展應(yīng)用在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長為8cm，當(dāng)FQ＝1cm時(shí)，直接寫出AP的長．?題型08求正方形重疊部分面積31．（2023·山東菏澤·一模）如圖，兩個(gè)邊長為4的正方形重疊在一起，點(diǎn)O是其中一個(gè)正方形的中心，則圖中陰影部分的面積為．32．（2021·遼寧撫順·三模）如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形A1B1C1O的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長相等．設(shè)兩個(gè)正方形重合部分的面積為S1，正方形ABCD的面積為S2，通過探索，我們發(fā)現(xiàn)：無論正方形33．（2020·河北·二模）在平面上，邊長為2的正方形和短邊長為1的矩形幾何中心重合，如圖①，當(dāng)正方形和矩形都水平放置時(shí)，容易求出重疊面積S=2×1=2．甲、乙、丙三位同學(xué)分別給出了兩個(gè)圖形不同的重疊方式；甲：矩形繞著幾何中心旋轉(zhuǎn)，從圖②到圖③的過程中，重疊面積S大小不變．乙：如圖④，矩形繞著幾何中心繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，矩形的兩條長邊與正方形的對角線平行時(shí)，此時(shí)的重疊面積大于圖③的重疊面積．丙：如圖⑤，將圖④中的矩形向左上方平移，使矩形的一條長邊恰好經(jīng)過正方形的對角線，此時(shí)的重疊面積是5個(gè)圖形中最小的．下列說法正確的是（

）A．甲、乙、丙都對 B．只有乙對 C．只有甲不對 D．甲、乙、丙都不對34．（2020·浙江·中考真題）用四塊大正方形地磚和一塊小正方形地磚拼成如圖所示的實(shí)線圖案，每塊大正方形地磚的面積為a，小正方形地磚的面積為b，依次連接四塊大正方形地磚的中心得到正方形ABCD．則正方形ABCD的面積為（用含a，b的代數(shù)式表示）．?題型09添加一個(gè)條件使四邊形是正方形35．（2020·湖北襄陽·中考真題）已知四邊形ABCD是平行四邊形，AC，BD相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．OA=OC，OB=ODB．當(dāng)AB=CD時(shí)，四邊形ABCD是菱形C．當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，四邊形ABCD是矩形D．當(dāng)AC=BD且AC⊥BD時(shí)，四邊形ABCD是正方形36．（2023·遼寧鞍山·一模）如圖中，陰影部分表示的四邊形是．37．（2023·陜西寶雞·模擬預(yù)測）在下列條件中，能夠判定矩形ABCD為正方形的是（）A．∠BAD=90° B．AC⊥BD C．AC=BD D．AB=CD38．（2024·河北秦皇島·一模）數(shù)學(xué)課上，嘉嘉作線段AB的垂直平分線時(shí)，是這樣操作的：分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于12AB長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)C，D，則直線CD即為所求．作完圖之后，嘉嘉經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)AC=BC=AD=BD，AB=CD，根據(jù)他的作圖方法和測量可知四邊形ADBC是正方形，嘉嘉的理由是（A．兩組對邊分別平行的菱形是正方形 B．四條邊相等的菱形是正方形C．對角線相等的菱形是正方形 D．有一個(gè)角是直角的菱形是正方形39．（2024·山東東營·中考真題）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，從①AC=BD，②AC⊥BD，③AB=BC，這三個(gè)條件中任意選取兩個(gè)，能使?ABCD是正方形的概率為（

）A．23 B．12 C．1340．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）已知菱形ABCD中對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，添加條件可使菱形ABCD成為正方形．41．（2021·廣西玉林·中考真題）一個(gè)四邊形順次添加下列中的三個(gè)條件便得到正方形：a.兩組對邊分別相等

b.一組對邊平行且相等c.一組鄰邊相等

d.一個(gè)角是直角順次添加的條件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c則正確的是：（

）A．僅① B．僅③ C．①② D．②③QUOTE?題型10證明四邊形是正方形判定一個(gè)四邊形是正方形通常先證明它是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；或者先證明它是菱形，再證明它有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等；還可以先判定四邊形是平行四邊形，再證明它有一個(gè)角為直角和一組鄰邊相等．42．（2023·湖北十堰·中考真題）如圖，?ABCD的對角線AC,BD交于點(diǎn)O，分別以點(diǎn)B,C為圓心，12AC,12BD

(1)試判斷四邊形BPCO的形狀，并說明理由；(2)請說明當(dāng)?ABCD的對角線滿足什么條件時(shí)，四邊形BPCO是正方形？43．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，∠ACB=∠AED=90°，AC=FE，AB平分∠CAE，(1)求證：四邊形ABDF是平行四邊形；(2)過點(diǎn)B作BG⊥AE于點(diǎn)G，若CB=AF，請直接寫出四邊形BGED的形狀．44．（2021·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，連接EF，EF與AD相交千點(diǎn)H．（1）求證：AD⊥EF；（2）△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AEDF是正方形？說明理由．45．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)E，∠BAC=90°，點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，連接CG，CG的延長線交BA的延長線于點(diǎn)F，連接(1)求證：AB=AF；(2)請?jiān)黾右粋€(gè)條件，使得四邊形ACDF為正方形．（不需要說明理由）46．（2023·山東青島·一模）如圖，在?ABCD中，E為CD邊的中點(diǎn)，連接BE并延長，交AD的延長線于點(diǎn)F，延長ED至點(diǎn)G，使DG=DE，分別連接AE，AG，F(xiàn)G．

(1)求證：△BCE≌(2)若BF平分∠ABC，已知______（從以下兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件并補(bǔ)寫相應(yīng)內(nèi)容，填寫序號(hào)），四邊形AEFG為正方形？請證明．①平行四邊形ABCD的邊滿足______時(shí)②平行四邊形ABCD的角滿足______時(shí)?題型11根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求角度47．（2021·湖南株洲·中考真題）《蝶幾圖》是明朝人戈汕所作的一部組合家具的設(shè)計(jì)圖（蜨，同“蝶”），它的基本組件為斜角形，包括長斜兩只、右半斜兩只、左半斜兩只、閨一只、小三斜四只、大三斜兩只，共十三只（圖①中的“様”和“隻”為“樣”和“只”）．圖②為某蝶幾設(shè)計(jì)圖，其中△ABD和△CBD為“大三斜”組件（“一様二隻”的大三斜組件為兩個(gè)全等的等腰直角三角形），已知某人位于點(diǎn)P處，點(diǎn)P與點(diǎn)A關(guān)于直線DQ對稱，連接CP、DP．若∠ADQ=24°，則∠DCP=度．48．（2023·四川·中考真題）如圖，半徑為5的扇形AOB中，∠AOB=90°，C是AB上一點(diǎn)，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E，若CD=CE，則圖中陰影部分面積為()

