2024-2025學年高中數(shù)學第1章計數(shù)原理1.2排列與組合1.2.2.1組合與組合數(shù)公式練習新人教A版選修2-3

PAGE2-2-1組合與組合數(shù)公式[綜合訓練·實力提升]一、選擇題（每小題5分，共30分）1．給出下列問題：①從1，2，3，…9這九個數(shù)字中任取3個，組成多少個三位數(shù)？②有4張電影票，要在7人中確定4人去觀看，有多少種不同的選法？③某人射擊8槍，擊中4槍，且命中的4槍均為2槍連中，則不同的結(jié)果有多少種？其中組合問題的個數(shù)是A．0B．1C．2D．3解析①是排列問題，和依次有關(guān)．②，③是組合問題，和依次無關(guān)，故選C.答案C2．已知Ceq\o\al(x－2,12)＝Ceq\o\al(2x－4,12)，則x的值是A．2B．6C.eq\f(1,2)D．2或6解析依據(jù)組合數(shù)性質(zhì)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)可得到：若Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(p,n)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤m≤n，,0≤p≤n，,m＝p或m＋p＝n，))依據(jù)題意得到：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x－2≤12，,0≤2x－4≤12，,x－2＝2x－4或（x－2）＋（2x－4）＝12.))解得x＝2或x＝6.答案D3．某新農(nóng)村社區(qū)共包括8個自然村，且這些村莊分布零散，沒有任何三個村莊在一條直線上，現(xiàn)要在該社區(qū)內(nèi)建“村村通”工程，共需建馬路的條數(shù)為A．4B．8C．28D．64解析由于“村村通”馬路的修建，是組合問題．故共須要建Ceq\o\al(2,8)＝28條馬路．答案C4．已知Ceq\o\al(7,n＋1)－Ceq\o\al(7,n)＝Ceq\o\al(8,n)，則n等于A．14B．12C．13D．15解析∵Ceq\o\al(7,n＋1)＝Ceq\o\al(8,n＋1)，∴7＋8＝n＋1，∴n＝14.答案A5．計算Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(3,2012)的值為A．Ceq\o\al(4,2013)B．Ceq\o\al(5,2013)C．Ceq\o\al(4,2013)－1D．Ceq\o\al(5,2013)－1解析Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(3,2012)＝Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,2012)－Ceq\o\al(4,4)＝Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,2012)－1＝…＝Ceq\o\al(4,2012)＋Ceq\o\al(3,2012)－1＝Ceq\o\al(4,2013)－1.答案C6．某單位有15名成員，其中男性10人，女性5人，現(xiàn)須要從中選出6名成員組成考察團外出參觀學習，假如按性別分層，并在各層按比例隨機抽樣，則此考察團的組成方法種數(shù)是A．Ceq\o\al(3,10)Ceq\o\al(3,5)B．Ceq\o\al(4,10)Ceq\o\al(2,5)C．Ceq\o\al(5,15)D．Aeq\o\al(4,10)Aeq\o\al(2,5)解析按性別分層，并在各層按比例隨機抽樣，則需從10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有Ceq\o\al(4,10)Ceq\o\al(2,5)種抽法．答案B二、填空題（每小題5分，共15分）7．若Ceq\o\al(m－1,n)∶Ceq\o\al(m,n)∶Ceq\o\al(m＋1,n)＝3∶4∶5，則n－m＝________．解析由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(Ceq\o\al(m－1,n),Ceq\o\al(m,n))＝\f(3,4)，,\f(Ceq\o\al(m,n),Ceq\o\al(m＋1,n))＝\f(4,5)，))由組合數(shù)公式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3n－7m＋3＝0，,9m－4n＋5＝0，))解得n＝62，m＝27.n－m＝62－27＝35.答案358．Ceq\o\al(0,3)＋Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(18,21)的值等于________．解析原式＝Ceq\o\al(0,4)＋Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(18,21)＝Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(18,21)＝…＝Ceq\o\al(17,21)＋Ceq\o\al(18,21)＝Ceq\o\al(18,22)＝Ceq\o\al(4,22)＝7315.答案73159．(2024·全國卷Ⅰ)從2位女生，4位男生中選3人參與科技競賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有________種．(用數(shù)字填寫答案)解析通解可分兩種狀況：第一種狀況，只有1位女生入選，不同的選法Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝12(種)；其次種狀況，有2位女生入選，不同的選法有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)＝4(種)．依據(jù)分類加法計數(shù)原理知，至少有1位女生入選的不同選法有16種．優(yōu)解從6人中任選3人，不同的選法有Ceq\o\al(3,6)＝20(種)，從6人中任選3人是男生，不同的選法有Ceq\o\al(3,4)＝4(種)，所以至少有1位女生入選的不同的選法20－4＝16(種)．答案16三、解答題（本大題共3小題，共35分）10．（10分）計算：(1)Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(48,50)·Ceq\o\al(9,9)；(2)Ceq\o\al(0,5)＋Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(5,5)；(3)Ceq\o\al(n,n＋1)·Ceq\o\al(n－1,n).解析(1)原式＝Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(2,50)×1＝eq\f(7×6×5,3×2×1)＋eq\f(50×99,2×1)＝35＋1225＝1260.(2)原式＝2(Ceq\o\al(0,5)＋Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5))＝2(Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,5))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋\f(5×4,2×1)))＝32.(3)解法一原式＝Ceq\o\al(n,n＋1)·Ceq\o\al(1,n)＝eq\f(（n＋1）！,n！)·n＝eq\f(（n＋1）·n！,n！)·n＝(n＋1)·n＝n2＋n.解法二原式＝(Ceq\o\al(n,n)＋Ceq\o\al(n－1,n))·Ceq\o\al(n－1,n)＝(1＋Ceq\o\al(1,n))·Ceq\o\al(1,n)＝(1＋n)·n＝n2＋n.答案(1)1260(2)32(3)n2＋n11．（12分）解不等式Ceq\o\al(n－5,n)>Ceq\o\al(3,n－2)＋2Ceq\o\al(2,n－2)＋Ceq\o\al(1,n－2).解析因為Ceq\o\al(n－5,n)＝Ceq\o\al(5,n).所以原不等式可化為Ceq\o\al(5,n)>(Ceq\o\al(3,n－2)＋Ceq\o\al(2,n－2))＋(Ceq\o\al(2,n－2)＋Ceq\o\al(1,n－2))，即Ceq\o\al(5,n)>Ceq\o\al(3,n－1)＋Ceq\o\al(2,n－1)，也就是Ceq\o\al(5,n)>Ceq\o\al(3,n)，所以eq\f(n！,5·（n－5）！)>eq\f(n！,3！·（n－3）！)，即(n－3)(n－4)>20，解得n>8或n<－1.又n∈N*，n≥5，所以n≥9且n∈N*.答案n≥9且n∈N*12．（13分）現(xiàn)有10件產(chǎn)品，其中有2件次品，隨意抽出3件檢查．(1)恰有一件是次品的抽法有多少種？(2)至少有一件是次品的抽法有多少種？解析(1)從2件次品中任取1件，有Ceq\o\al(1,2)種抽法；從8件正品中取2件，有Ceq\o\al(2,8)種抽法．由分步乘法計數(shù)原理可知，共有Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(2,8)＝56種不同的抽法．(2)解法一含1件次品有Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(2,8)種抽法，含2件次品有Ceq\o\al(2,2)×Ceq\o\al(1,8)種抽法．由分類加