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PAGE2-2-1組合與組合數(shù)公式[綜合訓(xùn)練·實(shí)力提升]一、選擇題(每小題5分,共30分)1.給出下列問題:①?gòu)?,2,3,…9這九個(gè)數(shù)字中任取3個(gè),組成多少個(gè)三位數(shù)?②有4張電影票,要在7人中確定4人去觀看,有多少種不同的選法?③某人射擊8槍,擊中4槍,且命中的4槍均為2槍連中,則不同的結(jié)果有多少種?其中組合問題的個(gè)數(shù)是A.0B.1C.2D.3解析①是排列問題,和依次有關(guān).②,③是組合問題,和依次無關(guān),故選C.答案C2.已知Ceq\o\al(x-2,12)=Ceq\o\al(2x-4,12),則x的值是A.2B.6C.eq\f(1,2)D.2或6解析依據(jù)組合數(shù)性質(zhì)Ceq\o\al(m,n)=Ceq\o\al(n-m,n)可得到:若Ceq\o\al(m,n)=Ceq\o\al(p,n),則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤m≤n,,0≤p≤n,,m=p或m+p=n,))依據(jù)題意得到:eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x-2≤12,,0≤2x-4≤12,,x-2=2x-4或(x-2)+(2x-4)=12.))解得x=2或x=6.答案D3.某新農(nóng)村社區(qū)共包括8個(gè)自然村,且這些村莊分布零散,沒有任何三個(gè)村莊在一條直線上,現(xiàn)要在該社區(qū)內(nèi)建“村村通”工程,共需建馬路的條數(shù)為A.4B.8C.28D.64解析由于“村村通”馬路的修建,是組合問題.故共須要建Ceq\o\al(2,8)=28條馬路.答案C4.已知Ceq\o\al(7,n+1)-Ceq\o\al(7,n)=Ceq\o\al(8,n),則n等于A.14B.12C.13D.15解析∵Ceq\o\al(7,n+1)=Ceq\o\al(8,n+1),∴7+8=n+1,∴n=14.答案A5.計(jì)算Ceq\o\al(3,4)+Ceq\o\al(3,5)+Ceq\o\al(3,6)+…+Ceq\o\al(3,2012)的值為A.Ceq\o\al(4,2013)B.Ceq\o\al(5,2013)C.Ceq\o\al(4,2013)-1D.Ceq\o\al(5,2013)-1解析Ceq\o\al(3,4)+Ceq\o\al(3,5)+Ceq\o\al(3,6)+…+Ceq\o\al(3,2012)=Ceq\o\al(4,4)+Ceq\o\al(3,4)+Ceq\o\al(3,5)+…+Ceq\o\al(3,2012)-Ceq\o\al(4,4)=Ceq\o\al(4,5)+Ceq\o\al(3,5)+…+Ceq\o\al(3,2012)-1=…=Ceq\o\al(4,2012)+Ceq\o\al(3,2012)-1=Ceq\o\al(4,2013)-1.答案C6.某單位有15名成員,其中男性10人,女性5人,現(xiàn)須要從中選出6名成員組成考察團(tuán)外出參觀學(xué)習(xí),假如按性別分層,并在各層按比例隨機(jī)抽樣,則此考察團(tuán)的組成方法種數(shù)是A.Ceq\o\al(3,10)Ceq\o\al(3,5)B.Ceq\o\al(4,10)Ceq\o\al(2,5)C.Ceq\o\al(5,15)D.Aeq\o\al(4,10)Aeq\o\al(2,5)解析按性別分層,并在各層按比例隨機(jī)抽樣,則需從10名男性中抽取4人,5名女性中抽取2人,共有Ceq\o\al(4,10)Ceq\o\al(2,5)種抽法.答案B二、填空題(每小題5分,共15分)7.若Ceq\o\al(m-1,n)∶Ceq\o\al(m,n)∶Ceq\o\al(m+1,n)=3∶4∶5,則n-m=________.解析由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(Ceq\o\al(m-1,n),Ceq\o\al(m,n))=\f(3,4),,\f(Ceq\o\al(m,n),Ceq\o\al(m+1,n))=\f(4,5),))由組合數(shù)公式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3n-7m+3=0,,9m-4n+5=0,))解得n=62,m=27.n-m=62-27=35.答案358.Ceq\o\al(0,3)+Ceq\o\al(1,4)+Ceq\o\al(2,5)+…+Ceq\o\al(18,21)的值等于________.