A．25π16 B．25π8 C．25π649．（2023·福建寧德·一模）如圖，將矩形ABCD沿AE折疊，使頂點(diǎn)B落在AD上點(diǎn)B'處；再將矩形展平，沿AF折疊，使頂點(diǎn)B落在AE上點(diǎn)G處，連接DE．小明發(fā)現(xiàn)△DEC可以由△AFG繞某一點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α0°<α<180°得到，則α=50．（2020·黑龍江哈爾濱·二模）正方形ABCD中，點(diǎn)P為對角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，并延長交射線BC于點(diǎn)E，連接PC，若ΔPCE為等腰三角形，則∠PEC．?題型12根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求線段長51．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，在△ABC中，AB>AC．(1)尺規(guī)作圖：作∠BAC的角平分線，在角平分線上確定點(diǎn)D，使得DB=DC；（不寫作法，保留痕跡）(2)在（1）的條件下，若∠BAC=90°，AB=7，AC=5，則AD的長是多少？（請直接寫出AD的值）52．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，直線y=2x+2與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A，B，將△AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ACD，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．53．（2024·四川南充·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，∠ABE=30°，將△ABE沿BE折疊得△FBE，連接CF，DF，若CF平分∠BCD，AB=2，則DF的長為．

?題型13根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求面積54．（2023·青海西寧·中考真題）如圖，邊長為2的正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，分別過點(diǎn)A，D作⊙O的切線，兩條切線交于點(diǎn)P，則圖中陰影部分的面積是．

55．（2021·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，兩個(gè)半徑長均為2的直角扇形的圓心分別在對方的圓弧上，扇形CFD的圓心C是AB的中點(diǎn)，且扇形CFD繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，半徑AE，CF交于點(diǎn)G，半徑BE，CD交于點(diǎn)H，則圖中陰影面積等于（

）A．π2?1 B．π2?2 C．56．（2021·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，在△ABC中，∠BAC的角平分線交BC于點(diǎn)D，DE//AB,DF//AC．（1）試判斷四邊形AFDE的形狀，并說明理由；（2）若∠BAC=90°，且AD=22，求四邊形AFDE57．（2020·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在扇形OAB中，已知∠AOB=90°，OA=2，過AB的中點(diǎn)C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D、E，則圖中陰影部分的面積為（

A．π?1 B．π2?1 C．π?1?題型14根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題58．（2024·山東東營·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，H為AB延長線上的一點(diǎn)，且BH=BD，連接DH，分別交AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BE，則下列結(jié)論：①CFBF=32；②tan∠H=3?1；③其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)59．（2024·四川遂寧·中考真題）如圖，在正方形紙片ABCD中，E是AB邊的中點(diǎn)，將正方形紙片沿EC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)P處，延長CP交AD于點(diǎn)Q，連結(jié)AP并延長交CD于點(diǎn)F．給出以下結(jié)論：①△AEP為等腰三角形；②F為CD的中點(diǎn)；③AP:PF=2:3；④cos∠DCQ=3460．（2023·黑龍江·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別是AB,BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AF⊥DE，垂足為G，將△ABF沿AF翻折，得到△AMF,AM交DE于點(diǎn)P，對角線BD交AF于點(diǎn)H，連接HM,CM,DM,BM，下列結(jié)論正確的是：①AF=DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，則四邊形BHMF是菱形；④當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)，tan∠BHF=22；⑤EP?DH=2AG?BH．（

A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤61．（2021·四川攀枝花·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別為邊CD、BC上的點(diǎn)，且DM＝CN，AM與DN交于點(diǎn)P，連接AN，點(diǎn)Q為AN的中點(diǎn)，連接PQ，BQ，若AB＝8，DM＝2，給出以下結(jié)論：①AM⊥DN；②∠MAN＝∠BAN；③△PQN≌△BQN；④PQ＝5．其中正確的結(jié)論有（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）?題型15與正方形有關(guān)的規(guī)律探究問題62．（2023·山東青島·中考真題）如圖①，正方形ABCD的面積為1．

(1)如圖②，延長AB到A1，使A1B=BA，延長BC到B1，使(2)如圖③，延長AB到A2，使A2B=2BA，延長BC到B2，使(3)延長AB到An，使AnB=nBA，延長BC到Bn，使63．（2022·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，正方形ABCD邊長為1，以AC為邊作第2個(gè)正方形ACEF，再以CF為邊作第3個(gè)正方形FCGH，…，按照這樣的規(guī)律作下去，第6個(gè)正方形的邊長為（）

A．（22）5 B．（22）6 C．（2）5 D．（2）664．（2021·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，點(diǎn)B1在直線l:y=12x上，點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為1，過點(diǎn)B1作B1A1⊥x軸，垂足為A1，以A1B1為邊向右作正方形A1B1C1A265．（2020·遼寧·中考真題）如圖，∠MON=45°，正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…，的頂點(diǎn)A,A1,A2,A3,…，在射線OM上，頂點(diǎn)B,B1,B2,B3,B4,…，在射線ON上，連接AB2交A66．（2021·山東東營·中考真題）如圖，正方形ABCB1中，AB=3，AB與直線l所夾銳角為60°，延長CB1交直線l于點(diǎn)A1，作正方形A1B1C1B2，延長C1B2交直線l67．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OMNP頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為3,0，△OAB是等邊三角形，點(diǎn)B坐標(biāo)是1,0，△OAB在正方形OMNP內(nèi)部緊靠正方形OMNP的邊（方向?yàn)镺→M→N→P→O→M→?）做無滑動(dòng)滾動(dòng)，第一次滾動(dòng)后，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)記為A1，A1的坐標(biāo)是2,0；第二次滾動(dòng)后，A1的對應(yīng)點(diǎn)記為A2，A2的坐標(biāo)是2,0；第三次滾動(dòng)后，A2的對應(yīng)點(diǎn)記為A3，A?題型16正方形有關(guān)的新定義問題68．（2023·江蘇·中考真題）綜合與實(shí)踐定義：將寬與長的比值為22n+1?12n（1）概念理解：當(dāng)n=1時(shí)，這個(gè)矩形為1階奇妙矩形，如圖（1），這就是我們學(xué)習(xí)過的黃金矩形，它的寬（AD）與長CD的比值是_________．（2）操作驗(yàn)證：用正方形紙片ABCD進(jìn)行如下操作（如圖（2））：第一步：對折正方形紙片，展開，折痕為EF，連接CE；第二步：折疊紙片使CD落在CE上，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，展開，折痕為CG；第三步：過點(diǎn)G折疊紙片，使得點(diǎn)A、B分別落在邊AD、BC上，展開，折痕為GK．試說明：矩形GDCK是1階奇妙矩形．

