2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.2平面向量的運(yùn)算6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算課時(shí)作業(yè)含解析新人教A版必修第二冊

PAGEPAGE6課時(shí)作業(yè)4向量的數(shù)乘運(yùn)算時(shí)間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．(多選)向量a＝2e，b＝－6e，則下列說法正確的是(ABD)A．a(chǎn)∥bB．向量a，b方向相反C．|a|＝3|b|D．b＝－3a解析：因?yàn)閎＝－6e＝－3(2e)＝－3a，所以a∥b，a，b方向相反，且3|a|＝|b|.2．若5eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，且|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，則四邊形ABCD是(D)A．平行四邊形 B．菱形C．矩形 D．等腰梯形解析：由5eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(CD,\s\up6(→))＝0知，eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))且|eq\o(AB,\s\up6(→))|≠|(zhì)eq\o(CD,\s\up6(→))|，∴此四邊形為梯形．又|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，∴梯形ABCD為等腰梯形．3．已知點(diǎn)D是△ABC所在平面上一點(diǎn)，滿意eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(DC,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝(C)A．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\f(4,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AC,\s\up6(→))解析：如圖，∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，∴2eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(3,5)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(3,5)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(8,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→)).4．已知向量a與b不共線，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa＋b(λ∈R)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋μb(μ∈R)，則A、B、C三點(diǎn)共線應(yīng)滿意(D)A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1C．λμ＝－1 D．λμ＝1解析：若A，B，C三點(diǎn)共線，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝keq\o(AC,\s\up6(→))(k∈R)，即λa＋b＝k(a＋μb)，所以λa＋b＝ka＋μkb，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,1＝μk，))消去k得λμ＝1，故選D．5．點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若eq\o(CB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，其中λ∈R，則點(diǎn)P肯定在(B)A．△ABC內(nèi)部 B．AC邊所在的直線上C．AB邊所在的直線上 D．BC邊所在的直線上解析：∵eq\o(CB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，∴eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→)).∴eq\o(CP,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→)).∴P、A、C三點(diǎn)共線．∴點(diǎn)P肯定在AC邊所在的直線上．6．設(shè)點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部，且2eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(OB,\s\up6(→))＋4eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，若△ABC的面積是27，則△AOC的面積為(A)A．9 B．8C．eq\f(15,2) D．7解析：如圖，延長OC到D，使得OD＝2OC，因?yàn)?eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(OB,\s\up6(→))＋4eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝0；以O(shè)A，OD為邊作平行四邊形OAED，對角線交點(diǎn)為F，OE交AC于H，因?yàn)閑q\o(OD,\s\up6(→))＝2eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(OE,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，因?yàn)镺CAE＝12，所以O(shè)HHE＝12，所以3eq\o(OH,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\o(OH,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\o(OH,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BH,\s\up6(→))，所以△AOC的面積是△ABC面積的eq\f(1,3)，所以△AOC的面積為9.二、填空題7．化簡eq\f(2,5)(a－b)－eq\f(1,3)(2a＋4b)＋eq\f(2,15)(2a＋13b)＝0.解析：eq\f(2,5)(a－b)－eq\f(1,3)(2a＋4b)＋eq\f(2,15)(2a＋13b)＝eq\f(2,5)a－eq\f(2,5)b－eq\f(2,3)a－eq\f(4,3)b＋eq\f(4,15)a＋eq\f(26,15)b＝(eq\f(2,5)－eq\f(2,3)＋eq\f(4,15))a＋(－eq\f(2,5)－eq\f(4,3)＋eq\f(26,15))b＝0a＋0b＝0＋0＝0.8．已知平面上不共線的四點(diǎn)O，A，B，C，若eq\o(OA,\s\up6(→))－3eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)＝2.解析：因?yàn)閑q\o(OA,\s\up6(→))－3eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝2(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)＝2.9．始終線l與平行四邊形ABCD中的兩邊AB，AD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且交其對角線AC于點(diǎn)M，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝λ·eq\o(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，則λ＝eq\f(1,5).解析：如圖，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝2λeq\o(AE,\s\up6(→))＋3λeq\o(AF,\s\up6(→))，∵E、M、F三點(diǎn)共線，∴2λ＋3λ＝1；∴λ＝eq\f(1,5).三、解答題10．如圖，在△ABC中，D、E分別為AC、AB邊上的點(diǎn)，eq\f(CD,DA)＝eq\f(AE,EB)＝eq\f(1,2)，記eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b.求證：eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(b－a)．證明：因?yàn)閑q\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(－a－b)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)b，所以eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)a－eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)b＝eq\f(1,3)(b－a)．11.如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.(1)用a，b表示向量eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→)).(2)證明：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．解：(1)如圖所示，延長AD到G，使eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up6(→))，連接BG，CG，則四邊形ABGC是平行四邊形，則eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.因?yàn)镕是AC的中點(diǎn)，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b.所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－a＝eq\f(1,3)b－eq\f(2,3)a，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－a.(2)證明：由(1)可知eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(b－2a)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b－2a)，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BF,\s\up6(→))，即eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))是共線向量，且有公共點(diǎn)B，所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．——實(shí)力提升類——12．已知△ABC和點(diǎn)M滿意eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0.若存在實(shí)數(shù)m使得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))成立，則m＝(B)A．2 B．3C．4 D．5解析：如圖，在△ABC中，以BM，CM為鄰邊作平行四邊形MBDC，依據(jù)平行四邊形法則可得eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\o(MD,\s\up6(→))，又eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(MD,\s\up6(→))，兩向量有公共點(diǎn)M，則A，M，D三點(diǎn)共線，結(jié)合MD是平行四邊形MBDC的對角線，可知M是△ABC的重心．以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ABFC，由向量加法的平行四邊形法則，可得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→))＝2×eq\f(3,2)eq\o(AM,\s\up6(→))＝3eq\o(AM,\s\up6(→))，則m＝3.13．已知點(diǎn)P在正三角形ABC所確定的平面上，且滿意eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，則△ABP的面積與△BCP的面積之比為(B)A．11 B．12C．13 D．14解析：∵eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))，∴eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))，即點(diǎn)P為線段AC的靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，∴△ABP的面積與△BCP的面積之比為12，故選B．14．設(shè)W是由一平面內(nèi)的n(n≥3)個(gè)向量組成的集合．若a∈W，且a的模不小于W中除a外的全部向量和的模．則稱a是W的極大向量．有下列命題：①若W中每個(gè)向量的方向都相同，則W中必存在一個(gè)極大向量；②給定平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量a，b，在該平面內(nèi)總存在唯一的平面對量c＝－a－b，使得W＝{a，b，c}中的每個(gè)元素都是極大向量；③若W1＝{a1，a2，a3}，W2＝{b1，b2，b3}中的每個(gè)元素都是極大向量