解析原式=Ceq\o\al(0,4)+Ceq\o\al(1,4)+Ceq\o\al(2,5)+…+Ceq\o\al(18,21)=Ceq\o\al(1,5)+Ceq\o\al(2,5)+…+Ceq\o\al(18,21)=…=Ceq\o\al(17,21)+Ceq\o\al(18,21)=Ceq\o\al(18,22)=Ceq\o\al(4,22)=7315.答案73159.(2024·全國(guó)卷Ⅰ)從2位女生,4位男生中選3人參與科技競(jìng)賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有________種.(用數(shù)字填寫答案)解析通解可分兩種狀況:第一種狀況,只有1位女生入選,不同的選法Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)=12(種);其次種狀況,有2位女生入選,不同的選法有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)=4(種).依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知,至少有1位女生入選的不同選法有16種.優(yōu)解從6人中任選3人,不同的選法有Ceq\o\al(3,6)=20(種),從6人中任選3人是男生,不同的選法有Ceq\o\al(3,4)=4(種),所以至少有1位女生入選的不同的選法20-4=16(種).答案16三、解答題(本大題共3小題,共35分)10.(10分)計(jì)算:(1)Ceq\o\al(4,7)+Ceq\o\al(48,50)·Ceq\o\al(9,9);(2)Ceq\o\al(0,5)+Ceq\o\al(1,5)+Ceq\o\al(2,5)+Ceq\o\al(3,5)+Ceq\o\al(4,5)+Ceq\o\al(5,5);(3)Ceq\o\al(n,n+1)·Ceq\o\al(n-1,n).解析(1)原式=Ceq\o\al(3,7)+Ceq\o\al(2,50)×1=eq\f(7×6×5,3×2×1)+eq\f(50×99,2×1)=35+1225=1260.(2)原式=2(Ceq\o\al(0,5)+Ceq\o\al(1,5)+Ceq\o\al(2,5))=2(Ceq\o\al(1,6)+Ceq\o\al(2,5))=2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6+\f(5×4,2×1)))=32.(3)解法一原式=Ceq\o\al(n,n+1)·Ceq\o\al(1,n)=eq\f((n+1)!,n!)·n=eq\f((n+1)·n!,n!)·n=(n+1)·n=n2+n.解法二原式=(Ceq\o\al(n,n)+Ceq\o\al(n-1,n))·Ceq\o\al(n-1,n)=(1+Ceq\o\al(1,n))·Ceq\o\al(1,n)=(1+n)·n=n2+n.答案(1)1260(2)32(3)n2+n11.(12分)解不等式Ceq\o\al(n-5,n)>Ceq\o\al(3,n-2)+2Ceq\o\al(2,n-2)+Ceq\o\al(1,n-2).解析因?yàn)镃eq\o\al(n-5,n)=Ceq\o\al(5,n).所以原不等式可化為Ceq\o\al(5,n)>(Ceq\o\al(3,n-2)+Ceq\o\al(2,n-2))+(Ceq\o\al(2,n-2)+Ceq\o\al(1,n-2)),即Ceq\o\al(5,n)>Ceq\o\al(3,n-1)+Ceq\o\al(2,n-1),也就是Ceq\o\al(5,n)>Ceq\o\al(3,n),所以eq\f(n!,5·(n-5)!)>eq\f(n!,3!·(n-3)!),即(n-3)(n-4)>20,解得n>8或n<-1.又n∈N*,n≥5,所以n≥9且n∈N*.答案n≥9且n∈N*12.(13分)現(xiàn)有10件產(chǎn)品,其中有2件次品,隨意抽出3件檢查.(1)恰有一件是次品的抽法有多少種?(2)至少有一件是次品的抽法有多少種?解析(1)從2件次品中任取1件,有Ceq\o\al(1,2)種抽法;從8件正品中取2件,有Ceq\o\al(2,8)種抽法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,共有Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(2,8)=56種不同的抽法.(2)解法一含1件次品有Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(2,8)種抽法,含2件次品有Ceq\o\al(2,2)×Ceq\o\al(1,8)種抽法.由分類加
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