（3）方法遷移：用正方形紙片ABCD折疊出一個(gè)2階奇妙矩形．要求：在圖（3）中畫出折疊示意圖并作簡要標(biāo)注．（4）探究發(fā)現(xiàn)：小明操作發(fā)現(xiàn)任一個(gè)n階奇妙矩形都可以通過折紙得到．他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4），點(diǎn)E為正方形ABCD邊AB上（不與端點(diǎn)重合）任意一點(diǎn)，連接CE，繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三步，四邊形AGHE的周長與矩形GDCK的周長比值總是定值．請寫出這個(gè)定值，并說明理由．

69．（2021·上海·中考真題）定義：在平面內(nèi)，一個(gè)點(diǎn)到圖形的距離是這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)圖上所有點(diǎn)的最短距離，在平面內(nèi)有一個(gè)正方形，邊長為2，中心為O，在正方形外有一點(diǎn)P,OP=2，當(dāng)正方形繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，則點(diǎn)P到正方形的最短距離d的取值范圍為．70．（2020·湖南益陽·中考真題）定義：若四邊形有一組對角互補(bǔ)，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對補(bǔ)”四邊形，簡稱“直等補(bǔ)”四邊形，根據(jù)以上定義，解決下列問題：（1）如圖1，正方形ABCD中，E是CD上的點(diǎn)，將ΔBCE繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合，此時(shí)點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)F在DA的延長線上，則四邊形BEDF為“直等補(bǔ)”四邊形，為什么？（2）如圖2，已知四邊形ABCD是“直等補(bǔ)”四邊形，AB=BC=5，CD=1，AD>AB，點(diǎn)B到直線AD的距離為BE．①求BE的長．②若M、N分別是AB、AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，求ΔMNC周長的最小值．71．（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測）在學(xué)習(xí)了“中心對稱圖形…平行四邊形”這一章后，同學(xué)小明對特殊四邊形的探究產(chǎn)生了濃厚的興趣，他發(fā)現(xiàn)除了已經(jīng)學(xué)過的特殊四邊形外，還有很多比較特殊的四邊形，勇于創(chuàng)新的他大膽地作出這樣的定義：有一個(gè)內(nèi)角是直角，且對角線互相垂直的四邊形稱為“雙直四邊形”．請你根據(jù)以上定義，回答下列問題：(1)下列關(guān)于“雙直四邊形”的說法，正確的有（把所有正確的序號(hào)都填上）；①雙直四邊形”的對角線不可能相等：②“雙直四邊形”的面積等于對角線乘積的一半；③若一個(gè)“雙直四邊形”是中心對稱圖形，則其一定是正方形．(2)如圖①，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上，連接CE，BF，EF，CF，若AE=DF，證明：四邊形BCFE為“雙直四邊形”；(3)如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A0,6，C8,0，點(diǎn)B在線段OC上且AB=BC，是否存在點(diǎn)D在第一象限，使得四邊形ABCD為“雙直四邊形”，若存在；求出所有點(diǎn)72．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測）點(diǎn)M在四邊形ABCD內(nèi)，點(diǎn)M和四邊形的一組對邊組成兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形都是以對邊為斜邊的等腰直角三角形，那么定義該四邊形ABCD為蝴蝶四邊形．例如，如圖1，在四邊形ABCD中，∠AMB=∠CMD=90°，MA=MB，MC=MD【概念理解】如圖2，正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)M．判斷正方形ABCD是否為蝴蝶四邊形，說明理由．【性質(zhì)探究】如圖3，在蝴蝶四邊形ABCD中，∠AMB=∠CMD=90°【拓展應(yīng)用】在蝴蝶四邊形ABCD中，∠AMB=∠CMD=90°，MA=MB=2,MC=MD=1，當(dāng)△ACD是等腰三角形時(shí)，求此時(shí)?題型17與正方形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題73．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AD邊上不與端點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是對角線BD上一點(diǎn)，連接BE，AF交于點(diǎn)O，且∠ABE=∠DAF．【模型建立】（1）求證：AF⊥BE；【模型應(yīng)用】（2）若AB=2，AD=3，DF=12BF【模型遷移】（3）如圖2，若矩形ABCD是正方形，DF=12BF74．（2023·海南·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB=8，點(diǎn)E在邊AD上，且AD=4AE，點(diǎn)P為邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接PE，過點(diǎn)E作EF⊥PE，交射線BC于點(diǎn)F，則EFPE=．若點(diǎn)M是線段EF的中點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長為

75．（2022·遼寧丹東·中考真題）已知矩形ABCD，點(diǎn)E為直線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合），連接AE，以AE為一邊構(gòu)造矩形AEFG（A，E，F(xiàn)，G按逆時(shí)針方向排列），連接DG．(1)如圖1，當(dāng)ADAB=AGAE=1(2)如圖2，當(dāng)ADAB=AGAE=2(3)如圖3，在（2）的條件下，連接BG，EG，分別取線段BG，EG的中點(diǎn)M，N，連接MN，MD，ND，若AB=5，∠AEB=45°，請直接寫出△MND76．（2022·浙江紹興·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB=2，∠ABC=60°，E，F(xiàn)是對角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE=DF，M，N分別是邊AD，邊BC上的動(dòng)點(diǎn)．下列四種說法：①存在無數(shù)個(gè)平行四邊形MENF；②存在無數(shù)個(gè)矩形MENF；③存在無數(shù)個(gè)菱形MENF；④存在無數(shù)個(gè)正方形MENF．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4?題型18與正方形有關(guān)的最值問題77．（2024·江西·中考真題）綜合與實(shí)踐如圖，在Rt△ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合），連接CD，以CD為直角邊在CD的右側(cè)構(gòu)造Rt△CDE，∠DCE=90°，連接BE，特例感知（1）如圖1，當(dāng)m=1時(shí)，BE與AD之間的位置關(guān)系是______，數(shù)量關(guān)系是______；類比遷移（2）如圖2，當(dāng)m≠1時(shí)，猜想BE與AD之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明猜想．拓展應(yīng)用（3）在（1）的條件下，點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于DE對稱，連接DF，EF，BF，如圖3．已知AC=6，設(shè)AD=x，四邊形CDFE的面積為y．①求y與x的函數(shù)表達(dá)式，并求出y的最小值；②當(dāng)BF=2時(shí)，請直接寫出AD的長度．78．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AE=BF，AF與DE交于點(diǎn)O，點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，G是邊AB上的點(diǎn)，AG=2GB，則OM+1

