2024-2025學年新教材高中數(shù)學第八章立體幾何初步本章總結學案含解析新人教A版必修第二冊

PAGE1-第八章立體幾何初步本章總結eq\a\vs4\al(專題一空間幾何體的表面積與體積)1．空間幾何體的表面積[例1]一個直角梯形的上底、下底、高的比為12eq\r(3)，求由它旋轉而成的圓臺的上底面面積、下底面面積和側面面積的比．[解]如圖，設上底面半徑、下底面半徑、高分別為x、2x、eq\r(3)x(x>0)，則母線長l＝eq\r(2x－x2＋\r(3)x2)＝2x，∴S上底面＝πx2，S下底面＝π(2x)2＝4πx2，S側＝π(x＋2x)·2x＝6πx2.∴圓臺的上底面面積、下底面面積和側面面積的比為146.圓臺的軸截面是等腰梯形，作協(xié)助線構造直角梯形和直角三角形，從而利用直角梯形和直角三角形的性質求解.2．空間幾何體的體積空間幾何體的體積計算公式在實際生活中有著廣泛的應用，但只記住公式是遠遠不夠的，我們還應把握圖形的內在因素，敏捷選擇合理的方法加以求解．只有這樣才能把所學到的學問敏捷運用到現(xiàn)實生活中，才能有效的解決一些問題，達到事半功倍的效果．(1)公式法公式法的思想是：依據(jù)題意干脆套用體積公式，求出體積．[例2]棱長為a的正方體中，連接相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為()A.eq\f(a3,3) B.eq\f(a3,4)C.eq\f(a3,6) D.eq\f(a3,12)[解析]連接正方體各面中心構成的八面體由兩個棱長為eq\f(\r(2),2)a的正四棱錐組成，正四棱錐的高為eq\f(a,2)，則八面體的體積為V＝2×eq\f(1,3)×(eq\f(\r(2),2)a)2·eq\f(a,2)＝eq\f(a3,6).[答案]C內接問題為高考?？純热荩粢庀嘟狱c的位置是解決此類問題的關鍵.(2)割補法割補法的思想是：通過分割或補形將原幾何體分割成或補成較易計算體積的幾何體，從而求出原幾何體的體積．[例3]已知三棱錐A-BCD的表面積為S，其內有半徑為r的內切球O(球O與三棱錐A-BCD的每個面都相切，即球心O到三棱錐A-BCD每個面的距離都為r)，求三棱錐A-BCD的體積．[解]連接AO，BO，CO，DO，則三棱錐A-BCD被分割成為四個小三棱錐：O-ABC，O-ABD，O-ACD，O-BCD，并且這四個小三棱錐的頂點都為O，高都為r，底面分別為△ABC，△ABD，△ACD，△BDC.故我們有：VA-BCD＝VO-ABC＋VO-ABD＋VO-ACD＋VO-BCD＝eq\f(1,3)S△ABC·r＋eq\f(1,3)S△ABD·r＋eq\f(1,3)S△ACD·r＋eq\f(1,3)S△BCD·r＝eq\f(1,3)(S△ABC＋S△ABD＋S△ACD＋S△BCD)r＝eq\f(1,3)Sr.假如三棱錐A-BCD改為其他棱錐或棱柱、棱臺，只要存在內切球，那么就有與本題類似的結論.(3)等積變換法等積變換法的思想是：從不同的角度看待原幾何體，通過變更頂點和底面，利用體積不變的原理，來求原幾何體的體積．[例4]如圖所示的三棱錐O-ABC為長方體的一角．其中OA，OB，OC兩兩垂直，三個側面OAB，OAC，OBC的面積分別為1.5cm2、1cm2、3cm2，求三棱錐O-ABC的體積．[解]設OA，OB，OC的長依次為xcm，ycm，zcm，則由已知可得eq\f(1,2)xy＝1.5，eq\f(1,2)xz＝1，eq\f(1,2)yz＝3.解得x＝1，y＝3，z＝2.明顯三棱錐O-ABC的底面積和高是不易求出的，于是我們不妨轉換視角，將三棱錐O-ABC看成以C為頂點，以OAB為底面．易知OC為三棱錐C-OAB的高．于是VO-ABC＝VC-OAB＝eq\f(1,3)S△OAB·OC＝eq\f(1,3)×1.5×2＝1(cm3)．等積變換法有很廣泛的應用，它并不僅僅可用來求三棱錐的體積.eq\a\vs4\al(專題二球的問題)[例5]一個高為16的圓錐內接于一個體積為972π的球，在圓錐里又有一個內切球．