A．4 B．5 C．8 D．1079．（2021·青海·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小值為80．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合）．邊BC關(guān)于BE對稱的線段為BF，連接AF．

(1)若∠ABE=15°，求證：△ABF是等邊三角形；(2)延長FA，交射線BE于點(diǎn)G；①△BGF能否為等腰三角形？如果能，求此時(shí)∠ABE的度數(shù)；如果不能，請說明理由；②若AB=3+6，求△BGF81．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，點(diǎn)A、B、M、E、F依次在直線l上，點(diǎn)A、B固定不動(dòng)，且AB=2，分別以AB、EF為邊在直線l同側(cè)作正方形ABCD、正方形EFGH，∠PMN=90°，直角邊MP恒過點(diǎn)C，直角邊MN恒過點(diǎn)H．(1)如圖1，若BE=10，EF=12，求點(diǎn)M與點(diǎn)B之間的距離；(2)如圖1，若BE=10，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B、E之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，求HE的最大值；(3)如圖2，若BF=22，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B、F之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M隨之運(yùn)動(dòng)，連接CH，點(diǎn)O是CH的中點(diǎn)，連接HB、MO，則2OM+HB的最小值為_______．?題型19正方形與函數(shù)綜合82．（2023·江蘇泰州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(m，0)，B(m?a，0)(a>m>0)的位置和函數(shù)y1=mx(x>0)、y2=m?ax(x<0)的圖像如圖所示．以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，AD邊與函數(shù)y1的圖像相交于點(diǎn)E，CD邊與函數(shù)y1、y2

(1)m=2，a=4，求函數(shù)y3的表達(dá)式及△PGH(2)當(dāng)a、m在滿足a>m>0的條件下任意變化時(shí)，△PGH的面積是否變化？請說明理由；(3)試判斷直線PH與BC邊的交點(diǎn)是否在函數(shù)y283．（2023·湖南·中考真題）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC為正方形，其中點(diǎn)A、C分別在x軸負(fù)半軸，y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在第三象限內(nèi)，點(diǎn)At,0，點(diǎn)P1,2在函數(shù)

(1)求k的值；(2)連接BP、CP，記△BCP的面積為S，設(shè)T=2S?2t2，求84．（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與探究如圖，某一次函數(shù)與二次函數(shù)y=x2+mx+n的圖象交點(diǎn)為A(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)C為拋物線對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AC與BC的和最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為；(3)點(diǎn)D為拋物線位于線段AB下方圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥x軸，交線段AB于點(diǎn)E，求線段DE長度的最大值；(4)在（2）條件下，點(diǎn)M為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)F為直線AB上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，若以點(diǎn)C，M，F(xiàn)，N為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．?題型20與正方形有關(guān)的存在性問題85．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）同學(xué)們還記得嗎？圖①、圖②是人教版八年級(jí)下冊教材“實(shí)驗(yàn)與探究”中我們研究過的兩個(gè)圖形．受這兩個(gè)圖形的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組提出了以下三個(gè)問題，請你回答：(1)【問題一】如圖①，正方形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形A1B1C1O的一個(gè)頂點(diǎn)，OA1交AB于點(diǎn)E，OC(2)【問題二】受圖①啟發(fā)，興趣小組畫出了圖③：直線m、n經(jīng)過正方形ABCD的對稱中心O，直線m分別與AD、BC交于點(diǎn)E、F，直線n分別與AB、CD交于點(diǎn)G、H，且m⊥n，若正方形ABCD邊長為8，求四邊形OEAG的面積；(3)【問題三】受圖②啟發(fā)，興趣小組畫出了圖④：正方形CEFG的頂點(diǎn)G在正方形ABCD的邊CD上，頂點(diǎn)E在BC的延長線上，且BC=6，CE=2．在直線BE上是否存在點(diǎn)P，使△APF為直角三角形？若存在，求出BP的長度；若不存在，說明理由．86．（2020·湖南衡陽·中考真題）如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰ΔABC的底邊BC在x軸上，BC=8，頂點(diǎn)A在y的正半軸上，OA=2，一動(dòng)點(diǎn)E從(3,0)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿CB向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)OB的中點(diǎn)停止．另一動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，以相同的速度沿CB向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)O停止．已知點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā)，以EF為邊作正方形EFGH，使正方形EFGH和ΔABC在BC的同側(cè)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t≥0）．（1）當(dāng)點(diǎn)H落在AC邊上時(shí)，求t的值；（2）設(shè)正方形EFGH與ΔABC重疊面積為S，請問是存在t值，使得S=9136？若存在，求出（3）如圖2，取AC的中點(diǎn)D，連結(jié)OD，當(dāng)點(diǎn)E、F開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒25個(gè)單位的速度沿OD?DC?CD?DO運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)O停止運(yùn)動(dòng)．請問在點(diǎn)E的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)M可能在正方形EFGH內(nèi)（含邊界）嗎？如果可能，求出點(diǎn)M在正方形EFGH?題型21與正方形有關(guān)的材料閱讀類問題87．（2022·江蘇鹽城·中考真題）【經(jīng)典回顧】梅文鼎是我國清初著名的數(shù)學(xué)家，他在《勾股舉隅》中給出多種證明勾股定理的方法圖1是其中一種方法的示意圖及部分輔助線．在△ABC中，∠ACB=90°，四邊形ADEB、ACHI和BFGC分別是以Rt△ABC的三邊為一邊的正方形．延長IH和FG，交于點(diǎn)L，連接LC并延長交DE于點(diǎn)J，交AB于點(diǎn)K，延長DA交IL于點(diǎn)M．(1)證明：AD=LC；(2)證明：正方形ACHI的面積等于四邊形ACLM的面積；(3)請利用（2）中的結(jié)論證明勾股定理．(4)【遷移拓展】如圖2，四邊形ACHI和BFGC分別是以△ABC的兩邊為一邊的平行四邊形，探索在AB下方是否存在平行四邊形ADEB，使得該平行四邊形的面積等于平行四邊形ACHI、BFGC的面積之和．若存在，作出滿足條件的平行四邊形ADEB（保留適當(dāng)?shù)淖鲌D痕跡）；若不存在，請說明理由．88．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）如圖1，在正方形ABCD中，AB=4，P是邊AD上的一點(diǎn)，連接CP，過點(diǎn)D作DH⊥PC于點(diǎn)H，在邊DC上有一點(diǎn)E，連接HE，過點(diǎn)H作HF⊥HE，交邊BC于點(diǎn)F．(1)求證：DH?FH=EH?CH；(2)如圖2，連接EF，交線段PC于點(diǎn)G，當(dāng)△FGC為等邊三角形時(shí)，求DE的長；(3)如圖3，設(shè)M是DC的中點(diǎn)，連接BM，分別交線段HF，EF于點(diǎn)K，N，當(dāng)P是AD的中點(diǎn)時(shí)，在邊DC上是否存在點(diǎn)E，使得BK=KN？若存在，求此時(shí)DE的長；若不存在，請說明理由．89．（2022·貴州黔東南·中考真題）閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學(xué)問題，一天楊老師給他這樣一個(gè)幾何問題：如圖，△ABC和△BDE都是等邊三角形，點(diǎn)A在DE上．求證：以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角三角形．(1)【探究發(fā)現(xiàn)】小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接DC，根據(jù)已知條件，可以證明DC=AE，∠ADC=120°，從而得出△ADC為鈍角三角形，故以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角三角形．請你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程．(2)【拓展遷移】如圖，四邊形ABCD和四邊形BGFE都是正方形，點(diǎn)A在EG上．①試猜想：以AE、AG、AC為邊的三角形的形狀，并說明理由．②若AE2+A90．（2021·山東濟(jì)寧·中考真題）研究立體圖形問題的基本思路是把立體圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題．（1）閱讀材料立體圖形中既不相交也不平行的兩條直線所成的角，就是將直線平移使其相交所成的角．例如，正方體ABCD?A'B'C'D'（圖1）．因?yàn)樵谄矫鍭A'C'C中，CC'//A解決問題如圖1，已知正方體ABCD?A'B'C（2）如圖2，M，N是正方體相鄰兩個(gè)面上的點(diǎn)．①下列甲、乙、丙三個(gè)圖形中，只有一個(gè)圖形可以作為圖2的展開圖，這個(gè)圖形是；②在所選正確展開圖中，若點(diǎn)M到AB，BC的距離分別是2和5，點(diǎn)N到BD，BC的距離分別是4和3，P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，求PM+PN的最小值．91．（2024·山東德州·一模）綜合與實(shí)踐【閱讀經(jīng)典】2002年國際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開，如圖①，大會(huì)的會(huì)徽是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽畫的“弦圖”，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中的繼承和發(fā)展．“弦圖”在三國時(shí)期被趙爽發(fā)明，是證明______的幾何方法（填序號(hào)）．①勾股定理②完全平方公式③平方差公式【動(dòng)手操作】如圖②，某數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)，用四個(gè)大小、形狀完全相同的直角三角形就可以拼接得到一個(gè)“趙爽弦圖”．組員小明自制了四個(gè)大小形狀一樣，且兩直角邊的邊長分別為5和12的三角板拼成了一個(gè)“趙爽弦圖”，則中間四邊形ABCD的面積為______；【問題探究】興趣小組組員小紅發(fā)現(xiàn)，通過旋轉(zhuǎn)某個(gè)三角形得到一些美妙的結(jié)論：如圖③，E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，△BCE滿足BE2+CE2=BC2，將（1）連接BD，若點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，則四邊形DECE【問題解決】（2）若BE,E'D的延長線交于點(diǎn)M，連接AC，點(diǎn)O,F分別為AC,CD①請判斷OM和FE②若DM=1,AB=5，求BE的長．92．（2024九年級(jí)下·全國·專題練習(xí)）閱讀與思考閱讀下列材料完成后面任務(wù)．僅利用折紙將線段三等分我們已經(jīng)學(xué)過線段的中點(diǎn)、三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)等概念，并且可以利用三角函數(shù)等方法求出線段的三等分點(diǎn)，下面介紹一種新的方法可以利用其將線段三等分—折紙法．具體步驟如下．第一步：如圖1，準(zhǔn)備一張長為20cm，寬為16cm的矩形紙片第二步：如圖2，將矩形紙片ABCD折疊，使得點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)F落在邊AD上，展開后得到折痕CE．第三步：如圖3，再將該矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)C的直線折疊，使得點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)H落在CF上，展開后得到折痕CG．第四步：如圖4，再將矩形紙片ABCD折疊，使得點(diǎn)G落在邊DC上的點(diǎn)M處，展開后得到折痕DN，則M為CD的三等分點(diǎn)，即DM=1下面是該結(jié)論的部分證明過程：證明：由折疊的性質(zhì)，得CF=BC=20cm．∵CD=16cm，∴根據(jù)勾股定理，可得設(shè)DM=DG=GH=x，∵FH=CF?CH=20?16=4cm，∴任務(wù)：(1)請?jiān)僮屑?xì)閱讀上面的操作步驟，完成材料中剩余的證明過程．(2)在解決問題的過程中，我們通過計(jì)算GD的長，從而得到結(jié)論DM=13DC①函數(shù)思想；②公理化思想；③數(shù)形結(jié)合思想；④分類討論思想．(3)如圖5，在圖4的基礎(chǔ)上，將矩形紙片ABCD沿著折痕DN折疊后，點(diǎn)C恰好落在AD上的點(diǎn)Q處，連接NQ，判斷四邊形CDQN的形狀，并加以證明．

第五章四邊形第26講正方形的性質(zhì)與判定（思維導(dǎo)圖+1考點(diǎn)+1命題點(diǎn)21種題型（含3種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)正方形04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)正方形的性質(zhì)與判定?題型01利用正方形的性質(zhì)求角度?題型02利用正方形的性質(zhì)求線段長?題型03利用正方形的性質(zhì)求周長?題型04利用正方形的性質(zhì)求面積?題型05根據(jù)正方形的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)?題型06利用正方形的性質(zhì)證明?題型07正方形的折疊問題?題型08求正方形重疊部分面積?題型09添加一個(gè)條件使四邊形是正方形?題型10證明四邊形是正方形?題型11根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求角度?題型12根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求線段長?題型13根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求面積?題型14根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題?題型15與正方形有關(guān)的規(guī)律探究問題?題型16正方形有關(guān)的新定義問題?題型17與正方形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題?題型18與正方形有關(guān)的最值問題?題型19正方形與函數(shù)綜合?題型20與正方形有關(guān)的存在性問題?題型21與正方形有關(guān)的材料閱讀類問題