求：(1)圓錐的側面積；(2)圓錐內切球的體積．[分析]選取適當?shù)慕孛?，找出球的半徑，利用平面幾何學問解決問題．[解](1)如圖所示，作出軸截面，則等腰三角形SAB內接于圓O，而圓O1內切于△SAB.設圓O的半徑為R，則有eq\f(4,3)πR3＝972π，∴R3＝729，R＝9.∴SE＝2R＝18.∵SD＝16，∴ED＝2.連接AE，又SE是直徑，∴SA⊥AE，∴SA2＝SD·SE＝16×18＝288，SA＝12eq\r(2).∵AB⊥SD，D為AB中點，∴AD2＝SD·DE＝16×2＝32，AD＝4eq\r(2).∴S圓錐側＝π·AD·SA＝π×4eq\r(2)×12eq\r(2)＝96π.(2)設內切球的半徑為r，即圓O1的半徑為r，∵△SAB的周長為2×(12eq\r(2)＋4eq\r(2))＝32eq\r(2)，∴eq\f(1,2)r×32eq\r(2)＝eq\f(1,2)×8eq\r(2)×16，解得r＝4.∴圓錐內切球的體積V球＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(256,3)π.球與幾何體的切、接問題的解題思路1球外接于幾何體，則幾何體的各頂點均在球面上.解題時要仔細分析圖形，一般需依據(jù)球和幾何體的對稱性，明確接點的位置，依據(jù)球心與幾何體特別點間的關系，確定相關的數(shù)量關系，并作出合適的截面進行求解.2解決幾何體的內切球問題，應先作出一個適當?shù)慕孛嬉话阕鞒龆嗝骟w的對角面所在的截面，這個截面應包括幾何體與球的主要元素，且能反映幾何體與球的位置關系和數(shù)量關系.eq\a\vs4\al(專題三空間中的位置關系)(1)空間中兩直線的位置關系：相交、平行、異面．(2)空間中直線與平面的位置關系：直線在平面內、直線與平面平行、直線與平面相交．(3)兩個平面的位置關系：平行、相交．[例6]下面四個命題中，正確命題的個數(shù)是()①假如a，b是兩條直線，a∥b，那么a平行于經過b的任何一個平面；②假如直線a和平面α滿意a∥α，那么a與平面α內的任何一條直線平行；③假如直線a，b滿意a∥α，b∥α，則a∥b；④假如直線a與平面α內的多數(shù)條直線平行，那么直線a必平行于平面α.A．0 B．1C．2 D．3[解析]序號正誤緣由分析①×如右圖所示，長方體ABCD-A′B′C′D′中，AB∥DC，AB卻在過DC的平面ABCD內，①不正確②×如上圖所示，AB∥平面A′B′C′D′，B′C′?平面A′B′C′D′，AB與B′C′異面，②不正確③×如上圖所示，AB∥平面CDD′C′，BB′∥平面CDD′C′，AB∩BB′＝B，即AB與BB′不平行，③不正確④×如上圖所示，設直線l是平面ABB′A′內與AB平行的任一條直線，l有多數(shù)條，即AB與平面ABB′A′內的多數(shù)條直線平行，但AB?平面ABB′A′，④不正確[答案]A長方體中體現(xiàn)了空間中的線線、線面關系，通過視察在圖中可以找到本題中四個命題的很多反例.解決這類題經常將空間點、線、面的關系放置于長方體中考慮.eq\a\vs4\al(專題四線線、線面、面面的平行與垂直關系的證明)1．平行包括線線平行、線面平行、面面平行，這三種平行關系之間可以相互轉化．即應用線面平行的判定定理證明線面平行，關鍵是在平面內找到與平面外直線平行的直線，應用線面平行的性質定理解題的關鍵是利用已知條件作協(xié)助平面，然后把已知中的線面平行轉化為直線和交線平行．2．垂直關系包括線線垂直、線面垂直、面面垂直，這三種垂直關系之間也可以相互轉化．即在立體幾何中，證明線線垂直，往往須要證明線面垂直，這是證明線線垂直的重要方法．[例7]在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點，EF∥DB.