01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航中考考點(diǎn)考查頻率新課標(biāo)要求正方形的有關(guān)證明與計(jì)算★★理解正方形的概念；探索并證明菱形的性質(zhì)定理及其判定定理；理解矩形、菱形、正方形之間的包含關(guān)系.【考情分析】正方形是最特殊的四邊形，它具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì)，對于正方形的考查多數(shù)是考查其性質(zhì)，即在正方形的背景下考查全等三角形、相似三角形、圓等內(nèi)容，試題形式多樣，難度不等.【命題預(yù)測】正方形是特殊平行四邊形中比較重要的圖形，也是幾何圖形中難度比較大的幾個(gè)圖形之一，年年都會(huì)考查，預(yù)計(jì)2025年各地中考還將出現(xiàn).其中，正方還經(jīng)常成為綜合壓軸題的問題背景來考察，而正方其他出題類型還有選擇、填空題的壓軸題，難度都比較大，需要加以重視.解答題中考查正方形的性質(zhì)和判定，45°半角模型，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函數(shù)、動(dòng)態(tài)問題綜合應(yīng)用的可能性比較大．02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一正方形1.正方形的定義：有一組鄰邊相等且只有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形.2.正方形的性質(zhì)：1）正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等，對邊平行.2）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角.【補(bǔ)充】1）正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì).

2）一條對角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，對角線與邊的夾角是45°.

3）兩條對角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.4）正方形的面積是邊長的平方，也可表示為對角線長平方的一半.3.正方形的對稱性：1）正方形是軸對稱圖形，它有四條對稱軸，分別是對邊中點(diǎn)所在的直線和兩條對角線所在的直線.2）正方形是中心對稱圖形，對角線的交點(diǎn)是對稱中心.4.正方形的判定：定義法平行四邊形+一組鄰邊相等+一個(gè)角為直角有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形判定定理矩形+一組鄰邊相等有一組鄰邊相等的矩形是正方形矩形+對角線互相垂直對角線互相垂直的矩形是正方形菱形+一個(gè)角是直角有一個(gè)角是直角的菱形是正方形菱形+對角線相等對角線相等的菱形是正方形1．（2021·黑龍江·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個(gè)條件，使矩形ABCD是正方形．【答案】AC⊥BD（答案不唯一）【分析】根據(jù)正方形的判定定理可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴根據(jù)“一組鄰邊相等的矩形是正方形”可添加：AB=AD或AB=CB或BC=CD或AD=CD，根據(jù)“對角線互相垂直的矩形是正方形”可添加：AC⊥BD，故答案為AC⊥BD（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的判定定理，熟練掌握正方形的判定是解題的關(guān)鍵．2．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，四邊形ABCD為正方形，△ADE為等邊三角形，EF⊥AB于點(diǎn)F，若AD=4，則EF=．【答案】2【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，根據(jù)正方形和等邊三角形的性質(zhì)，得到△AFE為含30度角的直角三角形，AE=AD=4，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，△ADE為等邊三角形，EF⊥AB，AD=4，∴∠FAD=90°,∠EAD=60°,∠AFE=90°,AD=AE=4，∴∠FAE=30°，∴EF=1故答案為：2．3．（2024·新疆·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，若面積S矩形AEOH=12，周長C矩形【答案】40【分析】本題考查了正方形、矩形的性質(zhì)，完全平方公式等知識(shí)，設(shè)正方形BEOF、HOGD的邊長分別為a、b，先求出ab=12a+b=8，然后根據(jù)S【詳解】解：設(shè)正方形BEOF、HOGD的邊長分別為a、b，根據(jù)題意，得ab=122∴ab=12a+b=8∴S====40，故答案為：40．4．（2024·福建·中考真題）如圖，正方形ABCD的面積為4，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的面積為．

【答案】2【分析】本題考查正方形性質(zhì)，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，根據(jù)正方形性質(zhì)和線段中點(diǎn)的性質(zhì)得到HD=DG=1，進(jìn)而得到S△DGH，同理可得S△AHE=S△EFB=S△CGF=【詳解】解：∵正方形ABCD的面積為4，∴AB=BC=CD=AD=2，∠D=90°，∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)，∴HD=DG=1，∴S同理可得S△AHE∴四邊形EFGH的面積為4?1故答案為：2．5．（2023·湖南懷化·中考真題）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對角線AC上的一點(diǎn)，PE⊥AD于點(diǎn)E，PE=3．則點(diǎn)P到直線AB的距離為．

【答案】3【分析】過點(diǎn)P作PQ⊥AB于Q，證明四邊形四邊形AEPQ是正方形，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)P作PQ⊥AB于Q，

∵點(diǎn)P是正方形ABCD的對角線AC上的一點(diǎn)，PE⊥AD于點(diǎn)E∴四邊形AEPQ是矩形，∠EAP=45°∴△AEP是等腰直角三角形，∴AE=EP∴四邊形AEPQ是正方形，∴PQ=EP=3，即點(diǎn)P到直線AB的距離為3故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，點(diǎn)到直線的距離，熟練掌握正方形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一正方形的性質(zhì)與判定?題型01利用正方形的性質(zhì)求角度1．（2023·重慶·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，連接AE，AF，EF，∠EAF=45°．若∠BAE=α，則∠FEC一定等于（）

A．2α B．90°?2α C．45°?α D．90°?α【答案】A【分析】利用三角形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，再證明三角形全等，最后根據(jù)性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】將△ADF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ABH，

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=∠C=90°，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：∠DAF=∠BAH，∠D=∠ABH=90°，AF=AH，∴∠ABH+∠ABC=180°，∴點(diǎn)H，B，C三點(diǎn)共線，∵∠BAE=α，∠EAF=45°，∠BAD=∠HAF=90°，∴∠DAF=∠BAH=45°?α，∠EAF=∠EAH=45°，∵∠AHB+∠BAH=90°，∴∠AHB=45°+α，在△AEF和△AEH中AF=AH∠FAE=∠HAE∴△AFE≌△AHE(SAS∴∠AHE=∠AFE=45°+α，∴∠AHE=∠AFD=∠AFE=45°+α，∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°+2α，∵∠DFE=∠FEC+∠C=∠FEC+90°，∴∠FEC=2α，故選：A．

【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能正確作出旋轉(zhuǎn)，再證明三角形全等，熟練利用性質(zhì)求出角度．2．（2021·重慶·中考真題）如圖，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN=30°，直角頂點(diǎn)P在正方形ABCD的對角線BD上，點(diǎn)M，N分別在AB和CD邊上，MN與BD交于點(diǎn)O，且點(diǎn)O為MN的中點(diǎn)，則∠AMP的度數(shù)為（