(1)已知AB＝BC，AE＝EC，求證：AC⊥FB；(2)已知G、H分別是EC和FB的中點．求證：GH∥平面ABC.[證明](1)因為EF∥DB，所以EF與DB確定平面BDEF.連接DE，如圖．因為AE＝EC，D為AC的中點，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF，因為FB?平面BDEF，所以AC⊥FB.(2)設FC的中點為I，連接GI、HI，如圖．在△CEF中，因為G是CE的中點，所以GI∥EF.又EF∥DB，所以GI∥DB.在△CFB中，因為H是FB的中點，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC.因為GH?平面GHI，所以GH∥平面ABC.與平行、垂直有關的問題，肯定要仔細考慮平行與垂直的判定定理及性質定理.eq\a\vs4\al(專題五空間角的計算)(1)空間角一般指兩異面直線所成的角、直線與平面所成的角、平面與平面所成的角．(2)空間角的一般求法①異面直線所成的角的求法一般有如下兩種：a．平移相交法．即依據(jù)定義，把異面直線中的一條或兩條進行平移，并使其相交，作出異面直線所成的角，然后利用三角形邊角關系求角的大?。産．線面垂直法．在有些狀況下，可以通過推斷一條直線與另一條直線所在的平面垂直，從而得到兩異面直線所成的角為直角．②直線與平面所成的角：定義法．③二面角的平面角的求法：a．定義法；b.作棱的垂面法．[例8]如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO與A′C′所成角的度數(shù)；(2)AO與平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB與平面AOC所成角的度數(shù)．[解](1)∵A′C′∥AC，∴AO與A′C′所成的角就是∠OAC.∵OC⊥OB，AB⊥平面BC′，∴OC⊥AB且AB∩BO＝B.∴OC⊥平面ABO.又∵OA?平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝eq\f(\r(2),2)，AC＝eq\r(2)，sin∠OAC＝eq\f(OC,AC)＝eq\f(1,2)，∴∠OAC＝30°.即AO與A′C′所成角的度數(shù)為30°.(2)如圖，過點O作OE⊥BC，交BC于點E，連接AE，∵平面BC′⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，∠OAE為OA與平面ABCD所成的角．在Rt△OAE中，OE＝eq\f(1,2)，AE＝eq\r(12＋\f(1,2)2)＝eq\f(\r(5),2)，∴tan∠OAE＝eq\f(OE,AE)＝eq\f(\r(5),5).(3)∵OC⊥OA，OC⊥OB，∴OC⊥平面AOB.又∵OC?平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.即平面AOB與平面AOC所成的角為90°.本題包含了線線角、線面角和面面角三類問題，求角度問題主要是求兩條異面直線所成的角eq\a\vs4\al(0，\f(π,2)])，直線和平面所成的角eq\a\vs4\al(0，\f(π,2)])，二面角[0，π]三種，求角度問題解題的一般步驟是：1找出這個角；2證明該角符合題意；3作出這個角所成的三角形，求出角.求角度問題不論哪種狀況都歸結到兩條直線所成角的問題，即在線線成角中找到答案.eq\a\vs4\al(專題六立體幾何中的探究性問題)探究問題一般是對命題的條件進行探究，常見問法是問：在什么條件下命題成立或是否存在使問題成立的條件．這種題目對學生的要求更高，屬中檔偏上的題．[例9]如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥CD，DC⊥AC.(1)求證：DC⊥平面PAC；(2)求證：平面PAB⊥平面PAC；(3)設點E