）A．60° B．65° C．75° D．80°【答案】C【分析】根據(jù)斜邊中線等于斜邊一半，求出∠MPO=30°，再求出∠MOB和∠OMB的度數(shù)，即可求出∠AMP的度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形中，∴∠MBO=∠NDO=45°，∵點(diǎn)O為MN的中點(diǎn)∴OM=ON，∵∠MPN=90°，∴OM=OP，∴∠PMN=∠MPO=30°，∴∠MOB=∠MPO+∠PMN=60°，∴∠BMO=180°-60°-45°=75°，∠AMP=180°?75°?30°=75°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)，根據(jù)角的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算．3．（2023·山東·中考真題）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，將△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△CBF．若∠ABE=55°，則∠EGC=度．

【答案】80【分析】先求得∠BEF和∠CBE的度數(shù)，再利用三角形外角的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∵∠ABE=55°，∴∠CBE=90°?55°=35°，∵△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△CBF∴∠EBF=90°，BE=BF，∴∠BEF=45°，∴∠EGC=∠CBE+∠BEF=35°+45°=80°，故答案為：80．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵．4．（2024·寧夏·中考真題）如圖，在正五邊形ABCDE的內(nèi)部，以CD邊為邊作正方形CDFH，連接BH，則∠BHC=°．【答案】81【分析】本題考查正多邊形的內(nèi)角問題，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等．先根據(jù)正多邊形內(nèi)角公式求出∠BCD，進(jìn)而求出∠BCH，最后根據(jù)BC=HC求解．【詳解】解：∵正五邊形ABCDE中，∠BCD=15×正方形CDFH中，∠HCD=90°，HC=DC，∴∠BCH=∠BCD?∠HCD=108°?90°=18°，HC=BC，∴∠BHC=∠HBC，∴∠BHC=1故答案為：81．QUOTEQUOTEQUOTE?題型02利用正方形的性質(zhì)求線段長在正方形問題中，一般可以通過證三角形全等來證兩條線段相等，也可以利用正方形的角是直角來構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解題.在正方形中，也常用對角線互相垂直平分證明線段相等.5．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，正方形ABCD中，AB=3，點(diǎn)E在邊AD上，DE=2AE,F是BE的中點(diǎn)，點(diǎn)H在CD邊上，∠EFH=45°，則FH的長為（

）．A．3104 B．352 C．【答案】C【分析】首先過點(diǎn)B作BN∥FH，連接數(shù)ENFN、，延長DC到點(diǎn)G，使CG=AE，連接BG，根據(jù)∠EFH=45°可得∠NBG=45°，利用SAS可證△ABE?△CBG，再利用SAS可證△EBN?△GBN，從而可得EN=NG，利用勾股定理可得DN=CN=32，利用梯形中位線定理可以求出FN=5【詳解】解：如下圖所示，過點(diǎn)B作BN∥FH，連接數(shù)EN、FN，延長DC到點(diǎn)G，使CG=AE，連接BG，∵四邊形ABCD是正方形，AB=3，∴AD=CD=BC=AB=3，∠ABC=90°，∵DE=2AE，∴DE=2，AE=1，∴BE=A∵∠EFH=45°，BN∥∴∠EBN=∠EFH=45°，∴∠ABE+∠NBC=45°，在△ABE和△CBG中AE=CG∠A=∠BCG=90°∴△ABE?∴∠ABE=CBG，BE=BG，∴∠GBN=∠CBG+∠NBC=∠ABE+∠NBC=45°，∴∠EBN=∠NBG，在△EBN和△GBN中BE=BG∠EBN=∠NBG∴△EBN?∴EN=NG，設(shè)NC=x，則DN=3?x，EN=NG=x+1，在Rt△EDN中，E∴2解得：x=3∴DN=CN=3∴BN=B∴點(diǎn)N是CD的中點(diǎn)，∴FN是梯形EBCD的中位線，

∴FN=12ED+BC∵FH∥∴∠FHN=∠BNC，又∵∠FNH=∠BCN=90°，∴△FHN∽∴FH∴FH解得：FH=5故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、梯形的中位線定理等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．6．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5．正方形DEFG的邊長為5，它的頂點(diǎn)D，E，G分別在△ABC的邊上，則BG的長為【答案】3【分析】過點(diǎn)G作GH⊥AC，易得△AHG為等腰直角三角形，設(shè)AH=HG=x，得到CH=AC?AH=5?x，證明△GHD≌△DCE，得到CD=GH，進(jìn)而得到CD=x，DH=5?2x，在Rt△DHG中，利用勾股定理求出x的值，根據(jù)平行線分線段成比例，求出BG【詳解】解：過點(diǎn)G作GH⊥AC，則：∠AHG=∠GHD=90°，∴∠DGH+∠HDG=90°，∵∠ACB=90°，AC=BC=5，∴AB=52∴∠AGH=45°=∠A，∴AH=HG，設(shè)AH=HG=x，則：CH=AC?AH=5?x，∵正方形DEFG，∴DG=DE,∠GDE=90°，∴∠HDG+∠CDE=90°，∴∠HGD=∠CDE，∵∠C=∠GHD=90°，∴△GHD≌△DCE，∴CD=GH=x，∴DH=CH?CD=5?2x，在Rt△GHD中，由勾股定理，得：G∴52=5?2x∴AH=2,CH=3，∵∠C=∠AHD=90°，∴HG∥BC，∴AGBG∴BG=3故答案為：32【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造特殊圖形和全等三角形．7．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，正方形ABCD的面積為50，以AB為腰作等腰△ABF，AB=AF，AE平分∠DAF交DC于點(diǎn)G，交BF的延長線于點(diǎn)E，連接DE．若BF=2，則DG=【答案】15【分析】過點(diǎn)A作AH⊥BE于點(diǎn)H，連接DF，交AE于點(diǎn)O，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求出AH,FH的長，再求出∠EAH=45°，從而可得EH=AH=7，EF=6，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出DF,OD的長，最后在Rt△ADG和Rt【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BE于點(diǎn)H，連接DF，交AE于點(diǎn)O，∵正方形ABCD的面積為50，∴AB=AD=50=52∵AB=AF，BF=2，∴AD=AF，AH平分∠BAF，BH=FH=1∴AH=A∵AH平分∠BAF，AE平分∠DAF，∴∠HAF=1∴∠EAH=∠HAF+∠EAF=1∴Rt△AEH是等腰直角三角形，∠AEH=45°∴EH=AH=7，∴EF=EH?FH=6，又∵AD=AF，AE平分∠DAF，∴AE垂直平分DF，∴DE=EF=6，OD=1∴∠AED=∠AEH=45°，∴∠DEF=∠AED+∠AEH=90°，∴DF=D∴OD=32在Rt△AOD中，OA=設(shè)OG=xx>0，則AG=OA+OG=4在Rt△ADG和Rt△DOG中，即42解得x=9即OG=9則DG=O故答案為：152【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、勾股定理、二次根式的化簡等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的三線合一是解題關(guān)鍵．8．（2024·吉林·中考真題）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)F是OD上一點(diǎn)．連接EF．若∠FEO=45°，則EFBCの【答案】1【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，先由正方形的性質(zhì)得到∠OAD=45°，AD=BC，再證明EF∥AD，進(jìn)而可證明△OEF∽△OAD，由相似三角形的性質(zhì)可得EFAD=OE【詳解】解：∵正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)∴∠OAD=45°，AD=BC，∵點(diǎn)E是OA的中點(diǎn)，∴OEOA∵∠FEO=45°，∴EF∥AD，∴△OEF∽△OAD，∴EFAD=OE故答案為：12?題型03利用正方形的性質(zhì)求周長9．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，邊長為2的正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O．E是BC邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是BD上一點(diǎn)，連接DE,EF．若△DEF與△DEC關(guān)于直線DE對稱，則△BEF的周長是（

）

A．22 B．2+2 C．4?22【答案】A【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正方形的性質(zhì)可求出BD=22，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得DF=DC=2，∠DFE=∠BCD=90°則BF=BD?DF=22?2，再求出EF=BF=2【詳解】解：正方形ABCD的邊長為2，∴BC=DC=2,∠BCD=90°,DO=12∴BD=B∵△DEF與△DEC關(guān)于直線DE對稱，∴DF=DC=2，∠DFE=∠BCD=90°，∴BF=BD?DF=22?2，∴∠FBE=∠FEB=45°，∴EF=BF=22∴BE=2∴△BEF的周長是BE+EF+BF=4?22故選：A．10．（2024·江蘇連云港·中考真題）如圖，正方形中有一個(gè)由若干個(gè)長方形組成的對稱圖案，其中正方形邊長是80cm，則圖中陰影圖形的周長是（

A．440cm B．320cm C．280cm【答案】A【分析】本題考查平移的性質(zhì)，利用平移的性質(zhì)將陰影部分的周長轉(zhuǎn)化為邊長是80cm的正方形的周長加上邊長是80cm的正方形的兩條邊長再減去【詳解】解：由圖可得：陰影部分的周長為邊長是80cm的正方形的周長加上邊長是80cm的正方形的兩條邊長再減去∴陰影圖形的周長是：4×80+2×80?2×20=440cm故選：A．11．（2023·山東棗莊·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為BC上一點(diǎn)，CE=7，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，若△CEF的周長為32，則OF的長為．

【答案】17【分析】利用斜邊上的中線等于斜邊的一半和△CEF的周長，求出CF,EF的長，進(jìn)而求出DE的長，勾股定理求出CD的長，進(jìn)而求出BE的長，利用三角形的中位線定理，即可得解．【詳解】解：∵CE=7,△CEF的周長為32，∴CF+EF=32?7=25．∵F為DE的中點(diǎn)，∴DF=EF．∵∠BCD=90°，∴CF=1∴EF=CF=1∴DE=2EF=25，∴CD=D∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD=24，O為BD的中點(diǎn)，∴OF是△BDE∴OF=1故答案為：172【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，斜邊上的中線，三角形的中位線定理．熟練掌握斜邊上的中線等于斜邊的一半，是解題的關(guān)鍵．12．（2022·江蘇南通·中考真題）如圖，點(diǎn)O是正方形ABCD的中心，AB=32．Rt△BEF中，∠BEF=90°,EF過點(diǎn)D，BE,BF分別交AD,CD于點(diǎn)G，M，連接OE,OM,EM．若BG=DF,tan∠ABG=13【答案】3+3【分析】連接BD，則BD過正方形ABCD的中心點(diǎn)O，作FH⊥CD于點(diǎn)H，解直角三角形可得BG＝25，AG＝13AB，然后證明△ABG≌△HFD（AAS），可得DH＝AG＝13AB＝13CD，BC＝HF，進(jìn)而可證△BCM≌△FHM（AAS），得到MH＝MC＝13CD，BM＝FM，然后根據(jù)等腰三角形三線合一求出DF＝FM，則BG＝DF＝FM＝BM＝25，再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和三角形中位線定理分別求出【詳解】解：如圖，連接BD，則BD過正方形ABCD的中心點(diǎn)O，作FH⊥CD于點(diǎn)H，∵AB=32，tan∴tan∴AG＝13AB＝2∴BG＝AG∵∠BEF＝90°，∠ADC＝90°，∴∠EGD＋∠EDG＝90°，∠EDG＋∠HDF＝90°，∴∠EGD＝∠HDF∵∠AGB＝∠EGD，∴∠AGB＝∠HDF，在△ABG和△HFD中，∠A=∠DHF=90°∠AGB=∠HDF∴△ABG≌△HFD（AAS），∴AG＝DH，AB＝HF，∵在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝90°，∴DH＝AG＝13AB＝13CD，BC＝在△BCM和△FHM中，∠C=∠FHM=90°∠BMC=∠FMH∴△BCM≌△FHM（AAS），∴MH＝MC＝13CD，BM＝FM∴DH＝MH，∵FH⊥CD，∴DF＝FM，∴BG＝DF＝FM＝BM＝25∴BF＝45∵M(jìn)是BF中點(diǎn)，O是BD中點(diǎn)，△BEF是直角三角形，∴OM＝12DF=5，EM∵BD＝2AB=6，△BED∴EO＝12∴△OEM的周長＝EO＋OM＋EM＝3＋5＋25故答案為：3+35【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)以及三角形中位線定理，綜合性較強(qiáng)，能夠作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04利用正方形的性質(zhì)求面積13．（2023·廣東·中考真題）邊長分別為10，6，4的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為．

【答案】15【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：如圖，

由題意可知AD=DC=10,CG=CE=GF=6,∠CEF=∠EFG=90°，GH=4，∴CH=10=AD，∵∠D=∠DCH=90°,∠AJD=∠HJC，∴△ADJ≌△HCJAAS∴CJ=DJ=5，∴EJ=1，∵GI∥CJ，∴△HGI∽△HCJ，∴GICJ∴GI=2，∴FI=4，∴S梯形故答案為15．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．14．（2023·湖南·中考真題）七巧板是我國民間廣為流傳的一種益智玩具，某同學(xué)用邊長為4dm的正方形紙板制作了一副七巧板（如圖），由5個(gè)等腰直角三角形，1個(gè)正方形和1個(gè)平行四邊形組成．則圖中陰影部分的面積為dm3

【答案】2【分